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【全国百强校】2017-2018学年重庆市第一中学高二上学期期中考试文数(详细答案版)

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  2017-2018    学年重庆市第一中学高二上学期期中考试文数


一、选择题:共       12 题
         2     2
1.方程𝑚𝑥   + 𝑛𝑦 = 1表示焦点在𝑥轴上的椭圆,则𝑚和𝑛应满足下列

A.𝑚𝑛 > 0        B.𝑚 > 0,𝑛 > 0    C.𝑛 > 𝑚 > 0     D.𝑚 > 𝑛 > 0
【答案】C
【解析】本题主要考查椭圆的方程.

                            𝑥2 𝑦2
                              +   = 1
                            1   1
     2    2
将𝑚𝑥 + 𝑛𝑦 = 1化为标准方程为𝑚       𝑛   ,

          2     2
因为方程𝑚𝑥    + 𝑛𝑦 = 1表示焦点在𝑥轴上的椭圆,
    1   1
      >  > 0
所以𝑚    𝑛  ,则𝑛 > 𝑚 > 0.
 

2.若等比数列{𝑎𝑛}的前     n 项和为𝑆𝑛,公比为𝑞,且𝑎1  = 2,𝑞 = 3,则𝑆5 =

A.40              B.70               C.80              D.242
【答案】D
【解析】本题主要考查等比数列的通项公式与前                    n 项和公式.

因为数列{𝑎𝑛}是等比数列,且𝑎1      = 2,𝑞 = 3,
        2 × (1 ‒ 35)
    𝑆5 =
所以         1 ‒ 3  =242.
 

3.若标准双曲线以𝑦       =± 2𝑥为渐近线,则双曲线的离心率为
   5                                                      5
A. 2              B. 5               C.5或  5           D. 2 或 5
【答案】D

【解析】本题主要考查双曲线的准线方程与离心率.
因为标准双曲线以𝑦       =± 2𝑥为渐近线,
                 𝑦2 𝑥2
                    ‒
所以设双曲线方程为4𝑡          𝑡 =1(𝑡 ≠ 0),
当 t>0 时,双曲线的焦点在       y 轴上,
                                5
则 a2=4t,b2=t,c2=5t,则双曲线的离心率     2 ;
         2     2      2
当 t<0 时,𝑎 = ‒ 𝑡,𝑏 = ‒ 4𝑡,𝑐 = ‒ 5𝑡,
则双曲线的离心率为          5.
                     5
所以双曲线的离心率为          2 或  5.
 

4.以𝐴(1, ‒ 1)为圆心且与直线𝑥     + 𝑦 ‒ 2 = 0相切的圆的方程为
        2        2                          2        2
A.(𝑥 ‒ 1) + (𝑦 + 1) = 4            B.(𝑥 ‒ 1) + (𝑦 + 1) = 2
        2        2                           2       2
C.(𝑥 + 1) + (𝑦 ‒ 1) = 4            D.(𝑥 + 1) + (𝑦 ‒ 1) = 2
【答案】B
【解析】本题主要考查圆的方程.
因为圆心为𝐴(1,    ‒ 1),且与直线𝑥  + 𝑦 ‒ 2 = 0相切,
                |1 ‒ 1 ‒ 2|
所以圆的半径为       r=    2   =  2,
                   2        2
所以圆的方程为(𝑥      ‒ 1) + (𝑦 + 1) =2.
 

5.已知直线𝑎,𝑏,𝑐和平面𝛼,𝛽,直线𝑎  ⊂ 平面𝛼,下面四个结论:①若𝑏       ⊥ 𝛼,则𝑏 ⊥ 𝑎;②若
𝑏//𝛼,𝑐//𝛼,则𝑏//𝑐;③若𝛼 ∩ 𝛽 = 𝑐,𝑏//𝛼,𝑏//𝛽,则𝑏 ∥ 𝑐;④若𝑏 ⊥ 𝛼,𝑏 ⊥ 𝛽,则𝛼//𝛽,其中正确的
个数是

A.0               B.1                C.2               D.3
【答案】D
【解析】本题主要考查线面、面面平行与垂直的性质,考查了空间想象能力.
已知直线𝑎   ⊂ 平面𝛼, ①若𝑏  ⊥ 𝛼,则𝑏 ⊥ 𝑎,正确;②若𝑏//𝛼,𝑐//𝛼,则𝑏与𝑐的位置关系是平行、
相交或异面,错误;③若𝛼       ∩ 𝛽 = 𝑐,𝑏//𝛼,𝑏//𝛽,则𝑏 ∥ 𝑐,正确;④若𝑏 ⊥ 𝛼,𝑏 ⊥ 𝛽,则𝛼//𝛽,正确.因
此正确的个数是       3 个,故答案为    D.
 

