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2018北京卷理科数学高考真题

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               2018  年普通高等学校招生全国统一考试

                       数  学(理)(北京卷)

    本试卷共    5 页,150  分。考试时长      120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷

上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

                        第一部分(选择题             共 40 分)

一、选择题共      8 小题,每小题      5 分,共   40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目

    要求的一项。

(1)已知集合      A={x||x|<2},B={–2,0,1,2},则     A  B=

    (A){0,1}                               (B){–1,0,1}

    (C){–2,0,1,2}                          (D){–1,0,1,2}
                      1
(2)在复平面内,复数          1 i 的共轭复数对应的点位于
    (A)第一象限                                (B)第二象限

    (C)第三象限                                (D)第四象限

(3)执行如图所示的程序框图,输出的                 s 值为


          1                                      5
    (A)   2                                (B)   6
          7                                      7
    (C)   6                                (D)   12
(4)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为
                  中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台

     这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得

     到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都

         12
     等于    2 .若第一个单音的频率为          f,则第八个单音的频率为

          3                                      3 2
    (A)    2 f                             (B)    2 f

          12 5                                  12 7
    (C)    2 f                             (D)    2 f

(5)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为


    (A)1                                   (B)2  

    (C)3                                   (D)4

                              a  3b  3a  b
(6)设   a,b  均为单位向量,则“                      ”是“a⊥b”的

    (A)充分而不必要条件                            (B)必要而不充分条件 

    (C)充分必要条件                              (D)既不充分也不必要条件

(7)在平面直角坐标系中,记             d 为点  P(cosθ,sinθ)到直线     x  my  2  0 的距离,当 θ,

     m 变化时,d    的最大值为

    (A)1                                   (B)2

    (C)3                                   (D)4

(8)设集合     A  {(x, y) | x  y 1,ax  y  4, x  ay  2}, 则

    (A)对任意实数        a, (2,1) A            (B)对任意实数       a,(2,1)     A
                                                           3
                                                        a 
    (C)当且仅当       a<0 时,(2,1)     A       (D)当且仅当         2 时,(2,1)      A

                          第二部分(非选择题               共 110 分)
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二、填空题共      6 小题,每小题      5 分,共   30 分。


       an                               an 
(9)设       是等差数列,且       a1=3,a2+a5=36,则      的通项公式为__________.

(10)在极坐标系中,直线            cos   sin  a(a  0) 与圆 =2cos 相切,则

      a=__________.
                           π                   π
                   cos(x  )(  0)   f (x)  f ( )
(11)设函数     f(x)=          6      ,若           4 对任意的实数      x 都成立,则    ω 的
      最小值为__________.

(12)若   x,y  满足  x+1≤y≤2x,则  2y−x 的最小值是__________. 

(13)能说明“若       f(x)>f(0)对任意的       x∈(0,2]都成立,则         f(x)在[0,2]上是

      增函数”为假命题的一个函数是__________.

                 x2  y2                      x2  y2
                :                           :
              M   2  2 1(a  b  0)     N   2  2 1
(14)已知椭圆         a   b            ,双曲线       m   n    .若双曲线     N 的两条渐近

      线与椭圆    M 的四个交点及椭圆        M  的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆

      M 的离心率为__________;双曲线         N 的离心率为__________.

三、解答题共      6 小题,共    80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。

(15)(本小题      13 分)
                                  1
      在△ABC   中,a=7,b=8,cosB=–    7 .
      (Ⅰ)求∠A;

      (Ⅱ)求    AC 边上的高.


(16)(本小题      14 分)

                         A B C     CC                              AA
      如图,在三棱柱       ABC−  1 1 1 中,   1  平面  ABC,D,E,F,G      分别为      1 ,

           A C   BB                         AA
      AC,   1 1 ,  1 的中点,AB=BC=      5 ,AC=   1 =2.
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      (Ⅰ)求证:AC⊥平面        BEF;

      (Ⅱ)求二面角      B−CD−C1  的余弦值;

      (Ⅲ)证明:直线        FG 与平面   BCD  相交.


(17)(本小题      12 分)

      电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:

    电影类型         第一类       第二类       第三类       第四类      第五类       第六类

    电影部数           140       50       300       200       800       510

    好评率            0.4       0.2      0.15      0.25      0.2       0.1

              好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.

