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2018版高中数学模块检测新人教A版选修4_4

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高中数学审核员

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                                 模块检测

一、选择题
                     3
1.极坐标方程     cos θ=  2 (ρ∈R)表示的曲线是(  )
  A.两条相交直线                                B.两条射线

  C.一条直线                                  D.一条射线
                   3          π      11
  解析 由    cos θ=  2 ,解得   θ=6或   θ=   6 π,又  ρ∈R,故为两条过极点的直线.
  答案 A
                       2
2.过点  P(4,3),且斜率为3的直线的参数方程为(  )
           3                                       3
    x=4+     t,                              x=3+    t,
           13                                      13
            2                                       2
     y=3+     t                              y=4+     t
    {       13 )                            {       13 )
  A.           (t 为参数)                    B.           (t 为参数)
           2                                       2
    x=4+     t,                              x=3+    t,
           13                                      13
            3                                       3
     y=3+     t                              y=4+     t
    {       13 )                            {       13 )
  C.           (t 为参数)                    D.           (t 为参数)
                                 2               2            3
  解析 因为倾斜角        α 满足   tan α=3,所以     sin α=   13,cos  α=   13,所以所求参数
               3
        x=4+     t,
               13
                2
         y=3+    t
       {        13 )
  方程为              (t 为参数).
  答案 A

3.如图所示,在柱坐标系中,长方体的两个顶点坐标为                      A1(4,0,5),C1
    π
  6, ,5
 (  2  ),则此长方体外接球的体积为(  )
    77 77π                                  77 77π
  A.  3                                   B.  6
    77 77π                                  77 77π
  C.  4                                   D.  12

  解析 A1,C1   的直角坐标分别为        A1(4,0,5),C1(0,6,5),所以       OA=4,OC=6,OO1=
                             1             1                    4      4
  5,所以长方体外接球的半径           R=2  42+62+52=2   77.所以外接球体积       V=3πR3=3π
  1       77 77
    77
  (2  )3=  6  π.
  答案 B
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4.圆 ρ=5cos θ-5     3sin θ 的圆心的极坐标是(  )
          4π                                    π
    -5,-                                    -5,
  A.(      3 )                            B.(   3)
      π                                         5π
    5,                                      -5,
  C.( 3)                                  D.(    3 )
  解析 ρ=5cos      θ-5  3sin  θ 两边同乘以     ρ,得    ρ2=5ρcos   θ-5   3ρsin  θ,即
                                        5   5 3
                                        ,-
  x2+y2-5x+5   3y=0,故圆心的直角坐标为(2              2 ),半径为   5,结合该点的位置知该
                        4π
                  -5,-
  点的一个极坐标是(             3 ).
  答案 A
                           1
                        x′= x,
                           3
       x2  y2               1
                       { y′= y )
5.将曲线   3 + 2 =1 按 φ:       2  变换后的曲线的参数方程为(  )
    x=3cos θ                                 x= 3cos θ
  A.{y=2sin θ)                            B.{y=  2sin θ)
       1                                        3
    x=  cos θ                                x=  cos θ
       3                                        3
       1                                         2
    {y= sin θ)                              {y=  sin θ)
  C.   2                                  D.    2
       x2  y2     (3x′)2 (2y′)2                           3x′=cos θ,
  解析    3 + 2 =1→   3  +   2  =1→(   3x′)2+(  2y′)2=1→{    2y′=sin θ )→
       3
   x′=  cos θ,
      3
        2
  { y′= sin θ )
       2

        3
    x=   cos θ,
        3
        2
    {y=  sin θ,)
  即     2      故选  D.
  答案 D

6.化极坐标方程      ρ2cos θ-ρ=0     为直角坐标方程为(  )

  A.x2+y2=0 或  y=1                        B.x=1

  C.x2+y2=0 或  x=1                        D.y=1

  解析 由    ρ2cos  θ-ρ=0,得      ρ(ρcos   θ-1)=0,又     ρ=   x2+y2,x=ρcos     θ,

  ∴x2+y2=0  或  x=1.