6.在  △ 𝐴𝐵𝐶中,𝑎𝑐𝑜𝑠𝐴=𝑏𝑐𝑜𝑠𝐵,则三角形的形状为
A.等腰三角形                              B.直角三角形
C.等腰直角三角形                            D.等腰三角形或直角三角形

【答案】D

【解析】本题主要考查正弦定理、二倍角公式.
由正弦定理,𝑎𝑐𝑜𝑠𝐴 = 𝑏𝑐𝑜𝑠𝐵可化为sin 𝐴𝑐𝑜𝑠𝐴 = sin 𝐵𝑐𝑜𝑠𝐵,
由二倍角公式可得        sin2A=sin2B,
则 2A=2B 或  2A+2B=2𝜋,
                𝜋
所以  A=B  或 A+B=2,
所以三角形的形状为等腰三角形或直角三角形.
 
                         𝑥2
                            + 𝑦2 = 1
7.直线𝑥  + 4𝑦 + 𝑚 = 0交椭圆16        于𝐴,𝐵,若𝐴𝐵中点的横坐标为1,则𝑚     =
A. ‒ 2            B. ‒ 1             C.1               D.2
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【答案】A
【解析】本题主要考查椭圆、直线与圆锥曲线的位置关系,考查了转化思想与逻辑推理
能力.

由题意,设    AB 的中点坐标为(1,t),A,B   的坐标分别为(𝑥1,𝑦1),(𝑥2,𝑦2),

  𝑥 2      𝑥 2
   1     2   2     2
     + 𝑦1 1,  + 𝑦2
则16       = 16      =1,

两式相减,化简可得

𝑦 ‒ 𝑦      𝑥 + 𝑥
 1   2    1   1   2   1      1
      = ‒   ·      =‒     𝑡 =
𝑥1 ‒ 𝑥2 16 𝑦1 + 𝑦2 4,则   4,

所以𝑚  =‒ 2.
 

8.在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷  ‒ 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中,异面直线𝐴1𝐵与𝐴𝐶所成角是

A.30°             B.45°              C.60°             D.90°
【答案】C
【解析】本题主要考查异面直线所成的角,考查了空间想象能力.

如图所示,连接𝐴1𝐶1,𝐶1𝐵,


易知𝐴1𝐶1//𝐴𝐶,且三角形𝐴1𝐵𝐶1是正三角形,

则异面直线𝐴1𝐵与𝐴𝐶所成角是60°.
 

9.如图是一个几何体的三视图,在该几何体的各条棱中最长的棱的长度是


A.4 2             B.2 5              C.6               D.8
【答案】C
【解析】本题主要考查空间几何体的三视图,考查了空间想象能力.
由三视图可知,该几何体的直观图如图所示,


该几何体是以上、下底边长分别为               2,4、高为  4 的直角梯形为底面,且高为          4 的四棱锥,
该四棱锥的一个侧棱垂直于底面,所以最长的棱长为                     PC=6.
 
       2   2                                               2   2
10.圆𝑥  + 𝑦 ‒ 𝑎𝑥 + 2𝑦 + 1 = 0关于直线𝑥 ‒ 𝑦 = 1对称的圆的方程为𝑥  + 𝑦 = 1,则实
数𝑎的值为

A.0               B.1                C.2               D. ± 2
【答案】C
【解析】本题主要考查直线与圆位置关系、直线的方程与斜率,考查了转化思想与逻辑
推理能力.
       2   2                                               2   2
因为圆𝑥   + 𝑦 ‒ 𝑎𝑥 + 2𝑦 + 1 = 0关于直线𝑥 ‒ 𝑦 = 1对称的圆的方程为𝑥  + 𝑦 = 1,
      ‒ 1
         =‒ 1
       𝑎
       2
     𝑎 ‒ 1
    { ‒    = 1
所以   4   2    ,则 a=2.

