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东北三省四市2018届高考第二次模拟数学试题(理)含答案

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                 东北三省四市教研联合体           2018 届高三第二次模拟考试

                                    理科数学

                               第Ⅰ卷(共      60 分)

一、选择题:本大题共          12 个小题,每小题      5 分,共  60 分.在每小题给出的四个选项中,只有

一项是符合题目要求的.

1.设集合    A  x x  1, B  x xx  3 0,则 A B (   )

A.(-1,0)         B.(0,1)       C.(-1,3)       D.(1,3)
            1 i
2.若复数   z       为纯虚数,则实数        a 的值为(   )
            1 ai
                             1
A.1         B.0       C.            D.-1
                             2
3.中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外.”其中的“筹”取意是指《孙子算经》中

记载的算筹.古代是用算筹来进行计算.算筹是将几寸长的小竹棍摆在下面上进行运算.算筹

的摆放形式有纵横两种形式(如下图所示).表示一个多位数时,像阿拉伯计数一样,把各个

数位的数码从左到右排列.但各位数码的筹式要纵横相间,个位,百位,万位数用纵式表示,

十位,千位,十万位数用横式表示.以此类推.例如                     3266 用箅筇表示就是                ,则

8771 用算筹可表示为(   )


中国古代的算筹数码

A.                    B.                  C.                  D.             

4.右图所示的程序框图是为了求出满足                2n  n2  28 的最小偶数   n ,那么在          空白框内
填入及最后输出的        n 值分别是(   )
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A.  n  n 1 和 6        B. n  n  2 和 6       C. n  n 1 和 8         

D.  n  n  2 和 8
                    tan x
5.函数   f (x) 1 x2     的部分图像大致为(   )
                      x


A.                     B.                   C.               D.

6.某几何体的三视图如图所示(单位:                cm ),其俯视图为等边三角形,则该几何体的体积

(单位:    cm3 )是(   )
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                    10                             8
A.  4 3          B.     3        C. 2 3          D.   3
                    3                              3
7.6 本不同的书在书架上摆成一排,要求甲、乙两本书必须摆在两端,丙、丁两本书必须相

邻,则不同的摆放方法有(   )种

A.24         B.36       C.48         D.60

8. ABC 的内角    A, B,C 的对边分别为     a,b,c ,若

 2bcos B  a cosC  c cos A,b  2,ABC 的面积最大值是(   )

A.1         B.    3        C.2        D.4

9.已知边长为     2 的等边三角形      ABC  , D 为 BC  的中点,以     AD 为折痕,将     ABC  折成直二

面角   B  AD  C ,则过  A, B,C, D 四点的球的表面积为(   )

A. 3          B. 4        C. 5         D. 6

                                                                    
10.将函数    f (x)  sin2x   的图像向右平移     a 个单位得到函数      g(x)  cos(2x  ) 的图
                       3                                             4

象,则   a 的值可以为(   )
    5                    7              9               41
A.                     B.              C.                D.      
    12                    12               24                24
                            x2    y2
11..已知焦点在     x 轴上的双曲线                1的左右两个焦点分别为          F 和  F ,其右支上
                            m2   m2 1                        1    2


存在一点    P 满足   PF1  PF2 ,且 PF1F2 的面积为    3,则该双曲线的离心率为(   )

     5                     7
A.                     B.              C. 2              D. 3  
    2                      2
                                                        5
12.若直线   kx  y  k 1  0 ( k  R )和曲线 E : y  ax3  bx2  ( ab  0 )的图象交于
                                                        3

 A(x1, y1) , B(x2 , y2 ) , C(x3 , y3 ) ( x1  x2  x3 )三点时,曲线 E 在点 A ,点 C 处的切线

总是平行,则过点        (b,a) 可作曲线   E 的(   )条切线

A.0                    B.1             C.2               D.3 

                               第Ⅱ卷(共      90 分)

二、填空题(每题        5 分,满分    20 分,将答案填在答题纸上)
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                           y  0,
                           
13.设实数   x , y 满足约束条件      4x  y  0, 则 z  x  2y  5 的最大值为          .
                           
                           x  y  5,

14.为了了解居民天气转冷时期电量使用情况,某调查人员由下表统计数据计算出回归直线

方程为    y  2.11x  61.13 ,现表中一个数据为污损,则被污损的数据为          .(最

后结果精确到整数位)

  气温  x        18          13         10         -1

 用电量   y       24          34         ·          64

                             1  f (x)
15.已知函数     f (x) 满足 f (x 1)       ,当   f (1)  2 时, f (2018)  f (2019) 的值为          
                             1  f (x)

.

