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人教A版必修5第一、二章(解三角形、)导学案

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高中数学审核员

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海北三中导学案        编写人    孙志军   审核人    赵海云、辛文春、郭晓晓            高一年级     班  姓名            
课题:         1.1.1  正弦定理          课时:总      1  课时本案第        1 课时
           1、.知识与技能       :(1)掌握正弦定理的内容;(2)                掌握正弦定理的证明方法;(3)会
           云用正弦定理解斜三角形的两类基本问题.
           2、过程与方法        :让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的
 学习目标      关系,引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应
           用的实践操作。
           3、情感态度价值观:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的云算能力;培养学生
           合情推理探索数学规律的数学思思想能力。
 学习重点      正弦定理的探索和证明及其基本应用。
 学习难点      已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
 学法指导      1、重视数学思想方法的云用。 2、加强新旧知识的联系。 3、提高数学建模能力。
                                课前预习案                                         学习疑问
 一、课前预习案
 试验:固定      ABC 的边   CB 及  B,使边    AC 绕着顶点    C 转动.

 思考:    C 的大小与它的对边        AB 的长度之间有怎样的数量关系?


 显然,边    AB  的长度随着其对角        C 的大小的增大而              .能否用一个等式把这
 种关系精确地表示出来?                                       


                                课中探究案                                         总结提升
 探究   1:在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,
 角与边的等式关系. 如图,在            Rt  ABC 中,设  BC=a,AC=b,AB=c, 
 根据锐角三角函数中正弦函数的定义,
    a        b                   c
 有    sin A ,  sin B ,又 sin C 1  ,                               
    c        c                   c
                          a     b      c
 从而在直角三角形        ABC 中,                 . 
                         sin A sin B sin C

                                                          (
 探究   2:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立?

 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况:
 当  ABC 是锐角三角形时,设边         AB 上的高是    CD,根据任意角三角函数的定义,
                         a     b
 有  CD= asin B  bsin A ,则       ,                   
                        sin A sin B
           c     b
 同理可得              ,                                  
         sin C  sin B
       a     b     c
 从而                 .
     sin A  sin B sin C
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   类似可推出,当        ABC 是钝角三角形时,以上关系式仍然成立.请你试试导.


新知:正弦定理
  在一个三角形中,各边和它所对角的     的比相等,即
  a     b      c
                .
 sin A sin B sin C
试试:
(1)在   ABC  中,一定成立的等式是(    ).
  A. asin A  bsin B     B. a cos A  bcos B
  C. asin B  bsin A     D. a cos B  bcos A
(2)已知△ABC     中,a=4,b=8,∠A=30°,则∠B            等于           .
  [理解定理]
(1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正
数,即存在正数       k 使 a  k sin A,              , c  k sin C ;
       a     b     c                         c     b      a     c
(2)                 等价于             ,              ,           .
     sin A  sin B sin C                    sin C sin B  sin A sin C
(3)正弦定理的基本作用为:
                                                bsin A
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如                      a       ; b                
                                                 sin B
 .
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,
        a
如 sin A  sin B ; sin C                .
        b
(4)一般地,已知三角形的某些边和角,求其它的边和角的过程叫作解三角形.
※ 典型例题
例  1. 在△ABC  中,已知
A=32.0°,B=81.8°,A=42.9 cm,解三角形.


例  2:在△ABC   中,已知    A=20cm,B=28cm,A=40°,解三角形(角度精确到              1°,边
长精确到    1 cm).


                               课后训练案
1、在△ABC    中,已知   c=10,A=45°,C=30°,解三角形.


                                        学习反思


                教师寄语:这是风雨中为你撑起的伞,这是黑夜中为你点亮的灯。
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海北三中导学案        编写人    孙志军   审核人    赵海云、辛文春、郭晓晓            高一年级     班  姓名            
课题:         1.1.2 余弦定理        课时:总       1  课时本案第       1 课时
           1、.知识与技能        :掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法,并会云用余
           弦定理解决两类基本的解三角形问题。
           2、过程与方法       :利用向量的数量积推出余弦定理及其推论,并通过实践演算掌握云用余弦
 学习目标
           定理解决两类基本的解三角形问题。
           3、情感态度价值观:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的云算能力;通过三角
           函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系,来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
 学习重点      余弦定理的发现和证明过程及其基本应用。
 学习难点      勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
           首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化,也就是研究如何从已知的两
 学法指导      边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题,利用向量的数量积比较容易地证明
           了余弦定理。从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的角
                                课前预习案                                         学习疑问
 复习   1:在一个三角形中,各                  和它所对角的          的     相等,即          =        
 =       .

 思考:已知两边及夹角,如何解此三角形呢?


                                 
                                课中探究案                                         总结提升
 问题:在    ABC  中,  AB 、 BC 、 CA 的长分别为     c 、 a 、 b .
    
  ∵  AC                  ,
    
 ∴  AC  AC 
                                                         C

                                                    b      a

                2   2   2
 同理可得:         a  b  c  2bccos A ,         A       c      B
               c2  a2  b2  2abcosC .

 新知:余弦定理:三角形中任何一边的                     等于其他两边的             的和减去这两边
 与它们的夹角的              的积的两倍.

 思考:这个式子中有几个量?
 从方程的角度看已知其中三个量,可以求出第四个量,能否由三边求出一角?
 从余弦定理,又可得到以下推论:
        b2  c2  a2
 cos A 
           2bc
      =                   ,
      =                            .

 [理解定理]
 (1)若   C= 90 ,则 cosC     ,这时   c2  a2  b2
 由此可知余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例.
 (2)余弦定理及其推论的基本作用为:
 ①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边;
                 中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台

②已知三角形的三条边就可以求出其它角.
典型例题
例  1. 在△ABC  中,已知    B=60 cm,C=34 cm,A=41°,解三角形(角度精确到             1°,边
长精确到    1 cm).


例  2. 在△ABC  中,已知    a =134.6 cm,b=87.8 cm,c =161.7 cm,解三角形.


例  3.在ABC  中,已知     a=7,b=10,c=6,      求  A、B  和  C.


                               课后训练案
1、△ABC    中,  a  3 3 , c  2 , B 150 ,求 b .