 
                                                           2
11.已知点𝑃(𝑥,𝑦)是直线𝑘𝑥 ‒ 𝑦 + 4=0(𝑘 > 0)上一动点,𝑃𝐴、𝑃𝐵是圆𝐶:𝑥 +
 2
𝑦 + 2𝑦 = 0的两条切线,𝐴、𝐵为切点,𝐶为圆心,若四边形𝑃𝐴𝐶𝐵面积的最小值是4,则𝑘的值
是
                                        34               2 34
A. 6              B.2 6              C. 17             D. 17
【答案】D
【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系,考查了转化思想与逻辑推理能力.
     2        2
圆𝐶:𝑥 + (𝑦 + 1) = 1,圆心 C(0, ‒ 1),半径 r=1,
                 2    2
因为𝑃𝐴、𝑃𝐵是圆𝐶:𝑥 + 𝑦 + 2𝑦 = 0的两条切线,其中𝐴、𝐵为切点,𝐶为圆心,且四边形
𝑃𝐴𝐶𝐵面积的最小值是4,

                                              | ‒ ( ‒ 1) + 4|
                       1           |𝑃𝐶|2 ‒ 1 ≥ 4
                    2 × × |𝑃𝐴| × 𝑟              2
所以四边形𝑃𝐴𝐶𝐵面积=       2         =                𝑘 + 1 =  17,

当直线   PC 与直线𝑘𝑥  ‒ 𝑦 + 4=0(𝑘 > 0)垂直时等号成立,
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                       | ‒ ( ‒ 1) + 4|             2 34
                            2                  𝑘 =
此时|𝑃𝐶|的最小值为     17,即     𝑘 + 1 =  17(𝑘 > 0),则   17 .

 

12.如图所示,在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷     ‒ 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中,点𝐸是棱𝐶𝐶1上一动点,平面𝐵𝐸𝐷1交棱
𝐴𝐴1于点𝐹,则下列命题中假命题是


A.存在点𝐸,使得𝐴1𝐶1//平面𝐵𝐸𝐷1𝐹

B.存在点𝐸,使得𝐵1𝐷  ⊥ 平面𝐵𝐸𝐷1𝐹

C.对于任意的点𝐸,三棱锥𝐸       ‒ 𝐷𝐷1𝐹的体积均不变

D.对于任意的点𝐸,四棱锥𝐵1       ‒ 𝐵𝐸𝐷1𝐹的体积均不变
【答案】B
【解析】本题主要考查线面、面面平行与垂直的性质、空间几何体的体积,考查了空间
想象能力与逻辑推理能力.

假如𝐵1𝐷 ⊥ 平面𝐵𝐸𝐷1𝐹,则𝐵1𝐷 ⊥ 𝐵𝐷1,在矩形𝐵𝐵1𝐷1中,𝐵1𝐷与𝐵𝐷1不垂直,所以不存在点𝐸,使
得𝐵1𝐷 ⊥ 平面𝐵𝐸𝐷1𝐹,故答案为 B.
 
二、填空题:共       4 题
           2
13.抛物线𝑦    = 4𝑥的焦点坐标为     .
【答案】(1,0)
                                                        2
【解析】本题考查抛物线的标准方程与焦点坐标的求解.由抛物线𝑦                          = 2𝑝𝑥(𝑝 > 0)的焦
         𝑝
        ( ,0)
点坐标为     2  得:(1,0).
【备注】求抛物线的焦点坐标,首先要把抛物线的方程转化为标准形式,再分析焦点的位
置,进而可以求出焦点坐标.
 

14.已知等差数列{𝑎𝑛}满足𝑎3     ‒ 𝑎2 = 2,𝑎1 = ‒ 7,在|𝑎1| + |𝑎2| + ⋯ + |𝑎7|=     .
【答案】25

【解析】本题主要考查等差数列的通项公式与前                    n 项和公式.

设等差数列的公差为         d,则 d=𝑎3 ‒ 𝑎2 = 2,𝑎1 = ‒ 7,所以𝑎𝑛 = 2𝑛 ‒ 9,则前 4 项为负数,从第

5 项开始为正数,所以|𝑎1|     + |𝑎2| + ⋯ + |𝑎7|= ‒ 𝑎1 ‒ ⋯ ‒ 𝑎4 + 𝑎5 + 𝑎6 + 𝑎7=25.
 