      假设所有电影是否获得好评相互独立.

      (Ⅰ)从电影公司收集的电影中随机选取                1 部,求这部电影是获得好评的第四类电影

      的概率;

      (Ⅱ)从第四类电影和第五类电影中各随机选取                    1 部,估计恰有     1 部获得好评的概

      率;

      (Ⅲ)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等,用“

        1                                  0
       k   ”表示第    k 类电影得到人们喜欢,“           k   ”表示第     k 类电影没有得到人们喜

                                       D    D    D   D    D   D
      欢(k=1,2,3,4,5,6).写出方差               1 ,  2 ,   3 ,  4 ,   5 ,   6 的大小

      关系.


(18)(本小题13分)
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                    2                  x
      设函数    f (x) =[ ax  (4a 1)x  4a  3 ] e .

      (Ⅰ)若曲线y= f(x)在点(1,          f (1) )处的切线与   x 轴平行,求a;

      (Ⅱ)若    f (x) 在x=2处取得极小值,求a的取值范围.


(19)(本小题      14 分)

                     2
      已知抛物线     C:  y =2px 经过点  P (1,2).过点      Q(0,1)的直线       l 与抛物线   C 有

      两个不同的交点       A,B,且直线      PA 交 y 轴于  M,直线    PB 交 y 轴于  N.

      (Ⅰ)求直线     l 的斜率的取值范围;

                                                     1   1
                                      
      (Ⅱ)设    O 为原点,    QM  QO ,  QN  QO ,求证:        为定值.


(20)(本小题14分)

                          { |  (t ,t ,,t ),t {0,1},k 1,2,,n}
      设 n 为正整数,集合       A=        1 2    n k                 .对于集合     A 中的

      任意元素      (x1, x2 ,, xn ) 和   (y1, y2 ,, yn ) ,记
                   1
                     [(x  y  | x  y |)  (x  y  | x  y |)   (x  y  | x  y |)]
            ,          1  1   1  1     2   2   2  2        n   n   n   n
       M(     )= 2                                                      .

      (Ⅰ)当   n=3 时,若    (1,1,0) ,   (0,1,1) ,求 M(, )和 M(,  )的值;

      (Ⅱ)当    n=4 时,设  B 是  A 的子集,且满足:对于         B 中的任意元素,       ,当,   相

                 ,                               ,
      同时,M(        )是奇数;当,      不同时,M(         )是偶数.求集合       B 中元素

      个数的最大值;

      (Ⅲ)给定不小于        2 的 n,设  B 是 A 的子集,且满足:对于          B 中的任意两个不同的

      元素,   ,

      M(,    )=0.写出一个集合        B,使其元素个数最多,并说明理由.
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绝密★启用前
               2018  年普通高等学校招生全国统一考试
                        理科数学试题参考答案

一、选择题

(1)A        (2)D       (3)B        (4)D        (5)C        (6)C       (7)C

        (8)D

二、填空题
                                                     2
(9)  a   6n  3       (10)1    2             (11)                   (12)3
      n                                              3


(13)   f (x) =sinx(答案不唯一)                      (14)   3 1  2

三、解答题

(15)(共    13 分)
                                    1          π
      解:(Ⅰ)在△ABC        中,∵cosB=–   7 ,∴B∈(    2 ,π),

                        4 3
              1 cos2 B 
      ∴sinB=             7  .
                                       8
                    a     b      7    4 3           3
                       
      由正弦定理得      sin A sin B  sin A = 7 ,∴sinA=  2 .
              π                 π           π
      ∵B∈(    2 ,π),∴A∈(0,      2 ),∴∠A=    3 .

                                                           3    1   1  4 3
                                                             ( )  
      (Ⅱ)在△ABC     中,∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=    2     7   2   7 =

      3  3
       14 .

                                    h                   3  3  3 3
                                                      7    
      如图所示,在△ABC        中,∵sinC=   BC ,∴h=  BC sin C =  14    2  ,

                     3 3
      ∴AC  边上的高为      2  .
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(16)(共    14 分)

      解:(Ⅰ)在三棱柱         ABC-A1B1C1 中,

      ∵CC1⊥平面     ABC,

      ∴四边形    A1ACC1 为矩形.

