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【全国百强校word】重庆市第一中学2017-2018学年高二上学期期末考试理数试题

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                2018   年重庆一中高             2019  级高二上期期末考试

                             数学试题卷(理科) 2018.1

                                第Ⅰ卷(选择题,共           60 分)
一、选择题(每小题            5 分,共    60 分).
1. 若命题“     p  q ”为假,且“     p ”为假,则(  )
A.   p 且 q 为真        B.  q 假     C.   q 真       D.  p 假 

2. 当函数    y  x ex 取极小值时,   x  (  )

A.2                 B.-2                 C.1                D.-1

3. 若抛物线     y2  4x 上的点  M 到靠点的距离为       10,则   M 到  y 轴的距离为(  )

A.8               B.9          C.10          D.11

4. 设  a  R ,函数  f (x)  ex  a ex 的导函数是 f (x) ,且 f (x) 是奇函数,则   a 的值为(  )
                           1                 1
A.  1                 B.                C.           D. -1 
                            2                2

5. 设平面    与平面     相交于直线    l ,直线   a 在平面   内,直线    b 在平面    内,且   b  l ,则“  a  b ”是

“     ”的(  )

A.充分不必要条件        B.必要不充分条件        C.充要条件         D.既不充分也不必要条

件                   

                x2   y2                                                  1  uuur uuur
6. 已知   P 是椭圆         1(0  b  5) 上除顶点外的一点,       F 是椭圆的左焦点,若           (OP  OF )  4 ,
                25  b2                                1                  2         1

则点   P 到该椭圆左焦点的距离为(  )
                                                   5
A. 6              B. 4        C.  2          D.      
                                                   2
                                                                    
7.在三棱锥      P  ABC 中,  PA  底面   ABC ,  D 是 PC 的中点,已知      BAC      , AB  2 ,
                                                                     2

 AC  2  3 , PA  2 ,则异面直线     BC 与  AD 所成角的余弦值为(  )
     3             3          1            1
A.             B.         C.           D.     
     4             8           4           8
8.已知一个棱长为        2 的正方体,被一个平面截去一部分后所得几何体的三视图如图所示,则该截面的面

积为(  )
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                                               9           3 10
A.  2 10               B. 2 2              C.           D.
                                               2             2


9.   给出定义:设       f (x) 是函数 y  f (x) 的导函数,   f (x) 是函数 f (x) 的导函数,若    f (x) 有零点 x0 ,
                                                              sin x
则称点    (x , f (x )) 为原函数 y  f (x) 的“拐点”,已知函数        f (x)=          的拐点是     M (x , f (x )) ,
        0     0                                           sin x  cos x           0    0
则点   M (  )
A.在直线     y  3x 上            B. 在直线    y  3x 上       
             1                              1
C. 在直线    y   上              D. 在直线     y   上
             3                              2
             x2  y2
10. 设双曲线           1(a  0, b  0) 的右焦点为  F ,过点    F 作与  x 轴垂直的直线     l 交两渐近线于
             a2  b2
                                                            uuur   uur   uuur
 A, B 两点,且与双曲线在第一象限的交点为               P ,设  O 为坐标原点,若       OP   OA  OB(,    R) ,
        3
      ,则双曲线的离心率为(  )
       16
     2 3              3  5          3 2             9
A.               B.             C.              D.     
      3                 5            2              8

11. 已知球   O 的直径长为      12,当它的内接正四棱锥的体积最大时,该四棱锥的高为(  )

A. 4        B.6       C.  8      D. 12 
                                                   ln x
12. 设实数    m  0 ,若对任意的     x (0,  ) ,不等式  emx      0 恒成立,则    m 的最小值(  )
                                                    m
     1            1          2            e
A.           B.          C.           D. 
     e            2e          e           3
二、填空题(每小题            5 分,共    20 分)
              1
13. 若   a (2x  )dx  3 ln 2(a 1) ,则 a            .
        1    x
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                                           uuur  1 uuuur
14. 已知正方体      ABCD   A B C D 的棱长为    a , AM    MC   ,点  N 为 B B 的中点,则     MN              
                        1 1 1 1                  2   1           1
.

15. 若函数    f (x)  2x2  ln x 在定义域的一个子区间     (k 1, k 1) 上不是单调函数,则实数         k 的取值范围

是          .

                x2  y2
16. 已知椭圆    C :       1(a  b  0) 的一个焦点为    F(  3, 0) , A 为椭圆  C 的右顶点,以      A 为圆心的
               a2   b2
              b                     uuur uuur     uuur  uuur
圆  A 与直线   y   x 相交于   P,Q 两点,且    AP  AQ  0 , OP  3OQ ,则圆   A 的半径为          .
              a
三、解答题(共          6 小题,共     70 分)
                           3
17. 已知三次函数       f (x)  x3  ax2  b(a, b R) .
                           2
(1)若曲线      y  f (x) 在点 (a 1, f (a 1)) 处切线的斜率为   12,求  a 的值;

(2)若    f (x) 在区间1,1上的最小值为-2,最大值为            1 且 a 1,求函数     f (x) 的解析式.