15.在  △ 𝐴𝐵𝐶中,已知三个内角为𝐴、𝐵、𝐶、满足𝑠𝑖𝑛𝐴:𝑠𝑖𝑛𝐵:𝑠𝑖𝑛𝐶=3:5:4,求最小角的余弦
值         .
        4
【答案】5
【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理.
由𝑠𝑖𝑛𝐴:𝑠𝑖𝑛𝐵:𝑠𝑖𝑛𝐶=3:5:4可得𝑎:𝑏:𝑐=3:5:4,令 a=3t,b=5t,c=4t(t>0),则最小的角为 A,
                   𝑏2 + 𝑐2 ‒ 𝑎2 4
由余弦定理可得𝑐𝑜𝑠𝐴=      2𝑏𝑐 =5.
 
            𝑥2 𝑦2
              ‒                   2    2
16.从双曲线16       9 =1的左焦点𝐹1引圆𝑥     + 𝑦 = 16的切线,切点为𝑇,延长𝐹1𝑇交双曲线
右支于𝑃点,设𝑀为线段𝐹1𝑃的中点,𝑂为坐标原点,则|𝑀𝑂|          ‒ |𝑀𝑇|=         .
【答案】1

【解析】本题主要考查双曲线的定义、直线与圆的位置关系,考查了转化思想与逻辑推
理能力.
不妨设点    P 在第一象限内,如图所示,


由题意可知,|𝐹1𝑃|  ‒ |𝐹2𝑃|=8,
                              1
           𝐹 𝑃
因为𝑀为线段      1 的中点,所以|MO|=2|PF2|,
所以
           1            1       1               1       1
            |𝑃𝐹2| ‒ |𝑀𝑇| |𝑃𝐹2| ‒ |𝑃𝐹1| ‒ |𝑇𝐹1| ‒ |𝑃𝐹1| ‒ |𝑃𝐹2| + |𝑂𝐹1|
|𝑀𝑂| ‒ |𝑀𝑇|=2      =2      (2           )=  2(      2    )       =
  1
‒  × 8 + 5
  2       =1.
 
三、解答题:共       6 题
17.如图所示,𝑅𝑡  △ 𝐴𝐵𝐶中,∠𝐴𝐶𝐵 = 90°,𝐴𝐶 = 2,𝐵𝐶 = 3,以点𝐶为圆心,𝐴𝐶为半径作扇形
𝐴𝐶𝐷,∠𝐴𝐶𝐷 = 90°.
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(1)求平面图形绕直线𝐵𝐷旋转一周所成的几何体的体积;
(2)求平面图形绕直线𝐵𝐷旋转一周所成的几何体的表面积.
【答案】(1)由题意可知,该旋转体是一个圆锥与一个半球,
                 16𝜋
                    ,
因为𝑉圆锥=4𝜋,𝑉半球=  3
            16𝜋
        4𝜋 +
所以𝑉全=       3 .

(2)𝐴𝐵= 13,𝑆圆锥侧=2 13𝜋,

𝑆半球 = 8𝜋,

𝑆表面=𝑆圆锥侧 + 𝑆半球=2 3𝜋 + 8𝜋.
【解析】本题主要考查旋转体、表面积与体积,考查了空间想象能力.(1)由题意可知,该
旋转体是一个圆锥与一个半球,由圆锥与球的体积公式求解即可;(2)求出圆锥的母线𝐵=
 13,即可求出圆锥的侧面积与半球的面积,即可得该几何体的表面积.
 
                                                       1
                                                   2𝑎1, 𝑎3,𝑎2
18.已知数列{𝑎𝑛}是首项为1,公比为𝑞(𝑞      > 0)的等比数列,并且          2    成等差数列.
(1)求𝑞的值;

(2)若数列{𝑏𝑛}满足𝑏𝑛 = 𝑎𝑛 + 2𝑛,求数列{𝑏𝑛}的前𝑛项和𝑇𝑛.

【答案】(1)由条件得𝑎3=2𝑎1     + 𝑎2,
得𝑞 = 2或𝑞 = ‒ 1(舍).

          𝑛
(2)∵𝑎𝑛 = 2 ‒ 1,

      𝑛
∴𝑏𝑛=2 ‒ 1 + 2𝑛,
     1(1 ‒ 2𝑛) 𝑛(𝑛 + 1)
             + 2         2       𝑛
∴𝑇𝑛= 1 ‒ 2       2   =𝑛 + 𝑛 + 2 ‒ 1.
【解析】本题主要考查等差数列与等差数列的通项公式与前𝑛项和公式.(1)由条件得𝑎3=
                                  𝑛
2𝑎1 + 𝑎2,求解可得公比;(2)由(1)可得𝑏𝑛=2   ‒ 1 + 2𝑛,再利用等差数列与等比数列的前
𝑛项和公式求解即可.
 

