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高中数学人教A版必修5自主学习导学案:2.1 数列的概念与简单表示法(学生版+教师版) Word版含解析(数理化网)

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                 2.1 数列的概念与简单表示法(学生版)

1.新课引入
    观察下列图形,这些数有什么规律?


                                                                


    观察下面几组数,这些数有什么规律吗?
    (1)1,2,3,4,5,···      n,  ···.  (2)-1,1,-1,1,        ··· .    (3)3,3,3,
3,…. 
    思考:上述的这些数的共同特点是什么? ——按照一定顺序排列的一列数.

2.概念
    (1)数列定义:按照一定顺序排列的一列数叫数列.
    (2)数列的项:数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列中的每一项都和它的序号有
关,排第一位的数称为这个数列的第                1 项(首项),排第二位的数称为这个数列的第                   2 项,
······,排第 n 位的数称为这个数列的第          n 项.
    概念理解:(1)相同的一组数按不同的顺序排列时,是否为同一数列?                                   不是
              (2)一个数列的数可以重复吗?                   可以重复

    (3)数列的一般形式:          a1,a2 ,a3 ,...,an ,.... ,上面数列可简记为{an},其中   an 是数列的

第  n 项.
3.数列的分类
(1)根据数列项数的多少分:
        有穷数列:项数有限的数列:             例如数列     1,2,3,4,5,6     是有穷数列
        无穷数列:项数无限的数列:例如数列                 1,2,3,4,5,6,…是无穷数列
(2)根据数列项的大小分:

    递增数列:从第       2 项起,每一项都大于它的前一项的数列                (an1  an )


    递减数列:从第       2 项起,每一项都小于它的前一项的数列                (an  an1 )


    常数数列:各项相等的数列            (an  an1 ) .

    摆动数列:从第       2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列
【例   1】下列数列,哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列?
    (1)全体自然数构成数列:0,1,2,3,4,5,.......
    (2)广东省某中学        2011~2016 年在校学生人数:890,1000,920,1100,1120,1021
    (3)无穷多个      3 构成数列:3,3,3,3,.......
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    (4)人民币面额按从大到小的顺序排列:100,50,20,10,5,0.5,0.2,0.1,0.05,
0.02,0.01
    (5)  1的  1 次幂,2   次幂,3   次幂,4   次幂,…….构成数列:        1,1,   1,1,…….


4.数列与函数的关系


    数列可以看成以正整数集           N * (或它的有限子集{1,2,3,...,n})为定义域的函数           an  f (n) ,

当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值.反过来,对于函
 y  f (x) 如果 f (i) ( i 1,2,3,...,n )有意义,那可得到一个数列    f (1), f (2), f (3),..., f (n) ,即数
列是一种特殊的函数.
5.数列的通项公式

    如果数列{an}的第      n 项与  n 之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这
                           1 1 1  1                   1
个数列的通项公式.如数列:1,              , , ,....... 的通项公式为  a  
                           2 3 4  5                n  n

                                                         n
    又如数列:-1,1,-1,1,           ··· . 的通项公式为:     an () 1

【例   2】根据下面数列的通项公式,写出它的前                 4 项:
               n
    (1)  a                                  (2) a   (1)n n
          n   n 1                                 n


【例   3】写出下面数列的一个通项公式,使它的                  前 4 项分别是下列各数:
                                            1 1    1
    (1)2,4,6,8 ;    (2)4,9 ,16,25 ;    (3)1,,,    ;       (4)2,0 ,2 0,
                                            2 3    4


练习   1:求以下各数列的通项公式
                                   1     9   25
(1)1,4,9,16,25,;             (2)    ,2,  ,8,   ,;         (3)1,3,5,7,9,       
                                    2    2    2

(4)1,3,5,7,9,

      22 1 32  2  42  3 52  4
(5)        ,       ,      ,      ,     (6)10,100,1000,10000,…..
        1      3      5      7