  答案 C
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          π
        2, ,1
7.柱坐标(    3  )对应的点的直角坐标系是(  )
  A.( 3,-1,1)                             B.( 3,1,1)

  C.(1,  3,1)                             D.(-1,   3,1)

                                       x=ρcos θ        x=1
                                        y=ρsin θ      y=  3
  解析 由直角坐标与柱坐标之间的变换公式{                    z=z  ),可得{   z=1 ).故应选   C.
  答案 C

8.已知曲线    C 的极坐标方程为      ρ=6sin      θ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为
                               x= 2t-1,
                                    2
                                 y=  t
 x 轴正半轴,直线       l 的参数方程为{          2   )(t 为参数),则直线      l 与曲线   C 相交所得
 弦长为(  )

  A.1                                     B.2  

  C.3                                     D.4

  解析 曲线     C 的直角坐标方程为       x2+y2-6y=0,即     x2+(y-3)2=9,
      x=  2t-1,
            2
        y=   t
  直线{       2   )的直角坐标方程为       x-2y+1=0,
                           |0-2 × 3+1|
  ∵圆心   C 到直线   l 的距离   d= 12+(-2)2=    5.
  ∴直线   l 与圆  C 相交所得弦长为      2 r2-d2=2   9-5=4.

  答案 D
                                    π
                                 θ-
                           2    (    )
9.已知直线    l1 的极坐标方程为       ρsin     4 =2             014,直线    l2 的参数方程为
                3
  x=-2 014+tcos  π,
                4
               3
 {  y=2 014+tsin π )
               4   (t 为参数),则     l1 与 l2 的位置关系为(  )
  A.垂直                                    B.平行

  C.相交但不垂直                                D.重合
                    π                 2      2
                 θ-                    sin θ- cos θ
  解析 由    2ρsin(    4)=2  014,得  2ρ( 2       2    )=2  014,即  ρsin   θ-ρcos 
  θ=2 014,所以     y-x=2 014,即    y=x+2 014.
                                             3
                                          tsin π
                                             4
                                 y-2 014     3
                                          tcos π
  把直线   l2 的参数方程化为普通方程为x+2 014=              4 =-1,即    y=-x,所以     kl1·kl2=
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  1×(-1)=-1,所以       l1⊥l2.

  答案 A
                    x2  y2
10.若动点(x,y)在曲线       4 +b2=1(b>0)上变化,则       x2+2y 的最大值为(  )
    b2                                       b2
      +4 (0<b  ≤ 4)                           +4 (0<b<2)
     4                                       4
  A.{  2b  (b>4)   )                      B.{  2b  (b ≥ 2) )
    b2
  C. 4 +4                                 D.2b
  解析 设动点的坐标为(2cos            θ,bsin    θ),代入    x2+2y=4cos2θ+2bsin      θ=-
         b      b2                           b2
  2sin θ-
  (      )                         2
         2 2+4+ 4 ,当  0<b≤4  时,(x   +2y)max= 4 +4;
                             b      b2
                          2-
              2           (   )
  当 b>4 时,(x   +2y)max=-     2 2+4+  4 =2b.
  答案 A


二、填空题
                     π
                   2,
11.在极坐标系中,点(         2)关于直线    ρcos θ=1   的对称点的极坐标为________.
                           π                                           π
                         2,                                       2 2,
 解析 结合图形不难知道点(             2)关于直线    ρcos θ=1   的对称点的极坐标为(             4).
            π
        2 2,
 答案 (       4)
12.在直角坐标系      xOy 中,以原点    O 为极点,x    轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知射线

     π       x=t+1,
 θ=4与曲线{y=(t-1)2)(t      为参数)相交于      A,B 两点,则线段      AB 的中点的直角坐标为
 ________.

               π                              x=t+1,
 解析 射线     θ=4的普通方程为        y=x(x≥0),代入{y=(t-1)2,)得       t2-3t=0,解得     t=
 0 或 t=3.

 当  t=0 时,x=1,y=1,即       A(1,1);

 当  t=3 时,x=4,y=4,即       B(4,4).
                    5  5
                     ,
 所以   AB 的中点坐标为(2      2).
        5 5
         ,
 答案 (2    2)
13.极坐标系中,曲线        ρ=-4cos    θ 上的点到直线      ρ(cos   θ+   3sin θ)=8  的距离的

 最大值是________.
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 解析 曲线方程化为:ρ2=-4ρcos               θ,即   x2+y2+4x=0,化为:(x+2)2+y2=4,圆

 心坐标为(-2,0),半径为          r=2,直线方程化为:x+          3y-8=0,圆心到直线的距离为:
    |-2-8|
 d=    2  =5,所以最大距离为:5+2=7.
 答案 7


        x=2+t                   x=3cos α
14.直线{y=-1-t)(t   为参数)与曲线{y=3sin α)(α       为参数)的交点个数为________.
 解析 直线与曲线的普通方程分别为                x+y-1=0①

 x2+y2=9②
                                                              |-1|   2    2
 ②表示圆心为      O(0,0),半径为     3 的圆,设    O 到直线的距离为       d,则  d=   2 = 2 ,∵  2 <
 3,∴直线与圆有       2 个交点.