18. 四棱锥    P  ABCD 的底面是边长为       1 的正方形,     PA  CD  , PA 1,  PD    2 , E, F 为 PD 上两
                 1
点,且    PF  ED    PD .
                 3
(1)求证:      BF / / 面 ACE ;

(2)求    BF 与平面   PCD  所成角的正弦值.


19. 已知   F(0,1) ,直线  l : y  1, P 为平面上的动点,过点        P 作 l 的垂线,垂足为      Q ,且
 uuur uuur uur uuur
 QP QF  FP  FQ , P 点的轨迹为曲线       C .

(1)求    C 的方程;

(2)若    A(0, 2) , l 为 C 在 P 点处的切线,求点      A 到 l 距离的最小值.

20. 如图,四边形       ABCD  是等腰梯形,      AB / /CD , ABC   60 , AB  2CB  4 ,在梯形    ACEF  中,
 EF / / AC ,且 AC  2EF  , EC  平面   ABCD  .
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(1)求证:面       FEB  面 CEB  ;
                                
(2)若二面角       D  AF  C 的大小为     ,求几何体     ABCDEF    的体积.
                                4


              x2  y2
21. 从椭圆   C :       1(b  0) 上一点  P 向 x 轴作垂线,垂足恰好为椭圆的左焦点               F , M  是椭圆的右
              2   b2                                                      1
                           uuur   uuur
顶点,    N 是椭圆的上顶点,且         MN   OP(   0) .

(1)求该椭圆      C 的方程;


(2)不过原点的直线         l 与椭圆  C 交于   A, B 两点,已知    OA ,直线   l , OB 的斜率   k1 , k, k2 成等比数列,记


以  OA , OB  为直径的圆的面积分别为          S1, S2 ,求证;  S1  S2 为定值,并求出定值.

              
22. 已知   n N  ,函数   fn (x)  x  nln x , fn(x) 是 fn (x) 的导函数


(1)当    n  3 时,求函数    y  f3 (x) 在 (0, ) 内的零点的个数.


(2)对于     0     ,若存在   使得   fn ()  fn ( )  fn( )(   ) ,试比较 + 与 2 的大小.
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                     2018 年重庆一中高      2019 级高二上期期末考试
                             数学答案(文科)   2018.1
一、选择题(每小题          5 分,共   60 分)

1-5:  BDBAB                     6-10:  CACDA              11、12:CA

二、填空题(每题         5 分,共   20 分)

                   21                  3            2 10
13. 2         14.    a            15.  1,           16. 
                   6                  2              5
三、解答题(共        70 分)

17. 解:因为    f (x)=3x2  3ax ,

(1)由导数的几何意义         f (a 1) 12 ,∴ 3(a 1)2  3a(a 1) 12 ,

∴ 3a  9 ,∴ a  3.

(2)由   f (x)=3x(x  a)  0 得 x1  0 , x2  a  ∵ x 1,1,且 a 1,

∴当  x 1, 0时, f (x)  0 , f (x) 递增;

当  x 0,1时, f (x)  0 , f (x) 递减.

∴  f (x) 在区间1,1上的最大值为    f (0) ,
                            3         3               3       3
∵  f (0)  b ,∴ b 1,∵ f (1)=1 a 1  2  a , f (1)  1 a 1   a ,
                            2         2               2       2
                                            3             4
∴  f (1)  f (1) ,∴ f (1) 是函数 f (x) 的最小值,∴  a  2 ,∴ a  ,
                                            2             3
∴  f (x)  x3  2x2 1.

18. 解:(1)连    BD 交 AC 于 O ,连  OE .
              EO / /BF 
 ED  FE              
           EO  面ACE   BF / /面ACE .
 DO  BO              
            BF   面ACE

(2)∵   PA  CD ,又  PA2  AD2  PD2 ,得到 PA  AD ,则 PA  面 ABCD  ,

以  A 为坐标原点.   AB 为 x 轴,  AD 为 y 轴, AP 为 z 轴建立坐标系.
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                                        1 2       2 1
则  B(1, 0,0), D(0,1, 0), P(0, 0,1),C(1,1, 0) , F(0, , ) , E(0, , ) ,
                                        3 3       3 3
                               uur uur
              uur                        uur
                              n2 CP  0
设面  PCD  法向量  n2  (a2 ,b2 ,c2 ) ,则 uur uur  n2  (0,1,1) ,
                              n2 CE  0

        1  2 
 BF   1, ,  ,令 BF 与平面  PCD 所成角为    ,
        3  3 

                       uuur uur
                       BF n    3 7
则 sin a  cos  BF, n    uur2   .
                  2             14
                       BF  n2

19. 解:(1)令    P(x, y) ,则 Q(x, 1) ,∴ 0, y 1x, 2=(x, y 1)(x,  2) ,

即  2(y 1)  x2  2(y 1) ,化简可得方程 C : x2  4y .

          x2      x
(2)由   y    得 y  ,令  P(x , y ) ,则切线 l 的方程为
           4      2        0 0

    x             x x  x2      x x          x x
 y  0 (x  x )  y  0  0  y  0  2y  y  0  y ,即 x x  2y  2y  0 ,
    2      0   0   2   2    0  2     0   0   2   0     0         0

                4  2y       y  2    y  2            1
则  A 到 l 的距离 d       0  2   0      0      y 1         2 ,
                   2          4y  4    y   1    0      y  1
                  x0  4        0      0              0 


即  y0  0 时取得最小值   2.