19.设锐角三角形𝐴𝐵𝐶的内角𝐴,𝐵,𝐶的对边分别为𝑎,𝑏,𝑐,且𝑎=2𝑏𝑠𝑖𝑛𝐴.
(1)求角𝐵的大小;
                               2
(2)若𝑎 = 3,𝑐 = 5,求 △ 𝐴𝐵𝐶的面积及𝑏 .
【答案】(1)因为𝑎    = 2𝑏𝑠𝑖𝑛𝐴,
由正弦定理得𝑠𝑖𝑛𝐴  = 2𝑠𝑖𝑛𝐵𝑠𝑖𝑛𝐴,
                      1
                𝑠𝑖𝑛𝐵 =
由于𝑠𝑖𝑛𝐴 ≠ 0,故有     2,
又因为𝐵是锐角,
所以∠𝐵  = 30°.
                 1         15
                  𝑎𝑐𝑠𝑖𝑛30°
(2)依题意得:𝑆  △ 𝐴𝐵𝐶=2    = 4 ,
               2  2   2
所以由余弦定理𝑏      =𝑎 + 𝑐 ‒ 2𝑎𝑐𝑐𝑜𝑠𝐵,
     2
可得:𝑏  = 9=25 ‒ 2 × 3 × 5 × 𝑐𝑜𝑠30°=34 ‒ 15 3.
【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理、三角形的面积公式.(1)由正弦定理得
                                     1
                               𝑠𝑖𝑛𝐵 =
𝑠𝑖𝑛𝐴 = 2𝑠𝑖𝑛𝐵𝑠𝑖𝑛𝐴,由于𝑠𝑖𝑛𝐴 ≠ 0,故有 2,可得角 B;(2)利用三角形的面积公式与余
弦定理求解即可.
 

             2   2
           𝑥   𝑦                                            3
              +   = 1(𝑎 > 𝑏 > 0)
             2   2
20.已知椭圆𝑎       𝑏            的左右焦点分别为𝐹1、𝐹2,离心率𝑒=         2 .过𝐹1的直线

交椭圆于𝐴、𝐵两点,三角形𝐴𝐵𝐹2的周长为8.
(1)求椭圆的方程;
(2)若弦|𝐴𝐵|=3,求直线𝐴𝐵的方程.

                    𝑐   3           2
                      =   ,2𝑎 + 2𝑐 = 8,𝑎 2 2
【答案】(1)由题意知𝑒=𝑎        2             =𝑏 + 𝑐 ,
    𝑥2
得出    + 𝑦2
    4     =1.
(2)设点𝐴的坐标为(𝑥1,𝑦1),𝐵的坐标为(𝑥2,𝑦2),的斜率为𝑘(𝑘显然存在),
                                                   Δ > 0恒成立
                                                         ‒ 8 3𝑘2
                                                𝑥 + 𝑥 =
                                                 1   2     2
   2                                         0⇒          4𝑘 + 1
  𝑥   2                                                   2
    + 𝑦 = 1 ⇒(4𝑘2 + 1)𝑥2 + 8 3𝑘3𝑥 + (12𝑘2 ‒ 4)   12𝑘 ‒ 4
  4                                              𝑥1𝑥2 =
{𝑦 = 𝑘(𝑥 + 3)                              {          2     
                                            =           4𝑘 + 1 ,

                                              2
                        3             3 ‒ 8 3𝑘         2
                                 4 +
                   4 +   (𝑥2 + 𝑥1)      2    3⇒𝑘 =±
|𝐴𝐵|=2𝑎 + 𝑒(𝑥2 + 𝑥1)= 2   =    2  4𝑘 + 1 =       4 ,
         2
𝐴𝐵:𝑦 =± (𝑥 + 3)
        4         .
【解析】无

 
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21.如图,平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中,𝐴𝐶   ⊥ 𝐵𝐶,𝐴𝐶=𝐵𝐶=1,现将 △ 𝐴𝐷𝐶沿𝐴𝐶折起,得到三棱锥
𝐷 ‒ 𝐴𝐵𝐶,且𝐷𝐴 ⊥ 𝐵𝐶,点𝐸为侧棱𝐷𝐶的中点.


