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2018秋新版高中数学北师大版必修5习题:第三章不等式 3.2.1.2

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高中数学审核员

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     第   2  课时 含参数的一元二次不等式及恒成立问题
                                         课时过关·能力提升
1.下列不等式的解集为空集的是(  )
A.x2+1≥1
B.-x2+4ax-4a2≥0
C.(x+2)(x-3)>-7
D.-x2+(2a-1)x-(2a2+1)≥0
解析:对于    A,x2+1≥1 可化为   x2≥0,其解集是    R;
    对于  B,-x2+4ax-4a2=-(x-2a)2,因此-x2+4ax-4a2≥0 的解集为{x|x=2a};
                                                  1    3
                                                𝑥 - 2 +
    对于  C,(x+2)(x-3)>-7 可化为 x2-x+1>0,因为 x2-x+1=(  2)   4>0,所以其解集为      R;
                                                                   1
                                                               𝑎 +  2
    对于  D,方程-x2+(2a-1)x-(2a2+1)=0 中,Δ=(2a-1)2-4(2a2+1)=-4a2-4a-3=-4( 2) -2<0,故方程无
实数解,故原不等式的解集为空集.
答案:D
2.关于  x 的不等式   ax2+2x-1≥0 的解集为空集,则实数        a 的取值范围为(  )
A.⌀              B.{a|a<-1}
C.{a|a=0 或 a≥1}  D.{a|a=0 或 a≤-1}
                         1
解析:当   a=0 时,2x-1≥0,即 x≥2,不符合题意;当       a≠0 时,因为关于    x 的不等式   ax2+2x-1≥0 的解集为
空集,即所对应方程       ax2+2x-1=0 无实根,且   a<0,所以  Δ=4+4a<0,解得   a<-1,故实数   a 的取值范围是
{a|a<-1}.
答案:B
3.若使不等式    x2-4x+3<0 和 x2-6x+8<0 同时成立的    x 的值,使得关于     x 的不等式    2x2-9x+a<0 也成立,
则                                                                             (  )
A.a>9            B.a<9         C.a≤9          D.00 对于一切实数      x 都成立,则   a 的取值范围是(  )
A.{a|-20,显然成立;当     2-a≠0 时,需 2-a>0,且 Δ=4(a-2)2-4×4×(2-a)<0,解
得-20      的解集是(2,3),则   a+b=(  )
A.1              B.2           C.4            D.8
解析:(x-a)￿(x-b)>0,即(x-a)[1-(x-b)]>0,即(x-a)[x-(b+1)]<0,该不等式的解集为(2,3),说明方程(x-a)[x-
(b+1)]=0 的两根之和等于      5,即 a+b+1=5,故  a+b=4.
答案:C
                            2
6.若 0    >   >
      𝑎  𝑎  𝑎   𝑎
    ∵  1   2    3   4,
               2                                 2
                                               0,
               𝑎                               𝑎
    ∴使得   00 的解集为(1,+∞),则关于     x 的不等式    ax2+(b-2a)x-2b>0 的解集为     
. 
答案:(-∞,-1)∪(2,+∞)
8.设 A 为关于   x 的不等式   ax(x-1)≥1 的解集,若   2∉A,3∈A,则实数    a 的取值范围为        
. 
                      𝑓(2) < 1,
解析:设   f(x)=ax(x-1),所以{𝑓(3) ≥ 1,
      2𝑎(2 - 1) < 1,
    即{3𝑎(3 - 1) ≥ 1,
        1    1
    解得6≤a<2,
                        1 1
                         ,
    则实数   a 的取值范围为[6      2).
     1 1
      ,
答案:[6  2)
9.已知  f(x)是定义在   R 上的奇函数,当     x>0 时,f(x)=x2-4x,则不等式  f(x)>x 的解集用区间表示为          
. 
解析:∵函数     f(x)为奇函数,且当    x>0 时,f(x)=x2-4x,
           𝑥2 - 4𝑥,𝑥 > 0,
             0,𝑥 = 0,
             2
    ∴f(x)={ - 𝑥 - 4𝑥,𝑥 < 0,
                      𝑥 > 0,     𝑥 < 0,
                     2      或     2
    ∴原不等式等价于{𝑥       - 4𝑥 > 𝑥 { - 𝑥 - 4𝑥 > 𝑥.
    解得  x>5 或-50(a∈R);
(2)ax2+x+1>0(a∈R).
解:(1)对于方程    x2+ax+1=0,Δ=a2-4.
    ①当  Δ≥0,即  a≥2  或 a≤-2 时,
                       - 𝑎 + 𝑎2 - 4    - 𝑎 - 𝑎2 - 4
                  𝑥 𝑥 >          或𝑥 <
                            2                2
    不等式的解集为{       |                             }.
    ②当  Δ<0,即-2          或𝑥 <
                                                     2                2
    综上所述,当    a≥2  或 a≤-2 时,不等式的解集为{        |                               } ;当-
20,所以不等式的解集为{x|x>-1}.
    ②当  a≠0 时,对于方程    ax2+x+1=0,Δ=1-4a.
                    1
    当 Δ=1-4a<0,即 a>4时,不等式的解集为         R.
                     1
    当 Δ=1-4a≥0,即  a≤4时,
             1                      - 1 + 1 - 4𝑎     - 1 - 1 - 4𝑎
                               𝑥 𝑥 >          或𝑥 <
    a.若 0-1};
           1                       - 1 + 1 - 4𝑎    - 1 - 1 - 4𝑎
                             𝑥 𝑥 >           或𝑥 <
    当 04时,不等式的解集为        R;
                             - 1 + 1 - 4𝑎     - 1 - 1 - 4𝑎
                           𝑥            < 𝑥 <
    当 a<0 时,不等式的解集为{        |    2𝑎               2𝑎    } .
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