(7)9,99,999,9999,                    (8)  7,77,777,7777,


特别说明:
    1、不是每一个数列都能写出其通项公式                 ,如数列:3,3.1,3.14,3.141,3.1415,….
    2、数列的通项公式不唯一,如:              1,  1,  1,  1,  …
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                 n       1    n  2k  1,k  N               
        an () 1 ,  an                       , an  sin(n  )
                          1      n  2k,k  N                 2
    3、数列的通项公式不一定是一个式子,也可以是分段函数. 
    4、数列通项公式的作用:             ①求数列中任意一项;             ②检验某数是否是该数列中的一
项. 
6.数列的表示
    与函数一样,数列也可以用图象、列表等方法来表达.数列的图象是一系列孤立的点列,

    数列   :2,4,6,8,10,……

    (1)其通项公式是:         an  2n

    (2)列表为: 


    (3)图象为直线上的无数个孤立点
7.数列的递推公式
    观察下列三角形数,思考:这些数有什么规律吗?


    首项为   1,从第    2 项起,第   n 项等于第    n-1 项加上   n,也就是    a1=1,an=an-1+n(n>1)

    已知数列{an}的首项(或前几项),且任一项                 an 与它的前一项     an-1(或前几项)间的关
系可用一个式子来表示,那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.

    如数列   1,3,6,10    的递推公式可表示为:          a1=1,an=an-1+n(n>1)
    递推公式也是数列的一种表示方法.
                                    1
【例   4】设数列    an 满足 a1 1,  an 1    (n 1) 写出这个数列的前       5 项.
                                   an1


※  典型例题
考点   1.通项公式的简单应用
                                            4
                                           +
【例   5】.已知数列{an}的通项公式为                an=n2  3n,
                                     1   16
     (1)写出此数列的前        3 项;(2)试问10和27是不是它的项?如果是,是第几项?
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                                    n2
                                     +
变式  1:已知数列{an}的通项公式是           an=n2  1.
                               9  1
(1)写出该数列的第       4 项;(2)试判断10和10是否是该数列中的项?若是,求出它是
第几项;若不是,说明理由.


考点  2.由数列通项公式研究数列的单调性与最大(小)项
                                    2n
                                    +
【例  6】已知数列{an}的通项公式是           an=n  2,
                           14
    (1)求该数列的第      10 项.(2) 9 是不是该数列的项?         (3)判断此数列的增减性.


                          2
变式  1.数列{an}中,an=-2n       +29n+3,则此数列最大项的值为(  )
                             1
    A.107   B.108     C.1088    D.109
变式  2.已知数列{an}的通项公式          an=19-2n,则使     an>0 成立的最大正整数        n 的
值为________.

                             2
变式  3:数列  an 的通项公式为    an  n 1  n ,试判断其单调性.


考点  3.根据数列的递推公式归纳通项公式

【例  7】(1)已知数列{an}满足       a1=1,an+1=2an+1,写出该数列的前五项并归纳
它的通项公式;
                                         1
                                         -
    (2)已知数列{an}满足     a1=1,an=an-1+nn     1(n≥2),写出该数列前五项并
归纳它的通项公式.
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考点  4.用累加法求通项公式
【例  8】求三角形数       1,3,6,10,…的通项公式.


    点评:解决此题的方法叫作累加法,它适用递推公式为                        an+1-an=p(p  为常
数)或  an+1-an=f(n)(f(n)可求和)的数列,过程为:由递推公式写出(n-1)个等式,
将这(n-1)个等式相加求和即可.
                                           1
                                        n+1+  n
变式  1:已知数列{an}满足       a1=1,an=an-1+           (n≥2),求   an.


考点  5.用累乘法求通项公式

【例  9】数列{an}中,已知       a1=1,an+1=2an,求{an}的通项公式.


                                          an+1

    点评:方法一是累乘法,它适用递推公式为                    an =p(p 为非零常数),或       an+
1=f(n)an(f(n)可求积)的数列,其过程是由递推公式写出(n-1)个等式,将这(n-
1)个等式相乘即可.

变式  1:已知数列{an}中,a1=1,lnan+1-lnan=1,则数列{an}的通项公式是(  
)
                       1                        1
                                   n-1          -
    A.an=n      B.an=n     C.an=e      D.an=en    1
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考点  6.周期数列
                                 1
【例  10】设数列   an 满足 a1  2 , an 1 (n 1,n N*) 写出这个数列的前     5 项,并计
                                an1


算 a2016 .


