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2018版高中数学第二讲参数方程学案新人教A版选修4_4

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高中数学审核员

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                             第二讲 参数方程

                              一 曲线的参数方程

                              1 参数方程的概念

                               2 圆的参数方程


[学习目标]

1.理解曲线参数方程的有关概念.

2.掌握圆的参数方程.

3.能够根据圆的参数方程解决最值问题.

[知识链接]

曲线的参数方程中,参数是否一定具有某种实际意义?在圆的参数方程中,参数                                 θ  有什么

实际意义?

提示 联系     x,y 的参数    t(θ,φ,…)可以是一个有物理意义或几何意义的变数,也可以

是无实际意义的任意实数.圆的参数方程中,其中参数                      θ 的几何意义是      OM0 绕点  O 逆时针旋

转到  OM 的位置时,OM0    转过的角度.

[预习导引]

1.参数方程的概念

一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标                         x、y 都是某个变数      t 的函数:

 x=f(t)
{y=g(t))①,并且对于
t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点                 M(x,y)都在这条曲线上,那么方程组①就叫做

这条曲线的参数方程,联系变数             x,y  之间关系的变数       t 叫做参变数,简称参数.相对于参数

方程而言,直接给出的点的坐标间的关系的方程叫做普通方程.


2.圆的参数方程

(1)如图所示,设圆       O 的半径为   r,点   M 从初始位置    M0 开始出发,按逆时

针方向在圆     O 上作均速圆周运动,设         M(x,y),点   M 转过的角度是      θ,

   x=r·cos θ,
则{ y=r·sin θ )(θ 为参数),这就是圆心在原点,半径为              r 的圆的参数
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方程.

(2)圆心为   C(a,b),半径为     r 的圆的普通方程与参数方程


                   普通方程                         参数方程

                                          x=a+rcos θ
             (x-a)2+(y-b)2=r2
                                         {y=b+rsin θ)(θ 为参数)


要点一 参数方程的概念

                           x=1+2t,
例 1 已知曲线     C 的参数方程是{       y=at2  )(t 为参数,a∈R),点      M(-3,4)在曲线     C 上.
(1)求常数   a 的值;

(2)判断点   P(1,0)、Q(3,-1)是否在曲线         C 上?

                                            x=1+2t,     -3=1+2t,
解 (1)将   M(-3,4)的坐标代入曲线         C 的参数方程{     y=at2, )得{  4=at2,   )消去参数    t,
得 a=1.

                                x=1+2t,
(2)由(1)可得,曲线      C 的参数方程是{      y=t2,  )
把点  P 的坐标(1,0)代入方程组,解得           t=0,因此    P 在曲线   C 上,把点    Q 的坐标(3,-

                  3=1+2t,
1)代入方程组,得到{        -1=t2, )这个方程组无解,因此点           Q 不在曲线    C 上.
规律方法 点与曲线的位置关系

满足某种约束条件的动点的轨迹形成曲线,点与曲线的位置关系有两种:点在曲线上、点不

在曲线上.

(1)对于曲线    C 的普通方程     f(x,y)=0,若点     M(x1,y1)在曲线上,则点       M(x1,y1)的坐标是

方程  f(x,y)=0  的解,即有      f(x1,y1)=0,若点    N(x2,y2)不在曲线上,则点        N(x2,y2)的

坐标不是方程      f(x,y)=0  的解,即有     f(x2,y2)≠0.
                       x=f(t),                                     x1=f(t),

(2)对于曲线    C 的参数方程{    y=g(t) )(t 为参数),若点     M(x1,y1)在曲线上,则{      y1=g(t) )对
应的参数    t 有解,否则参数       t 不存在.

