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【全国百强校word】重庆市第八中学2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题

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            重庆八中        2017-2018     学年度(上)期末考试高一年级
                                        数学试题

                                第Ⅰ卷(选择题 共           60 分)
一、选择题:(本大题共              12 小题,每小题       5 分,共   60 分)

1.已知集合     A  {1,2} , B  {x | x2  4},则 A  B  (  )

A.{2,1,0,1,2}         B.{0,1,2}        C.{1,2}       D.{1}


2.函数   f (x)  1 log2 x 的定义域为(    )

A.{x  | 0  x  2}          B.{x | x  2}       C.{x | x  2}       D.{x | x  4}
                                     
3.已知向量     a  (2,1) , b  (3,m) ,若 (2a  b) / /b ,则 m 的值是(  )

    3              3           1             1
A.            B.          C.           D. 
    2              2           2             2

4.设集合    M  {x | (x 1)(x  3)  0}, N  {y | y(y  3)  0},函数 f (x) 的定义域为 M ,值域为 N ,则函数

 f (x) 的图像可以是(       )


A.                  B.                 C.                D.

          x, x  0
5.设  f (x)        ,则  f ( f (4))  (  )
          x
         2 , x  0
    1             1          1             1
A.             B.          C.           D.
    16            8          4             2

                                                  1          1
                                                             
                                                1 3          2
6.已知   f (x) 在 R 上是减函数,若     a  f (log 1 8) , b  f (( ) ) , c  f (2 ) ,则(  )
                                     2          2

A.  a  b  c          B. c  a  b        C. b  c  a          D. c  b  a
                                             
7.已知   是第二象限角,       tan(  )  7 ,则 sin(  )  (  )
                             4                 3
    4  3 3            3 3  4         3  4 3            4  3  3
A.                  B.              C.                 D.
      10                 10              10                 10
                                                                            11
8.设定义在     R 上的偶函数     f (x) 满足 f (x   )  f (x) ,当 x[0, ) 时, f (x)  sin x ,则 f ( )  (  )
                                                      2                       6
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    1              3            1               3
A.            B.            C.           D. 
    2             2             2              2
                                       
9.函数   f (x)  Asin(x ) (A  0,  0,| | ) 的图像如图所示,为了得到      g(x)  Asin 2x 的图像,则只
                                       2

需将   f (x) 的图像(    )


            
A.向左平移        个长度单位 
           12
            
B.向右平移        个长度单位
           12
            
C. 向左平移       个长度单位
            6
            
D.向右平移        个长度单位
            6
                                                       
10.在  ABC 中,边   BC  的中点   D 满足  DA  AB ,| AD |1,则  AC  AD  (  )

A.1         B.2       C.4         D.8

11.若存在实数      x[ln3,) ,使得  (a  3)ex  2a 1,则实数 a 的取值范围是(        )

A.  (10,)          B. (,10)        C. (,3)          D. (3,)

                                                                 
12.已知   ABC 中,   AB  AC  5 , BC  6 , P 为平面 ABC 内一点,则      PA PB  PA PC 的最小值为(  

)

A.-8         B.  4  2        C.-6         D.-1

                               第Ⅱ卷(非选择题,共            90 分)
二、填空题(本大题共             4 小题,每小题        5 分,共    20 分)
                                        
13.已知   a,b 是两个相互垂直的单位向量,则|            2a  b |           .

                    sin  2cos
14.已知   tan  4 ,则                         .
                    3cos  2sin

15.已知   f (x)  5x3  asin x  8 ,且 f (2)  4 ,则 f (2)            .

16.已知函数     f (x) 是定义域为   R 的偶函数,当      x  0 时, f (x)  x [x](符号[x] 表示不超过   x 的最大整数)
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,若方程     f (x)  loga | x | (a  0,a  1) 有 6 个不同的实数解,则 a 的取值范围是          .

三、解答题(共          70 分) 
                           1
17.已知   f (x) 是对称轴为   x   的二次函数,且       f (0)  1, f (1)  3.
                           2

(Ⅰ)求     f (x) 的解析式;

(Ⅱ)求     f (x) 在 (1,1) 上的值域.

                                              5
18.已知角    的终边过点     P(x,1)(x  0) ,且 cos   x .
                                             5
(Ⅰ)求     tan 的值;
                1 cos2
(Ⅱ)求                           的值.
                  
          2 cos(  )  sin( )
                  4
                                                                  3
19.已知函数     f (x)  a x ( a  0 且 a  1)在[1,1] 上的最大值与最小值之差为       .
                                                                  2
(Ⅰ)求实数      a 的值;

(Ⅱ)若     g(x)  f (x)  f (x) ,当 a 1时,解不等式  g(x2  2x)  g(x  4)  0 .

20.某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券类稳健型产品的收益与投资额成正比,投

资股票类风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知两类产品各投资                                 1 万元时的收益分别为

0.125 万元和   0.5 万元,如图:


(Ⅰ)分别写出两类产品的收益              y (万元)与投资额        x (万元)的函数关系;

(Ⅱ)该家庭有        20 万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使投资获得最大收益,最大收益

是多少万元?
                                      
21.已知函数     f (x)  2sin(x  )sin(3  )  sin .
                         2       3      3

(Ⅰ)求函数       f (x) 的单调增区间;

                                       B
(Ⅱ)若锐角      ABC  的三个角    A, B,C 满足  f ( ) 1 ,求 f (A) 的取值范围.
                                       2
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                       
22.已知向量     a  (x  3, x) , b  (sin 2,asin  acos ) .
                              
