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解三角形在测量中的应用

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高中数学审核员

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 “解三角形在测量中的应用”研究性学习实践活动
                                   
               甘肃省正宁县第四中学           指导教师        薛   兴 
                                                        
一、问题的提出
    高一数学下册安排了《解三角形在测量中的应用》研究性学习作业,目的
是进一步巩固学生所学知识,提高学生分析和解决简单的实际问题的能力、动
手操作的能力以及用语言表达实习过程和实习结果的能力,增强学生应用数学
的意识。根据教材要求,结合本校实际,我们选定了测量“底部不能到达的物
体高度”这个课题,要求学生测量本校操场附近的“中国移动通信塔”的高度。

                             二、分析问题
                             1、学生在活动前,应先把课本预习一遍,并
                         准备好测量工具,如经纬仪、量角器、三角架和
                         皮尺等。
                              2、设计测量方案,写出测量步骤。本次活
                         动共分为四组进行,各小组要严格按照活动要求,
                         自己动手,认真测量,记录分析数据,写出实践
                         活动报告,并总结交流。测量步骤是有计划、有
                         目的地进行的基础,学生应分组合作,分工明确,
                         测量数据力求符合实际,尽量减小不必要的误差。
可以通过多次测量求出平均值而减小误差,一定要做到测量认真,记录数据准
确。
     3、分析数据并进行计算。对测量的数据进行分析,写出计算原理及计算
过程,得出计算结果。
     4、小结与交流。总结各测量问题的解决过程及有关数学知识在其中的应
用,写出实习报告或小论文,总结实习体会。
    三、解决问题
    学生按照设计方案,各组在老师的指导下按步骤完成各个环节,写出实践
活动报告或小论文,总结实践体会,得出测量结果并进行交流。
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             研究性学习实践活动的教学设计

课     题:“解三角形在测量中的应用”实践活动
教学目的:


     

     新疆
     王新敞
    1 奎屯 进一步熟悉解斜三角形知识;


     

     新疆
     王新敞
    2 奎屯 巩固所学知识,提高分析和解决简单实际问题的能力;


     

     新疆
     王新敞
    3 奎屯 加强动手操作的能力;


     

     新疆
     王新敞
    4 奎屯 进一步提高用数学语言表达实习过程和实习结果的能力;


                      

     新疆              新疆
     王新敞             王新敞
    5 奎屯 增强数学应用意识    奎屯 
教学重点:数学模型的建立
教学难点:解斜三角形知识的应用原理
授课类型:新授课
课时安排:1     课时
教学方法: 分组讨论式
    关于实践研究活动,受到实验条件的影响,如学校实验室暂缺测角仪、经
纬仪等测量仪器,但考虑到实习作业将体现数学知识在实际中的应用,意义重


  

  新疆
  王新敞
大 奎屯 所以没有放弃,而是在课堂上简要讲述测角仪的原理后,向学生提出:能否


                                                

                                                新疆
                                                王新敞
自己动手,制作一个简易测角仪,并在实习中加以运用                        奎屯 
    通过分组讨论,比较得出较为优秀的方案供全体同学参考,同时还能激发


                                                        

                                                        新疆
                                                        王新敞
起学生的参与意识,提高动手能力,进一步增强学习数学的兴趣                            奎屯 
教学过程:

一、引入:
    前面两节,学习了解斜三角形的应用举例,具备了一定的解斜三角形的能


                                                            

                                                            新疆
                                                            王新敞
力,并且了解到解斜三角形知识在生产、生活实际的各个方面的应用                              奎屯


                                                          

                                                          新疆
                                                          王新敞
    这一节,我们将为应用解斜三角形知识的实习作业作准备工作                           奎屯 
二、讲解新课:


 

 新疆
 王新敞
1 奎屯 测角仪原理
    如图,对于建筑物        AB,需测出角      α,其中    D 为测角
仪所处位置,在建筑物与地面垂直前提下,DC                   与地面平行


                           

新疆                        新疆
王新敞                       王新敞
奎屯 DA 为测角仪与建筑物顶端连线        奎屯


 