                                 x=2cos θ,
跟踪演练    1 已知曲线     C 的参数方程为{      y=3sin θ )(θ 为参数,0≤θ<2π).判断点          A(2,
          3
     -  3,
0),B(     2)是否在曲线     C 上?若在曲线上,求出点对应的参数的值.
                         x=2cos θ
解 把点    A(2,0)的坐标代入{y=3sin θ),
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得 cos θ=1,且    sin θ=0,由于     0≤θ<2π,解之得        θ=0,
                                                      3
                                                 -  3,
因此点   A(2,0)在曲线    C 上,对应参数      θ=0,同理,把       B(    2)代入参数方程,得
                        3
                cos θ=-  ,
 - 3=2cos θ,            2
   3                   1
    =3sin θ.   {  sin θ= . )
{  2        )∴         2
                    5                3                     5
                                -  3,
又 0≤θ<2π,∴θ=6π,所以点             B(    2)在曲线   C 上,对应    θ=6π.
要点二 圆的参数方程及其应用

                          x=2+3cos θ,
例 2 设曲线    C 的参数方程为{y=-1+3sin θ)(θ       为参数),直线      l 的方程为    x-3y+2=0,
                       7 10
则曲线   C 上到直线    l 距离为   10 的点的个数为(  )
A.1         B.2             C.3               D.4
         x=2+3cos θ,
解析 由{y=-1+3sin θ.)得(x-2)2+(y+1)2=9.
曲线  C 表示以(2,-1)为圆心,以         3 为半径的圆,
                                 7   7 10
则圆心   C(2,-1)到直线     l 的距离   d=  10=  10 <3,
所以直线与圆相交.所以过圆心(2,-1)与               l 平行的直线与圆的        2 个交点满足题意,又        3-
   7 10
d<  10 ,故满足题意的点有        2 个.
答案 B

规律方法 1.本题利用三角函数的平方关系,消去参数;数形结合,判定直线与圆的位置关

系.2.参数方程表示怎样的曲线,一般是通过消参,得到普通方程来判断,特别要注意变量

的取值范围.

跟踪演练    2 已知实数     x,y  满足(x-1)2+(y-1)2=9,求       x2+y2 的最大值和最小值.

                                                          x=1+3cos θ,
解 由已知,可把点(x,y)视为圆(x-1)2+(y-1)2=9               上的点,设{      y=1+3sin θ )(θ 为参
数).

则 x2+y2=(1+3cos θ)2+(1+3sin θ)2
                                     π
                                  θ+
=11+6(sin θ+cos θ)=11+6       2sin(  4).
             π
          θ+
∵-1≤sin(     4)≤1,
∴11-6   2≤x2+y2≤11+6   2.

∴x2+y2 的最大值为     11+6  2,最小值为     11-6  2.
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要点三 参数方程的实际应用

例 3 某飞机进行投弹演习,已知飞机离地面高度为                    H=2   000 m,水平飞行速度为        v1=100 

m/s,如图所示.


(1)求飞机投弹     t s 后炸弹的水平位移和离地面的高度;

(2)如果飞机追击一辆速度为           v2=20 m/s 同向行驶的汽车,欲使炸弹击中汽车,飞机应在距

离汽车的水平距离多远处投弹?(g=10 m/s2)


解 (1)如图所示,建立平面直角坐标系,设炸弹投出机舱的时刻为                           0 

s,在时刻    t s 时其坐标为     M(x,y),由于炸弹作平抛运动,依题意,
      x=100t,
           1
   y=2 000- gt2,
得{         2    )
     x=100t,
即{y=2 000-5t2,)
令 y=2 000-5t2=0,得     t=20(s),

所以飞机投弹      t  s 炸弹的水平位移为        100t  m,离地面的高度为(2          000-5t2)m,其中,

0≤t≤20.

(2)由于炸弹水平分运动和汽车的运动均为匀速直线运动,以汽车参考系.水平方向                                S 相对=

v 相对 t,所以飞机应距离汽车投弹的水平距离为                 s=(v1-v2)t=(100-20)×20=1 600(m).

规律方法 本题通过点的坐标的参数方程利用运动学知识使问题得解.由于水平抛出的炸弹

做平抛运动,可以分解为在水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动,炸弹

飞行的时间也就是它作自由落体运动所用的时间.

跟踪演练    3 如果本例条件不变,求:

(1)炸弹投出机舱      10 s 后这一时刻的水平位移和高度各是多少                m?

