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高中数学选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》综合测试

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高中数学选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》综合测试
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      高中数学选修           2-1 第二章《圆锥曲线与方程》综合测试

一、选择题(每题        4 分,共   60 分)

                   2
1.已知点𝐴是抛物线𝑥       = 4𝑦的对称轴与准线的交点,点𝐹为抛物线的焦点,点𝑃在抛物线

上且满足|𝑃𝐴|  = 𝑚|𝑃𝐹|,若𝑚取最大值时,点𝑃恰好在以𝐴,𝐹为焦点的双曲线上,则双曲线

的离心率为(        )

                                 5 + 1         2 + 1
A.    3 + 1    B.   2 + 1    C.    2      D.    2

                          𝑦2
                       𝑥2− = 1
2.点𝐹1、𝐹2分别是双曲线          3    的左、右焦点,点𝑃在双曲线上,则Δ𝑃𝐹1𝐹2的内切圆
半径𝑟的取值范围是(           )

A.  (0, 3)    B.  (0,2)    C. (0, 2)    D.  (0,1)

                                       𝑥2 𝑦2
                                     𝐶: −   = 1(𝑏 > 𝑎 > 0)
                                        2   2
3.已知𝑂为直角坐标系的坐标原点,双曲线                  𝑎 𝑏             上有一点

𝑃( 5,𝑚)(m>0),点  P 在轴上的射影恰好是双曲线            C 的右焦点,过点      P 作双曲线    C 两条渐

近线的平行线,与两条渐近线的交点分别为                   A,B,若平行四边形       PAOB  的面积为    1,则双

曲线的标准方程是(             )

                                                       𝑥2 𝑦2
                                                        −   = 1
        𝑦2          𝑥2 𝑦2             𝑦2           3  7
    𝑥2−  = 1          −   = 1        𝑥2− = 1
A.      4        B.   2  3        C.      6       D.   2  2

            2                                              2   2   2
4.过抛物线𝑦     = 4𝑥焦点的直线𝑙与抛物线交于𝐴,𝐵两点,与圆(𝑥−1)             + 𝑦 = 𝑟 交于𝐶,

𝐷两点,若有三条直线满足|𝐴𝐶|        = |𝐵𝐷|,则𝑟的取值范围为(         )

     3                               3          3
      , + ∞                         1,           ,2
A.  (2     )    B.  (2, + ∞)    C. ( 2)    D.  (2  )

               𝑥2 𝑦2
             𝐸: −  = 1
                2  2
5.已知双曲线        𝑎 𝑏   的左、右顶点分别为𝐴、𝐵,𝑀是𝐸上一点,             △ 𝐴𝐵𝑀为等腰三角

                     2
形,且外接圆面积为3𝜋𝑎        ,则双曲线𝐸的离心率为(             )

A.    2    B.   2 + 1    C.   3    D.    3 + 1
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6.已知抛物线      C : y2  4x 的焦点为  F ,过点    F 且斜率为    1 的直线与抛物线      C 交于点

 A, B ,以线段   AB 为直径的圆     E 上存在点    P,Q ,使得以     PQ 为直径的圆过点       D2,t,

则实数   t 的取值范围为(         )

A.   ,13,      B.  1,3

 .                               .               
C    ,2   7   2  7,    D    2  7,2   7 

                  x2  y2
7.已知椭圆     C :          1 的右焦点为     F ,过点   F 的两条互相垂直的直线          l ,   l , 
                  4    3                                            1     2


l1 与椭圆  C 相交于点    A ,  B ,   l2 与椭圆 C 相交于点    C ,   D ,则下列叙述不正确的是(   

)


A.  存在直线     l1 , l2 使得 AB  CD  值为  7

                                     48
B.  存在直线    l ,  l 使得  AB   CD  值为
             1    2                  7

C.  弦长   AB  存在最大值,且最大值为           4

D.  弦长   AB  不存在最小值

                 x2  y2
8. P 为双曲线    C :       1a,b  0上一点,           F , F 分别为   C 的左、右焦点, 
                a2   b2                            1  2


 PF2  F1F2 ,若 PF1F2 的外接圆半径是其内切圆半径的             2.5 倍,则  C 的离心率为(    

)

A.    2     B.  2    C.    2 或  3     D.  2 或 3

                     x2  y2
9.已知   F , F 是双曲线          1(a  0,b  0) 的左、右焦点,过      F 的直线   l 与双曲线的
        1  2         a2  b2                                1


左右两支分别交于点         A, B ,若 ABF2  为等边三角形,则双曲线的离心率为(                  )
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                          2 3
A.    7     B.  4    C.           D.    3
                           3

                                                                
10.已知抛物线      C : y2  4x 的焦点 F ,直线   l 与 C 交于  A、B  两点,且    2BF   FA ,则直

线 l 的斜率可能为(         )