 新疆
 王新敞
2 奎屯 提出问题
                中国现代教育网    www.30edu.com  全国最大教师交流平台

     (1)DC 的水平如何保持?
     (2)角 α  如何获得?
     根据上述原理及所提问题,大家进行分组讨论,十五分钟后各组选一代表


             

             新疆
             王新敞
 表述本组方案      奎屯


  

  新疆
  王新敞
 3 奎屯 简易测角仪方案
     方案Ⅰ
     (1)实验器材:木板一块、量角器一个、三角架


                              

                             新疆
                             王新敞
 1 个,硬纸条(3O cm),铅垂线          奎屯 
     (2)如图所示
     ①木板    ②硬纸条      ③支架    ④铅垂线      ⑤量角器 
⑥转动点
     其中硬纸条、量角器固定在木板上,但可绕转动
 点⑥转动,木板固定在支架上,使铅垂线与矩形木板中心线重合以保持木板的


     

     新疆
     王新敞
 水平  奎屯 
     (3)测量时,使     B、C  和建筑物顶端重合,即三点一线,由于量角器随其移


                                     

                                     新疆
                                     王新敞
 动,所以    A 点所示度数即所侧仰角的度数             奎屯
     (4)注意事项
     ①尽量加长     BC 以减少误差,②水平调整尤为重要,③测量多次数据取平


                                  

                                  新疆
                                  王新敞
 均值,④测量时所选地面应保持水平                奎屯 
     (5)不足之处


                           

                          新疆
                          王新敞
     测量角度只能精确到         1° 奎屯 


  

  新疆
  王新敞
 4 奎屯 研究问题
 (1)测量底部能到达的建筑物高度


 

 新疆
 王新敞
 奎屯 测出角 α、DC  长度,BC    长度,
 在 Rt△ADC  中,求出    AC,则   AC+


            

           新疆
           王新敞
 BC 即为所求   奎屯
 (2)测量底部不能到达的建筑物高


   

   新疆
   王新敞
 度 奎屯


                                                       

                                                       新疆
                                                       王新敞
     选点  C、D  两次测得仰角      α1,α2,测出      CD 长度、BE   长度  奎屯 
     在△ACD  中,利用正弦定理求出           AD,而后在    Rt△ADE  中,求出    AE,则   AE+


            

           新疆
           王新敞
 BE 即为所求   奎屯 


      

      新疆
      王新敞
     4 奎屯 研究性学习作业注意事项
     (1)准备所需工具;(2)提前设计实习报告;(3)减少误差的措施;


                                  

                                  新疆
                                  王新敞
     (4)提前勘察地形以确定研究类型             奎屯 
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      新疆
      王新敞
     5 奎屯 布置下节研究性学习内容


                         

                         新疆
                         王新敞
     测量移动通信塔的高度          奎屯 
 三、小结       通过本节学习,大家要明确测角仪的原理,熟悉简易测角仪的制作
程序及测量角度的基本步骤,以及实际问题的数学模型的解决方法,提高大家


                               

                               新疆
                               王新敞
应用数学知识解决实际问题的能力                奎屯 
 四、课后作业:


                                                             

                                                            新疆
                                                            王新敞
     (1)提前勘察地形;(2)自制测量仪器;(3)设计实践研究报告                      奎屯 
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               研究性学习实践活动报告

                  第一小组实践研究报告

组长:路波              数据记录:徐颖                 数据处理:路波
          巩高娟      袁志龙        李敏敏       高   波      马强强    
  组员
          姚彦舟      路   波      徐   颖     杨国强      胡建飞

测量问题               测量操场外中国移动通信塔的高度

                                         我校操场旁边,有
                                    一座高耸入云的中国移
                                    动通信塔,塔的底部有
问题情境                                围墙,不能到达,学生
简介(如                                学习了解三角形知识后,
  图)                                对此塔的高度产生了极
                                    大兴趣,促使对此课题
                                    的研究。
                                       
测量工具              量角器、支架、线锤、卷尺、经纬仪

测量方案                             第一步:选点      C、D,使得
(写出具                             C、D  的投影与    B 在一条直
体实施步                             线上。第二步:两次测得仰