(2)如果飞机迎击一辆速度为           v2=20 m/s 相向行驶的汽车,欲使炸弹击中汽车,飞机应在距

离汽车的水平距离多远处投弹?

                      x=100t,      x=1 000,
解 (1)将   t=10 代入{y=2 000-5t2,)得{y=1 500,)
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所以炸弹投出机舱        10 s 后这一时刻的水平位移和高度分别是               1 000 m 和 1 500 m.

(2)由于炸弹水平分运动和汽车的运动均为匀速直线运动,以汽车为参考系.

水平方向    s 相对=v 相对 t,所以飞机应距离汽车投弹的水平距离为                  s=(v1+v2)t=(100+

20)×20=2 400(m).


1.曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上点的横、纵坐标之间的联系,而参数方程是通过

参数反映坐标变量        x、y 间的间接联系.在具体问题中的参数可能有相应的几何意义,也可能

没有什么明显的几何意义.曲线的参数方程常常是方程组的形式,任意给定一个参数的允许

取值就可得到曲线上的一个对应点,反过来,对于曲线上的任一点也必然对应着参数相应的

允许取值.

2.求曲线参数方程的主要步骤

第一步,画出轨迹草图,设            M(x,y)是轨迹上任意一点的坐标.画图时要注意根据几何条件

选择点的位置,以利于发现变量之间的关系.

第二步,选择适当的参数.参数的选择要考虑以下两点:一是曲线上每一点的坐标                                 x,y  与参

数的关系比较明显,容易列出方程;二是                 x,y  的值可以由参数唯一确定.

第三步,根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等,建立点的坐标与参数的函数

关系式,证明可以省略.


               x=m,                 x=m,                    x=1,
1.下列方程:(1){     y=m  )(m 为参数);(2){   y=n  )(m,n 为参数);(3){y=2;)(4)x+y=
0 中,参数方程的个数为(  )

A.1                                       B.2  

C.3                                       D.4
                        x=m
解析 由参数方程的概念知{y=m)是参数方程,故选                    A.
答案 A

2.当参数   θ 变化时,由点       P(2cos θ,3sin θ)所确定的曲线过点(  )

A.(2,3)                                   B.(1,5)  
    π
  0,
C.( 2)                                    D.(2,0)
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解析 当    2cos θ=2,即    cos θ=1,3sin θ=0.∴过点(2,0).

答案 D
               1
          x=t+  ,
                t
3.参数方程{     y=2   )(t 为参数)表示的曲线是(  )


A.两条直线                                    B.一条射线

C.两条射线                                    D.双曲线

               x ≥ 2,                       x ≤ -2,
解析 当    t>0 时{y=2,)是一条射线;当         t<0 时,{   y=2,  )也是一条射线,故选         C.
答案 C

      x=t+1
4.已知{  y=t2  )(t 为参数),若    y=1,则   x=________.
解析 当    y=1 时,t2=1,∴t=±1,当         t=1 时,x=2;当     t=-1   时,x=0.∴x    的值为

2 或 0.

答案 2   或 0

                     x=1+2cos α,
5.已知直线    y=x 与曲线{y=2+2sin α,)(α     为参数)相交于两点        A 和 B,求弦长|AB|.
      x=1+2cos α,     x-1=2cos α,
解 由{y=2+2sin α,)得{    y-2=2sin α. )∴(x-1)2+(y-2)2=4,其圆心为(1,2),半径
r=2,
                                  |1-2|      2
则圆心(1,2)到直线       y=x 的距离   d=  12+(-1)2=   2 .

                        2
                   22-    2
∴|AB|=2  r2-d2=2      ( 2 ) = 14.


一、基础达标

                        x=cos θ,
1.已知  O 为原点,参数方程{        y=sin θ )(θ 为参数)上的任意一点为         A,则|OA|=(  )

A.1                                       B.2  

C.3                                       D.4

解析 |OA|=    x2+y2=   cos2θ+sin2θ=1,故选   A.