                                        2
A.   2 2     B.    2     C.  1    D. 
                                       4

                          1
11.设直线    l 与抛物线   C : y  x2 相交于   A、B  两点,与圆
                          4

              2
 M : x2  y  4  r 2 (r  0) 相切于点 P ,且点 P 为线段  AB 的中点,若这样的直线有四

条,则半径     r 的取值范围是(        )

A.   0  r  2     B. 1 r  3     C.  2  r  2 3     D. 1 r  2

                 2
12.已知抛物线𝐶:𝑦     = 4𝑥的焦点为𝐹,准线为𝑙,𝑃为𝐶上一点,𝑃𝑄垂直𝑙于点𝑄,𝑀,𝑁分别为

                                             0
𝑃𝑄,𝑃𝐹的中点,𝑀𝑁与𝑥轴相交于点𝑅,若∠𝑁𝑅𝐹     = 60 ,则|𝐹𝑅|等于(      )

    1
A.  2    B.   1    C.  2    D.  4

                𝑥2 𝑦2                         𝑥2 𝑦2
            𝐶 :  +   = 1(𝑎 > 𝑏 > 0)      𝐶 :  ‒   = 1(𝑎 > 0,𝑏 > 0)
             1   2   2     1   1             2   2   2     2     2
13.已知椭圆         𝑎1 𝑏1             与双曲线        𝑎2 𝑏2               有相同

的焦点𝐹1,𝐹2,点𝑃是两曲线的一个公共点,且𝑃𝐹1             ⊥ 𝑃𝐹2,𝑒1,𝑒2分别是两曲线𝐶1,𝐶2的

            2   2
离心率,则9𝑒1    + 𝑒2的最小值是(       )

A.  4    B.   6    C.  8    D.  16

              𝑥2  𝑦2                       𝑥2 𝑦2
            𝐶 : +   = 1(𝑎 > 𝑏 > 0)      𝐶 : −  = 1(𝑎 > 0,𝑏 > 0)
             1 2    2     1   1             2 2   2     2    2
14.已知椭圆       𝑎1  𝑏1             与双曲线      𝑎2 𝑏2              有相同的焦

点𝐹1,𝐹2,若点𝑃是𝐶1与𝐶2在第一象限内的交点,且|𝐹1𝐹2|        = 2|𝑃𝐹2|,设𝐶1与𝐶2的离心率分别

为𝑒1,𝑒2,则𝑒2−𝑒1的取值范围是(        )
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     1                1               1                1
      ,  + ∞           , + ∞            , + ∞           ,  + ∞
A.  [3      )    B.  (3      )    C.  [2     )    D.  (2      )

                                         2
15.已知直线     l:y=k(x+2)(k>0)与抛物线      C:𝑦  = 8𝑥相交于  A、B  两点,F   为  C 的焦点,

若|𝐹𝐴| = 2|𝐹𝐵|,则𝑘 = ( )

    1          2        2        2  2
A.  3    B.   3     C.  3    D.    3

二、填空题

16.如图,在Δ𝐴𝐵𝐶中,已知∠𝐵𝐴𝐶     = 120°,其内切圆与𝐴𝐶边

相切于点𝐷,延长𝐵𝐴到𝐸,使𝐵𝐸      = 𝐵𝐶,连接𝐶𝐸设以𝐸,𝐶为焦

点且经过点𝐴的椭圆的离心率为𝑒1,以𝐸,𝐶为焦点且经过点𝐴的
                        2   1
                          +              𝐴𝐷
双曲线的离心率为𝑒2,则当𝑒1          𝑒2取最大值时,𝐷𝐶的值为
__________.

                  𝑥2 𝑦2
                     +   = 1(𝑎 > 0,𝑏 > 0)
                   2    2
17.已知直线𝑙与椭圆𝑎         𝑏              相切于第一象限的点𝑃(𝑥0,𝑦0),且直线𝑙与𝑥轴、

                                                                °
𝑦轴分别交于点𝐴、𝐵,当       △ 𝐴𝑂𝐵(𝑂为坐标原点)的面积最小时,∠𝐹1𝑃𝐹2     = 60 (𝐹1、𝐹2是椭
                                                         3
                                                          𝑎
圆的两个焦点),若此时在           △ 𝑃𝐹1𝐹2中,∠𝐹1𝑃𝐹2的平分线的长度为    𝑚 ,则实数𝑚的值是
__________.

                         x2  y2
18.已知   F , F 为双曲线   C :       1(a  0,b  0) 的左、右焦点,      Px , y 是双曲线
         1  2            a2  b2                                 0  0


C 右支上的一点,连接         PF1 并过  F1 作垂直于   PF1 的直线交双曲线左支于         R,Q ,其中


 Rx0 ,y0 , AQF1P 为等腰三角形.则双曲线           C 的离心率为__________.