2、△ABC    中,  a  2 , b  2 , c  3 1,求 A .


                                            9
3、在△ABC    中,若    AB=   5 ,AC=5,且     cosC=   ,则  BC=________
                                            10


4、在   ABC  中,若   a2  b2  c2  bc ,求角 A.


 

                                        学习反思


                教师寄语:这是风雨中为你撑起的伞,这是黑夜中为你点亮的灯。
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海北三中导学案        编写人    孙志军   审核人    赵海云、辛文春、郭晓晓            高一年级     班  姓名            
课题:         1.2 应用举例(1)          课时:总       1  课时本案第       1 课时
           1、.知识与技能        :能够云用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实
           际问题,了解常用的测量相关术语。
           2、过程与方法       :首先通过巧妙的设疑,顺利地引导新课,为以后的几节课做良好铺垫。其
           次结合学生的实际情况,采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈
 学习目标
           训练”的教学过程,根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系,铺开例题,设计变式,同
           时通过多媒体、图形观察等直观演示,帮助学生掌握解法,能够类比解决实际问题。
           3、情感态度价值观:激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值;同时培养学生云用
           图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力。
 学习重点      由实际问题中抽象出一个或几个三角形,然后逐个解决三角形,得到实际问题的解。
 学习难点      根据题意建立数学模型,画出示意图。
           生活中错综复杂的问题本源仍然是我们学过的定理,因此系统掌握前一节内容是学好本节课
 学法指导      的基础。解有关三角形的应用题有固定的解题思路,引导学生寻求实际问题的本质和规律,
           从一般规律到生活的具体云用,这方面需要多琢磨和多体会。
                                课前预习案                                         学习疑问
 复习   1:什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形?


 2、你学过的测量术语有哪些?


                                课中探究案                                         总结提升
 例  1. 如图,设   A、B  两点在河的两岸,要测量两点之间的距离,测量者在                       A 的同侧,
 在所在的河岸边选定一点           C,测出    AC 的距离是    55m,   BAC= 51 ,  ACB= 75 . 
 求  A、B  两点的距离(精确到       0.1m). 
 提问   1:  ABC 中,根据已知的边和对应角,云用哪个定理比较适当?


 提问   2:云用该定理解题还需要那些边和角呢?


 分析:这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题
   题目条件告诉了边        AB 的对角,AC     为已知边,
   再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出                       AC 的对角,
   应用正弦定理算出        AB 边. 
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 新知   1:基线
 在测量上,根据测量需要适当确定的                    叫基线. 
 例  2. 如图,A、B     两点都在河的对岸(不可到达),设计一种测量                     A、B  两点间距
 离的方法. 
 分析:这是例      1 的变式题,研究的是两个                  的点之间的距离测量问题. 
   首先需要构造三角形,所以需要确定                C、D  两点. 
   根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法,分别
 求出   AC 和 BC,
   再利用余弦定理可以计算出            AB 的距离. 


 学习小结
 1. 解斜三角形应用题的一般步骤:
 (1)分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图
 (2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形
 中,建立一个解斜三角形的数学模型;
 (3)求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解
 (4)检验:检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解.
 2.基线的选取:
 测量过程中,要根据需要选取合适的基线长度,使测量具有较高的精确度.
                                课后训练案
 1、若在例    2 中,河岸选取相距        40 米的  C、D  两点,测得      BCA=60°,
  ACD=30°,     CDB=45°,    BDA =60°.


 2、两灯塔    A、B   与海洋观察站      C 的距离都等于      a km,灯塔   A 在观察站    C 的北偏东
 30°,灯塔    B 在观察站    C 南偏东    60°,则   A、B  之间的距离为多少?


                                         学习反思


                 教师寄语:这是风雨中为你撑起的伞,这是黑夜中为你点亮的灯。

海北三中导学案        编写人    孙志军   审核人    赵海云、辛文春、郭晓晓            高一年级     班  姓名            
                  中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台

课题:         1.2 应用举例(2)          课时:总       1  课时本案第       1 课时
           1、.知识与技能        :能够云用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达
           的物体高度测量的问题。
           2、过程与方法       :本节课是解三角形应用举例的延伸。采用启发与尝试的方法,让学生在温
           故知新中学会正确识图、画图、想图,帮助学生逐步构建知识框架。教学形式要坚持引导—
 学习目标
           —讨论——归纳,目的不在于让学生记住结论,更多的要养成良好的研究、探索习惯。作业
           设计思考题,提供学生更广阔的思考空间。
           3、情感态度价值观:进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概
           括的能力。
 学习重点      由实际问题中抽象出一个或几个三角形,然后逐个解决三角形,得到实际问题的解。
 学习难点      根据题意建立数学模型,画出示意图。
           生活中错综复杂的问题本源仍然是我们学过的定理,因此系统掌握前一节内容是学好本节课
 学法指导      的基础。解有关三角形的应用题有固定的解题思路,引导学生寻求实际问题的本质和规律,
           从一般规律到生活的具体云用,这方面需要多琢磨和多体会。
                                课前预习案                                         学习疑问
 提问:现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢?又怎样在水平飞
 行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢?


                                课中探究案                                         总结提升
 新知:坡度、仰角、俯角、方位角

 方位角---从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角                      ;

 坡度---沿余坡向上的方向与水平方向的夹角;

 仰角与俯角---视线与水平线的夹角当视线在水平线之上时,称为仰角;当视线在水
 平线之下时,称为俯角. 

 探究:AB    是底部    B 不可到达的一个建筑物,A           为建筑物的最高点,设计一种测量
 建筑物高度     AB  的方法. 
 分析:选择基线       HG,使   H、G、B    三点共线,
 要求   AB,先求    AE
 在 ACE  中,可测得角          ,关键求     AC
 在 ACD  中,可测得角          ,线段        ,又有
 故可求得    AC


 ※  典型例题
 例  1. 如图,在山顶铁塔上        B 处测得地面上一点        A 的俯角    =54 40 ,在塔底  C 处测
 得  A 处的俯角     =50 1 . 已知铁塔  BC 部分的高为     27.3 m,求出山高      CD(精确到    1 
 m)
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 例  2.  如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到                      A 处时测得公路南侧远
 处一山顶    D 在东偏南     15  的方向上,行驶     5km 后到达   B 处,测得此山顶在东偏南
 25  的方向上,仰角为      8  ,求此山的高度     CD.
 问题   1:
 欲求出   CD,思考在哪个三角形中研究比较适合呢?


