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2018版高中数学第1讲坐标系三简单曲线的极坐标方程练习新人教A版选修4_4

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                        三 简单曲线的极坐标方程

一、基础达标

1.圆心在(1,0)且过极点的圆的极坐标方程为(  )

  A. ρ=1                                  B.ρ=cos θ

  C.ρ=2cos θ                              D.ρ=2sin θ

  解析 圆的直角坐标方程是(x-1)2+y2=1,将                x=ρcos   θ,y=ρsin     θ 代入上式,

  整理得,ρ=2cos θ,即为此圆的极坐标方程.

  答案 C

2.在极坐标系中,圆        ρ=2cos θ   的垂直于极轴的两条切线方程分别为(  )
                                                π
  A.θ=0(ρ∈R)和     ρcos θ=2                B.θ=2(ρ∈R)和     ρcos θ=2
        π
  C.θ=2(ρ∈R)和     ρcos θ=1                D.θ=0(ρ∈R)和     ρcos θ=1
  解析 由    ρ=2cos    θ,得    ρ2=2ρcos    θ,化为直角坐标方程为           x2+y2-2x=0,即

  (x-1)2+y2=1,其垂直于极轴的两条切线方程为                 x=0 和  x=2,相应的极坐标方程为
      π
  θ=2(ρ∈R)和     ρcos θ=2.
  答案 B

3.极坐标方程     ρ·sin θ=2sin 2θ     表示的曲线为(  )

  A.两条直线                                  B.一条射线和一个圆

  C.一条直线和一个圆                              D.圆

  解析 由    ρ·sin   θ=2sin   2θ,得    ρsin  θ=4sin   θcos  θ,即   sin θ(ρ-4cos 

  θ)=0,∴sin     θ=0  或  ρ-4cos   θ=0.∴极坐标方程        ρ·sin   θ=2sin   2θ 表示的

  曲线为直线     sin θ=0   和圆  ρ=4cos θ.

  答案 C
                               π
                            θ-
4.在极坐标系中,曲线         ρ=4sin(    3)关于(  )
            π                                       5π
  A.直线  θ=3对称                             B.直线  θ=   6 对称
         π
       2,
  C.点(   3)对称                             D.极点对称
                         π
                       θ-
  解析 由方程      ρ=4sin(    3),得  ρ2=2ρsin      θ-2   3ρcos    θ,即   x2+y2=2y-
  2 3x.配方,得(x+      3)2+(y-1)2=4.
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  它表示圆心为(-        3,1)、半径为     2 且过原点的圆.
                                  5π
  所以在极坐标系中,它关于直线              θ=  6 成轴对称.
  答案 B
                                          π
5.在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,直线               θ=4被圆    ρ=2sin        θ 截得的弦长是
  ________.


  解析 直线为      y=x(x≥0),圆的方程为        x2+(y-1)2=1,交于原点和点         A(1,1),弦长

  为  2.

  答案     2

                                            2
6.在极坐标系中,曲线         C1 与 C2 的方程分别为     2ρcos θ=sin   θ  与 ρcos  θ=1.以极点

  为平面直角坐标系的原点,极轴为              x 的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线                 C1 与

  C2 交点的直角坐标为________.

  解析 由    2ρcos2θ=sin    θ⇒2ρ2cos2θ=ρsin      θ⇒2x2=y.又由     ρcos   θ=1⇒x=
       2x2=y,    x=1,

  1,由{   x=1  )⇒{y=2,)故曲线    C1 与 C2 交点的直角坐标为(1,2).
  答案 (1,2)
                                        π
                                     θ-
7.已知圆   C 的极坐标方程为       ρ2+2   2ρsin(   4)-4=0,求圆    C 的半径.
  解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点                    O,以极轴为     x 轴的正半轴,建立直角坐
                                       2      2
                                        sin θ- cos θ
  标系  xOy.圆 C 的极坐标方程为       ρ2+2  2ρ( 2       2    )-4=0,
    化简,得    ρ2+2ρsin θ-2ρcos θ-4=0.

    则圆  C 的直角坐标方程为        x2+y2-2x+2y-4=0,

    即(x-1)2+(y+1)2=6,所以圆        C 的半径为    6.


