网校教育资源平台

2018年高中数学第三章不等式3.1不等关系与不等式学案新人教A版必修5

评价文档:
文档评论: 0

高中数学审核员

中国现代教育网
分享到:
0积分 下载
                 中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台

                            3.1 不等关系与不等式


     预习课本    P72~74,思考并完成以下问题 

    (1)如何用不等式(组)来表示不等关系?

      
    (2)比较两数(或式)的大小有哪些常用的方法?

     
    (3)不等式的性质有哪几条?

     

                                    [新知初探]
                                           
    1.不等式的概念
    我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式,以表
示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子叫做不等式.
    2.比较两个实数       a,b 大小的依据
                          文字语言                        符号表示

                 如果  a>b,那么   a-b  是正数;             a>b⇔a-b>0

                 如果  ab⇔bb,b>c⇒a>c;
    (3)可加性:a>b⇒a+c>b+c;

    推论(同向可加性):Error!⇒a+c>b+d;

    (4)可乘性:Error!⇒ac>bc;Error!⇒acbd;
    (5)正数乘方性:a>b>0⇒an>bn(n∈N*,n≥1);

                         n  n
    (6)正数开方性:a>b>0⇒       a> b(n∈N*,n≥2).
    [点睛] (1)在应用不等式时,一定要搞清它们成立的前提条件.不可强化或弱化成立
的条件.
    (2)要注意“箭头”是单向的还是双向的,也就是说每条性质是否具有可逆性.

                                    [小试身手]
                 中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台

    1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
    (1)不等式   x≥2  的含义是指     x 不小于   2(  )
    (2)若 ab,则   ac>bc 一定成立(  )
    (4)若 a+c>b+d,则     a>b,c>d(  )
    解析:(1)正确.不等式         x≥2 表示   x>2 或 x=2,即   x 不小于   2,故此说法是正确的.
    (2)正确.不等式      a≤b 表示   ab,则   ac>bc 不一定成立,故此说法是错误的.
    (4)错误.取    a=4,c=5,b=6,d=2,满足          a+c>b+d,但不满足       a>b,故此说法错
误.
    答案:(1)√ (2)√ (3)× (4)×
    2.已知   a+b>0,b<0,那么     a,b,-a,-b     的大小关系是(  )
    A.a>b>-b>-a                     B.a>-b>-a>b
    C.a>-b>b>-a                      D.a>b>-a>-b
    解析:选    C 法一:∵A、B、C、D        四个选项中,每个选项都是唯一确定的答案,∴可
用特殊值法.
    令 a=2,b=-1,则有       2>-(-1)>-1>-2,
    即 a>-b>b>-a.
    法二:∵a+b>0,b<0,∴a>-b>0,-a-b>0>b>-a,即     a>-b>b>-a.
    3.设  a,b  是非零实数,若       a0,
         1   1   b-a       1   1
    所以a2b-ab2=a2b2>0,故a2b>ab2.
    4.若  A=(x+3)(x+7),B=(x+4)(x+6),则         A,B 的大小关系为________.
    解析:由题意得,A=x2+10x+21,B=x2+10x+24,所以                A-B=-3<0.
    答案:Ab-3d                     B.2ac>3bd
    C.2a+c>b+3d                      D.2a+3d>b+c
    (2)下列说法不正确的是(  )
    A.若  a∈R,则(a2+2a-1)3>(a-2)3
    B.若  a∈R,则(a-1)4>(a-2)4
                   1   1
    C.若  0(3)b
    D.若  00,所以   a2+2a-1>a-
2,则(a2+2a-1)3>(a-2)3,故      A 选项说法正确;对于        B,当   a=1 时,(a-1)4=0,(a-
2)4=1,所以(a-1)4>(a-2)4     不成立;对于      C 和 D,因为   0b>c,且   a+b+c=0,则下列不等式恒成立的是(  )
A.ab>bc                          B.ac>bc
C.ab>ac                          D.a|b|>|b|c
解析:选    C 因为    a>b>c,且  a+b+c=0,所以      a>0,c<0,所以    ab>ac.
                                 e       e
2.若  a>b>0,cb-d2.
证明:∵c-d>0.
                                                 1       1
又 a>b>0,∴a-c>b-d>0,则(a-c)2>(b-d)2>0,即a-c2<b-d2.
             e       e
又 e<0,∴a-c2>b-d2.