 问题   2:
 在  BCD  中,已知    BD 或  BC 都可求出    CD,根据条件,易计算出哪条边的长?


 三、总结提升
 ※  学习小结
    利用正弦定理和余弦定理来解题时,要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从
 所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素,进行适当的简化. 
 ※  知识拓展
   在湖面上高     h 处,测得云之仰角为         ,湖中云之影的俯角为           ,则云高为
   sin(   )
  hA        .
   sin(   )
                                课后训练案
 1、某人在山顶观察到地面上有相距               2500 米的  A、B  两个目标,测得目标         A 在南偏
 西  57°,俯角是     60°,测得目标      B 在南偏东    78°,俯角是     45°,试求山高.


                                         学习反思


                 教师寄语:这是风雨中为你撑起的伞,这是黑夜中为你点亮的灯。

海北三中导学案        编写人    孙志军   审核人    赵海云、辛文春、郭晓晓            高一年级     班  姓名            
                  中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台

课题:         1.2 应用举例(3)          课时:总       1  课时本案第       1 课时
           1、.知识与技能        :能够云用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实
           际问题。
           2、过程与方法       :节课是在学习了相关内容后的第三节课,学生已经对解法有了基本的了解,
           这节课应通过综合训练强化学生的相应能力。课堂中要充分体现学生的主体地位,重过程,
 学习目标
           重讨论,教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来,逐步
           让学生自主发现规律,举一反三。
           3、情感态度价值观:培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力,并在教学
           过程中激发学生的探索精神。
 学习重点      能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系。
 学习难点      灵活云用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题。
           生活中错综复杂的问题本源仍然是我们学过的定理,因此系统掌握前一节内容是学好本节课
 学法指导      的基础。解有关三角形的应用题有固定的解题思路,引导学生寻求实际问题的本质和规律,
           从一般规律到生活的具体云用,这方面需要多琢磨和多体会。
                                课前预习案                                         学习疑问
 提问:前面我们学习了如何测量距离和高度,这些实际上都可转化已知三角形的一
 些边和角求其余边的问题。然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题,在浩
 瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向,保持一定的航速和航向呢?


                                课中探究案                                         总结提升
 例  1. 如图,一艘海轮从        A 出发,沿北偏东       75  的方向航行   67.5 n mile 后到达海岛
 B,然后从     B 出发,沿北偏东       32  的方向航行   54.0 n mile 后达到海岛    C.如果下次航
 行直接从    A 出发到达     C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精
 确到   0.1  ,距离精确到   0.01n mile)
 分析:
 首先由三角形的内角和定理求出角                ABC,
 然后用余弦定理算出         AC 边,
 再根据正弦定理算出         AC 边和   AB 边的夹角     CAB. 


 例  2.  某巡逻艇在     A 处发现北偏东      45  相距 9 海里的  C 处有一艘走私船,正沿南偏
 东  75  的方向以  10 海里/小时的速度向我海岸行驶,巡逻艇立即以                  14 海里/小时的速
 度沿着直线方向追去,问巡逻艇应该沿什么方向去追?需要多少时间才追赶上该走
 私船?
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三、总结提升
※  学习小结
1. 已知量与未知量全部集中在一个三角形中,依次利用正弦定理或余弦定理解之.;
2.已知量与未知量涉及两个或几个三角形,这时需要选择条件足够的三角形优先研
究,再逐步在其余的三角形中求出问题的解. 
                               课后训练案
1.  甲、乙两船同时从        B 点出发,甲船以每小时          10( 3 +1)km 的速度向正东航行,
乙船以每小时      20km 的速度沿南     60°东的方向航行,1        小时后甲、乙两船分别到达
A、C  两点,求     A、C  两点的距离,以及在         A 点观察   C 点的方向角.


2.  某渔轮在    A 处测得在北      45°的  C 处有一鱼群,离渔轮         9 海里,并发现鱼群正沿
南  75°东的方向以每小时         10 海里的速度游去,渔轮立即以每小时               14 海里的速度沿
着直线方向追捕,问渔轮应沿什么方向,需几小时才能追上鱼群?


3、某海轮以30海里/时的速度航行,在              A 点测得海面上油井         P 在南偏东60°,向北
航行40分钟后到达        B 点,测得油井     P 在南偏东30°,海轮改为北偏东60°的航向再
行驶80分钟到达       C 点,求  P,C 间的距离.


                                        学习反思


                教师寄语:这是风雨中为你撑起的伞,这是黑夜中为你点亮的灯。
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海北三中导学案        编写人    孙志军   审核人    赵海云、辛文春、郭晓晓            高一年级     班  姓名            
课题:         1.2 应用举例(4)          课时:总       1  课时本案第       1 课时
           1、.知识与技能        :能够云用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问
           题,  掌握三角形的面积公式的简单推导和应用。
           2、过程与方法       :本节课补充了三角形新的面积公式,巧妙设疑,引导学生证明,同时总结
           出该公式的特点,循序渐进地具体云用于相关的题型。另外本节课的证明题体现了前面所学
 学习目标      知识的生动云用,教师要放手让学生摸索,使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦
           定理的特点,能不拘一格,一题多解。只要学生自行掌握了两定理的特点,就能很快开阔思
           维,有利地进一步突破难点。
           3、情感态度价值观:让学生进一步巩固所学的知识,加深对所学定理的理解,提高创新能
           力;进一步培养学生研究和发现能力,让学生在探究中体验愉悦的成功体验。
 学习重点      推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目。
 学习难点      利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题。
           正弦定理和余弦定理的云用除了记住正确的公式之外,贵在活用,体会公式变形的技巧以及
 学法指导      公式的常规变形方向,并进一步推出新的三角形面积公式。同时解有关三角形的题目还要注
           意讨论最终解是否符合规律,防止丢解或增解,养成检验的习惯。
                                课前预习案                                         学习疑问
 复习   1:在   ABC 中
 (1)若   a 1,b  3, B 120 ,则 A 等于       .
 (2)若   a  3 3 , b  2 , C 150 ,则 c   _____.
 复习   2:
 在 ABC  中,  a  3 3 , b  2 , C 150 ,则高 BD=              ,三角形面积=            
 .
                                课中探究案                                         总结提升

 探究:在     ABC 中,边    BC 上的高分别记为       h a ,那么它如何用已知边和角表示?

     h a =bsinC=csinB
                                1
 根据以前学过的三角形面积公式              S=  ah,
                                2
                                       1
 代入可以推导出下面的三角形面积公式,S=                   absinC,   
                                       2

   或  S=            ,

 同理   S=              .      