                                     1
                                     -
练习  1.已知数列{an}中,a1=2,an=-an           1(n≥2),则   a2 013=(  )
         1       1
    A.-2       B.2     C.2      D.-2
                                                        *
练习  2.已知数列{an}满足:a4n-3=1,a4n-1=0,a2n=an,n∈N              ,则  a2 009=
________;a2 014=________.

1.下面有四个结论,其中叙述正确的是(  )
    ①数列的通项公式是唯一的;②数列可以看做是一个定义在正整数集或其子
集上的函数;③数列若用图象表示,它是一群孤立的点;④每个数列都有通项公
式.
    A.①②        B.②③        C.③④             D.①④
            5  7     9
2.数列   1,-8,15,-24,…的一个通项公式是(  )
                  2n-1                    2n+1                   2n-1
               n+1 n2+n               n-1 n2+3n               n+1 n2+2n
    A.an=(-1)     ·        B.an=(-1)     ·        C.an=(-1)     ·        
               2n+1
           n-1  +
D.an=(-1)     ·n2 2n
3.下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是(  )
          1  1  1
    A.1,2,3,4,…               B.-1,-2,-3,-4,…
              1    1    1
    C.-1,-2,-4,-8,…       D.1,             2,  3,…,   n
       2  4 6  8
4.数列3,5,7,9,…的第          10 项是(  )
      16        18        20         22
    A.17       B.19      C.21        D.23
5.下列四个数中,是数列{n(n+1)}中的一项的是(  )
    A.380        B.39         C.32          D.23
          1    2       3     4

6.数列-3    × 5,5 × 7,-7 × 9,9 × 11,…的通项公式      an 为(  )
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                    1                                 n
    A.(-1)n+12n+12n+3             B.(-1)n+12n+12n+3
                  1                                 n
    C.(-1)n2n+12n+3               D.(-1)n2n+12n+3
                                n
                                +
7.已知数列{an}的通项公式是           an=3n  1,那么这个数列是(  )
    A.递增数列       B.递减数列            C.摆动数列             D.常数列
                      2
8.数列{an}中,an=-2n       +29n+3,则此数列最大项的值为(  )
                             1
    A.107   B.108     C.1088          D.109
                                                      *
9.(困难)已知函数         f(x)=Error!若数列{an}满足   an=f(n)(n∈N ),且{an}是递减
数列,则实数      a 的取值范围是(  )
      1           1 1           1 5         5
       ,1          ,            ,            ,1
    A.(3 )      B.(3 2)        C.(3 6)       D.(6 )
10.已知数列      3,3,  15,  21,3  3,…,   32n-1,…,则     9 是这个数列的(  
)
    A.第   12 项     B.第   13 项      C.第   14 项       D.第   15 项

11.已知数列{an}的通项公式          an=19-2n,则使     an>0 成立的最大正整数        n 的值为
________.
                                2
12.已知数列{an}的通项公式是           an=n -8n+12,那么该数列中为负数的项一共
有________项.
                                  2         *
13.已知数列{an}是递增数列,且            an=n +λn(n∈N   ),则实数    λ 的取值范围是
________.

14.在数列{an}中,a1=2,a17=66,通项公式是关于                n 的一次函数.
    (1)求数列{an}的通项公式;(2)求        a2 013;(3)2 014 是否为数列{an}中的项?


                    n2
                     +
15.数列{an}中,an=n2      1.
                                                             1 2
                                                              ,
(1)求数列的第     7 项;(2)求证:此数列的各项都在区间(0,1)内;(3)区间(3                3)内有无
数列的项?若有,有几项?
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                                   1
                                 +  +
16.已知数列{an}的通项公式是           an=n2  5n 4.
    (1)你能判断该数列是递增的,还是递减的吗?(2)该数列中有负数项吗?
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                 2.1 数列的概念与简单表示法(教师版)

1.新课引入
    观察下列图形,这些数有什么规律?


