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2018版高中数学第2讲参数方程二圆锥曲线的参数方程练习新人教A版选修4_4

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                         二 圆锥曲线的参数方程

一、基础达标

           x=cos θ,
1.参数方程{    y=2sin θ )(θ 为参数)化为普通方程为(  )
        y2                                      y2
  A.x2+ 4 =1                              B.x2+ 2 =1
        x2                                      x2
  C.y2+ 4 =1                              D.y2+ 4 =1
                               y       y2
  解析 易知     cos θ=x,sin θ=2,∴x2+        4 =1,故选   A.
  答案 A

       xcos θ=a,
2.方程{  y=bcos θ )(θ 为参数,ab≠0)表示的曲线是(  )
  A.圆                                     B.椭圆

  C.双曲线                                   D.双曲线的一部分
                                a
  解析 由    xcos θ=a,∴cos θ=x,代入         y=bcos θ,得    xy=ab,又由
  y=bcos θ  知,y∈[-|b|,|b|],∴曲线应为双曲线的一部分.

  答案 D

                                    x=4t2,
3.若点  P(3,m)在以点     F 为焦点的抛物线{       y=4t )(t 为参数)上,则|PF|等于(  )

  A.2                                     B.3  

  C.4                                     D.5

  解析 抛物线为       y2=4x,准线为     x=-1,|PF|为    P(3,m)到准线    x=-1   的距离,即为      4.

  答案 C

4.当  θ 取一切实数时,连接         A(4sin θ,6cos   θ)和   B(-4cos  θ,6sin   θ)两点的线

  段的中点的轨迹是(  )

  A.圆                                     B.椭圆  

  C.直线                                    D.线段

  解析 设中点      M(x,y),由中点坐标公式,得           x=2sin θ-2cos θ,y=3cos θ+3sin 
        x                 y                                 x2  y2
  θ,即2=sin θ-cos θ,3=sin θ+cos θ,两式平方相加,得                    4 + 9 =2,是椭圆.
  答案 B

5.实数  x,y  满足  3x2+4y2=12,则    2x+  3y 的最大值是________.

  解析 因为实数       x,y 满足   3x2+4y2=12,所以设     x=2cos   α,y=    3sin  α,则   2x+
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                                                     4           3
   3y=4cos   α+3sin   α=5sin(α+φ),其中        sin  φ=5,cos     φ=5.当   sin(α+
  φ)=1  时,2x+    3y 有最大值为    5.

  答案 5
               2x
6.抛物线   y=x2-   t 的顶点轨迹的普通方程为________.
                              1    1            1   1
                           x-                    ,-
  解析 抛物线方程可化为           y=(   t)2-t2,∴其顶点为(t        t2),记 M(x,y)为所求轨迹上
                  1
               x=  ,
                  t
                   1
              y=-   ,
             {        )             2
  任意一点,则           t2 消去   t 得 y=-x  (x≠0).
  答案 y=-x2(x≠0)
                                 1
7.如图所示,连接原点         O 和抛物线    y=2x2 上的动点    M,延长   OM 到点
  P,使|OM|=|MP|,求    P 点的轨迹方程,并说明是什么曲线?

                                          x=2t,
  解 抛物线标准方程为          x2=2y,其参数方程为{y=2t2.)得       M(2t,

  2t2).

  设 P(x,y),则   M 是 OP 中点.
        x+0
     2t=    ,
          2
         y+0      x=4t                       1
     2t2=   ,
    {         )   =                            2
  ∴       2   ∴{y   4t2)(t 为参数),消去    t 得 y=4x  ,是以   y 轴为对称轴,焦点为(0,
  1)的抛物线.


