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【全国百强校word】重庆市第一中学2017-2018学年高二上学期期末考试文数试题

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                2018   年重庆一中高             2019  级高二上期期末考试

                             数学试题卷(文科) 2018.1

                                第Ⅰ卷(选择题,共           60 分)
一、选择题(本大题共             12 小题,每小题        5 分,共    60 分).
1. 命题“   x  R , tan x  0 ”的否定是(  )
A.  x  R , tan x  0          B. x  R , tan x  0        

C.   x  R , tan x  0         D. x  R , tan x  0

2. “ a  0 , b  0 ”是“方程  ax2  by2 1表示的曲线是双曲线”的(  )

A.充分不必要条件                 B.必要不充分条件       

C.充要条件                       D.既不充分也不必要条件

3. 设  A , B 为直线   y  x 与圆 x2  y2 1的两个交点,则       AB   (  )

A.1               B.    2             C.  3            D.2 

4. 在  ABC  中,  a,b,c 分别为角   A, B,C 的对边,若     a   3 , b  2 , B  45,则   A  (  )

A.  30               B. 30 或150             C. 60 或120         D. 60

5. 设  a 、 b 是两条不见的直线,         、  是两个不同的平面,则下列命题正确的是(  )

A.若   a / /b , a / / ,则 b / /                     B.若 a / /b , a   ,则 b  

C.若      , a   ,则  a / /                    D.若   , a / / ,则 a                      

6. 已知命题     p :若 a  b ,则 a2  b2 ;命题 q :若 a  b ,则 ac2  bc2 ,下列命题为真的是(  )

A.  p  q               B. p  (q)           C. p  (q)            D. p  q

7.若   f (x)  x3  ax2  3x 1在定义域 R 内为单调递增函数,则实数           a 的取值范围为(  )

A.                 B.                  C.       3        D.
    1, 1             2,  2              3,             3, 3

8.圆心在抛物线        y2  4x 上的动圆   C 始终过点    F(1,0) ,则直线   x  1 与动圆  C 的位置关系为(  )

A.相离              B.相切             C.  相交       D.不确定

9.     平面内一动点      P 到直线   x  3 的距离与它到点     A(1, 0) 的距离之比为       3 ,则动点   P 的轨迹方程是(  

)
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    x2   y2                    x2   y2              (x 1)2  y2                x2  y2
A.        1              B.        1        C.             1        D.         1
    3    2                     3    2                  3     2                 2    3

10. 一个几何体的三视图如下图所示,则这个几何体的体积为(  )
        16                  32                                 64
A.  64              B.  64          C. 64 16         D. 64 
         3                    3                                   3


                               y2
11. 如图,    F , F 是双曲线   C : x2   1与椭圆    C 的公共焦点,点        A 是 C , C  在第一象限的公共点,
            1 2          1      3           2                    1    2


若  F1 A  F1F2 ,则 C2 的离心率是(  )
     1            1           2           2
A.            B.          C.           D.
     3            5           3           5


12.  (原创)若函数       y  f (x)(x  R) 满足:对  a,b,c  D , f (a), f (b), f (c) 均可作为一个三角形的边

                                                                               1  
长,就称函数       y  f x是区间  D 上的“小囧囧函数”。则下列四个函数:                  y  x ln x , x  , 2 ;
                                                                               e 

 y  ln x ,

                ln x                  x       1  
 x  e, e2  ; y  , x  e, e2  ; y  , x   ,2  中,“小囧囧函数”的个数(  )
                                   x
                 x                    e       2 

A. 3        B. 2      C. 1        D.0

                               第Ⅱ卷(非选择题 共            90 分)
二、填空题(本大题共             4 小题,每小题        5 分,共    20 分).


13. 设an是等差数列,        a1  2 且 a3  a6  8 ,则 a8            .
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14. 一个正方体的内切球的表面积为12               ,则该正方体的棱长等于          .
                       3
15. 已知函数     f (x)  x3  x2  m 的图像与  x 轴恰有两个不同公共点,则负数             m            .
                       2
                                                     t 1
16. (原创)已知抛物线         C:x2   8y 的焦点为    F ,过点   A(t,    ) 与抛物线   C 恰有一个交点的直缘
                                                      2
至多有    2 条,则直线    AF  被抛物线    C 所截得的弦长为          .
三、解答题 (本大题共             6 小题,共     70 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程) 


17. 等比数列an中,       a1  2,a4 16 .