19.设椭圆    C 的两个焦点是      F1 、 F2 ,过 F1 的直线与椭圆     C 交于  P 、 Q ,若   PF2  F1F2 ,


且 5 PF1  6 F1Q ,则椭圆的离心率为__________.


20.已知抛物线             的焦点      ,过点     作直线    交抛物线于

                           为_________.     最大值为________
     两点,则值
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            𝑥2 𝑦2
              +   = 1
21.已知椭圆     5   4    的左、右顶点分别为𝐴,𝐵,𝑃是椭圆上不同于𝐴、𝐵的一点,直线𝑃𝐴、
                        𝑐𝑜𝑠(𝛼 ‒ 𝛽)
                                 =
𝑃𝐵的倾斜角分别为𝛼、𝛽,则𝑐𝑜𝑠(𝛼  + 𝛽) ________.

三、解答题

                    𝑥2

                        2
22.已知点    P 是椭圆   E: 4 +y =1 上的任意一点,F1,F2   是它的两个焦点,O       为坐标原点,动点
       ⃗    ⃗     ⃗
Q 满足𝑂𝑄 = 𝑃𝐹1 + 𝑃𝐹2.

(1)求动点   Q 的轨迹方程;

(2)若已知点    A(0,-2),过点 A 作直线   l 与椭圆  E 相交于   B,C 两点,求△OBC    面积的最大值.


23.已知椭圆     C 的中心在原点,焦点在          x 轴上,左右焦点分别为𝐹1,𝐹2,且|𝐹1𝐹2|       = 2,点
  3
 1,
( 2)在椭圆    C 上.

(Ⅰ)求椭圆     C 的方程;

                                                          12 2
(Ⅱ)过𝐹1的直线      l 与椭圆  C 相交于   A,B 两点,且     △ 𝐴𝐹2𝐵的面积为   7 ,求以𝐹2为圆心
与直线   l 相切的圆的方程.
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                           2   2
                 2        𝑥  𝑦
                        𝐶: +   =1(𝑎>𝑏>0)
                           2   2
24.已知离心率为       2 的椭圆     𝑎  𝑏             点

𝑃(2,1)在椭圆上,过点      P 作两条互相垂直的直线,分别

交椭圆于𝐴,𝐵   两点.

(1)求椭圆𝐶     方程;

(2)求证:直线𝐴𝐵过定点,并求出此定点的坐标.


                            𝑦2 𝑥2
                              +   = 1(𝑎 > 𝑏 > 0)
                             2   2
25.已知𝐹1,𝐹2分别为椭圆𝐶1:𝑎         𝑏            的上、下焦点,𝐹1是抛物线𝐶2:
                                                    5
 2                                           |𝑀𝐹1| =
𝑥 = 4𝑦的焦点,点𝑀是𝐶1与𝐶2在第二象限的交点,且                   3.

(1)求椭圆𝐶1的方程;
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          2        2
(2)与圆𝑥    + (𝑦 + 1) = 1相切的直线𝑙:𝑦  = 𝑘(𝑥 + 𝑡)(其中𝑘𝑡 ≠ 0)交椭圆𝐶1于点𝐴,𝐵,

                                         2
若椭圆𝐶1上一点𝑃满足𝑂𝐴⃑    + 𝑂𝐵⃑ = 𝜆𝑂𝑃⃑ ,求实数𝜆 的取值范围.


                𝜋
                                   2
26.已知倾斜角为4的直线经过抛物线Γ:𝑦              = 2𝑝𝑥(𝑝 > 0)的焦点 F,与抛物线相交于       A、
B 两点,且|𝐴𝐵|  = 8.

(1)求抛物线的方程;

(2)过点𝑃(12,8)的两条直线𝑙1、𝑙2分别交抛物线于点           C、D  和  E、F,线段    CD 和 EF 的中点

分别为   M、N.如果直线𝑙1与𝑙2的倾斜角互余,求证:直线                MN  经过一定点.
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                                                参考答案


题号     1      2       3      4      5       6      7       8      9      10      11     12      13     14     15


答案     B      A       A      B      C       D      D       D      A      A       C      C       C      D      D
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    1
16.6.

    5
17.2


18.   10
      2

19.  9
    11


20.1     4


    1
21.9

         𝑥2  𝑦2
            +   = 1
22.(1)16      4    ;(2)1

       𝑥2 𝑦2
         +    = 1
23.(1) 4    3


        2    2
(2)(𝑥−1) + 𝑦 = 2.


      𝑥2  𝑦2       2  1
         +   = 1    ( ,− )
24.(I) 6   3     (II) 3 3

         𝑥2 𝑦2                 4    4
           +    = 1       𝜆2 ∈ (0, ) ∪ ( ,4)
25.(1)   3    4    ;(2)          3    3   .


          2
26.(1)𝑦   = 4𝑥;(2)(10,0)
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