 新知:三角形的面积等于三角形的任意两边以及它们夹角的正弦之积的一半.
 例  1. 在  ABC 中,根据下列条件,求三角形的面积               S(精确到    0.1cm 2 ):
 (1)已知    a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5   ;
 (2)已知    B=62.7  ,C=65.8  ,b=3.16cm;
 (3)已知三边的长分别为           a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm.
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例  2:在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过
测量得到这个三角形区域的三条边长分别为                   68m,88m,127m,这个区域的面积是
多少?(精确到       0.1cm 2 )


例  3. 在  ABC 中,求证:
      a2  b2 sin2 A  sin2 B
(1)                     ;
       c2       sin2 C
(2)  a2 + b2 + c2 =2(bccosA+cacosB+abcosC).


小结:证明三角形中恒等式方法:                  应用正弦定理或余弦定理,“边”化“角”或
“角”化“边”.
 学习小结
1. 三角形面积公式:
    1
 S=  absinC=            =              .
    2
2. 证明三角形中的简单的恒等式方法:应用正弦定理或余弦定理,“边”化“角”
或“角”化“边”.
知识拓展
  三角形面积     S   p( p  a)( p  b)( p  c) ,
         1
 这里   p  (a  b  c) ,这就是著名的海伦公式.
         2
                               课后训练案
1.         在   ABC 中,已知    a  28cm , c  33cm , B  45 ,则  ABC 的面积是           
.


2. 在  ABC 中,求证:      c(a cos B  bcos A)  a2  b2 .


                                        学习反思
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                 教师寄语:这是风雨中为你撑起的伞,这是黑夜中为你点亮的灯。

海北三中导学案        编写人    孙志军   审核人    赵海云、辛文春、郭晓晓            高一年级     班  姓名            
课题:         2.1 数列的概念与简单表示法(1)              课时:总       1  课时本案第        1 课时
           1、.知识与技能        :理解数列及其有关概念,了解数列和函数之间的关系;了解数列的通项
           公式,并会用通项公式写出数列的任意一项;对于比较简单的数列,会根据其前几项写出它
           的个通项公式。
 学习目标
           2、过程与方法       :通过对一列数的观察、归纳,写出符合条件的一个通项公式,培养学生的
           观察能力和抽象概括能力.
           3、情感态度价值观:通过本节课的学习,体会数学来源于生活,提高数学学习的兴趣。
           理解数列的概念,认识数列是反映自然规律的基本数学模型,探索并掌握数列的几种间单的
 学习重点
           表示法(列表、图象、通项公式)
 学习难点      根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式
           以阅读与思考的方式了解数列的概念;通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法;
 学法指导
           以观察的形式发现数列可能的通项公式。
                                课前预习案                                         学习疑问

 (预习教材     P28 ~ P31,找出疑惑之处)
 复习   1:函数   y  3x ,当 x 依次取  1,2,3,…时,其函数值有什么特点?


 复习   2:函数   y=7x+9,当  x 依次取   1,2,3,…时,其函数值有什么特点?


                                课中探究案                                         总结提升
 探究任务:数列的概念
 ⒈  数列的定义:                          的一列数叫做数列.
 ⒉  数列的项:数列中的                       都叫做这个数列的项. 
 反思:
  ⑴  如果组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们是相同的数列?

  ⑵  同一个数在数列中可以重复出现吗?


 3. 数列的一般形式:       a1,a2 ,a3 ,,an , ,或记为an ,其中  an 是数列的第      项. 

 4.             数列的通项公式:如果数列an           的第  n 项 an 与 n 之间的关系可以用              
   来表示,那么                   就叫做这个数列的通项公式.
 反思:
 ⑴所有数列都能写出其通项公式?

 ⑵一个数列的通项公式是唯一?

 ⑶数列与函数有关系吗?如果有关,是什么关系?
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5.数列的分类:
1)根据数列项数的多少分               数列和        数列;
2)根据数列中项的大小变化情况分为                   数列,        数列,         数列和        数
   列.
观察
 下面的数列,哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列?
1)全体自然数构成数列           0,1,2,3,.....
2)19962002  年某市普通高中人数(单位:万人)构成数列
    82,93,105,119,129,130,132
3)无穷多个     4 构成数列     4,4,4,....... 
4)目前普通的人民币面额按从大到小的顺序构成数列(单位,元)
    100,50,20,10,5,2,1,0.5,0.2,0.1,0.05,0.02,0.01
5)-1 的  1 次幂,2  次幂,3    次幂,4   次幂构成数列
          -1,1,-1,1, 
6). 2精确到1,      0.1, 0.001的不足近似值构成数列

   1,  1.4, 1.41,                                 
※  典型例题
例  1 写出下面数列的一个通项公式,使它的前                 4 项分别是下列各数:
        1   1     1
⑴ 1,-    ,   ,-    ;
        2   3     4
⑵ 1,   0,   1,   0.


                                                                          学习小结
小结:要由数列的若干项写出数列的一个通项公式,只需观察分析数列中的项的构                                      1. 对于比较简单
成规律,将项表示为项数的函数关系.                                                         的数列,会根据
例  2、图  2.1-5 中(教材   30 页)的三角形称为希尔宾斯基(Sierpinski)三角形,在                    其前几项写出它
下图   4 个三角形中,着色三角形的个数依次构成一个数列的前                      4 项,请写出这个数           的一个通项公式;
列的一个通项公式,并在直角坐标系中画出它的图象。
                                                                          2. 会用通项公式
                                                                            写出数列的任
                                                                            意一项. 