答案 A

                        x=a+2cos θ,
2.已知曲线    C 的参数方程是{       y=2sin θ )(θ 为参数),曲线       C 不经过第二象限,则实数
                 中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台

a 的取值范围是(  )

A.a≥2                                     B.a>3  

C.a≥1                                     D.a<0

                          x=a+2cos θ,
解析 ∵曲线      C 的参数方程是{       y=2sin θ )(θ 为参数),∴化为普通方程为(x-a)2+
y2=4,表示圆心为(a,0),半径等于            2 的圆.

∵曲线   C 不经过第二象限,则实数          a 满足  a≥2,故选    A.

答案 A

3.圆心在点(-1,2),半径为         5 的圆的参数方程为(  )

   x=5-cos θ,
A.{ y=5+2sin θ )(0≤θ<2π)
   x=2+5cos θ,
B.{y=-1+5sin θ)(0≤θ<2π)
   x=-1+5cos θ,
C.{ y=2+5sin θ  )(0≤θ<π)
   x=-1+5cos θ,
D.{ y=2+5sin θ  )(0≤θ<2π)
                                               x=a+rcos θ,
解析 圆心在点       C(a,b),半径为     r 的圆的参数方程为{y=b+rsin θ,)(θ∈[0,2π)).故圆
                                       x=-1+5cos θ,
心在点(-1,2),半径为         5 的圆的参数方程为{        y=2+5sin θ  )(0≤θ<2π).
答案 D

            x=2+sin2θ,
4.将参数方程{      y=sin2θ  )(θ 为参数)化为普通方程为(  )
A.y=x-2                                   B.y=x+2

C.y=x-2(2≤x≤3)                            D.y=x+2(0≤y≤1)

解析 将参数方程中的          θ 消去,得    y=x-2.又    x∈[2,3].

答案 C

                            x=6cos θ,
5.若点(-3,-3     3)在参数方程{      y=6sin θ )(θ 为参数)的曲线上,则        θ=________.
                                                                      1
                                                              cos θ=-  ,
                                                                      2
                                       x=6cos θ,                      3
                                                              sin θ=-  ,
                   3                     =                   {          )
解析 将点(-3,-3         )的坐标代入参数方程{         y  6sin θ )(θ 为参数)得           2  解得
    4π
θ=  3 +2kπ,k∈Z.
      4π
答案    3 +2kπ,k∈Z
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                       x=cos α,
6.已知圆   C 的参数方程为{y=1+sin α)(α      为参数),以原点为极点,x           轴正半轴为极轴建立
极坐标系,直线       l 的极坐标方程为      ρsin       θ=1,则直线      l 与圆  C 的交点的直角坐标为

________.
                         x=cos α,
解析 由圆     C 的参数方程为{y=1+sin α.)可求得其在直角坐标系下的方程为                   x2+(y-1)2=
1,由直线    l 的极坐标方程      ρsin        θ=1  可求得其在直角坐标系下的方程为               y=1,由

     y=1,            x= ± 1,
{x2+(y-1)2=1)可解得{     y=1.  )所以直线    l 与圆  C 的交点的直角坐标为(-1,1),(1,1).
答案 (-1,1),(1,1)

               x=cos θ,
7.已知曲线    C:{y=-1+sin θ)(θ   为参数),如果曲线        C 与直线  x+y+a=0    有公共点,求实
数 a 的取值范围.

         x=cos θ,
解 ∵{y=-1+sin θ,)
∴x2+(y+1)2=1.
                         |0-1+a|
∵圆与直线有公共点,则           d=    2   ≤1,
解得  1-  2≤a≤1+    2.

二、能力提升

                       x=1+5cos θ,
8.若 P(2,-1)为圆    O′:{    y=5sin θ  )(0≤θ<2π)的弦的中点,则该弦所在直线                l 的
方程是(  )

A.x-y-3=0                                 B.x+2y=0

C.x+y-1=0                                 D.2x-y-5=0

解析 ∵圆心      O′(1,0),∴kPO′=-1.∴kl=1.

∴直线   l 方程为   x-y-3=0.

答案 A

9.如图,以过原点的直线的倾斜角             θ  为参数,则圆      x2+y2-x=0  的参数方程为________.