16.已知腰长为     2 的等腰直角     ABC  中,  M  为斜边   AB 的中点,点     P 为该平面内一动点,若
            
| PC | 2 ,则 (PA PB)(PC  PM ) 的最小值是          .

三、解答题 (本大题共          6 小题,共    70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 

                                     2
17.设数列an的前      n 项和为  Sn ,且  Sn  n  n 1,正项等比数列bn的前         n 项和为Tn  ,


且 b2  a2 , b4  a5 .


(I)求an和bn的通项公式;


(II)数列cn中,      c1  a1 ,且 cn  cn1 Tn ,求cn的通项  cn .

18.树立和践行“绿水青山就是金山银山,坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心,

已形成了全民自觉参与,造福百姓的良性循环.据此,某网站退出了关于生态文明建设进展

情况的调查,调查数据表明,环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点,参与调查者中

关注此问题的约占80%         .现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出                     200 人,并将这

200 人按年龄分组:第        1 组[15,25) ,第  2 组[25,35) ,第  3 组[35,45) ,第  4 组[45,55) ,

第  5 组[55,65) ,得到的频率分布直方图如图所示.
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(1)求这    200 人年龄的样本平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数(精

确到小数点后一位);

(2)现在要从年龄较小的第            1,2 组中用分层抽样的方法抽取           5 人,再从这     5 人中随机抽取

3 人进行问卷调查,求这          2 组恰好抽到    2 人的概率;

(3)若从所有参与调查的人(人数很多)中任意选出                      3 人,设其中关注环境治理和保护问

题的人数为随机变量         X ,求   X 的分布列与数学期望.

19.在如图所示的几何体中,四边形              ABCD  是正方形,     PA  平面   ABCD  , E , F 分别是
线段   AD , PB 的中点,     PA  AB 1.


(1)证明:     EF  / / 平面 DCP ;

(2)求平面     EFC  与平面   PDC  所成锐二面角的余弦值.

                               x2   y2                       1          3
20.在平面直角坐标系中,椭圆            C :        1(a  b  0) 的离心率为     ,点  M (1, ) 在椭
                               a2   b2                       2          2

圆 C 上.

(1)求椭圆     C 的方程;

(2)已知    P(2,0) 与 Q(2,0) 为平面内的两个定点,过          (1,0) 点的直线   l 与椭圆  C 交于  A ,

 B 两点,求四边形       APBQ  面积的最大值.
                              a
21.已知函数     f (x)  x2  4x  5  ( a  R ).
                             ex
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(I)若    f (x) 为在 R 上的单调递增函数,求实数           a 的取值范围;

                x
(II)设   g(x)  e f (x) ,当 m 1时,若    g(x1)  g(x2 )  2g(m) (其中 x1  m , x2  m ),


求证:    x1  x2  2m .

 请考生在    22、23  两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.

22.选修   4-4:坐标系与参数方程


在直角坐标系      xOy 中,以坐标原点为极点,           x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线               C1 :
                                        
  cos  3 ,曲线 C  :   4cos ( 0     ).
                  2                     2

(I)求   C1 与 C2 交点的极坐标;
                       2 
(II)设点    Q 在 C  上,  OQ    QP  ,求动点    P 的极坐标方程.
                2          3
23.选修   4-5:不等式选讲

已知函数     f (x) | 2x |  | 2x  3| m , m R .

(I)当   m  2 时,求不等式      f (x)  3 的解集;
                                    2
(II)对于    x (,0)  都有  f (x)  x  恒成立,求实数      m 的取值范围.
                                    x
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                            数学(理科)试题参考答案

一、选择题

1-5: CDCDD          6-10: BABCC       11、12:  BC

二、填空题
                                   7
13.14          14.38           15.             16. 32  24 2
                                   2
三、解答题

                    2
17.解:(1)∵     Sn  n  n 1,∴令   n 1,  a1 1,


 an  Sn  Sn1  2(n 1) , (n  2) ,


经检验   a1 1不能与    an ( n  2 )时合并,

       1,n 1,
∴  an  
       2(n 1),n  2.


又∵数列bn为等比数列,          b2  a2  2 , b4  a5  8 ,

   b
∴   4  q2  4 ,∴ q  2 ,
   b2

                 n1
∴ b1 1,∴  bn  2  .

         1 2n
(2)T           2n 1,
      n   1 2

           1              2                    n1
∵ c2  c1  2 1, c3  c2  2 1,…, cn  cn1  2 1,

                      2(1 2n1)
以上各式相加得       c  c            (n 1) ,
               n   1    1 2


 c1  a1 1 ,

          n
∴ cn 1  2  n 1,

        n
∴ cn  2 1.