(Ⅰ)求数列an的通项公式;


(Ⅱ)若     a3 ,a5 分别为等差数列bn的第       4 项和第  16 项,试求数列位bn的前         n 项和  Sn .

18. (原创)在锐角       ABC  中,  a,b,c 分别为角    A, B,C 的对边,已知     a  b  5 2 , 2sin B  3sin A ,

且  ABC  的面积为    3 3 .

(Ⅰ)求角     C ;
(Ⅱ)求边     c .

19. (原创)已知函数         f (x)  ex  ax  b(x  R) 在点 A(0, f (0)) 处的切线 l 的方程为 x  y  0 .

(Ⅰ)求函数       f (x) 解析式;

(Ⅱ)求     f (x) 在 R 上的极值.
                                                                       AD   CE    1
20. 等边三角形      ABC 的边长为     3,点  D 、 E 分别是边    AB 、  AC 上的点,且满足                  (如图
                                                                       DB   EA    2

1).将   ADE  沿 DE  折起到   A1DE 的位置,使得平面        A1DE   平面  BCED  ,连结    A1B 、 A1C (如图  2).


(Ⅰ)求证:       A1D  平面  BCED  :


(Ⅱ)若     P 是线段   A1B 的中点,求四棱锥       P  BCED  的体积.


                      

21. (改编)在平面直角坐标系            xOy 中,已知    F1( 2, 0) , F2 ( 2, 0) ,且 MF1  MF2  4 ,记动点
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 M (x, y) 的轨迹为  C .

(Ⅰ)求曲线      C 方程;

(Ⅱ)过点      P(0,1) 的动直线   l 与曲线  C 相交  A, B 两点,试问在     y 轴上是否存在与点        P(0,1) 不同的定点    Q ,

使得   AQP   BQP  ?若存在,求出点        Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

22.(原创)已知函数         f (x)  x2  x  c ln x.(c  R)

(Ⅰ)若函数       f (x) 在 x 1处取得极值,求证:        f (x)  0 ;
                                1
(Ⅱ)    x (1, e) , f (x)  (x 1)ln ,求实数 c 的取值范围.
                                x


                        2018 年重庆一中高        2019 级高二上期期末考试
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                             数学答案(文科)   2018.1
一、选择题(每小题          5 分,共   60 分)

1-5:  BADCB                      6-10:  CDBAA               11、12:CB

二、填空题(每题         5 分,共   20 分)
                                     1            25
13. 6         14.  2 3            15.            16. 
                                     2             2
三、解答题(共        70 分)

                                            3
17. 【解析】(Ⅰ)设an的公比为         q ,由已知得16=2q    ,解得   q  2 .

                   n1     n1  n
又  a1  2 ,所以 an  a1q  2 2  2 .


(Ⅱ)由(Ⅰ)得       a2  8 , a5  32 ,则 b4  8 , b16  32 .


                     b1  3d  8,  b1  2,
设bn的公差为    d ,则有             解得  
                               ,
                    b1 15d  32   d  2.
                           n(n 1)      n(n 1)
则数列b   的前  n 项和  S  nb       d  2n        2  n2  n .
        n           n   1    2             2
18. 【解析】(Ⅰ)     2sin B  3sin A  2b  3a ,

∵  a  b  5 2 ,∴ a  2 2 , b  3 2

       1                       3              
 S      absin C  3 3 ,∴ sin C  , 0  C  ∴ C  ;
  ABC 2                      2         2       3

(Ⅱ)∴    c2 =a2  b2  2abcosC 14 ,∴ c  14 .