                               1       1
                            x-
解析 将    x2+y2-x=0  配方,得(       2)2+y2=4,∵圆的直径为        1.设 P(x,y),则   x=
|OP|cos θ=1×cos     θ×cos   θ=cos2θ,y=|OP|sin      θ=1×cos    θ×sin    θ=sin 
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θcos θ,

                             x=cos2θ,
∴圆  x2+y2-x=0   的参数方程为{y=sin θcos θ)(θ    为参数).
       x=cos2θ,
答案 {y=sin θcos θ)(θ  为参数)
         x=1,
10.曲线{y=sin t+1)(t 为参数)与圆     x2+y2=4  的交点坐标为________.
解析 ∵sin t∈[-1,1],∴y∈[0,2].

        x=1,
∵方程{y=sin t+1)表示的曲线是线段          x=1(0≤y≤2).
令 x=1,由   x2+y2=4,得    y2=3,

∵0≤y≤2,∴y=      3.

答案 (1,    3)

11.设点  M(x,y)在圆   x2+y2=1  上移动,求点      P(x+y,xy)的轨迹.

解 设点    M(cos θ,sin θ)(0≤θ<2π),点         P(x′,y′).

   x′=cos θ+sin θ,               ①
则{ y′=cos θsin θ,                ②  )
                                       1
                                    y′+
①2-2×②,得     x′2-2y′=1.即     x′2=2(    2).
                               1                    1
                             y+          |x| ≤ 2,|y| ≤
∴所求点    P 的轨迹为抛物线       x2=2(  2)的一部分(              2).
12.已知点   M(x,y)是圆   x2+y2+2x=0   上的动点,若      4x+3y-a≤0   恒成立,求实数       a 的取

值范围.

解 由   x2+y2+2x=0,得(x+1)2+y2=1,又点         M 在圆上,∴x=-1+cos         θ,且    y=sin 

θ(θ  为参数),

因此  4x+3y=4(-1+cos θ)+3sin θ=-4+5sin(θ+φ)≤-4+5=1.(φ                 由
       4
tan φ=3确定)
∴4x+3y  的最大值为     1.

若 4x+3y-a≤0   恒成立,则      a≥(4x+3y)max,

故实数   a 的取值范围是[1,+∞).

三、探究与创新

13.已知圆系方程为       x2+y2-2axcos φ-2aysin φ=0(a>0,且为已知常数,φ              为参数)

(1)求圆心的轨迹方程;

(2)证明圆心轨迹与动圆相交所得的公共弦长为定值.
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(1)解 由已知圆的标准方程为:

(x-acos φ)2+(y-asin φ2)=a2(a>0).

                      x=acos φ,
设圆心坐标为(x,y),则{         y=asin φ )(φ 为参数),
消参数得圆心的轨迹方程为            x2+y2=a2.

               x2+y2-2axcos φ-2aysin φ=0
(2)证明 由方程{             x2+y2=a2         )
                                                              a
得公共弦的方程:2axcos        φ+2aysin   φ=a2,即    xcos φ+y   sin φ-2=0,圆     x2+y2=
                         a
a2 的圆心到公共弦的距离         d=2为定值.

               a
           a2-   2
∴弦长   l=2      (2) = 3a(定值).

                         3 参数方程和普通方程的互化


[学习目标]

1.了解参数方程化为普通方程的意义.

2.掌握参数方程化为普通方程的基本方法.

3.能够利用参数方程化为普通方程解决有关问题.

[知识链接]

普通方程化为参数方程,参数方程的形式是否唯一?

提示 不一定唯一.普通方程化为参数方程,关键在于适当选择参数,如果选择的参数不同,

那么所得的参数方程的形式也不同.

[预习导引]

参数方程与普通方程的互化

(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地,可以通过消去参数而从参数

方程得到普通方程.

(2)如果知道变数      x,y 中的一个与参数       t 的关系,例如      x=f(t),把它代入普通方程,求出

                                   x=f(t),
另一个变数与参数的关系           y=g(t),那么{y=g(t),)就是曲线的参数方程.在参数方程与普通
方程的互化中,必须使          x,y 的取值范围保持一致.
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要点一 把参数方程化为普通方程

            x=a+tcos θ
例 1 在方程{y=b+tsin θ,)(a,b     为正常数)中,
(1)当 t 为参数,θ     为常数时,方程表示何种曲线?