18.解:(1)由10(0.010       0.015  a  0.030  0.010) 1,得 a  0.035 ,

平均数为    200.1  300.15  400.35  500.3 600.1  41.5 岁;

设中位数为     x ,则100.010   100.015   (x  35)0.035  0.5 ,∴ x  42.1岁.
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(2)第  1,2 组抽取的人数分别为      2 人,3  人.

设第  2 组中恰好抽取    2 人的事件为   A ,

        C1C 2 3
则        2 3    .
  P(A)   3  
         C5   5
                                                                4
(3)从所有参与调查的人中任意选出            1 人,关注环境治理和保护问题的概率为            P   ,
                                                                5
X 的所有可能取值为      0,1,2,3,
                 4    1                4    4    12
∴ P(X  0)  C 0 (1 )3  , P(X 1)  C1( )1(1 )2  ,
            3    5   125             3 5    5    125
             4     4   48
P(X  2)  C 2 ( )2 (1 )  ,
           3 5     5  125
            4    64
P(X  3)  C3 ( )3  ,
           3 5   125
所以  X 的分布列为:

                  X           0           1           2           3

                  P           1           12         48          64
                             125         125         125         125
         4
∵ X ~ B(3, ) ,
         5
           4  12
∴ E(X )  3   .
           5   5
19.解:(1)取   PC 中点  M ,连接   DM  , MF ,
                                            1
∵ M , F 分别是   PC , PB 中点,∴   MF / /CB , MF   CB ,
                                            2
                                            1
∵ E 为 DA 中点,  ABCD  为矩形,∴    DE / /CB , DE  CB ,
                                            2
∴ MF / /DE , MF  DE ,∴四边形    DEFM  为平行四边形,

∴ EF / /DM ,∵ EF  平面  PDC , DM   平面  PDC ,

∴ EF / / 平面 PDC .

(2)∵  PA  平面  ABC ,且四边形    ABCD  是正方形,∴     AD , AB , AP 两两垂直,以

A 为原点,   AP , AB , AD 所在直线为     x , y , z 轴,建立空间直角坐标系       A  xyz ,
                                   1     1  1
则 P(1,0,0) , D(0,0,1) , C(0,1,1) , E(0,0, ) , F( , ,0) ,
                                   2     2  2
                           1 1  1       1 1
设平面  EFC  法向量  n  (x, y, z) , EF  ( , , ) , FC  ( , ,1) ,
                1                2 2  2           2 2
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    
            x  y  z  0,  
  EF n1  0, 
则   即   1   1       取 n1  (3,1,2) ,
  FC n  0,   x  y  z  0,
      1      2   2
                                
设平面  PDC  法向量为  n2  (x, y, z) , PD  (1,0,1) , PC  (1,1,1) ,
    
                          
  PD n2  0, x  z  0,
则   即           取 n2  (1,0,1) ,
              x  y  z  0,
  PC n2  0, 
              
      
             n1 n2 31 (1)0  21 5 7
 cos  n1,n2                   ,
           | n1 | | n2 | 14  2     14

                                      5 7
所以平面   EFC 与平面  PDC 所成锐二面角的余弦值为           .
                                       14
            c  1
20.解:(1)∵      ,∴  a  2c ,
            a  2
           x2  y2
椭圆的方程为           1 ,
          4c2  3c2
    3       1    9
将 (1, ) 代入得        1,∴ c2 1,
    2      4c2  12c2
            x2  y2
∴椭圆的方程为          1.
            4   3

                           x2 y2
                               1,
(2)设  l 的方程为  x  my 1,联立  4 3
                          
                          x  my 1,

消去  x ,得 (3m2  4)y2  6my  9  0 ,


设点  A(x1, y1) , B(x2 , y2 ) ,
          6m           9
有 y  y       , y y       ,
   1  2  3m2  4  1 2 3m2  4

             12 1 m2  12(1 m2 )
有| AB | 1 m2                ,
              3m2  4   3m2  4

                        3
点 P (2,0) 到直线 l 的距离为       ,
                       1 m2

                      1
点 Q(2,0) 到直线 l 的距离为       ,
                     1 m2
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                       1  12(1 m2 )   4     24 1 m2
从而四边形         的面积                                    (或
         APBQ       S       2               2
                       2   3m   4   1 m2    3m  4
   1
S   | PQ || y  y | )
   2       1  2

令 t  1 m2 , t 1,
      24t     24                 1           1
有 S            ,设函数    f (t)  3t  , f '(t)  3  0 ,所以 f (t) 在[1,) 上
       2        1                             2
     3t 1  3t                  t           t
                t
单调递增,
     1            24t    24
有 3t   4 ,故 S            6 ,
                  2        1
     t          3t 1   3t 
                           t
所以当  t 1,即  m  0 时,四边形   APBQ 面积的最大值为      6.