                               课后训练案
1:写出下面数列的一个通项公式,使它的前                   4 项分别是下列各数:
   1   4   9    16
⑴    ,   ,   ,    ;
   2   5   10   17
⑵ 1,   -1,   1,  -1;


                                        学习反思
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                 教师寄语:这是风雨中为你撑起的伞,这是黑夜中为你点亮的灯。

海北三中导学案        编写人    孙志军   审核人    赵海云、辛文春、郭晓晓            高一年级     班  姓名            
课题:         2.1 数列的概念与简单表示法(2)              课时:总       1  课时本案第        1 课时
           1、.知识与技能        :了解数列的递推公式,明确递推公式与通项公式的异同;会根据数列的
                                                        a
 学习目标      递推公式写出数列的前几项;理解数列的前                   n 项和与   n 的关系
           2、过程与方法       :经历数列知识的感受及理解云用的过程。
           3、情感态度价值观:通过本节课的学习,体会数学来源于生活,提高数学学习的兴趣。
 学习重点      根据数列的递推公式写出数列的前几项
 学习难点      理解递推公式与通项公式的关系
           以阅读与思考的方式了解数列的概念;通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法;
 学法指导
           以观察的形式发现数列可能的通项公式。
                                课前预习案                                         学习疑问

 (预习教材     P31 ~ P34 ,找出疑惑之处)
 复习   1:什么是数列?什么是数列的通项公式?

 复习   2:数列如何分类?

                                课中探究案                                         总结提升
 探究任务:数列的表示方法


 问题:观察钢管堆放示意图,寻找每层的钢管数                    an 与层数   n 之间有何关系?

 1.  通项公式法:

 试试:上图中每层的钢管数            an 与层数  n 之间关系的一个通项公式是                 
      . 
 2.  图象法
   数列的图形是                             ,因为横坐标为          数,所以这些点都在
 y 轴的     侧,而点的个数取决于数列的                  .从图象中可以直观地看到数列的项
 随项数由小到大变化而变化的趋势.

 3. 递推公式法:

 递推公式:如果已知数列an          的第   1 项(或前几项),且任一项           an 与它的前一项

  an1 (或前 n 项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列
 的递推公式. 


 试试:上图中相邻两层的钢管数              an 与 an1 之间关系的一个递推公式是                 
    . 

 4. 列表法:

 试试:上图中每层的钢管数            an 与层数  n 之间关系的用列表法如何表示?
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反思:所有数列都能有四种表示方法吗?


※  典型例题

                        a1 1
                   
例  1 设数列an  满足          1       写出这个数列的前五项. 
                    a 1    (n 1).
                    n
                         an1


小结:由递推公式求数列的项,只要让                 n 依次取不同的值代入递推公式就可求出数
列的项. 

                               课后训练案
                                     n
1.已知数列an    中,a1  1,an1  an  (1) ,则a100  ____.


 2.设an   是首项为1的正项数列,并且
          2       2
 (n 1)an1   nan   an1 an   0(n  1,2,),

 则它的通项公式是an                   ____.


                              2
3、已知数列a      满足  a 1,  a   ,且   a Aa  a Aa  2a  Aa   0 ( n  2 ),
             n      1      2  3      n1 n  n n1   n1 n1

求 a3 , a4 .


4、在数列{an}中,已知

a1=2,a2=3,an+2=3an+1-2an(n≥1),写出此数列的前6项.


5、已知数列{an}满足下列条件,写出它的前5项,并归纳出数列的一个通项公式(不
要求证明).


                                        学习反思
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                 教师寄语:这是风雨中为你撑起的伞,这是黑夜中为你点亮的灯。

海北三中导学案        编写人    孙志军   审核人    赵海云、辛文春、郭晓晓            高一年级     班  姓名            
课题:         §2.2 等差数列           课时:总       1  课时本案第        1 课时
           1、.知识与技能        :通过实例,理解等差数列的概念;探索并掌握等差数列的通项公式;能
           在具体的问题情境中,发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题;体会等差数列
           与一次函数的关系。
           2、过程与方法       :让学生对日常生活中实际问题分析,引导学生通过观察,推导,归纳抽象
 学习目标      出等差数列的概念;由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题,进行等差数
           列通项公式应用的实践操作并在操作过程中,通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差
           数列相应问题的研究。
           3、情感态度价值观:通过等差数列概念的归纳概括,培养学生的观察、分析资料的能力,
           积极思维,追求新知的创新意识。
           理解等差数列的概念及其性质,探索并掌握等差数列的通项公式;会用公式解决一些简单的
 学习重点
           问题,体会等差数列与一次函数之间的联系。
 学习难点      概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。
           首先从四个现实问题(数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题)概括
 学法指导      出数组特点并抽象出等差数列的概念;接着就等差数列的特点,推导出等差数列的通项公式;
           可以用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。
                                课前预习案                                         学习疑问

 预习教材    P36 ~ P39 ,找出疑惑之处)
 复习   1:什么是数列?


 复习   2:数列有几种表示方法?分别是哪几种方法?


                                课中探究案                                         总结提升
 [探索研究] 
 由学生观察分析并得出答案:
 在现实生活中,我们经常这样数数,从                 0 开始,每隔    5 数一次,可以得到数列:0,
 5,____,____,____,____,……
     2000 年,在澳大利亚悉尼举行的奥云会上,女子举重被正式列为比赛项目。该
 项目共设置了      7 个级别。其中较轻的         4 个级别体重组成数列(单位:kg):48,
 53,58,63。
     水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境,用定期放水清理水库的
 杂鱼。如果一个水库的水位为             18cm,自然放水每天水位降低           2.5m,最低降至     5m。
 那么从开始放水算起,到可以进行清理工作的那天,水库每天的水位组成数列(单
 位:m):18,15.5,13,10.5,8,5.5
     我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利,即不把利息加入本金
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计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是:本利和=本金×(1+利率×寸期)
.例如,按活期存入        10 000 元钱,年利率是       0.72%。那么按照单利,5        年内各年末的
本利和分别是:
 时间                       年初本金(元)                 年末本利和(元)
 第  1 年                   10 000                  10 072
 第  2 年                   10 000                  10 144
 第  3 年                   10 000                  10 216
 第  4 年                   10 000                  10 288
 第  5 年                   10 000                  10 360
    各年末的本利和(单位:元)组成了数列:10                    072,10   144,10   216,   10 
288,10 360。
思考:同学们观察一下上面的这四个数列:0,5,10,15,20,……  ①
                                      48,53,58,63  ②
                                     18,15.5,13,10.5,8,5.5  ③
                                     10 072,10 144,10 216, 10 288,10 
360  ④
    看这些数列有什么共同特点呢?