                                                                


    观察下面几组数,这些数有什么规律吗?
    (1)1,2,3,4,5,··· n,       ···.
    (2)-1,1,-1,1,         ··· .
    (3)3,3,3,3,…. 
    思考:上述的这些数的共同特点是什么? ——按照一定顺序排列的一列数.

2.概念
    (1)数列定义:按照一定顺序排列的一列数叫数列.
    (2)数列的项:数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列中的每一项都和它的序号有
关,排第一位的数称为这个数列的第                1 项(首项),排第二位的数称为这个数列的第                   2 项,
······,排第 n 位的数称为这个数列的第          n 项.
    概念理解:(1)相同的一组数按不同的顺序排列时,是否为同一数列?                                   不是
              (2)一个数列的数可以重复吗?                   可以重复

    (3)数列的一般形式:          a1,a2 ,a3 ,...,an ,.... ,上面数列可简记为{an},其中   an 是数列的

第  n 项.
3.数列的分类
(1)根据数列项数的多少分:
        有穷数列:项数有限的数列:             例如数列     1,2,3,4,5,6     是有穷数列
        无穷数列:项数无限的数列:例如数列                 1,2,3,4,5,6,…是无穷数列
(2)根据数列项的大小分:

    递增数列:从第       2 项起,每一项都大于它的前一项的数列                (an1  an )


    递减数列:从第       2 项起,每一项都小于它的前一项的数列                (an  an1 )


    常数数列:各项相等的数列            (an  an1 ) .

    摆动数列:从第       2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列
【例   1】下列数列,哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列?
    (1)全体自然数构成数列:0,1,2,3,4,5,.......
    (2)广东省某中学        2011~2016 年在校学生人数:890,1000,920,1100,1120,1021
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    (3)无穷多个      3 构成数列:3,3,3,3,.......
    (4)人民币面额按从大到小的顺序排列:100,50,20,10,5,0.5,0.2,0.1,0.05,
0.02,0.01
    (5)  1的  1 次幂,2   次幂,3   次幂,4   次幂,…….构成数列:        1,1,   1,1,…….
解析:(1)递增数列;(2)摆动数列;(3)常数列;(4)递减数列;(5)摆动数列
4.数列与函数的关系


    数列可以看成以正整数集           N * (或它的有限子集{1,2,3,...,n})为定义域的函数           an  f (n) ,

当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值.反过来,对于函
 y  f (x) 如果 f (i) ( i 1,2,3,...,n )有意义,那可得到一个数列    f (1), f (2), f (3),..., f (n) ,即数
列是一种特殊的函数.

5.数列的通项公式

    如果数列{an}的第      n 项与  n 之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这
                           1 1 1  1                   1
个数列的通项公式.如数列:1,              , , ,....... 的通项公式为  a  
                           2 3 4  5                n  n

                                                         n
    又如数列:-1,1,-1,1,           ··· . 的通项公式为:     an () 1

【例   2】根据下面数列的通项公式,写出它的前                 4 项:
               n
    (1)  a                                  (2) a   (1)n n
          n   n 1                                 n

【例   3】写出下面数列的一个通项公式,使它的                  前 4 项分别是下列各数:
                                            1 1    1
    (1)2,4,6,8 ;    (2)4,9 ,16,25 ;    (3)1,,,    ;       (4)2,0 ,2 0,
                                            2 3    4
                                                        1
    解:(1)    a   2n ;(2)  a   (n 1)2 ;(3) a   (1)n1 ;(4)   a 1 (1)n1
              n             n                 n         n         n
练习   1:求以下各数列的通项公式
                                   1    9     25
(1)1,4,9,16,25,;            (2)    ,2,   ,8,    ,;        (3)1,3,5,7,9,       
                                   2    2     2

(4)1,3,5,7,9,
      22 1   32  2  42   3  52  4
(5)         ,        ,       ,        ,      (6)10,100,1000,10000,…..
        1       3        5       7

(7)9,99,999,9999,               (8)   7,77,777,7777,

                                    2
                    2              n
    解:(1)    a    n  ;(2)   a       ;(3)   a    2n  1;(4)
               n              n    2           n
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                                              2
           n1                        n 1    n                 n
 a   1     2n  1;(5)    a                  ;(6)   a  10   ;(7)
  n                               n      2n  1             n

         n                 7     n
              ;(   )
 an 10    1     8  an     10   1
                           9