(1)求证:𝐴𝐸 ⊥ 平面𝐷𝐵𝐶;
(2)求三棱锥𝐷   ‒ 𝐴𝐸𝐵的体积;
(3)在∠𝐴𝐶𝐵的角平分线上是否存在点𝐹,使得𝐷𝐹        ∥ 平面𝐴𝐵𝐸?若存在,求𝐷𝐹的长;若不存在,
请说明理由.
【答案】(1)证明:在平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中,有𝐴𝐷        = 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶,
又因为𝐸为侧棱𝐷𝐶的中点,
所以𝐴𝐸 ⊥ 𝐶𝐷,
又因为𝐴𝐶  ⊥ 𝐵𝐶,𝐴𝐷 ⊥ 𝐵𝐶,且𝐴𝐶 ∩ 𝐴𝐷 = 𝐴,
所以𝐵𝐶 ⊥ 平面𝐴𝐶𝐷,
又因为𝐴𝐸  ⊂ 平面𝐴𝐶𝐷,
所以𝐴𝐸 ⊥ 𝐵𝐶,
因为𝐵𝐶 ∩ 𝐶𝐷 = 𝐶,
所以𝐴𝐸 ⊥ 平面𝐵𝐶𝐷.

(2)因为𝑉𝐷 ‒ 𝐴𝐸𝐵 = 𝑉𝐵 ‒ 𝐴𝐸𝐷,𝐵𝐶 ⊥ 平面𝐴𝐶𝐷,
所以𝐵𝐶是三棱锥的高,
          1            1
           𝑆 △ 𝐴𝐸𝐷 × 𝐵𝐶
故𝑉𝐷 ‒ 𝐴𝐸𝐷=3     =12.
(3)取𝐴𝐵中点𝑂,连接𝐶𝑂并延长至点𝐹,使𝐶𝑂   = 𝑂𝐹,连接𝐴𝐹,𝐷𝐹,𝐵𝐹,


因为𝐵𝐶 = 𝐴𝐶,所以射线𝐶𝑂是角∠𝐴𝐶𝐵的角平分线,
又因为点𝐸是的𝐶𝐷中点,所以𝑂𝐸//𝐷𝐹,
因为𝑂𝐸 ⊂ 平面𝐴𝐵𝐸,𝐷𝐹⊄平面𝐴𝐵𝐸,
所以𝐷𝐹//平面𝐴𝐵𝐸,
因为𝐴𝐵、𝐹𝐶互相平分,
故四边形𝐴𝐶𝐵𝐹为平行四边形,有𝐵𝐶//𝐴𝐹,
又因为𝐷𝐴  ⊥ 𝐵𝐶,
所以有𝐴𝐹  ⊥ 𝐴𝐷,𝐴𝐹=𝐴𝐷=1,𝐷𝐹= 2.
【解析】本题主要考查折叠问题、线面、面面平行与垂直的性质、空间几何体的体积,
考查了空间想象能力与逻辑推理能力.(1)由已知条件证明𝐴𝐸                   ⊥ 𝐶𝐷,再证明𝐵𝐶 ⊥ 平面𝐴𝐶𝐷,可
得𝐴𝐸 ⊥ 𝐵𝐶,则可得结论;(2)由𝑉𝐷 ‒ 𝐴𝐸𝐵 = 𝑉𝐵 ‒ 𝐴𝐸𝐷,𝐵𝐶 ⊥ 平面𝐴𝐶𝐷,易得棱锥的体积;(3)取
𝐴𝐵中点𝑂,连接𝐶𝑂并延长至点𝐹,使𝐶𝑂   = 𝑂𝐹,连接𝐴𝐹,𝐷𝐹,𝐵𝐹,由𝐷𝐴 ⊥ 𝐵𝐶,𝐴𝐹 ⊥ 𝐴𝐷,易得结论.
 

             2   2
22.已知圆𝐶1:𝑥  + 𝑦 = 4过圆上任意一点𝐷向𝑥轴引垂线垂足为𝐷1(点𝐷、𝐷1可重合),点

𝐸为𝐷𝐷1的中点.
(1)求𝐸的轨迹方程;
(2)若点𝐸的轨迹方程为曲线𝐶,不过原点𝑂的直线𝑙与曲线𝐶交于𝑃、𝑄两点,满足直线
𝑂𝑃,𝑃𝑄,𝑂𝑄的斜率依次成等比数列,求     △ 𝑂𝑃𝑄面积大的取值范围.