  骤)                             角 α1,α2   。
                                 第三步:测出      CD 长度、


                                        

                                       新疆
                                       王新敞
                                 BE 长度 奎屯
             第四步:在△ACD      中,利用正弦定理求出          AD,而后


                                                 

                                                新疆
                                                王新敞
          在 Rt△ADE 中,求出     AE,则  AE+BE 即为所求    奎屯 
          测量得   CD=6m,BE=1.5m,  α  =  44 ,α =  47 .由 α = 
计算过程                              1         2          2
          47 ,得∠CDA=133 。在△ACD     中,α   = 44 ,∠CAD=
 及原理                                      1
          3 ,由正弦定理得,AD=79.70m.AB=AE+EB=59.44m .
             中国现代教育网  www.30edu.com  全国最大教师交流平台
          即塔高为    59.44 米。

  备注             在测量过程中,必须使误差减到最小。

                  第二小组实践研究报告

组长:王剑              数据记录:巩晓婷                 数据处理:巩蒙
蒙
          巩晓婷     郭江   李志强     路敏   姬荣莉     巩蒙蒙    石小昌  
  组员
          邓静静     荔瑞刚     王剑    魏志超     马宝宝

测量问题               测量操场外中国移动通信塔的高度

                                         我校操场旁边,有
                                    一座高耸入云的中国移
                                    动通信塔,塔的底部有
问题情境                                围墙,不能到达,学生
简介(如                                学习了解三角形知识后,
  图)                                对此塔的高度产生了极
                                    大兴趣,促使对此课题
                                    的研究。
             
测量工具              量角器、支架、线锤、卷尺、经纬仪

测量方案                             第一步:选点      C、D,使得
(写出具                             C、D  的投影与    B 在一条直
体实施步                             线上。第二步:两次测得仰

  骤)                             角 α1,α2   。
                                 第三步:测出      CD 长度、


                                        

                                       新疆
                                       王新敞
                                 BE 长度 奎屯
             第四步:在△ACD      中,利用正弦定理求出          AD,而后


                                                 

                                                新疆
                                                王新敞
          在 Rt△ADE 中,求出     AE,则  AE+BE 即为所求    奎屯 


                                                   
计算过程        测量得    CD=6m,BE=1.5m,  α1=  47 ,α2=  49.5 ,由
                                                    
 及原理      α2= 49.5 ,得∠CDA=130.5  。在△ADE    中,α1=     47 , 
             中国现代教育网  www.30edu.com  全国最大教师交流平台
          由正弦定理得,
          AD=84m.EA=60.87m,AB=AE+EB=62.02m
          即塔高为    62.02 米。
  备注             在测量过程中,必须确定支架的水平。

                  第三小组实践研究报告

组长:何钰             数据记录:赵金妍                数据处理:张婷婷
          梁鹏伟     高丹   赵高峰    郭鹏伟    赵金妍    范永丽    张婷婷 
  组员
          何钰   徐斌   巩英洁    巩晓刚    赵相龙

测量问题               测量操场外中国移动通信塔的高度

                                         我校操场旁边,有
                                    一座高耸入云的中国移
                                    动通信塔,塔的底部有
问题情境                                围墙,不能到达,学生
简介(如                                学习了解三角形知识后,
  图)                                对此塔的高度产生了极
                                    大兴趣,促使对此课题
                                    的研究。
                                       
测量工具              量角器、支架、线锤、卷尺、经纬仪

测量方案                             第一步:选点      C、D,使得
(写出具                             C、D  的投影与    B 在一条直
体实施步                             线上。第二步:两次测得仰

  骤)                             角 α1,α2   。
                                 第三步:测出      CD 长度、


                                        

                                       新疆
                                       王新敞
                                 BE 长度 奎屯
             第四步:在△ACD      中,利用正弦定理求出          AD,而后


                                                 

                                                新疆
                                                王新敞
          在 Rt△ADE 中,求出     AE,则  AE+BE 即为所求    奎屯 
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                                                  
          测量得   CD=12m,BE=1.5m,  由 α1= 44 ,α2=  49.5 ,得
                                        