特别说明:
    1、不是每一个数列都能写出其通项公式                 ,如数列:3,3.1,3.14,3.141,3.1415,….
    2、数列的通项公式不唯一,如:              1,  1,  1,  1,  …

                 n       1    n  2k  1,k  N               
        an () 1 ,  an                       , an  sin(n  )
                          1      n  2k,k  N                 2
    3、数列的通项公式不一定是一个式子,也可以是分段函数. 
    4、数列通项公式的作用:             ①求数列中任意一项;             ②检验某数是否是该数列中的一
项. 

6.数列的表示
    与函数一样,数列也可以用图象、列表等方法来表达.数列的图象是一系列孤立的点列,

    数列   :2,4,6,8,10,……

    (1)其通项公式是:         an  2n

    (2)列表为: 


    (3)图象为直线上的无数个孤立点

7.数列的递推公式
    观察下列三角形数,思考:这些数有什么规律吗?


    首项为   1,从第    2 项起,第   n 项等于第    n-1 项加上   n,也就是    a1=1,an=an-1+n(n>1)

    已知数列{an}的首项(或前几项),且任一项                 an 与它的前一项     an-1(或前几项)间的关
系可用一个式子来表示,那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.

    如数列   1,3,6,10    的递推公式可表示为:          a1=1,an=an-1+n(n>1)
    递推公式也是数列的一种表示方法.
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                                1
【例  4】设数列   an 满足 a1 1, an 1   (n 1) 写出这个数列的前     5 项.
                               an1

                    1             1  3          1  5         1   8
   解:  a1 1, a2 1   2 , a3 1    , a4 1     , a5 1  
                    a1           a2  2         a3  3         a4  5

※ 典型例题
考点  1.通项公式的简单应用
                                       4
                                       +
【例  5】.已知数列{an}的通项公式为            an=n2  3n,
                                 1  16
    (1)写出此数列的前       3 项;(2)试问10和27是不是它的项?如果是,是第几项?
                 4              4     2        4     2
               +               +              +
    解:(1)a1=12   3 × 1=1,a2=22  3 × 2=5,a3=32   3 × 3=9.
          4    1
    (2)令n2+3n=10,则   n2+3n-40=0,解得      n=5  或 n=-8.又   n∈N*,故    n=
              1                        4   16
                                      +             2
-8 舍去,所以10是数列{an}的第          5 项.令n2    3n=27,则   4n +12n-27=0,解得
   3       9               16
                     *
n=2或  n=-2,又    n∈N  ,所以27不是数列{an}的项.
                                    n2
                                     +
变式  1:已知数列{an}的通项公式是           an=n2  1.
                               9  1
(1)写出该数列的第       4 项;(2)试判断10和10是否是该数列中的项?若是,求出它是
第几项;若不是,说明理由.
                     n2           42   16
                      +           +
解:(1)由通项公式       an=n2  1可得  a4=42  1=17.
         n2    9                                    9
    (2)令n2+1=10,得   n2=9,所以     n=3(n=-3   舍去),故10是该数列中的项,
                 n2   1         1          1       1
并且是第    3 项;令n2+1=10,得      n2=9,所以    n=±3,由于±3都不是正整数,因此
1
10不是数列中的项.

考点  2.由数列通项公式研究数列的单调性与最大(小)项
                                    2n
                                    +
【例  6】已知数列{an}的通项公式是           an=n  2,
                           14
    (1)求该数列的第      10 项.(2) 9 是不是该数列的项?         (3)判断此数列的增减性.
                                                         14

    分析:(1)在通项公式中,对           n 赋值求出所需的项.(2)令         an= 9 ,解方程,若
该方程有正整数解,即为数列中的项;否则,不是数列中的项.(3)探求数列的增

减性,可以比较       an+1 与 an 的大小,也可利用函数的单调性来研究数列的增减
性.
                                2 × 10 5
                                  +
    解析:(1)该数列的第        10 项 a10=10 2=3.
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            14     2n  14                14
                   +
    (2)令 an= 9 ,即n  2=  9 ,解得  n=7.    ∴ 9 是数列中的项,且是数列的第
7 项.