      又 E,F  分别为    AC,A1C1 的中点,

      ∴AC⊥EF.

      ∵AB=BC.

      ∴AC⊥BE,

      ∴AC⊥平面     BEF.

      (Ⅱ)由(I)知       AC⊥EF,AC⊥BE,EF∥CC1.

      又 CC1⊥平面    ABC,∴EF⊥平面      ABC.

      ∵BE   平面  ABC,∴EF⊥BE.

      如图建立空间直角坐标系           E-xyz.


      由题意得    B(0,2,0),C(-1,0,0),D(1,0,1),F(0,0,2),

      G(0,2,1).
        uuur        uur
      ∴ CD=(2,0,1,) C,B,=(1 2 0) ,

      设平面   BCD  的法向量为     n  (a ,b,c) ,
            uuur
        n CD  0   2a  c  0
      ∴    uur  ,∴           ,
                       a  2b  0
        n CB  0   

      令 a=2,则   b=-1,c=-4,
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      ∴平面   BCD  的法向量    n  (2,,1  4) ,

                             uur
      又∵平面    CDC1 的法向量为     EB=(0,2,0) ,
                        uur
               uur   n  EB     21
      ∴ cos  n  EB  uur =    .
                    | n || EB | 21

                                                                   21
      由图可得二面角       B-CD-C1 为钝角,所以二面角         B-CD-C1 的余弦值为          .
                                                                   21

      (Ⅲ)由(Ⅱ)知平面          BCD 的法向量为     n  (2,,1  4) ,∵G(0,2,1),

      F(0,0,2),
        uuur               uuur           uuur
      ∴ GF=(0,,2  1) ,∴ n GF  2 ,∴ n 与 GF 不垂直,

      ∴GF  与平面   BCD  不平行且不在平面        BCD 内,∴GF    与平面   BCD  相交.

(17)(共    12 分)

      解:(Ⅰ)由题意知,样本中电影的总部数是                   140+50+300+200+800+510=2000,

      第四类电影中获得好评的电影部数是                200×0.25=50.
                   50
      故所求概率为            0.025
                  2000
      (Ⅱ)设事件      A 为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”,

      事件  B 为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”.

      故所求概率为      P(  AB  AB )=P(  AB )+P(  AB )

      =P(A)(1–P(B))+(1–P(A))P(B).

      由题意知:P(A)估计为          0.25,P(B)估计为      0.2.

      故所求概率估计为        0.25×0.8+0.75×0.2=0.35.


      (Ⅲ)   D1 > D4 > D2 = D5 > D3 > D6 .

(18)(共    13 分)

                            2                 x
      解:(Ⅰ)因为       f (x) =[ ax  (4a 1)x  4a  3 ] e ,

      所以  f ′(x)=[2ax–(4a+1)]ex+[ax2–(4a+1)x+4a+3]ex

      =[ax2–(2a+1)x+2]ex.

      f ′(1)=(1–a)e.

      由题设知    f ′(1)=0,即(1–a)e=0,解得  a=1.

      此时  f (1)=3e≠0.
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      所以  a 的值为   1.

      (Ⅱ)由(Ⅰ)得        f ′(x)=[ax2–(2a+1)x+2]ex=(ax–1)(x–2)ex.
           1           1
      若 a> 2 ,则当   x∈( a ,2)时,f ′(x)<0;
      当 x∈(2,+∞)时,f ′(x)>0.

      所以  f (x)在 x=2 处取得极小值.
           1                               1
      若 a≤ 2 ,则当   x∈(0,2)时,x–2<0,ax–1≤    2 x–1<0,
      所以  f ′(x)>0.

      所以  2 不是  f (x)的极小值点.
                               1
      综上可知,a     的取值范围是(         ,+∞).
                               2
(19)(共    14 分)

      解:(Ⅰ)因为抛物线          y2=2px 经过点  P(1,2),

      所以  4=2p,解得    p=2,所以抛物线的方程为          y2=4x.

      由题意可知直线       l 的斜率存在且不为       0,

      设直线   l 的方程为    y=kx+1(k≠0).

          2
        y   4x    2 2
      由         得 k x  (2k  4)x 1  0 .
        y  kx 1

      依题意     (2k  4)2  4 k 2 1  0 ,解得 k<0 或 0
	
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