计算过程      ∠CAD=5.5  。在△ADE    中,α2=   49.5 ,由正弦定理得,
 及原理      AD=87.02m.EA=66.17m,AB=AE+EB=67.32m
          即塔高为    67.32 米。
  备注             在测量过程中,必须确定支架的水平。

                  第四小组实践研究报告

组长:杨涛             数据记录:万柯娜               数据处理:杨贵贵
           杨涛    万柯娜    杨贵贵    李凤妮    关永杰     李娅倩    赵勇 
  组员
          何旭杰   彭婧婧    曹娜

测量问题               测量操场外中国移动通信塔的高度

                                        我校操场旁边,有
                                   一座高耸入云的中国移动
                                   通信塔,塔的底部有围墙,
问题情境                               不能到达,学生学习了解
简介(如                               三角形知识后,对此塔的
  图)                               高度产生了极大兴趣,促
                                   使对此课题的研究。
                                      

测量工具              量角器、支架、线锤、卷尺、经纬仪

测量方案                             第一步:选点      C、D,使得
(写出具                             C、D  的投影与    B 在一条直
体实施步                             线上。第二步:两次测得仰

  骤)                             角 α1,α2   。
                                 第三步:测出      CD 长度、


                                        

                                       新疆
                                       王新敞
                                 BE 长度 奎屯
             第四步:在△ACD      中,利用正弦定理求出          AD,而后


                                                 

                                                新疆
                                                王新敞
          在 Rt△ADE 中,求出     AE,则  AE+BE 即为所求    奎屯 
             中国现代教育网  www.30edu.com  全国最大教师交流平台

                                               
          测量得   CD=12m,BE=1.5m, α1=  44 ,α2= 49.5 ,由
          α = 44 ,得∠CAD=5.5 。在△ADE    中,α   = 49.5 ,由
计算过程       1                                  2
          正弦定理得,
 及原理
          AD=87.02m,EA=66.17m,AB=AE+EB=67.32m
          即塔高为    67.32 米。
  备注             在测量过程中,必须确定支架的水平。

              实践活动的收获和体会
                     正宁四中     高一、三班   
    生活中无处不隐藏数学的痕迹,它处处彰显着它那魅力与灵魂
的独特之处,使我们在实际生活中收获效益。
      数学的学习就是为了更好地解决实际问题,任何知识与技能
                                      都为生活和生产而服务
                                      的,所以我们只有把所
                                      学的数学知识运用到实
                                      践中,要学以致用,这
                                      才真正体会到数学的重
                                      要性和使用性。
                                           我们班在薛老师
                                      的指导下,用所学知识
                                      测量操场边的中国移动
                                      通信塔的高度。我们准
备了必要的工具,老师也强调了要点,老师把全班分为四组,给了
明确的任务,来到操场我们四个组从不同的方位测量了塔的高度。
活动中,同学们积极参与,献谋献智,虽然天气炎热,同学们额头
热汗满流,但是。这些因素阻挡不了同学们对知识,对科学的执着
                                    的追求之情,同时,我们
                                    也深深地体会到团结的力
                                    量,团结的精神的可贵,
                                    同时这种精神.力量深深
                                    地留在我们的心中。众人
                                    拾柴火焰高,通过同学们
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的不懈努力终于测出了数据,但数据都有误差,在我们严密的组织
和精确的计算下,也避免不了这种误差。可能在测量时选择的地点
与点之间的距离不同,最终的结果就会有所不同,测量工具的精确
度不等等因素,最终我们选择了平均值,此活动圆满结束。
                                             通过本次活动,
                                         让我们深深的体会
                                         到团队合作的快乐,
                                         时间的艰辛,增加
                                         我们之间的友谊,
                                         同时我们发现我们
                                         的知识很欠缺。因
                                         此,作为中学生的
                                         我们,只有掌握先
                                         进技术与知识,用
                                         它们来完善我们的
身心和思想,只有学好科学文化知识,才能做出自己对家庭                          . 对社
会  . 对祖国的贡献,为祖国伟大的现代化建设出自己的一份力,从
而实现自己的人生观、价值观、世界观。


                   
          
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