                                       数式的大小比较

[典例] (1)已知     x<1,比较   x3-1 与  2x2-2x 的大小;
                      1
(2)已知  a>0,试比较     a 与a的大小.
[解] (1)(x3-1)-(2x2-2x)
=(x-1)(x2+x+1)-2x(x-1)
=(x-1)(x2-x+1)
            1   3
         x-  2+
=(x-1)[(    2)  4].
                     1   3
                  x-
∵x<1,∴x-1<0.又(       2)2+4>0,
            1   3
         x-  2+
∴(x-1)[(    2)  4]<0.
∴x3-1<2x2-2x.
          1  a2-1   a-1a+1
(2)因为  a-a=    a  =       a      ,
                       a-1a+1           1
因为  a>0,所以当     a>1 时,       a      >0,有  a>a;
           a-1a+1             1
当 a=1  时,        a      =0,有   a=a;
            a-1a+1           1
当 01 时,a>a;
                 中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台

                  1
    当 a=1  时,a=a;
                  1
    当 0b>0,比较a2+b2与a+b的大小.
        a2-b2  a-b   a2-b2a+b-a-ba2+b2
    解:a2+b2-a+b=             a2+b2a+b           =
a-b[a+b2-a2+b2]
     a2+b2a+b
         2aba-b
    =a2+b2a+b.
    ∵a>b>0,∴2ab>0,a-b>0,a2+b2>0,a+b>0,
         2aba-b            a2-b2 a-b
    得a2+b2a+b>0,所以a2+b2>a+b.
    2.若  m>2,比较    mm 与 2m 的大小.
            mm   m                   m         m   m
    解:因为    2m =( 2 )m,又因为  m>2,所以   2 >1,所以(  2 )m>( 2 )0=1,所以 mm>2m.

                                          用不等式性质求解取值范围

    [典例] 已知     1<a<4,2<b<8,试求       2a+3b 与  a-b 的取值范围.
                 中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台

    [解] ∵1<a<4,2<b<8,∴2<2a<8,6<3b<24.
    ∴8<2a+3b<32.
    ∵2<b<8,∴-8<-b<-2.
    又∵1<a<4,∴1+(-8)<a+(-b)<4+(-2),
    即-7<a-b<2.
    故 2a+3b  的取值范围是(8,32),a-b        的取值范围是(-7,2).

    同向不等式具有可加性与可乘性,但是不能相减或相除,应用时,要充分利用所给条
件进行适当变形来求范围,注意变形的等价性.

                       a
    1.在本例条件下,求b的取值范围.
                     1 1  1
    解:∵2<b<8,∴8<b<2,而           1<a<4,
         1     1    1    1  a
    ∴1×8<a·b<4×2,即8<b<2.
      a            1
                    ,2
    故b的取值范围是(8        ).
    不等式两边同乘以一个正数,不等号方向不变,同乘以一个负数,不等号方向改变,
求解中,应明确所乘数的正负.

                               a
    2.已知-6<a<8,2<b<3,求b的取值范围.
    解:∵-6<a<8,2<b<3.
      1  1  1
    ∴3<b<2,
                       a
    ①当  0≤a<8   时,0≤b<4;
                          a
    ②当-6<a<0     时,-3<b<0.
                   a
    由①②得:-3<b<4.
      a
    故b的取值范围为(-3,4).
    利用不等式性质求范围,应注意减少不等式使用次数.

    3.已知-1≤a+b≤1,1≤a-2b≤3,求            a+3b 的取值范围.
                                                                         5

    解:设   a+3b=λ1(a+b)+λ2(a-2b)=(λ1+λ2)a+(λ1-2λ2)b,解得               λ1=3,
       2

λ2=-3.
                 中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台

        5  5        5        2           2
    又-3≤3(a+b)≤3,-2≤-3(a-2b)≤-3,
          11
    所以-   3 ≤a+3b≤1.
                          11
                        -   ,1
    故 a+3b  的取值范围为[       3   ].


                             层级一 学业水平达标
    1.李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机,他现在已存                         60 元.计划从现在起以
后每个月节省      30 元,直到他至少有        400 元.设   x 个月后他至少有      400 元,则可以用于计算
所需要的月数      x 的不等式是(  )
    A.30x-60≥400                    B.30x+60≥400
    C.30x-60≤400                     D.30x+40≤400
    解析:选    B x  月后他至少有      400 元,可表示成     30x+60≥400.
    2.已知   a,b,c   满足  cac                          B.c(b-a)<0
    C.cb20

    解析:选    A 由   c0,c<0,故由    b>c,a>0⇒ab>ac,A   正确;由
b0,B    错误;由    cN                            B.M0,∴M=2x+1>1,而       x2+1≥1,
        1
    ∴  1+x2≤1,∴M>N,故选       A.
    6.某校高一年级的        213 名同学去科技馆参观,租用了某公交公司的                  x 辆公共汽车.如
果每辆车坐     30 人,则最后一辆车不空也不满.则题目中所包含的不等关系为________.

