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广东省阳春市2016_2017学年高二数学上学期第二次月考试题理

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     广东省阳春市          2016-2017   学年高二数学上学期第二次月考试题 理

                  (考试时间:120      分钟     试卷满分:150       分)    

一.选择题:(共      12 小题,每小题     5 分,在每小题的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.已知实数    a 和 b 均为非负数,则下面表达正确的是(   )

  A. a  0 且 b  0   B.  a  0 或 b  0     C. b  0 或 b  0  D.  a  0 且 b  0
2.不等式   (x  50)(60  x)  0 的解集是(   )

  A. (,50)         B. (60,)            C. (50,60)        D.  (,50)  (60,)  

3. 不等式   ax2  bx  c  0 的解集为空集,则(   )
  A. a  0,  0       B. a  0,  0        C. a  0,  0      D. a  0,  0  


4. 等差数列中,     3a3  a5  2a7  a10  a13  24 ,则该数 列前 13 项的和是(     )

   A.13         B.26            C.52        D.156
5. 关于双曲线     9y2 16x2 144 ,下列说法错误的是(   )

                                              5
   A.实轴长为     8,虚轴长为     6         B.离心率为        
                                              4
                      4
   C.渐近线方程为       y   x          D.焦点坐标为      (5,0)
                      3
6.下列命题为真命题的是(   )

  A. x N ,  x3  x2            B.函数 f (x)  ax2  bx  c 为偶函数的充要条件是    b  0

               2                               2
  C. x0  R , x0  2x0  2  0    D.“ x  3 ”是“ x  9 ”的必要条件  

7.实数   a、b、  c 满足  b  c  6  4a  3a2 , c  b  4  4a  a2 ,则 a、b、 c 的大小关系是(   )
    A. c  b  a     B. a  c  b     C. c  b  a      D. a  c  b

         x2  y2                    x2 y2
8.若椭圆          1 (a  b  0) 和双曲线      1 (m,n  0) 有相同的焦点  F 、 F , P 是两曲线的
         a   b                     m   n                        1   2


   交点,则    PF1  PF2 的值是                                             (    )

    A.  b  n        B.   a  m       C.  b  n         D.  a  m


         x2  y2
9. 双曲线         1 (a,b  0) 的左、右焦点分别为     F 、 F ,过焦点    F 且垂直于     x 轴的弦为   AB ,若
         a2  b2                             1   2         2

   AF1B  90 ,则双曲线的离心率为                                            (    )
       1                                              1
    A.  (2  2)    B.   2 1       C.  2 1       D.   (2  2)
       2                                              2
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            x  y         x2  y2
    10.直线       1与椭圆         1相交于   A 、 B 两点,该椭圆上点        P ,使得△   APB 的面积等于
            4  3         16  9
    3,这样的点     P 共有                                                      (    )

        A.1 个           B.2 个          C.3 个            D.4  个

    11.从-3,-2,-1,1,2,3         中任取三个不同的数作为椭圆方程               ax2  by2  c  0 中的系数,则确

        定不同椭圆的个数为                                   (    )

        A.20            B.18            C.9              D. 16

    12. 已知定义在     R 上的函数    y  f (x) 满足下列三个条件:①对任意的          x  R 都有 f (x  4)  f (x) ;②对


        于任意的    0≤ x1  x2 ≤2,都有  f (x1 )  f (x2 ) ;③ y  f (x  2) 的图象关于 y 轴对称,则下列结论

        中,正确的是                                                            (    )

       A. f (4.5)  f (7)  f (6.5)    B. f (4.5)  f (6.5)  f (7)  

       C. f (7)  f (4.5)  f (6.5)    D. f (7)  f (6.5)  f (4.5)

    二、填空    题(本大题     共 4 小题,每小题      5 分,共  20 分)

                            2
    13.已知命题    p: x0  R , x0  2x0  2  0  则 p 为         .

               x2  y2
    14.已知椭圆          1 ,以及椭圆内一点       P4,2,则以    P 为中点的弦所在直线方程为          . 
               36   9

                  2x  y  4
                  
    15. 设 x, y 满足 x  y  1 ,则 z  x  y 的最小值 为          .
                  
                  x  2y  2

    16. 当 x (1,2) 时,不等式    x2  mx  4  0 恒成立,则    m 的取值范围是          .


三、解答题(本大题共          6 小题,共    70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.                    )

    17.            (本小题满分     10 分)             已知  m  R 且 m  1,试解关于     x 的不等式:

        m  3x2  2m  3x  m  0 .
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18.(       本小题满分      12 分)在△  ABC  中,三个内角      A, B,C 所对的边分别为       a,b,c ,已知函数
                                           
f (x)  sin(3x  B)  cos(3x  B) 是偶函数,且 b  f ( ) .
                                           12
(1)求   b .