新知:
1.等差数列:一般地,如果一个数列从第                   项起,每一项与它           一项的          等
于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数就叫做等差数列的                                        
,  常用字母         表示. 

2.等差中项:由三个数         a,A,   b 组成的等差数列,
这时数      叫做数       和    的等差中项,用等式表示为            A=       

探究任务二:等差数列的通项公式
问题   2:数列①、②、③、④的通项公式存在吗?如果存在,分别是什么?
 

若一等差数列an      的首项是    a1 ,公差是   d,则据其定义可得:

  a2  a1        ,即: a2  a1      

  a3  a2       , 即: a3  a2  d  a1     

 a4  a3        ,即: a4  a3  d  a1     
  ……

  由此归纳等差数列的通项公式可得:                an        

  ∴已知一数列为等差数列,则只要知其首项                  a1 和公差  d,便可求得其通项        an . 

 典型例题
例  1 ⑴求等差数列     8,5,2…的第     20 项;
  ⑵  -401 是不是等差数列-5,-9,-13…的项?如果是,是第几项?
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小结:要求出数列中的项,关键是求出通项公式;要想判断一数是否为某一数列的

其中一项,则关键是要看是否存在一正整数                   n 值,使得   an 等于这一数.

例  2 已知数列{     an }的通项公式   an  pn  q ,其中 p 、 q 是常数,那么这个数列是否
一定是等差数列?若是,首项与公差分别是多少?


小结:要判定an      是不是等差数列,只要看           an  an1 (n≥2)是不是一个与     n 无关
的常数.
例  3  某市出租车的计价标准为           1.2 元/千米,起步价为       10 元,即最初的     4 千米(不
含  4 千米)计费    10 元.如果某人乘坐该市的出租车去往              14 千米处的目的地,且一路
畅通,等候时间为        0,需要支付多少车费?


 

三、总结提升
※  学习小结

1. 等差数列定义:        an  an1  d  (n≥2);

2. 等差数列通项公式:        an  a1  (n 1)d  (n≥1).
                               课后训练案

1. 已知{an  }是等差数列.⑴       2a5  a3  a7 是否成立?  2a5  a1  a9 呢?为什么?


⑵  2an  an1  an(1 n)1 是否成立?据此你能得出什么结论?

   2an  ank  an(k n)1 是否成立?据此你又能得出什么结论?


2.在等差数列an    的首项是     a5 10, a12  31,  求数列的首项与公差. 


3、在等差数列an      中,  d 为公差,若     m,n, p,q  N 且 m  n  p  q ,则 am , an ,

 ap , aq 有何关系?
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                                         学习反思


                 教师寄语:这是风雨中为你撑起的伞,这是黑夜中为你点亮的灯。

海北三中导学案        编写人    孙志军   审核人    赵海云、辛文春、郭晓晓            高一年级     班  姓名            
课题:         §2.3  等差数列的前      n 项和         课时:总       2  课时本案第        1、2  课
时
           1、.知识与技能        :掌握等差数列前        n 项和公式及其获取思路;会用等差数列的前                  n 项和公
           式解决一些简单的与前          n 项和有关的问题
           2、过程与方法       :通过对历史有名的高斯求和的介绍,引导学生发现等差数列的第                            k 项与倒
 学习目标      数第   k 项的和等于首项与末项的和这个规律;由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些
           简单的问题,进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中,通过类比函数概念、
           性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。
           3、情感态度价值观:通过公式的推导过程,展现数学中的对称美。
 学习重点      等差数列    n 项和公式的理解、推导及应。
 学习难点      灵活应用等差数列前         n 项公式解决一些简单的有关问题。
           1、课前完成导学案,牢记基础知识,掌握基本题型;
 学法指导
           2、认真限时完成,规范书写;课上小组合作探究,答疑解惑。
                                课前预习案                                         学习疑问
 “小故事”:
    高斯是伟大的数学家,天文学家,高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说:
     “现在给大家出道题目:
      1+2+…100=?”
    过了两分钟,正当大家在:1+2=3;3+3=6;4+6=10…算得不亦乐乎时,高斯站起
    来回答说:
      “1+2+3+…+100=5050。
 教师问:“你是如何算出答案的?
 高斯回答说:因为        1+100=101;
      2+99=101;…50+51=101,所以
      101×50=5050” 
 高斯的算法妙处在哪里?这种方法能够推广到求一般等差数列的前                            n 项和?


                                课中探究案                                         总结提升
 [探索研究] 
     我们先来看看人们由高斯求前             100 个正整数的方法得到了哪些启发。人们从高
 斯那里受到启发,于是用下面的这个方法计算                    1,2,3,…,n,…的前        n 项的和:
     由   1   +   2   + … + n-1   +  n
          n   +  n-1  + … +  2    +  1    
       (n+1)+(n+1)+ … +(n+1)+(n+1)
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                         (n 1)  n
    可知1   2  3  ...  n 
                            2
    上面这种加法叫“倒序相加法”
[等差数列求和公式的教学]

  一般地,称     a1  a2  a3  ...  an 为数列{an }的前 n 项的和,用   S n 表示,即


 S n  a1  a2  a3  ...  an

1、  思考:受高斯的启示,我们这里可以用什么方法去求和呢?

①  如何求首项为      a1 ,第 n 项为  an 的等差数列{an}   的前   n 项的和?


