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2018_2019学年高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)3.3幂函数课件新人教B版必修1

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3.3 幂函数
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             1.了解幂函数的概念.
   课标要求
             2.掌握a=1,2,3,  ,-1时的五个幂函数的图象与性质.

             通过幂   函数概念及图象、性质的学习,培养直观想象、
   素养达成
             数学建模的核心素养.
新知探求

课堂探究
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1.一般地,形如    y=  x α    (α∈R)的函数叫做幂函数,其中   x  是自变
量,  α     是常数.
2.幂函数随着α的取值不同,它们的定义域、性质和图象也不尽相同,但它
们有一些共同的性质:
(1)所有的幂函数在   (0,+∞)        上都有定义,并且图象都通过点  (1,1)       .
(2)如果α>0,则幂函数的图象通过     原点        ,并且在区间[0,+∞)上
是   增函数         .
(3)如果α<0,则幂函数在区间(0,+∞)上是   减函数      .在第一象限内,当x
从右边趋于原点时,图象在y轴右方无限地逼近    y  轴,当x趋向于+∞时,
图象在x轴上方无限地逼近x轴.
(4)如果幂函数图象过第三象限,则一定过点    (-1,-1)          .
【拓展延伸】
各种幂函数的图象和性质
当指数α=1时,y=x的图象是直线;当α=0时,y=x0=1是断直线(除点(0,1)),除此
以外幂函数的图象都是曲线.
幂函数y=xα的图象在第一象限内具有如下特征:直线x=1,y=1,y=x将直角
坐标平面在第一象限的直线x=1的右侧分为三个区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ,如图.
则α∈(1,+∞)⇔y=xα的图象经过区域Ⅰ内;
α∈(0,1)⇔y=xα的图象经过区域Ⅱ内;
α∈(-∞,0)⇔y=xα的图象经过区域Ⅲ内.
并且在直线x=1的右侧,从x轴起,幂函数y=xα的指数α由小到大递增,即“
指大图高”“指小图低”,在直线x=1的左侧,图象从下到上,相应的指数由
大变小.
                         自我检测

1.下列所给出的函数中,是幂函数的是(  B )
(A)y=-x3  (B)y=x-3  (C)y=2x3  (D)y=x3-1


 解析:由幂函数的定义知,只有B符合.
D 
3.若幂函数f(x)=xα在(0,+∞)上是增函数,则(  A )
(A)α>0    (B)α<0
(C)α=0    (D)α的大小不能确定


解析:当α>0时,f(x)=xα在(0,+∞)上是增函数,选A.
答案:(-∞,+∞) 偶函数
                   课堂探究·素养提升
类型一  幂函数的概念
方法技巧        根据幂函数的解析式特征求解.幂函数解析式的结构特征
:(1)解析式是单项式;(2)幂指数为常数,底数为自变量,系数为1.
变式训练1-1:(1)如果幂函数y=(m2-3m+3) 的图象不过原点,则m的取值是(
  )
(A)-1≤m≤2       (B)m=1或m=2
(C)m=2          (D)m=1
(2)已知幂函数y=f(x)的图象经过点(9,3),则f(100)=               . 

 解析:(1)由幂函数的定义知m2-3m+3=1,所以m=1或m=2.又图象不过原点,
 所以m2-m-2≤0,经验证m=1或m=2均适合.所以选B.


答案:(1)B (2)10
类型二  幂函数的图象 
思路点拨:根据幂函数的图象特征确定相应的图象.
解析:由第一、二、三个图象在第一象限的单调性知,α<0,而第一个图象
关于原点对称,为奇函数,第二个图象关于y轴对称,为偶函数;第三个在y
轴左侧无图象,故这三个图象分别填⑥④③.
由第四、五、六个图象在第一象限的特征知,0<α<1,再由其奇偶性及定
义域知这三个图象应依次填②⑦①.
第七个图象对应的幂指数大于1,故填⑤.
答案:⑥④③②⑦①⑤
方法技巧


类型三  比较大小 


 思路点拨:本题是利用幂函数比较大小的基本题型,可利用幂函数的单调
 性或借助中间量(如“1”)进行比较.

(3)0.70.8与0.80.7;

解:(3)因为y=x0.8是增函数,0.7<0.8,
所以0.70.8<0.80.8.
又因为y=0.8x是减函数,0.7<0.8,
所以0.80.8<0.80.7.
所以0.70.8<0.80.8<0.80.7,即0.70.8<0.80.7.

方法技巧           比较幂值的大小,关键在于构造适当的函数,若指数相同
而底数不同,则考虑幂函数;若指数不同底数相同,则考虑指数函数;若底
数不同,指数也不同,需引入中间量,利用幂函数与指数函数的单调性,也
可以借助幂函数与指数函数的图象.


类型四      易错辨析
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