            2
(2)若   a     ,求角   C .
           2


19.   (   本小题满分     12 分)在四棱锥     P  ABCD  中,平面    PAD   平面  ABCD,APD      90 ,
                                                               P
PA  PD   AB  a , ABCD  是矩形,    E 是 PD  的中点.
                                                                E
(1)求证:     PB / /平面AEC   .
                                                                   D           C
(2)求证:     PB  AC  .
                                                            A           B
                                                                第 19 题图


                                                     S                        1
20. (本小题满分      12 分)设数列{a     } 的前 n 项和为   S ,点  (n, n ) (n N  ) 均在直线 y  x  上. 
                              n              n       n                        2
                                             1
                                          a 
                                           n 2
   (1)求数列{an}    的通项公式;(2)设         bn  3    ,Tn 是数列{bn}的前     n 项和,试求Tn     .


21. (本小题满分      12 分)为稳定房价,某地政府决定建造一批保障房供给社会.计划用                          1 600 万元
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购得一块土地,在该土地上建造             10 幢楼房的住宅小区,每幢楼的楼层数相同,且每层建筑面积均

为 1 000 平方米,每平方米的建筑费用与楼层有关,第                   x 层楼房每平方米的建筑费用为

( kx  800 )元(其中 k 为常数)    .经测算,若每幢楼为          5 层,则该小区每平方米的平均综合费用为
                               购地费用    + 所有建筑费用
1 270 元. (每平方米平均综合费用=               所有建筑面积          ).
(1)求   k 的值;

(2)问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低,应将这                          10 幢楼房建成多少层?此时每平方

米的平均综合费用为多少元?


22.(本小题满分      12 分)已知   A、、B   C 是长轴长    为 4 的 椭圆上的三点,点        A 是长轴的一个顶点,
                          
BC 过椭圆中心     O ,如图,且     AC  BC  0 , BC  2 AC ,

   (1)求椭圆的方程;
                                                                  y
                                                                       C
   (2)如果椭圆上两点        P,Q  使 PCQ  的平分线垂直       AO ,则是否

                                                           O    C
存在实数     ,使 PQ   AB ?请说明理由.                                              A   x
                                                                            A
                                                               B    O
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                       2016-2017 学年度第一学期高二年级月考(二)

                              理科数学试题(A      卷)参考   答案

 一、选择题

题号      1     2     3    4     5     6     7     8     9    10    11    12

答案      D     C     C    B     D     B     A     D     C     B    B     A

 二、填空题

 13. xR,  x2  2x  2  0    14. x  2y  8  0     15.  2    16. m  5

 三、解答

     17. 解:当   m  3 时,不等式变成      3x  3  0 ,得 x 1;  ………    …(2  分)

                                                                     m
     当 3  m  1时,不等式变成      x 1m  3x  m  0 ,得 x 1或x       ;
                                                                  m  3

                                                           … …(5   分)

                           m
     当 m  3 时,得1   x       .                                …… …(8   分)
                          m  3

     综上,当    m  3 时,原不等式的解集为         1,;

                                           m  
     当 3  m  1时,原不等式的解集为          ,      1,;
                                         m  3 

                                    m   
     当 m  3 时,原不等式的解集为         1,      .                  …… …(10  分)
                                   m  3 

 18.(1)  f (x)  sin(3x  B)  cos(3x  B)
                              
                2 sin(3x  B  )
                              4
                                        
          f (x) 是偶函数    B        k 
                                 4        2
                                 
          B (0, )         B   …………………………(4           分)
                                 4
                                               
         f (x)  2 cos3x     b  f ( )   2 cos   1………………(6       分)
                                    12          4
                       2                          1
   (2)b    1, B  ,a        由正弦定理得:      sin A   ………………(8       分)
                 4     2                           2
                                              7
     a  b      A         从而  C             …………………(12        分)
                      6                  4   6   12
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19. (1)连接    BD 交 AC  于点  O ,
                                                               P
        ABCD  是矩形,O是B中D点             ……………(1      分)
                                                               E
       又是中E 点PD                                                   D          C
                                                               F     O
      OE是三角形D的B中P位线                                       A            B
                                                               第 19 题图
      OE   / /PB                         ……………(2    分)

      OE    平面AEC                     ……………(3      分)

       PB  平面AEC                       ……………(4      分)

      PB   / /平面AEC                     ……………(5     分)

   (2)设   AD 中点为   F 连接   BF、PF   .
        PA  PD  AB  a     

                            2       AB   BC
       AD   BC  2a, AF    a             2 .
                            2       AF   AB
       △ ABC  ∽△  FAB        AC  BF       ………    …(8  分)

       又  PA  PD, F是A中D点,    PF    AD ,      ………    …(9   分)

      又平面     PAD   平面  ABCD  ,  AD   平面  PAD  平面  ABCD   , PF  平面PAD       

       PF    面 ABCD                              ………………(10       分)

       AC  平面ABCD,PF        AC  

        PF  BF  F                              ………………(11      分)