    (3)方法一:比较      an+1 与 an 的大小.
               2n+1    2n  2n+2   2n        4
                +  +     +    +     +      +     +
    ∵an+1-an=  n  1 2 -n  2=  n 3 -n  2=n  2n  3>0,∴an+1>an.∴此
数列为递增数列.
                                      2
                                2n     2            2
                                     1+
                                +
    方法二:从函数角度判断.an=n              2=   n,∵f(n)=1+n为关于      n 的减函数
且其值恒正,
           2

    ∴an=fn为关于     n 的增函数,故数列{an}为递增数列.
                                                              2

    点评:数列的通项        an 是关于项的序号       n 的函数,此题借助函数          y=x在(0,+
∞)上的单调性,来研究数列的单调性.
                          2
变式  1.数列{an}中,an=-2n       +29n+3,则此数列最大项的值为(  )
                             1
    A.107   B.108     C.1088    D.109
                                   29             29      292
                                n2-  n         n-
                 2                                  2
    解析:an=-2n     +29n+3=-2(       2 )+3=-2·(     4 ) +3+ 8 ,当   n=
7 时,an 最大且等于      108,故选   B.
变式  2.已知数列{an}的通项公式          an=19-2n,则使     an>0 成立的最大正整数        n 的
值为________.
                               19
                                         *
    解析:由    an=19-2n>0,得    n< 2 ,∵n∈N   ,∴n≤9.      答案:9

                             2
变式  3:数列  an 的通项公式为    an  n 1  n ,试判断其单调性.

考点  3.根据数列的递推公式归纳通项公式

【例  7】(1)已知数列{an}满足       a1=1,an+1=2an+1,写出该数列的前五项并归纳
它的通项公式;
                                         1
                                         -
    (2)已知数列{an}满足     a1=1,an=an-1+nn     1(n≥2),写出该数列前五项并
归纳它的通项公式.
    分析:写出前几项后,寻找规律写出通项公式.

    解析:(1)由递推公式        an+1=2an+1 和  a1=1,可得    a2=3,a3=7,a4=15,
a5=31,
                                                              n
    所以数列的前      5 项是  1,3,7,15,31,所以数列{an}的通项公式为         an=2  -1.
                     1                  3     5      7     9
                     -
    (2)由 an=an-1+nn  1和  a1=1,得   a2=2,a3=3,a4=4,a5=5.
                         3  5 7  9          2n-1

    所以{an}的前    5 项是  1,2,3,4,5,所以       an=  n .

考点  4.用累加法求通项公式
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【例  8】求三角形数       1,3,6,10,…的通项公式.

    分析:观察发现该数列的递推关系               an-an-1=n(n≥2),用累加法求通项.
    解析:用{an}表示该数列,则           a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,…,an-
an-1=n(n≥2).
    以上各式两边分别相加,得            an-a1=2+3+4+…+n.
                                      nn+1            nn+1

    又 a1=1,∴an=1+2+3+4+…+n=             2   ,即通项     an=   2   .
    点评:解决此题的方法叫作累加法,它适用递推公式为                        an+1-an=p(p  为常
数)或  an+1-an=f(n)(f(n)可求和)的数列,过程为:由递推公式写出(n-1)个等式,
将这(n-1)个等式相加求和即可.
                                           1
                                        n+1+  n
变式  1:已知数列{an}满足       a1=1,an=an-1+           (n≥2),求   an.
                      1                          1
                    n+1+  n                   n+1+  n   n+1   n
    解:∵an=an-1+            (n≥2),∴an-an-1=           =     -   ,
          2             3   2              n+1   n
∴a2-a1=    -1,a3-a2=     -   ,…an-an-1=       -   (n≥2)
                            n+1                     n+1
    以上各式相加,得        an-a1=      -1(n≥2),∴an=a1+         -1=
 n+1(n≥2),

    ∴an=Error!