二、能力提升

          x=sin2θ,
8.若曲线{y=cos θ-1)(θ    为参数)与直线      x=m  相交于不同两点,则         m 的取值范围是(  )
  A.R                                     B.(0,+∞)

  C.(0,1)                                 D.[0,1)

               x=sin2θ,
  解析 将曲线{y=cos θ-1)化为普通方程得(y+1)2=
  -(x-1)(0≤x≤1).它是抛物线的一部分,如图所示,由数形结

  合知  0≤m<1.
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  答案 D

           x=t2,
9.圆锥曲线{    y=2t )(t 为参数)的焦点坐标是________.
  解析 将参数方程化为普通方程为              y2=4x,表示开口向右,焦点在            x 轴正半轴上的抛物

  线,由   2p=4⇒p=2,则焦点坐标为(1,0).

  答案 (1,0)

                       x=t,
10.设曲线   C 的参数方程为{y=t2)(t      为参数),若以直角坐标系的原点为极点,x                 轴的正
  半轴为极轴建立极坐标系,则曲线              C 的极坐标方程为________.

        x=t,
  解析 {y=t2)化为普通方程为          y=x2,由于    ρcos  θ=x,ρsin      θ=y,所以化为极坐
  标方程为    ρsin θ=ρ2cos2θ,即      ρcos2θ-sin θ=0.

  答案 ρcos2θ-sin θ=0

11.在直角坐标系      xOy 中,直线    l 的方程为    x-y+4=0,曲线      C 的参数方程为

  x=  3cos α,
  { y=sin α )(α 为参数).
  (1)已知在极坐标系(与直角坐标系             xOy 取相同的长度单位,且以原点            O 为极点,以     x 轴
                                   π
                                 4,
  正半轴为极轴)中,点         P 的极坐标为(      2),判断点    P 与直线   l 的位置关系;
  (2)设点  Q 是曲线   C 上的一个动点,求它到直线           l 的距离的最小值.
                             π
                           4,
  解 (1)把极坐标系下的点          P(  2)化为直角坐标,得点(0,4).因为点            P 的直角坐标(0,4)满
  足直线   l 的方程   x-y+4=0,所以点       P 在直线   l 上.

  (2)因为点   Q 在曲线   C 上,故可设点      Q 的坐标为(    3cos  α,sin   α),从而点     Q 到直线
                                      π
                                2cos α+ +4
               | 3cos α-sin α+4|   (  6)             π
                                                  α+
  l 的距离为    d=        2       =      2     =  2cos(  6)+2 2,由此得,当      cos
      π
   α+
  (   6)=-1 时,d   取得最小值,且最小值为           2.
三、探究与创新
                                                  3            3
                                                             0,
12.设椭圆的中心是坐标原点,长轴在               x 轴上,离心率     e=  2 ,已知点   P(  2)到这个椭圆
  上的点的最远距离是         7,求这个椭圆的方程,并求椭圆上到点                 P 的距离等于     7的点的坐

  标.

                        x=acos θ                                 c2  a2-b2
  解 设椭圆的参数方程是{y=bsin θ),其中,a>b>0,0≤θ<2π.由                     e2=a2=   a2 =
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   b      b         1
1-(a)2可得a=   1-e2=2即   a=2b.设椭圆上的点(x,y)到点          P 的距离为    d,则  d2=x2+
   3                    3                               9
y-               bsin θ-
(  2)2=a2cos2θ+(        2)2=a2-(a2-b2)sin2θ-3bsin θ+4
                          9
=4b2-3b2sin2θ-3bsin θ+4
             1
       sin θ+
=-3b2(      2b)2+4b2+3,
    1         1
如果2b>1   即 b<2,即当    sin θ=-1    时,d2 有最大值,
                 3                 3  1       1             1
               b+
由题设得(    7)2=(   2)2,由此得    b=  7-2>2,与    b<2矛盾.因此必有2b≤1        成立,于是
            1
当 sin θ=-2b时,d2     有最大值,
由题设得(    7)2=4b2+3,由此可得       b=1,a=2.

                    x=2cos θ,
所求椭圆的参数方程是{          y=sin θ. )
            1            3                       1           1
                                           - 3,-         3,-
由 sin θ=-2,cos θ=±       2 可得,椭圆上的点(             2),点(       2)到点 P 的距离
都是   7.
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