二、能力提升

8.下列点不在曲线       ρ=cos θ   上的是(  )
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     1 π                                       1 2π
      ,                                      -  ,
  A.(2 3)                                 B.(  2 3 )
     1   π                                   1   2π
      ,-                                      ,-
  C.(2   3)                               D.(2   3 )
           1   2                 1        2                       2     1
           ,-  π                                                -  π
  解析 点(2       3 )的极坐标满足     ρ=2,θ=-3π,且         ρ≠cos θ=cos(     3 )=-2.
  答案 D

9.在极坐标系中与圆        ρ=4sin θ   相切的一条直线的方程为(  )
              1
  A.ρcos θ=2                              B.ρcos θ=2
               π                                       π
            θ+                                       θ-
  C.ρ=4sin(    3)                         D.ρ=4sin(    3)
  解析 极坐标方程        ρ=4sin θ   化为   ρ2=4ρsin θ,即      x2+y2=4y,即   x2+(y-2)2=

  4.由所给的选项中       ρcos θ=2   知,x=2    为其对应的直角坐标方程,该直线与圆相切.

  答案 B

10.在极坐标系中,曲线         C1:ρ(   2cos θ+sin   θ)=1  与曲线    C2:ρ=a(a>0)的一个交

  点在极轴上,则       a=________.

                                                               2   2   2
  解析 曲线     C1 的直角坐标方程为       2x+y=1,曲线     C2 的直角坐标方程为       x +y  =a ,
                       2                                   2
                     (  ,0)
  C1 与 x 轴的交点坐标为      2   ,此点也在曲线        C2 上,代入解得     a= 2 .
         2
  答案    2
                                    π                    π      3
                                 2,                    θ-
11.在极坐标系中,已知圆          C 经过点   P(   4),圆心为直线     ρsin(   3)=-  2 与极轴的交
  点,求圆    C 的极坐标方程.
                π      3
              θ-
  解 在   ρsin(   3)=-  2 中,令   θ=0,得    ρ=1,所以圆      C 的圆心坐标为(1,0),因
                     π
                  2,
  为圆  C 的经过点    P(   4),

                                         π
                     ( 2)2+12-2 × 1 × 2cos
  所以圆   C 的半径   PC=                      4=1,于是圆     C 过极点,所以圆       C 的极坐

  标方程为    ρ=2cos θ.

12.在直角坐标系      xOy 中,以   O 为极点,x    正半轴为极轴建立极坐标系,曲线              C 的极坐标
                π
             θ-
  方程为   ρcos(   3)=1,M,N   分别为   C 与 x 轴,y  轴的交点.
  (1)写出  C 的直角坐标方程,并求          M,N 的极坐标;

  (2)设 MN 的中点为    P,求直线    OP 的极坐标方程.
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                    π
                 θ-
  解 (1)由   ρcos(    3)=1,
       1       3
        cos θ+  sin θ
  得  ρ(2      2    )=1.又  x=ρcos θ,y=ρsin θ.
                         x   3
  ∴曲线   C 的直角坐标方程为2+         2 y=1,即   x+ 3y-2=0.
  当  θ=0  时,ρ=2,∴点       M(2,0).
        π        2          2   π
                              3,
  当  θ=2时,ρ=3      3,∴点   N(3   2).
                                           2
                                         0,  3
  (2)由(1)知,M   点的坐标(2,0),点       N 的坐标(    3  ).又 P 为 MN 的中点,
           3                   2 3 π
        1,                        ,
  ∴点  P(   3 ),则点  P 的极坐标为(     3  6).
                               π
  所以直线    OP 的极坐标方程为       θ=6(ρ∈R).
三、探究与创新
                                            π
                                          2,
13.在极坐标系中,O       为极点,已知圆       C 的圆心为(     3),半径   r=1,P  在圆   C 上运动.
  (1)求圆  C 的极坐标方程;

  (2)在直角坐标系(与极坐标系取相同的长度单位,且以极点                       O 为原点,以极轴为        x 轴正

  半轴)中,若     Q 为线段   OP 的中点,求点      Q 轨迹的直角坐标方程.

  解 (1)设圆    C 上任一点坐标为(ρ,θ),由余弦定理得                12=ρ2+22-
              π                                    π
           θ-                                    θ-
  2·2ρcos(    3),所以圆的极坐标方程为           ρ2-4ρcos(    3)+3=0.
  (2)设 Q(x,y),则    P(2x,2y),由于圆     C 的直角坐标方程为(x-1)2+(y-          3)2=1,P  在
                                                           1        3    1
                                                         x-     y-
  圆  C 上,所以(2x-1)2+(2y-      3)2=1,则   Q 的直角坐标方程为(         2)2+(    2 )2=4.
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