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2018年高中数学课时跟踪检测八等差数列的性质新人教A版必修5

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高中数学审核员

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                 课时跟踪检测(八)  等差数列的性质
                               层级一 学业水平达标

    1.在等差数列{an}中,已知          a4+a8=16,则   a2+a10=(  )
    A.12                               B.16
    C.20                                D.24

    解析:选    B 因为数列{an}是等差数列,所以             a2+a10=a4+a8=16.

    2.在等差数列{an}中,a1+a9=10,则           a5 的值为(  )
    A.5                                 B.6
    C.8                                 D.10

    解析:选    A 由等差数列的性质,得           a1+a9=2a5,

    又∵a1+a9=10,即     2a5=10,

    ∴a5=5.
    3.下列说法中正确的是(  )
    A.若  a,b,c   成等差数列,则       a2,b2,c2 成等差数列

    B.若  a,b,c   成等差数列,则       log2a,log2b,log2c 成等差数列
    C.若  a,b,c   成等差数列,则       a+2,b+2,c+2     成等差数列
    D.若  a,b,c   成等差数列,则       2a,2b,2c 成等差数列
    解析:选    C 因为    a,b,c  成等差数列,则       2b=a+c,
    所以  2b+4=a+c+4,
    即 2(b+2)=(a+2)+(c+2),
    所以  a+2,b+2,c+2     成等差数列.

    4.在等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10,则            a7=(  )
    A.5                                 B.8
    C.10                                D.14

    解析:选    B 由等差数列的性质可得           a1+a7=a3+a5=10,又     a1=2,所以    a7=8.

                                              2
    5.等差数列{an}中, a2+a5+a8=9,那么方程             x +(a4+a6)x+10=0   的根的情况(  )
    A.没有实根                              B.两个相等实根
    C.两个不等实根                            D.无法判断  

                                                              2
    解析:选    A 由   a2+a5+a8=9  得 a5=3,∴a4+a6=6,方程转化为          x +6x+10=0.因
为  Δ<0,所以方程没有实根.
    6.若三个数成等差数列,它们的和为                9,平方和为     59,则这三个数的积为________.
    解析:设这三个数为         a-d,a,a+d,

    则Error!
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    解得Error!或Error!
    ∴这三个数为-1,3,7       或 7,3,-1.∴它们的积为-21.
    答案:-21
    7.若  a,b,c   成等差数列,则二次函数           y=ax2-2bx+c  的图象与     x 轴的交点的个数
为________.
    解析:∵a,b,c      成等差数列,∴2b=a+c,
    ∴Δ=4b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2≥0.
    ∴二次函数     y=ax2-2bx+c   的图象与    x 轴的交点个数为       1 或 2.
    答案:1   或  2

    8.已知等差数列{an}满足         am-1+am+1-am2 -1=0,且   m>1,则   a1+a2m-1=________.

    解析:因为数列{an}为等差数列,则               am-1+am+1=2am,则   am-1+am+1-am2 -1=0  可

化为   2am-am2 -1=0,解得    am=1,所以    a1+a2m-1=2am=2.
    答案:2

    9.在等差数列{an}中,若         a1+a2+…+a5=30,a6+a7+…+a10=80,求          a11+

a12+…+a15.
    解:法一:由等差数列的性质得

    a1+a11=2a6,a2+a12=2a7,…,a5+a15=2a10.

    ∴(a1+a2+…+a5)+(a11+a12+…+a15)=2(a6+a7+…+a10).

    ∴a11+a12+…+a15=2(a6+a7+…+a10)-(a1+a2+…+a5)=2×80-30=130.

    法二:∵数列{an}是等差数列,∴a1+a2+…+a5,a6+a7+…+a10,a11+a12+…+

a15 也成等差数列,即       30,80,a11+a12+…+a15   成等差数列.∴30+(a11+a12+…+a15)=

2×80,∴a11+a12+…+a15=130.
    10.有一批影碟机原销售价为每台              800 元,在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场
用如下的方法促销:买一台单价为               780 元,买两台单价都为        760 元,依次类推,每多买一
台则所买各台单价均再减少            20 元,但每台最低价不能低于           440 元;乙商场一律都按原价的
75%销售.某单位购买一批此类影碟机,问去哪家商场买花费较少.
    解:设单位需购买影碟机           n 台,在甲商场购买每台售价不低于              440 元,售价依台数

n 成等差数列.设该数列为{an}.

    an=780+(n-1)(-20)=800-20n,

    解不等式    an≥440,即   800-20n≥440,得    n≤18.
    当购买台数小于等于         18 台时,每台售价为(800-20n)元,当台数大于               18 台时,每台
售价为   440 元.
    到乙商场购买,每台售价为            800×75%=600  元.
    作差:(800-20n)n-600n=20n(10-n),
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    当 n<10 时,600n<(800-20n)n,
    当 n=10  时,600n=(800-20n)n,
    当 1018 时,440n<600n.
    即当购买少于      10 台时到乙商场花费较少,当购买             10 台时到两商场购买花费相同,当
购买多于    10 台时到甲商场购买花费较少.
                               层级二 应试能力达标

    1.已知等差数列{an}:1,0,-1,-2,…;等差数列{bn}:0,20,40,60,…,则数

列{an+bn}是(  )
    A.公差为-1     的等差数列  B.公差为          20 的等差数列
    C.公差为-20     的等差数列                  D.公差为    19 的等差数列

    解析:选    D (a2+b2)-(a1+b1)=(a2-a1)+(b2-b1)=-1+20=19.