考点  5.用累乘法求通项公式

【例  9】数列{an}中,已知       a1=1,an+1=2an,求{an}的通项公式.
                                  an+1

    分析:由    an+1=2an,a1=1≠0,得      an =2,可采用迭代法或累乘法.
                                    an             a2     a3     a4
    解析:方法一(累乘法):由已知,得an-1=2(n≥2).∴a1=2,a2=2,a3=
        an
2,…,an-1=2.
                                a2 a3 a4  an   an
    以上各式等号两边分别相乘,得a1·a2·a3·…·an-1=a1=2n-1(n≥2).
                              n-1
    又 a1=1,∴通项公式为        an=2    .
                              3           n-1    n-1
    方法二(迭代法):an=2an-1=2        an-3=…=2     a1=2    ,即通项公式为       an=
2n-1.
                                          an+1

    点评:方法一是累乘法,它适用递推公式为                    an =p(p 为非零常数),或       an+
1=f(n)an(f(n)可求积)的数列,其过程是由递推公式写出(n-1)个等式,将这(n-
1)个等式相乘即可.

变式  1:已知数列{an}中,a1=1,lnan+1-lnan=1,则数列{an}的通项公式是(  
)
                       1                        1
                                   n-1          -
    A.an=n      B.an=n     C.an=e      D.an=en    1
                               an+1      an+1
                                                                    n-
    解析:∵lnan+1-lnan=1,∴ln       an =1. ∴  an =e.   由累乘法可得       an=e
1.  答案:C
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考点  6.周期数列
                                 1
【例  10】设数列   an 满足 a1  2 , an 1 (n 1,n N*) 写出这个数列的前     5 项,并计
                                an1


算 a2016 .

                    1   1             1             1
解:∵  a1  2 ,∴ a2 1    ,从而  a3 1    1 , a4 1  2 ,
                    a1  2            a2             a3

       1  1
a5 1     ,….,
      a4  2


由此可知,数列{an}各项的值以         3 为周期重复出现,于是       a2017  a36721  a1  2 .
                                     1
                                     -
练习  1.已知数列{an}中,a1=2,an=-an           1(n≥2),则   a2 013=(  )
         1       1
    A.-2       B.2     C.2      D.-2
                     1
                     +
    解析:∵an+2=-an       1=an,∴数列的奇数项相同,偶数项相同,∴a2 013=
a1=2.  答案:C
                                                        *
练习  2.已知数列{an}满足:a4n-3=1,a4n-1=0,a2n=an,n∈N              ,则  a2 009=
________;a2 014=________.
    解析:a2 009=a503×4-3=1,a2 014=a1 007×2=a1 007=a252×4-1=0.   答案:1 
0
                                                        *
练习  2.已知数列{an}满足:a4n-3=1,a4n-1=0,a2n=an,n∈N              ,则  a2 009=
________;a2 014=________.
    解析:a2 009=a503×4-3=1,a2 014=a1 007×2=a1 007=a252×4-1=0.   答案:1 
0


1.下面有四个结论,其中叙述正确的是(  )
    ①数列的通项公式是唯一的;②数列可以看做是一个定义在正整数集或其子
集上的函数;③数列若用图象表示,它是一群孤立的点;④每个数列都有通项公
式.
    A.①②     B.②③
    C.③④     D.①④
    解析:数列的通项公式不唯一,有的数列没有通项公式,所以①④不正确.
    答案:B
            5  7     9
2.数列   1,-8,15,-24,…的一个通项公式是(  )
                中国现代教育网    www.30edu.com  全国最大教师交流平台