    解析:根据题意得:Error!

    答案:Error!
    7.比较大小:a2+b2+c2________2(a+b+c)-4.
    解析:a2+b2+c2-[2(a+b+c)-4]
    =a2+b2+c2-2a-2b-2c+4
    =(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+1≥1>0,
    故 a2+b2+c2>2(a+b+c)-4.
    答案:>
    8.已知-1≤x+y≤4,且         2≤x-y≤3,则     z=2x-3y  的取值范围是________(用区间
表示).
                 1       5
    解析:∵z=-2(x+y)+2(x-y),
           1        1    5        15
    -2≤-2(x+y)≤2,5≤2(x-y)≤         2 ,
           1        5
    ∴3≤-2(x+y)+2(x-y)≤8,
    ∴z 的取值范围是[3,8].
    答案:[3,8]
    9.两种药片的有效成分如下表所示:

                     成分       阿司匹林        小苏打       可待因

                  药片            (mg)       (mg)      (mg)

                   A(1 片)         2         5         1
                 中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台

                   B(1 片)         1         7         6
    若要求至少提供       12  mg 阿司匹林,70     mg 小苏打和    28 mg 可待因,求两种药片的数量
应满足怎样的不等关系?用不等式的形式表示出来.
    解:设提供     A 药片  x 片,B  药片  y 片,由题意可得:

    Error!
                            b  a
    10.(1)若  a<b<0,求证:a<b;
                 1  1
    (2)已知  a>b,a<b,求证:ab>0.
                 b  a b2-a2   b+ab-a
    证明:(1)由于a-b=        ab  =      ab      ,
    ∵a<b<0,
    ∴b+a<0,b-a>0,ab>0,
      b+ab-a          b  a
    ∴       ab     <0,故a<b.
         1  1    1 1
    (2)∵a<b,∴a-b<0,
      b-a
    即  ab <0,而   a>b,∴b-a<0,∴ab>0.
                               层级二 应试能力达标
    1.若  x∈R,y∈R,则(  )
    A.x2+y2>2xy-1                   B.x2+y2=2xy-1
    C.x2+y2<2xy-1                    D.x2+y2≤2xy-1
    解析:选    A 因为    x2+y2-(2xy-1)=x2-2xy+y2+1=(x-y)2+1>0,所以          x2+
y2>2xy-1,故选    A.

    2.已知   a1∈(0,1),a2∈(0,1),记     M=a1a2,N=a1+a2-1,则     M 与 N 的大小关系是(  
)
    A.MN
    C.M=N                            D.M≥N

    解析:选    B ∵a1∈(0,1),a2∈(0,1),∴-10,∴M>N,故
选  B.
    3.若-1<α<β<1,则下列各式中恒成立的是(  )
    A.-2<α-β<0                       B.-2<α-β<-1
    C.-1<α-β<0                       D.-1<α-β<1
    解析:选    A 由-1<α<1,-1<β<1,得-1<-β<1,
                 中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台

    ∴-2<α-β<2.又∵α<β,故知-2<α-β<0.
    4.某厂技术科组织工人参加某项技能测试,某职工参加完测试后对自己的成绩进行了
如下估计:理论考试成绩           x 超过  85 分,技能操作成绩       y 不低于   90 分,答辩面试成绩        z 高
于  95 分,用不等式组表示为(  )

    A.Error!                       B.Error!

    C.Error!                       D.Error!
    解析:选    C x  超过  85 分表示为    x>85,y 不低于   90 分表示为    y≥90,z  高于   95 分,表
示为   z>95,故选   C.
                      1
    5.已知|a|<1,则1+a与        1-a 的大小关系为________.
    解析:由|a|<1,得-1<a<1.
    ∴1+a>0,1-a>0.
       1
      1+a    1
    即1-a=1-a2
                      1          1
    ∵0<1-a2≤1,∴1-a2≥1,∴1+a≥1-a.
           1
    答案:1+a≥1-a
    6.给出下列四个命题:①若            a>b,c>d,则   a-d>b-c;②若     a2x>a2y,则  x>y;
          1  1      1 1
③a>b,则a-b>a;④若ad 得:-d>-c,同向不等式相加得:a-d>b-c;②若                  a2x>a2y,显然
                             1   1                               1 1
a2>0,所以   x>y 成立;③a>b,则a-b>a不一定成立,如             a=1,b=-1;④若a0,即     abb 时,x-y>0,所以      x>y;
    当 a=b  时,x-y=0,所以       x=y;
    当 a