(Ⅰ)当     x  1,   时,有|  a  b | 2 ,求实数 a 的值;

                                   3              2
(Ⅱ)对于任意的实数          x 和任意的    [ ,  ],均有|   a  b|  ,求实数    a 的取值范围.
                                    2                4
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                                         试卷答案
一、选择题

1-5:DAABC       6-10:CCADB      11、12:BA

二、填空题
                     2
13.   5           14.             15.-12           16. (2,3]
                    11
三、解答题
                        1                   1    3
17.解(Ⅰ)设      f (x)  a(x  )2  b  f (x)  2(x  )2   f (x)  2x2  2x 1
                        2                   2    2
                 1                  3
(Ⅱ)    f (x)[ f ( ), f (1))  [b, f (1))  [ ,3)
                 2                  2

                       5      x
18.解:由条件知      cos     x       ,解得    x  2 ,故 P(2,1) .
                       5     1 x2
             1  1
(Ⅰ)    tan    
             2  2
                              5
(Ⅱ)∵     P(2,1) ,故 sin    .
                             5

                  2sin2             2sin2                 5
∴原式                                        2sin tan    .
             2         2              cos                 5
          2(   cos    sin)  sin
             2        2

                                            1        1  3
19.解:(Ⅰ)当      a 1时,   f (x)  a , f (x)    ,则  a     ,解得   a  2
                            max         min a        a  2
                      1                 1      3         1
当  0  a 1 时, f (x)   ,  f (x)  a ,则    a  ,解得   a 
                  max a       min       a      2         2
               1
综上得:     a  2 或
                2

(Ⅱ)当     a 1时,由(Ⅰ)知       a  2 , g(x)  2x  2 x 为奇函数且在 R 上是增函数

∴  g(x2  2x)  g(x  4)  0  g(x2  2x)  g(x  4)  g(4  x)  x2  2x  4  x  x 1或 x  4

所以,不等式       g(x2  2x)  g(x  4)  0 的解集为 (,4)  (1,)

                                                  1            1
20.解:(Ⅰ)设       f (x)  k x , g(x)  k x ,∴ k  f (1)  , k  g(1) 
                      1          2        1       8    2       2
         1               1
∴  f (x)  x(x  0) , g(x)  x(x  0)
         8               2
                                                        x  1
(Ⅱ)设投资债券产品万元,则股票类投资万元.依题意得:                          y      20  x(0  x  20)
                                                        8  2
                              20  t 2 1   1
令  t  20  x(0  t  2 5) ,则 y      t   (t  2)2  3.
                                 8    2    8
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所以,当     t  2 ,即 x 16 万元时,收益最大为       3 万元.
                                        
21.解:(Ⅰ)      f (x)  2sin(x  )sin(x  )  sin
                           2       3      3
        1        3        3
  2cos x( sin x  cos x) 
        2       2         2
                       3
  sin xcos x  3 cos2 x 
                      2
   1        3
   sin 2x   cos2x
   2       2
         
  sin(2x  )
          3
                             5          
令     2k  2x      2k      k  x   k
    2            3   2          12          12
                              5      
所以函数     f (x) 的单调增区间    x[     k ,  k ] , k  Z
                              12     12
                       B                                        
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知1          f ( )  sin(B  ) ,锐角 ABC 中:   B       B   .
                       2          3                     3   2      6
                                 
                           0  A 
                                 2                                 4
于是:由锐角三角形         ABC  知                        A      2A       ,
                                               3      2           3   3
                          0  C    A  B 
                                          2
      3                                   3
故      sin(2A  )  0  f (A)sin(2A  )(  ,0)
     2           3                   3      2
                         3
所以   f (A) 的取值范围是    (   ,0) .
                        2
                                          
22.解:(Ⅰ)当      x  1,    时, a  (2,1) , b(0,a) ,
     
∵| a  b | 2 ∴ 4  (a 1)2  2 ∴ a  1

                             3                                            1
(Ⅱ)已知:任意        x R 与  [ ,  ],有  (x  3  2sin cos )2  (x  asin  acos )2  恒成立
                              2                                            8
令  m  3  2sin cos , n  asin  acos ,则
                  1                         1
 (x  m)2  (x  n)2   2x2 2(m  n)x  m2  n2   0
                  8                         8
                          1                1           1         1
    4(m  n)2  8(m2  n2  )  0  (m  n)2   m  n   或 m  n 
                          8                4           2         2
                                                            
令  t  sin  cos  2sin cos  t 2 1 且 t  sin  cos  2 sin(  )[ 2,1],
                                                            4
即:   m  t 2  2 , n  at , m  n  t 2  at  2
                1             1
则:   t 2  at  2   或 t 2  at  2 
                2             2

法一:含参分类讨论(对称轴与定义域[                  2,1] 的位置关系)
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法二:参分求最值(注意单调区间)
          5           3
  at  t 2  或 at  t 2 
          2           2
         5          3
  a  t  或 a  t  (t [ 2,1])
         2t        2t
                 7
由单调性可得      a    或 a   6
                 2
                               7
综上可得实数      a 的取值范围为      (,  ]或[  6,) .
                                2
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