21.解:(1)∵    f (x) 的定义域为  x  R 且单调递增,
                         a
∴在  x  R 上, f '(x)  2x  4   0 恒成立,
                         ex
即: a  (4  2x)ex ,

所以设  h(x)  (4  2x)ex , x  R ,

∴ h'(x)  (2  2x)ex ,

∴当  x (,1) 时, h'(x)  0 ,∴ h(x) 在 x (,1) 上为增函数,

∴当  x [1,) 时, h'(x)  0 ,∴ h(x) 在 x [1,) 上为减函数,

∴ h(x)   h(1)  2e ,∵ a  (4  2x)ex  ,
     max                        max

∴ a  2e ,即 a [2e,) .

(2)∵  g(x)  ex f (x)  (x2  4x  5)ex  a ,


∵ g(x1)  g(x2 )  2g(m) , m[1,) ,


    2        x1      2         x2       2         m
∴ (x1  4x1  5)e  a  (x2  4x2  5)e  a  2(m  4m  5)e  2a ,


    2        x1    2        x2     2        m
∴ (x1  4x1  5)e  (x2  4x2  5)e  2(m  4m  5)e ,

           2        x
∴设(x)   (x  4x  5)e , x  R ,则(x1) (x2 )  2(m) ,
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∴  '(x)  (x 1)2 ex  0 ,∴(x) 在 x  R 上递增,

∴设  F(x)  (m  x) (m  x) , x (0,) ,

∴ F '(x)  (m  x 1)2 emx  (m  x 1)2 emx ,

∵ x  0 ,

∴ emx  emx  0 , (m  x 1)2  (m  x 1)2  (2m  2)2x  0 ,

∴ F '(x)  0 , F(x) 在 x (0,) 上递增,

∴ F(x)  F(0)  2(m) ,

∴(m   x) (m  x)  2(m) , x (0,) ,


令 x  m  x1 ,


∴(m   m  x1) (m  m  x1)  2(m) ,即(2m  x1) (x1)  2(m) ,


又∵(x1) (x2 )  2(m) ,


∴(2m   x1)  2(m) (x2 )  2(m) ,即(2m  x1)  (x2 ) ,

∵(x) 在 x  R 上递增,


∴ 2m  x1  x2 ,即 x1  x2  2m 得证.

              cos  3,      3
22.解:(1)联立            cos    ,
               4cos,       2
             
∵ 0    ,   ,   2 3 ,
        2     6
                   
∴所求交点的极坐标      (2 3, ) .
                    6
                                       
(2)设  P(, ) , Q( , ) 且   4cos , [0, ) ,
                 0 0    0      0  0    2

             2
          2      0  ,
由已知  OQ   QP ,得     5
          3      
                 0  ,
  2                                         
∴     4cos ,点 P 的极坐标方程为   10cos , [0, ) .
  5                                         2
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                                           
                                           4x 1, x  0,
                                           
                                              3
23.解:(1)当   m  2 时, f (x) | 2x |  | 2x  3| 2  1,  x  0,
                                              2
                                                      3
                                            4x  5, x   .
                                                     2

  4x 1 3,         1      3
当         解得  0  x  ;当    x  0 ,1 3 恒成立;
  x  0,            2      2

  4x  5  3,
                        3
当     3    解得  2  x   ,
   x   ,               2
     2

                       1 
此不等式的解集为      x | 2  x   .
                       2

                            2        3
                         x   3 m,   x  0,
                    2       x        2
(2)令  g(x)  f (x)  x   
                    x         2           3
                        5x   m  3, x   ,
                            x           2
   3                     2
当    x  0 时, g '(x)  1 ,当  2  x  0 时, g '(x)  0 ,所以 g(x) 在
   2                    x2
                     3                                  3
[ 2,0) 上单调递增,当       x   2 时, g '(x)  0 ,所以 g(x) 在[ , 2) 上单调递
                     2                                  2
减,


所以  g(x)min  g( 2)  2 2  3 m  0 ,

所以 m  2 2  3 ,
      3               2                     3
当 x   时,  g '(x)  5   0 ,所以 g(x) 在 (, ]上单调递减,
      2               x2                    2
               3      35
所以  g(x)   g( )  m   0 ,
       min     2      6
        35
所以 m     ,
         6

综上,  m  2 2  3 .

 
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