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2018届高三数学(理人教版)二轮复习高考大题专攻练: 10 Word版含解析

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高中数学审核员

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                  高考大题专攻练
                     10.解析几何(B    组)

       大题集训练,练就慧眼和规范,占领高考制胜点!


1.已知椭圆    E:   +  =1(a>b>0)的离心率为        ,其右焦点为      F(1,

0).

(1)求椭圆   E 的方程.

(2)若 P,Q,M,N    四点都在椭圆      E 上,已知      与   共线,       与

   共线,且      ·     =0,求四边形     PMQN 的面积的最小值和最大值.


【解析】(1)由椭圆的离心率公式可知:e=                =   ,由  c=1,则
a=   ,b2=a2-c2=1,


故椭圆方程为        +y2=1.

(2)由条件知    MN 和 PQ 是椭圆的两条弦,相交于焦点            F(1,0),
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且 PQ⊥MN,设直线      PQ 的斜率为   k(k≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2),

则 PQ 的方程为    y=k(x-1),


联立               整理得:(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,


x1+x2=      ,x1x2=        ,

则|PQ|=        ·                    ,


于是|PQ|=                    ,


同理:|MN|=                             =                  .


则 S=  |PQ||MN|=             ,令   t=k2+ ,t≥2,

S= |PQ||MN|=        =2           ,

当 k=±1  时,t=2,S=     ,且  S 是以  t 为自变量的增函数,

当 k=±1  时,四边形     PMQN 的面积取最小值        .
当直线   PQ 的斜率为    0 或不存在时,四边形        PMQN 的面积为    2.
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综上:四边形      PMQN 的面积的最小值和最大值分别为               和  2.


2.如图,在平面直角坐标系           xOy 中,椭圆   Ω:     +  =1(a>b>0)的离

心率为      ,直线   l:y=2 上的点和椭圆      Ω 上的点的距离的最小值为
1. 世纪金榜导学号        92494446

(1)求椭圆   Ω  的方程.

(2)已知椭圆    Ω  的上顶点为     A,点  B,C  是 Ω 上的不同于      A 的两点,

且点  B,C  关于原点对称,直线         AB,AC 分别交直线     l 于点  E,F.记直

线 AC 与 AB 的斜率分别为      k1,k2.

①求证:k1·k2    为定值;

②求△CEF   的面积的最小值.


【解题导引】(1)由题知         b=1,由          =  ,b=1  联立求解即可

得出.

(2)①方法一:直线       AC 的方程为    y=k1x+1,与椭圆方程联立可得坐标,

即可得出.


方法二:设     B(x0,y0)(y0>0),则    +  =1,因为点    B,C 关于原点对
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称,则   C(-x0,-y0),利用斜率计算公式即可得出.

②直线   AC 的方程为    y=k1x+1,直线   AB 的方程为   y=k2x+1,不妨设


k1>0,则  k2<0,令  y=2,得  E      ,F      ,可得△CEF     的面积


S△CEF= |EF|(2-yc).


【解析】(1)由题意知        b=1,由          =  ,

所以  a2=2,b2=1.


故椭圆的方程为         +y2=1.

(2)①方法一:直线       AC 的方程为    y=k1x+1,


                        2
由             得(1+2   )x +4k1x=0,


解得  xC=-       ,同理   xB=-       ,


因为  B,O,C   三点共线,则由       xC+xB=-      -       =0,


整理得(k1+k2)(2k1k2+1)=0,所以    k1k2=- .


方法二:设     B(x0,y0)(y0>0),则    +  =1,因为点    B,C 关于原点对
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称,则   C(-x0,-y0),所以    k1k2=     ·      =      =       =-

 .

②直线   AC 的方程为    y=k1x+1,直线   AB 的方程为   y=k2x+1,不妨设

k1>0,则  k2<0,


令 y=2,得   E     ,F       ,


而 yC=k1xC+1=-      +1=           ,


所以,△CEF    的面积    S△CEF= |EF|(2-yc)=


                       = ·       ·        .


由 k1k2=- ,得  k2=-   ,


则 S△CEF=       ·        =3k1+   ≥   ,当且仅当      k1=  时取
得等号,

所以△CEF   的面积的最小值为          .

【加固训练】(2017·广元一模)已知点              P 是椭圆  C 上任一点,点


P 到直线   l1:x=-2 的距离为   d1,到点   F(-1,0)的距离为     d2,且    =
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   .直线  l 与椭圆  C 交于不同两点      A,B(A,B  都在   x 轴上方),且
∠OFA+∠OFB=180°.

(1)求椭圆   C 的方程.

(2)当 A 为椭圆与    y 轴正半轴的交点时,求直线           l 方程.

(3)对于动直线     l,是否存在一个定点,无论∠OFA            如何变化,直线

l 总经过此定点?若存在,求出该定点的坐标;若不存在,请说明理

由.


【解题导引】(1)设       P(x,y),得     =              =   ,由此能

求出椭圆    C 的方程.


                                                 2
(2)由已知条件得      kBF=-1,BF:y=-(x+1)=-x-1,代入      +y =1,得:

3x2+4x=0,由此能求出直线       l 方程.

(3)B 关于  x 轴的对称点    B1 在直线   AF 上.设直线   AF 的方程为


y=k(x+1),代入     +y2=1,得:

        x2+2k2x+k2-1=0,由此能证明直线      l 总经过定点     M(-1,0).
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【解析】(1)设     P(x,y),则   d1=|x+2|,d2=              ,


  =              =   ,


化简得     +y2=1,


所以椭圆    C 的方程为      +y2=1.

(2)因为  A(0,1),F(-1,0),


所以  kAF=        =1,∠OFA+∠OFB=180°,

所以  kBF=-1,直线   BF 的方程为    y=-(x+1)=-x-1,


代入    +y2=1,得:3x2+4x=0,

所以  x=0 或 x=- ,代入    y=-x-1 得,


       (舍)或

所以  B        .


kAB=        = ,
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所以  AB 的方程为    y= x+1.

(3)由于∠OFA+∠OFB=180°,所以        B 关于 x 轴的对称点     B1 在直线

AF 上.

设 A(x1,y1),B(x2,y2),B1(x2,-y2).


设直线   AF 的方程为    y=k(x+1),代入     +y2=1,

得:          x2+2k2x+k2-1=0,


x1+x2=-     ,x1x2=      ,


kAB=      ,所以   AB 的方程为    y-y1=      (x-x1),


令 y=0,得:x=x1-y1         =           ,

y1=k(x1+1),y2=k(x2+1),


x=           =


=


=         =-1.

所以直线    l 总经过定点    M(-1,0).
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