                                       2   2         2    2
【答案】(1)设点     E(x,y),由题意  D(x,2y)在圆𝐶1:𝑥 + 𝑦 = 4上,则𝑥 + 4𝑦 = 4,

                    𝑥2
                      + 𝑦2 = 1
所以点   E 的轨迹方程为      4        .
(2)由题意可知,直线𝑙的斜率存在且不为0,
故可设直线𝑙的方程为𝑦=𝑘𝑥     + 𝑚(𝑚 ≠ 0),

设𝑃(𝑥1,𝑦1),𝑄(𝑥2,𝑦2),
     𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑚
    2    2
由{𝑥 + 4𝑦 ‒ 4 = 0,
             2  2             2
消去𝑦得(1  + 4𝑘 )𝑥 + 8𝑘𝑚𝑥 + 4(𝑚 ‒ 1)=0,
       2  2          2  2   2         2    2
则Δ=64𝑘 𝑚 ‒ 16(1 + 4𝑘 𝑚 )(𝑚 ‒ 1)=16(4𝑘 ‒ 𝑚 + 1) > 0,

          ‒ 8𝑘𝑚    4(𝑚2 ‒ 1)
               ,𝑥 𝑥
               2 1 2       2
且𝑥1 + 𝑥2=1 + 4𝑘 = 1 + 4𝑘 ,

                          2                    2
故𝑦1𝑦2=(𝑘𝑥1 + 𝑚)(𝑘𝑥2 + 𝑚)=𝑘 𝑥1𝑥2 + 𝑘𝑚(𝑥1 + 𝑥2) + 𝑚 ,

因为直线𝑂𝑃,𝑃𝑄,𝑂𝑄的斜率依次成等比数列,

       2                    2
𝑦1 𝑦2 𝑘 𝑥1𝑥2 + 𝑘𝑚(𝑥1 + 𝑥2) + 𝑚
  ⋅
                               2
𝑥1 𝑥2=        𝑥1𝑥2       =𝑘
   ‒ 8𝑘𝑚
         + 𝑚2 = 0
       2
即1 + 4𝑘        ,又𝑚 ≠ 0,
        1       1
    𝑘2 =   𝑘 =±
所以      4,即     2.
由于直线𝑂𝑃,𝑂𝑄的斜率存在,且Δ      > 0,
       2       2
得0 < 𝑚 < 2且𝑚  ≠ 1,
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                       |𝑚|
                            ,
                           2
设𝑑为𝑂到直线𝑙的距离,𝑑=     1 + 𝑘

                           64𝑘2𝑚2 ‒ 16(𝑚2 ‒ 1)(1 + 4𝑘2)
                     1 + 𝑘2
           2                              2
|𝑃𝑄|= 1 + 𝑘 |𝑥1 ‒ 𝑥2|=         1 + 4𝑘          =

4 (1 + 𝑘2)(4𝑘2 ‒ 𝑚2 + 1)
             2
        1 + 4𝑘       ,
         1
          𝑑|𝑃𝑄| 2     2
则𝑆 △ 𝑂𝑃𝑄=2 = 𝑚 (2 ‒ 𝑚 ),
所以  △ 𝑂𝑃𝑄面积的取值范围为(0,1).
【解析】本题主要考查点的轨迹方程、椭圆、直线与圆锥曲线的位置关系,考查了方程

                                                 2    2
思想与逻辑推理能力.(1)设点          E(x,y),由题意 D(x,2y)在圆𝐶1:𝑥 + 𝑦 =4上,则可得点  E 的轨

迹方程;(2)由题意可知,直线𝑙的斜率存在且不为0,故可设直线𝑙的方程为𝑦=
𝑘𝑥 + 𝑚(𝑚 ≠ 0),联立椭圆的方程,由根与系数的关系式,结合直线𝑂𝑃,𝑃𝑄,𝑂𝑄的斜率依次成

                 1                                              |𝑚|
               ±              2       2                             2
等比数列,求出𝑘=       2,由Δ > 0,0 < 𝑚 < 2且𝑚 ≠ 1,求出𝑂到直线𝑙的距离𝑑=     1 + 𝑘 ,弦长
                             1
           2                  𝑑|𝑃𝑄| 2     2
|𝑃𝑄|= 1 + 𝑘 |𝑥1 ‒ 𝑥2|,可得𝑆 △ 𝑂𝑃𝑄=2 = 𝑚 (2 ‒ 𝑚 ),则结论易得.
 
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