19.【解析】(1)     f (x)=ex  2x 1;

(2)   f (x)  ex  2x 1 f (x)  ex  2 , f (x)  0  x  ln 2

当  x (,ln 2) , f (x)  0  ,单调递减

 x (ln 2,) , f (x)  0 , f (x) 单调递增,

所以极小值为      f (ln 2)  3 2ln 2 ,无极大值。
                                      AD   CE   1
20. 解:(1)等边三角形       ABC 的边长为    3,且         
                                      DB   EA   2
∴  AD 1,  AE  2 ,又 DAE  60


∴  DE   3  DE  AB  A1D
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又二面角    A1  DE  B 为直二面角,平面    A1DE  平面 BDE   DE


∴  A1D  DE , A1D  BD  A1D  平面 BDEC

            1 1            7  3
(2)V          A D  S   
     PBCDE 3 2  1   BCED  24

               x2   y2
21. 【解析】(1)          1.
                4   2

(2)当直线    l 与 x 轴垂直时,设直线     l 与椭圆相交于    M , N 两点.

                         QM    PM       y0  2    2 1
则  M (0, 2) , N(0, 2) ,由         ,有                ,解得  y 1或  y  2 .
                         QN    PN                           0      0
                                        y0  2    2 1

所以,若存在不同于点        P(0,1) 的定点 Q 满足条件,则     Q 点的坐标只可能为      Q(0,2) .

下面证明:对任意的直线         l ,均有 AQP   BQP  .

当直线   l 的斜率不存在时,由上可知,结论成立.


当直线   l 的斜率存在时,可设直线       l 的方程为   y  kx 1, A, B 的坐标分别为  (x1, y1),(x2 , y2 ) .

     x2  y2
          1       2    2
联立   4   2   ,得  (2k 1)x  4kx  2  0 .
    
     y  kx 1

其判别式    =16k 2  8(2k 2 1)  0 ,

               4k             2        1  1   x  x
所以,                ,              .因此          1  2     .
      x1  x2  2    x1x2   2                    2k
             2k  1         2k 1      x1 x2   x1x2


        y1 1      y2 1     1   1
∴  kQA     , kQB       k      k
         x1         x2      x2  x1


∴  kQA  kQB  0 ,∴ AQP  BQP

22. 【解析】(Ⅰ)由题意知:        f (1)  0 ,∴ c 1,∴ f (x)  x2  x  ln x
               1  (2x 1)(x 1)
∴  f (x)  2x 1           ,∵ x  0  
               x       x
∴  x (0,1) , f (x)  0  , x (1,)  , f (x)  0 ,

∴  f (x)  f (1) ,∴ f (x)  0 .
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                                                   x2  x            x2  x
(Ⅱ)法一:由题意,分离参数可得:             x (1,e) ,使 c  x 1    成立,令   h(x)      ,
                                                   ln x              ln x

         x 1 ln x  2x ln x
∴  h(x) 
              (ln x)2
                                        1        1   1
 p(x)  x 1 ln x  2x ln x, ∴ p(x) 1 2ln x  , p(x)    0
                                        x        x2  x
∴  p(x)  p(1)  0 ,∴ p(x)  p(1)  0 ,∴ h(x)  0 .

∴  h(x) 在为 (1,e) 增函数,

             x2  x
∴  k(x)  x 1    在为 (1,e) 增函数,∴  k(x)  k(e) ∴ c  e2 1
              ln x

                                             x2  x            x2  x  x ln x  ln x
法二:由题意,分离参数可得:           x (1,e) ,使 c  x 1   成立,令    h(x)                ,
                                              ln x                   ln x

经过  4 次求导可得为其增函数,

∴  h(x)  h(e) ∴ c  e2 1.

法三:令
                                         1 c
 p(x)  x2  x  c ln x  (x 1)ln x ,∴ p(x)  2x   ln x
                                          x
                       c  1
∵  p(1)  3 c , p(e)  2e   1,
                       e  e
∴ (i)c 1 ,∴ p(e)  0 ,∴ p(e)  0 ,∴ c  e2 1

∴ c 1;

 (ii)1 c  3 , p(x)  p(1)  0 ,∴ p(e)  0 ,

∴1  c  3 ;

                        p(1)  0
           p(e)  0 
 (iii)c  3 ,    或     p(e)  0
           p(1)  0 
                     p(1)0或p(e)  0

∴ 3  c  e2 1,

∴ c  e2 1.
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