                  2n-1                    2n+1                   2n-1
               n+1 n2+n               n-1 n2+3n               n+1 n2+2n
    A.an=(-1)     ·        B.an=(-1)     ·        C.an=(-1)     ·        
               2n+1
           n-1  +
D.an=(-1)     ·n2 2n
    解析:可用验证法取         n=1,只有     D 适合.故选     D.答案:D
3.下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是(  )
          1  1  1
    A.1,2,3,4,…
    B.-1,-2,-3,-4,…
              1    1    1
    C.-1,-2,-4,-8,…
    D.1,   2,  3,…,    n
                     1
                             *
    解析:对于     A,an=n,n∈N     ,它是无穷递减数列;对于             B,an=-n,
                                                       1
    *                                                   n-1
n∈N  ,它也是无穷递减数列;D            是有穷数列;对于        C,an=-(2)     ,它是无穷
递增数列.答案:C
       2  4 6  8
4.数列3,5,7,9,…的第          10 项是(  )
      16        18        20         22
    A.17       B.19      C.21        D.23
                                       2n           2 × 10 20
                                        +              +
    解析:由题意知数列的通项公式是               an=2n  1,∴a10=2   × 10 1=21.故选  C.
5.下列四个数中,是数列{n(n+1)}中的一项的是(  )
    A.380        B.39         C.32          D.23
    解析:分别令      n(n+1)=380,39,32,23 解出  n∈N*即可,验证知        n=19 时,
19×20=380.   答案:A
          1    2       3     4

6.数列-3    × 5,5 × 7,-7 × 9,9 × 11,…的通项公式      an 为(  )
                    1                                 n
    A.(-1)n+12n+12n+3             B.(-1)n+12n+12n+3
                  1                                 n
    C.(-1)n2n+12n+3               D.(-1)n2n+12n+3
    解析:观察式子的分子为           1,2,3,4,…,n,…,分母为        3×5,
                                                                 n
5×7,7×9,…,(2n+1)(2n+3),…,而且正负间隔,故通项公式                    an=(-1)
      n
2n+12n+3.答案:D
                                n
                                +
7.已知数列{an}的通项公式是           an=3n  1,那么这个数列是(  )
    A.递增数列       B.递减数列            C.摆动数列        D.常数列
                     1
               n      1
                    3+
               +
    解析:an=3n     1=   n是关于   n 的增函数,故选       A.
                      2
8.数列{an}中,an=-2n       +29n+3,则此数列最大项的值为(  )
                             1
    A.107   B.108     C.1088    D.109
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                                   29             29      292
                                n2-  n         n-
                 2                                  2
    解析:an=-2n     +29n+3=-2(       2 )+3=-2·(     4 ) +3+ 8 ,当   n=
7 时,an 最大且等于      108,故选   B.
    答案:B
                                                      *
9.(困难)已知函数         f(x)=Error!若数列{an}满足   an=f(n)(n∈N ),且{an}是递减
数列,则实数      a 的取值范围是(  )
      1           1 1           1 5         5
       ,1          ,            ,            ,1
    A.(3 )      B.(3 2)        C.(3 6)       D.(6 )
                          1   5
    解析:由题意得Error!解得30 成立的最大正整数        n 的值为
________.
                               19

    解析:由    an=19-2n>0,得    n< 2 ,
    ∵n∈N*,∴n≤9.
    答案:9
11.已知数列      3,3,  15,  21,3  3,…,   32n-1,…,则     9 是这个数列的(  
)
    A.第   12 项     B.第   13 项      C.第   14 项       D.第   15 项
                                         32n-1
    解析:依题意,该数列的通项公式为                an=         .令 an=9,得    n=14,故
选 C.
                                2
12.已知数列{an}的通项公式是           an=n -8n+12,那么该数列中为负数的项一共
有________项.
                 2                                  *
    解析:令    an=n  -8n+12<0,解得     2-3.
14.在数列{an}中,a1=2,a17=66,通项公式是关于                n 的一次函数.
    (1)求数列{an}的通项公式;(2)求        a2 013;(3)2 014 是否为数列{an}中的项?
    解:(1)设   an=kn+b(k≠0),则有Error!解得     k=4,b=-2.      ∴an=4n-2.
    (2)a2 013=4×2 013-2=8 050.
                                    *
    (3)令 2 014=4n-2,解得     n=504∈N   ,∴2 014  是数列{an}的第     504 项.

                    n2
                     +
15.数列{an}中,an=n2      1.
                                                                 1 2
                                                                  ,
    (1)求数列的第     7 项;(2)求证:此数列的各项都在区间(0,1)内;(3)区间(3                3)内
有无数列的项?若有,有几项?
               72   49
               +
    解:(1)a7=72   1=50.
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             n2        1
             +         +
    (2)∵an=n2  1=1-n2   1,∴0
	
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