    2.已知数列{an}为等差数列且          a1+a7+a13=4π,则     tan(a2+a12)的值为(  )
    A. 3                               B.±   3
          3
    C.-  3                             D.-   3
                                                           4π

    解析:选    D 由等差数列的性质得          a1+a7+a13=3a7=4π,∴a7=      3 .
                                8π      2π

    ∴tan(a2+a12)=tan(2a7)=tan   3 =tan  3 =-  3.
                                                          1
    3.若方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0        的四个根组成一个首项为4的等差数列,则|m-
n|=(  )
                                         3
    A.1                                 B.4
      1                                  3
    C.2                                D.8

    解析:选    C 设方程的四个根        a1,a2,a3,a4  依次成等差数列,则         a1+a4=a2+a3=
2,

    再设此等差数列的公差为           d,则  2a1+3d=2,
          1      1

    ∵a1=4,∴d=2,
          1 1  3      1     5

    ∴a2=4+2=4,a3=4+1=4,
        1 3  7

    a4=4+2=4,
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    ∴|m-n|=|a1a4-a2a3|
      1  7  3  5  1
        × -  ×
    =|4  4  4  4|=2.
    4.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根                  9 节的竹子,自上而下各节的容积成等差
数列,上面     4 节的容积共     3 升,下面    3 节的容积共    4 升,则第    5 节的容积为(  )
                                         67
    A.1 升                               B.66升
      47                                 37
    C.44升                               D.33升

    解析:选    B 设所构成的等差数列{an}的首项为              a1,公差为   d,则有Error!
                                  67

    即Error!解得Error!则   a5=a1+4d=66,
                    67
    故第  5 节的容积为66升.

    5.已知{an}为等差数列,且          a6=4,则  a4a7 的最大值为________.

    解析:设等差数列的公差为            d,则  a4a7=(a6-2d)(a6+d)=(4-2d)(4+d)=-2(d+

  2
1) +18,即   a4a7 的最大值为    18.
    答案:18
                                  an an+1
                                   ,
                                 (    +  )
    6.已知数列{an}满足       a1=1,若点    n  n  1 在直线   x-y+1=0   上,则    an=________.
                    an an+1           an+1  an             an
    解析:由题设可得        n - n+1 +1=0,即    n+1 - n =1,所以数列{      n }是以 1 为公差的
                               an
                                              2
等差数列,且首项为         1,故通项公式      n =n,所以    an=n .
    答案:n2
                              (1)                   21         1
    7.数列{an}为等差数列,bn=         2 an,又已知    b1+b2+b3=  8 ,b1b2b3=8,求数列

{an}的通项公式.
                     (1)  (1)   (1)   21        (1)          1
    解:∵b1+b2+b3=     2 a1+ 2 a2+ 2 a3= 8 ,b1b2b3= 2 a1+a2+a3=8,∴a1+a2+a3=
3.

    ∵a1,a2,a3  成等差数列,∴a2=1,故可设           a1=1-d,a3=1+d,
       1     1  1     21
    由(2)1-d+2+(2)1+d=  8 ,
               17
    得 2d+2-d=  4 ,解得   d=2 或  d=-2.

    当 d=2  时,a1=1-d=-1,an=-1+2(n-1)=2n-3;
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    当 d=-2   时,a1=1-d=3,an=3-2(n-1)=-2n+5.


    8.下表是一个“等差数阵”:

           4        7       ( )       ( )      ( )      …    a1j   …

           7        12      ( )       ( )      ( )      …    a2j   …

         ( )       ( )      ( )       ( )      ( )      …    a3j   …

         ( )       ( )      ( )       ( )      ( )      …    a4j   …
          …         …        …         …        …       …    …     …

          ai1       ai2      ai3       ai4      ai5     …    aij   …
          …         …        …         …        …       …    …     …

    其中每行、每列都是等差数列,aij             表示位于第     i 行第  j 列的数.

    (1)写出  a45 的值;

    (2)写出  aij 的计算公式,以及       2 017 这个数在“等差数阵”中所在的一个位置.
    解:通过每行、每列都是等差数列求解.

    (1)a45 表示数阵中第     4 行第  5 列的数.

    先看第   1 行,由题意     4,7,…,a15,…成等差数列,

    公差  d=7-4=3,则      a15=4+(5-1)×3=16.

    再看第   2 行,同理可得      a25=27.

    最后看第    5 列,由题意     a15,a25,…,a45  成等差数列,

    所以  a45=a15+3d=16+3×(27-16)=49.

    (2)该“等差数阵“的第         1 行是首项为     4,公差为    3 的等差数列     a1j=4+3(j-1);

    第 2 行是首项为     7,公差为    5 的等差数列     a2j=7+5(j-1);
    …
    第 i 行是首项为     4+3(i-1),公差为      2i+1 的等差数列,

    ∴aij=4+3(i-1)+(2i+1)(j-1)
    =2ij+i+j=i(2j+1)+j.
    要求  2   017 在该“等差数阵”中的位置,也就是要找正整数                    i,j,使得    i(2j+1)+
j=2 017,
         2 017-i
    ∴j=   2i+1 .又∵j∈N*,∴当      i=1  时,得   j=672.
    ∴2 017 在“等差数阵”中的一个位置是第               1 行第  672 列.
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