②  如何求首项为      a1 ,公差为   d 的等差数列{an}    的前  n 项的和?


根据下列各题中的条件,求相应的等差数列{an}                  的前  n 项和  Sn . 

⑴ a1  4,a,8 ; 18 n  8


⑵  a1 14.5,d, 0.7 n 15 .


小结:
         n(a  a )
1. 用 S    1   n ,必须具备三个条件:                 .
      n     2
             n(n 1)d
2. 用 S  na         ,必须已知三个条件:             .
      n    1    2
典型例题
例  1  2000 年 11 月 14 日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的统治》
.  某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标:从                      2001 年起用  10 年时间,在全
市中小学建成不同标准的校园网.据测算,2001                 年该市用于“校校通”工程的经费为
500 万元.   为了保证工程的顺利实施,计划每年投入的资金都比上一年增加                           50 万元. 
那么从   2001 年起的未来     10 年内,该市在“校校通”工程中的总投入是多少?


小结:解实际问题的注意:
①  从问题中提取有用的信息,构建等差数列模型;
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②  写这个等差数列的首项和公差,并根据首项和公差选择前                        n 项和公式进行求解.

例  2 已知一个等差数列{an}        前 10 项的和是    310,前  20 项的和是    1220. 由这些条件
能确定这个等差数列的前           n 项和的公式吗?


小结:等差数列前        n 项和公式就是一个关于         an、a、1 或n者、、a1 n  d 的方程,已知几
个量,通过解方程,得出其余的未知量. 
                                            2
探究问题:如果一个数列an          的前   n 项和为   Sn  pn  qn  r ,其中 p、q、r 为常数,
且  p  0 ,那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是多少?


                                 1
例  1 已知数列{a    } 的前 n 项为  S  n2  n ,求这个数列的通项公式.           这个数列是等
              n            n     2
差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?


小结:数列通项       an 和前 n 项和  Sn 关系为

        S1 (n 1)
    an =             ,由此可由     Sn 求 an .
        Sn  Sn1 (n  2)

                    2   4
例  2 已知等差数列     5,4,,3. . . .  的前  n 项和为   S ,求使得    S 最大的序号     n 的值.
                    7   7                   n         n


小结:等差数列前项和的最大(小)值的求法.

(1)利用    an : 当 an >0,d<0,前n项和有最大值,可由           an ≥0,且  an1 ≤0,求得n的
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                                                                新疆
                                                                王新敞
值;当   an <0,d>0,前n项和有最小值,可由           an ≤0,且  an1 ≥0,求得n的值    奎屯
                    d        d
(2)利用    S :由   S   n2  (a  )n ,利用二次函数配方法求得最大(小)值时
          n      n  2     1  2
n的值.
学习小结
1. 等差数列前     n 项和公式的两种形式;
2. 两个公式适用条件,并能灵活云用;

3. 等差数列中的“知三求二”问题,即:已知等差数列之                       a1,an ,q,n, Sn 五个量中任意
的三个,列方程组可以求出其余的两个.
知识拓展
等差数列奇数项与偶数项的性质如下:
1°若项数为偶数       2n,则

             S奇    an
 S偶-奇 S= nd ;   =    (n  2) ;
             S偶   an1
2°若项数为奇数       2n+1,则

                                       S偶   n
 S奇-偶 S= an1 ; S偶  nan1 ; S奇=(n 1)an1 ; = .
                                       S奇  n 1
                               课后训练案

1.等差数列{an}   中,已知    a10  30 , a20  50 , Sn  242 ,求 n. 


2.根据下列各题中的条件,求相应的等差数列{an}的前                    n 项和  S. 


   ⑴  a1  4,,a8 ; 18 n  8


   ⑵  a1 14.5,d, a0;.7 n  32


3、求集合m     m  7n,n  N * ,且m  100的元素个数,并求这些元素的和。


4、已知数列an     , 是等差数列,Sn    是其前    n 项和,且   S6,S12-S6,S18-S12 成等差数列,

       
设 k  N , S k , S 2k  S k , S3k  S 2k 成等差数列吗?
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                                         学习反思


                 教师寄语:这是风雨中为你撑起的伞,这是黑夜中为你点亮的灯。

海北三中导学案        编写人    孙志军   审核人    赵海云、辛文春、郭晓晓            高一年级     班  姓名            
课题:         §2.4 等比数列     课时:总       2 课时本案第        1、2    课时
           1、.知识与技能        :理解等比数列的概念;掌握等比数列的通项公式;理解这种数列的模型
           应用.
           2、过程与方法       :通过丰富实例抽象出等比数列模型,经历由发现几个具体数列的等比关系,
 学习目标
           归纳出等比数列的定义,通过与等差数列的通项公式的推导类比,探索等比数列的通项公
           式.
           3、情感态度价值观:通过本节课的学习,体会数学来源于生活,提高数学学习的兴趣。
 学习重点      等比数列的定义及通项公式
 学习难点      灵活应用定义式及通项公式解决相关问题
           首先由几个具体实例抽象出等比数列的模型,从而归纳出等比数列的定义;与等差数列通项
 学法指导
           公式的推导类比,推导等比数列通项公式。
                                课前预习案                                         学习疑问
 (预习教材     P48 ~ P51,找出疑惑之处)
 复习   1:等差数列的定义?

                          a  
 复习   2:等差数列的通项公式          n           ,
 等差数列的性质有: 

                                课中探究案                                         总结提升
 学习探究一
 观察:①1,2,4,8,16,…
      1   1   1    1
 ②1,    ,   ,   ,    ,…
       2   4  8   16
 ③1,20,   202 , 203 , 204 ,…
 思考以上四个数列有什么共同特征?


 新知:
 1. 等比数列定义:一般地,如果一个数列从第                     项起,      一项与它的         一项的   
 等于         常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的                               ,
                                a
 通常用字母        表示(q≠0),即:         n =        (q≠0)
                                an1
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2. 等比数列的通项公式:

 a2  a1    ;     a3  a2q  (a1q)q  a1    ;
            2
 a4  a3q  (a1q )q  a1    ;   … … 

∴  an  an1q  a1        等式成立的条件     


3. 等比数列中任意两项        an 与 am 的关系是:

典型例题
例  1  、某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩留的这种物质是原来的
84%.这种物质的半衰期为多长(精确到               1 年)?