20. 解:(1)证明:由已知        ABC  60 , AB  2CB  4 ,计算可得  AC  2 3 , ACB  90 ,则

 AC  CB ,又  EC  平面 ABCD  ,知  AC  EC ,则  AC  面 CEB ,

又  EF / / ,则 EF  面 CEB ,∴面 FEB  面 CEB .

(2)因为    EC  平面 ABCD  ,又由(1)知     AC  CB ,以 C 为原点,建立空间直角坐标系          C  xyz ,设

 CE  h ,则 C(0, 0, 0) , A(2 3, 0, 0) ,00, F( 3, 0, h) , D( 3, 1, 0) , AD   3, 1, 0,
                                                   uuur ur
                                                  
                                                  AD n1  0
               ,设平面        的法向量为              ,则            ,
 AF   3, 0, h     DAF           n2  (x, y, z) uuur ur
                                                  AF n1  0
                                                              ur uur
   ur                                  ur                     n1 n2   2
∴  n  (h,  3h, 3) ,又平面 AFC 的法向量为    n  (0,1, 0) ,所以 cos 45  ur uur  ,
   1                                   1                              2
                                                              n1  n2
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         6          6
解得  h    ,即  CE     ,此几何体由四棱锥       D  ACEF 和四棱锥   B  ACEF 组成,
        2           2

               1    1              6  1    1              6  9  2
故几何体体积V        1    3  2 3       2    3  2 3        .
               3    2           2   3    2           2     4

                                                     1
                         b2     uuur   uuur              1
21. 解:(1)由题可知      P(c,    ) ,由 MN  OP(  0) ,可得 a   ,所以1    c , a2  2 ,
                          2                          c   a

                 x2
则该椭圆    C 的方程为      y2 1.
                 2


(2)令   l : y  kx  m(m  0) , A(x1, y1) , B(x2 , y2 ) ,

    y  kx  m
   
由    2         1 2k 2 x2  4kmx  2m2  2  0 的两根为 x , x ,
    x   2                                     1  2
      y 1
    2

            4km         2m2  2
知  x  x       , x x        ,由V   0 可得 2k 2 1 m2  0 .
   1   2   1 2k 2  1 2  1 2k 2


                        2       y1  y2  kx1  mkm2  m
又  k1,k,k2 ,成等比数列可知    k  k1k2     
                                x1  x2        x1x2

   2                 2                  2
  k x1x2  km(x1  x2 )  m 2 km(x1  x2 )  m           2
 =                      k              ,则  km(x1  x2 )  m  0 ,
           x1x2                  x1x2

       4km            4k 2            1
∴  km       m2  0       1  0  k 2  ,
      1 2k 2         1 2k 2           2

                2        2
             OA       OB                         x2     x2 
∴                               2   2  2   2         1     2
   S1  S2             x1  y1  x2  y2  1 1  
              4        4    4                  4   2      2 
              2     
       x1  x2          1                      3
                                  2 2    2               .
   2          x1x2   2   4k m  (m 1)  3 
   4     2          4   2                 4      4
                                        3  x  3
22. 解:(1)∵    f (x)  x  3ln x ,∴ f (x) 1  ,
               3                3       x    x
可知   f (x) 在 (0, 3) 单减, (3, +) 单增,则 y  f (x)  f (x)  3 ln 3  0 ,
     3                                3     3  min

                  2   2      2  2
又  f3 (1) 1  0 , f3 (e )  e  3ln e  e  6  0 ,


∴  y  f3 (x) 在 (0, +) 内的零点的个数为 2 个.
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(2)由   fn ()  fn ( )  fn( )(   ) 得

        f ()  f ( )   nln    nln  n(ln   ln)
 f ( )  n   n                     1            ,
  n                                      

             2n                     n(ln   ln) 2n
而  f (   ) 1     ,所以   f ( )  f ( )          
    n  2                n     n  2                 

    n       2(   )                 2(1 t)
      ln           ,令 t   , h(t)  ln t   ,则  t 1,
                                 1 t

        1  2(t 1)  (1 t) (t 1)2
而  h(t)                        0 ,所以 h(t) 在 (1, +) 上是增函数,
        t      (t 1)2     t(t 1)2
                                                  n
则  h(t)  h(1)  0 ,所以 f ( )  f ( )  0 ,又因为 f (x) 1 在 (0, +) 上是增函数,所以
                    n      n  2                      x
      
       ,即有   2    
      2
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