        AC  平面  PBF  ,  PB  平面ABCD          AC   PB ………………(12       分)

   


                      S      1           1
20.解:(1)依题意得,          n  n  , 即 S  n2  n .           ……………(2      分)
                      n      2    n      2
                             1             1            1
当 n≥2 时,                  2            2                ;    ………(5    分)
            an  Sn  Sn1  (n  n)  (n 1)  (n 1)  2n 
                             2            2           2
                     1    3        1
当 n=1 时,  a  S 12  1    21  .                      ……………(6      分)
           1  1      2    2        2
            1
所以  a  2n   (n N * ) .                                      ……………(7      分)
     n      2
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                    1
                  a 
                   n 2  2n
(2)由(1)得      bn  3   3 ,                                ……………(8      分)

   b    32(n1)
 由  n1         2   ,可知       为等比数列.                      ……………(10      分)
         2n  3  9      {bn}
    bn   3

      21
由 b1  3  9 ,                                            ……………(11      分)

      9(1 9n ) 9n1  9
故T                 .   ……(12   分)
   n   1 9      8

21. 解:(Ⅰ)当每栋楼建为          5 层时,那么每栋楼的建筑费用为:
      {(k 1 800)  (k  2  800)  (k  3  800)  (k  4  800)  (k  5  800)}1000                                                        

………………(1       分)

           (15k  5800) 1000  5(3k  800) 1000

         所有   10 栋楼的建筑总费用为:         50(3k  800) 1000 ………………(2      分)

         所有楼房的建筑总面积为10            51000 (温馨提示:不要急于计算)……(3                分)

         所以该小区楼房每平方米的平均综合费用为
          160010000   50(3k  800) 1000 1600  5(3k  800)
                                         
                    10 51000                     5
           320  3k  800  1270
         所以   k  50 ……………    …(5  分)

  (Ⅱ)假设将这       10 栋楼房都建设为      n 层,那么我们需要弄清楚以下几个问题:

      (1)    每栋楼的建筑费用:

       [50(1 2  3  ......  n)  800n]1000
             n(n 1)                                   ………………(7       分)
        [50       800n]10000  [25n(n 1)  800n]1000
               2

      (2)    这  10 栋楼的总建筑面积       10000n 平方米………………(8         分)

      (3)    所以该小区楼房每平方米的平均综合费用为:

       160010000   [25n(n 1)  800n]10000  1600  25n(n 1)  800n
                                             
                      10000n                             n
                                                                     (11  分)
         1600                    1600
              25n  800  25  2     25n  800  25  1250(元)
          n                        n
              1600
      当且仅当           25n ( n  N  ) ,
                n
    即 n  8 时平均综合费用最小,最小值为            1250 元                  ………(12    分)
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                                  x2 y
      22. 解:设所求椭圆      的方程为:          1           ,        ,
                                  4  b2   0  b  2  A2,0

                                  
    由椭圆的对称性知        OC   OB ,由  ACABC  0 得 AC  BC ,

    ∵ BC   2 AC ,∴    OC   AC  ,∴三角形     AOC  是等腰直角三角形,∴          C 的坐标为    1,1,


                    2  2                              2   2
                   1  1        2  4                  x  3y
    ∵C 点在椭圆上∴         2 1 ,∴ b   ,所求的椭圆方程为             1 ……5  分 
                   4  b           3                  4   4
(2)由于    PCQ  的平分线垂直      OA (即垂直于      x 轴),不妨设直线       PC 的斜率为    k ,则直线

    QC  的斜率为    k ,直线   PC 的方程为:    y  k x 11 ,直线 QC 的方程为    y  k x 11 , 

      y  k(x 1) 1
                             2  2                2
    由  2   2       得:   1 3k  x  6k k 1 x  3k  6k 1  0 (*)   …………8    分
      x  3y  4  0                  
                                                               3k 2  6k 1
    ∵点        在椭圆上,∴          是方程(*)的一个根,则其另一根为                        ,设
        C 1,1           x 1                                  1 3k 2
                           3k 2  6k 1         3k 2  6k 1
         ,           , xp      2  ,   同理  x           , 
Pxp , y p  QxQ , yQ     1 3k            Q    1 3k 2
                                   3k 2  6k 1 3k 2  6k 1
         y   y   k(x  x )  2k k (     2          2  )  2k
    k    P   Q    P   Q           1 3k       1 3k         1
     PQ  x   x      x  x             2          2            3   ………10   分
          P   Q       P   Q         3k   6k 1 3k  6k 1
                                      1 3k 2     1 3k 2
                                            1
    而由对称性知      B1,1,又  A2,0  ∴  k      
                                        AB  3
                                          
                    PQ                               PQ   AB
∴ kPQ  kAB ,∴ AB 与    共线,且    AB  0 ,即存在实数    ,使         . ……12  分
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