例  2、根据图    2.4-2 中(教材   51 页)的框图,写出所打印数列的前              5 项,并建立数列
的递推公式.这个数列是等比数列吗?


例  3、一个等比数列的第         3 项和第  4 项分别是    12 和 18,求它的第    1 项和第   2 项.
评注:帮助学生再次体会通项公式的作用及其与方程之间的联系


探究任务    2
问题   1:如果在    a 与 b 中间插入一个数      G,使   a,G,b   成等比数列,则
       G   b
             G2  ab  G          
        a  G
新知   1:等比中项定义
如果在   a 与 b 中间插入一个数       G,使   a,G,b  成等比数列,那么称这个数            G 称为
a 与 b 的等比中项.      即 G=      (a,b   同号).
试试:数    4 和 6 的等比中项是            .
问题   2:
                     2
1.在等比数列{     an }中, a5  a3a7 是否成立呢?

   2
2. an  an1an1 (n 1) 是否成立?你据此能得到什么结论?

   2
3. an  ank ank (n  k  0) 是否成立?你又能得到什么结论?

新知   2:等比数列的性质

 在等比数列中,若        m+n=p+q,则   aman  ap ak .

试试:在等比数列an        ,已知   a1  5, a9a10 100 ,那么 a18      .
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※  典型例题

例  1 已知{an}, {bn}是项数相同的等比数列,仿照下表中的例子填写表格,从中你能
得出什么结论?证明你的结论.
                  例        自选   1     自选   2
                   2
       a        3 ( )n
        n          3
                    n1
      bn       5 2
                   4
     a Ab     10 ( )n1
      n  n         3
   是否等比           是

                                       an
变式:项数相同等比数列{           an }与{ bn },数列{   }也一定是等比数列吗?证明你的结
                                       bn
论.


小结:两个等比数列的积和商仍然是等比数列.


例  2 在等比数列{    an }中,已知   a4 Aa7  512 ,且 a3  a8 124 ,公比为整数,求   a10 .


                               课后训练案
                               4          1
1、(1)    一个等比数列的第        9 项是   ,公比是-       ,求它的第     1 项;
                               9          3
(2)一个等比数列的第          2 项是  10,第  3 项是  20,求它的第     1 项与第   4 项. 


2、已知数列{     an }中,lg an  3n  5  ,试用定义证明数列{     an }是等比数列.


3、在各项都为正数的等比数列              a 中,   a Aa  9 ,则 log  + log   …   log            
                            n     5 6          3 a1    3 a2 + + 3 a10 
.
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                                         学习反思


                 教师寄语:这是风雨中为你撑起的伞,这是黑夜中为你点亮的灯。

海北三中导学案        编写人    孙志军   审核人    赵海云、辛文春、郭晓晓            高一年级     班  姓名            
课题:         §2.5 等比数列的前      n 项和   课时:总       1  课时本案第       1 课时
           1、.知识与技能        掌握等比数列的前        n 项和公式及公式证明思路;会用等比数列的前                   n 项和
           公式解决有关等比数列的一些简单问题。
           2、过程与方法        :经历等比数列前        n 项和的推导与灵活应用,总结数列的求和方法,并能
 学习目标
           在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题。
           3、情感态度价值观:在应用数列知识解决问题的过程中,要勇于探索,积极进取,激发学
           习数学的热情和刻苦求是的精神。
 学习重点      使学生掌握等比数列的前           n 项和公式,用等比数列的前           n 项和公式解决实际问题
 学习难点      由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前                    n 项和公式
 学法指导      由等比数列的结构特点推导出前              n 项和公式,从而利用公式解决实际问题。
                                课前预习案                                         学习疑问

 (预习教材     P55 ~ P56,找出疑惑之处)
 复习   1:什么是数列前       n 项和?等差数列的数列前          n 项和公式是什么?


 复习   2:已知等比数列中,        a3  3 , a6  81,求 a9 , a10 .


                                课中探究案                                         总结提升
 学习探究
 探究任务:      等比数列的前      n 项和
 故事:“国王对国际象棋的发明者的奖励”


 新知:等比数列的前         n 项和公式

   设等比数列     a1,a2 ,a3 ,an  它的前 n 项和是 Sn  a1  a2  a3 an ,公比为
 q≠0,
 公式的推导方法一:
   S  a  a q  a q2 a qn2  a qn1
 则   n  1   1   1      1     1
   qSn 

      (1 q)Sn            

 当 q  1时,  Sn                ①  
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            或 Sn              ②

当  q=1 时, Sn          

公式的推导方法二:
                  a   a       a
由等比数列的定义,          2  3    n  q ,
                  a1  a2      an1
   a  a   a   S   a
有   2   3      n  n   1  q ,
   a1  a2   an1 Sn  an
       S  a
   即    n  1  q .
       Sn  an

∴  (1 q)Sn  a1  anq (结论同上)

公式的推导方法三:

    Sn  a1  a2  a3 an

       = a1  q(a1  a2  a3 an1 )

       = a1  qSn1 = a1  q(Sn  an ) .

∴   (1 q)Sn  a1  anq (结论同上)

                1   1   1
试试:求等比数列          ,   ,   ,…的前    8 项的和.
                2   4   8


典型例题
                   1
例  1 已知 a1=27,a9=    ,q<0,求这个等比数列前          5 项的和.
                  243


例  2 某商场今年销售计算机         5000 台,如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加
10%,那么从今年起,大约几年可使总销售量达到                    30000 台(结果保留到个位)?


学习小结
1. 等比数列的前      n 项和公式;
2. 等比数列的前      n 项和公式的推导方法;

3. “知三求二”问题,即:已知等比数列之                 a1,an ,q,n, Sn 五个量中任意的三个,列方
程组可以求出其余的两个.
                               课后训练案

1、 a1  3, a5  48 . 求此等比数列的前     5 项和.
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                               学习反思


教师寄语:这是风雨中为你撑起的伞,这是黑夜中为你点亮的灯。
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