 答案 2

三、解答题

                                   x=5cos φ,
15.在平面直角坐标系        xOy 中,求过椭圆{     y=3sin φ )(φ 为参数)的右焦点,且与直线
  x=4-2t,
 { y=3-t  )(t 为参数)平行的直线的普通方程.
 解 由题设知,椭圆的长半轴长              a=5,短半轴长      b=3,从而    c=  a2-b2=4,所以右焦点
                                                                       1
 为(4,0).将已知直线的参数方程化为普通方程                  x-2y+2=0.故所求直线的斜率为2,因
              1
 此其方程为     y=2(x-4),即     x-2y-4=0.
                   x=cos θ,
16.已知  P 为半圆   C:{ y=sin θ )(θ 为参数,0≤θ≤π)上的点,点            A 的坐标为(1,0),
                                                         π
 O 为坐标原点,点       M 在射线  OP 上,线段    OM 与 C 的弧A︵P的长度均为3.
  (1)以 O 为极点,x    轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点                M 的极坐标;

  (2)求直线   AM 的参数方程.
                           π                  π                  π π
                                                                  ,
  解 (1)由已知,M      点的极角为3,且       M 点的极径等于3,故点        M 的极坐标为(3     3).
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                                                                π
                                                          x=1+   -1 t,
                                                               (6   )
                    π  3π                                        3π
                     ,                                   {   y=    t  )
  (2)M 点的直角坐标为(6       6 ),A(1,0),故直线      AM 的参数方程为             6     (t 为参
  数).

                             2   2                2   2
17.在直角坐标系      xOy 中,圆   C1:x +y =4,圆    C2:(x-2)  +y =4.

  (1)在以  O 为极点,x    轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆                  C1,C2 的极坐标方程,

  并求出圆    C1,C2 的交点坐标(用极坐标表示);

  (2)求圆  C1 与 C2 的公共弦的参数方程.

  解 (1)圆   C1 的极坐标方程为      ρ=2,圆    C2 的极坐标方程为      ρ=4cos θ.

      ρ=2,                   π
  解{ρ=4cos θ,)得 ρ=2,θ=±3.
                               π     π
                          (2,-  ) (2, )
  故圆  C1 与圆 C2 交点的坐标为          3 或   3 .
  注:极坐标系下点的表示不唯一.


                      x=ρcos θ,                           1

  (2)法一 将    x=1 代入{y=ρsin θ,)得   ρcos   θ=1,从而     ρ=cos θ.于是圆    C1 与 C2 的公
                   x=1,     π    π
                          -  ≤ θ ≤
  共弦的参数方程为{y=tan θ)(        3    3),
          x=ρcos θ,
  法二 由{y=ρsin θ,)得

  圆 C1 与圆 C2 交点的直角坐标分别为(1,-            3)或(1,  3).
                               x=1,

  故圆  C1 与 C2 公共弦的参数方程为{        y=t )(- 3≤t≤   3).
18.如图,已知抛物线        y2=2px(p>0)的焦点为     F,过   F 的直线交抛

 物线于   A、B  两点.
            1    1
  (1)求证:|FA|+|FB|为定值;
  (2)求 AB 的中点   M 的轨迹方程.
                               p
                            x=  +tcos α
                               2
  (1)证明 设直线      AB 的方程为{    y=tsin α )(t 为参数,α≠0),代入        y2=2px 整理,得
  t2sin2α-2ptcos α-p2=0.

  设 A、B 两点对应的参数分别为          t1、t2,则由根与系数的关系,得
         2pcos α         p2

  t1+t2=  sin2α ,t1t2=-sin2α.
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 1     1    1    1  |t1|+|t2| |t1-t2|  (t1+t2)2-4t1t2
|FA|+|FB|=|t1|+|t2|=  |t1t2| = |t1t2| =     |t1t2|
    2pcos α    4p2
           2+
   ( sin2α )  sin2α
        -p2          2
=       |sin2α|    =p(定值).
                                                   t1+t2   pcos α
(2)解 设    AB 的中点    M(x,y),则     M 对应的参数为       t=   2   = sin2α ,
      p  pcos2α
   x=  +       ,
      2   sin2a
         pcos α                                     p
      y=                                         x-
  {              )                          2
∴        sin α   (α  为参数),消去        α,得    y =p(    2)为所求的轨迹方程.
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