(2)当 t 为常数,θ     为参数时,方程表示何种曲线?

         x=a+tcos θ,   ①
解 方程{y=b+tsin θ,     ②)(a,b     是正常数),
(1)①×sin θ-②×cos θ       得 xsin θ-ycos θ-asin θ+bcos θ=0.

∵cos θ、sin θ    不同时为零,∴方程表示一条直线.

(2)(i)当 t 为非零常数时,
          x-a
              =cos θ,            ③
            t
           y-b
         {    =sin θ.             ④   )
原方程组为       t
         (x-a)2  (y-b)2
③2+④2  得    t2 +    t2  =1,
即(x-a)2+(y-b)2=t2,它表示一个圆.

(ii)当 t=0 时,表示点(a,b).

 规律方法 1.消去参数的常用方法:将参数方程化为普通方程,关键是消去参数,如果参

数方程是整式方程,常用的消元法有代入消元法、加减消元法.如果参数方程是分式方程,

在运用代入消元或加减消元之前要做必要的变形.另外,熟悉一些常见的恒等式至关重要,
                                              1-k2      2k
如 sin2α+cos2α=1,(ex+e-x)2-(ex-e-x)2=4,(1+k2)2+(1+k2)2=1         等.2.把参数方
程化为普通方程时,要注意哪一个量是参数,并且要注意参数的取值对普通方程中                                  x 及 y 的

取值范围的影响.本题启示我们,形式相同的方程,由于选择参数的不同,可表示不同的曲

线.

                    x=cos α,
跟踪演练    1 参数方程{y=1+sin α)(α      为参数)化成普通方程为________.
          x=cos α,
解析 ∵{y=1+sin α,)cos2α+sin2α=1,
∴x2+(y-1)2=1.

答案 x2+(y-1)2=1

要点二 把普通方程化成参数方程

例 2 求方程    4x2+y2=16  的参数方程:
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(1)设 y=4sin θ,θ    为参数;

(2)若令  y=t(t 为参数),如何求曲线的参数方程?若令                 x=2t(t 为参数),如何求曲线的参

数方程?

解 (1)把   y=4sin      θ 代入方程,得到       4x2+16sin2θ=16,于是      4x2=16-16sin2θ=

16cos2θ,∴x=±2cos θ.

∴4x2+y2=16  的参数方程是

 x=2cos θ,   x=-2cos θ,
{ y=4sin θ )和{ y=4sin θ )(θ 为参数)
(2)将 y=t 代入椭圆方程       4x2+y2=16,得   4x2+t2=16,
      16-t2         16-t2
则 x2=   4  .∴x=±     2   .
因此,椭圆     4x2+y2=16 的参数方程是
    16-t2            16-t2
 x=            x=-        ,
      2               2
{  y=t    ),和{     y=t     )(t 为参数).
                                                    x=2t,
同理将   x=2t 代入椭圆     4x2+y2=16,得椭圆的参数方程为{y=4            1-t2)和
   x=2t,
{y=-4  1-t2)(t 为参数).
 规律方法 1.将圆的普通方程化为参数方程

                           x=rcos θ,
(1)圆 x2+y2=r2 的参数方程为{      y=rsin θ )(θ 为参数);
                                    x=a+rcos θ,
(2)圆(x-a)2+(y-b)2=r2   的参数方程为{       y=b+rsin θ )(θ 为参数).2.普通方程化为参数
方程关键是引入参数(例如           x=f(t),再计算     y=g(t)),并且要保证等价性.若不可避免地破

坏了同解变形,则一定要通过            x=f(t),y=g(t),调整      t 的取值范围,使得在普通方程转

化为参数方程的过程中,x,y           的取值范围保持一致.

跟踪演练    2 设  y=tx(t  为参数),则圆      x2+y2-4y=0  的参数方程是________.
                                                                   4t
                                                               x=     ,
                                                                  1+t2
                                     4t       4t2                  4t2
                                                                y=     .
                   2  2             +         +               {    +    )
解析 把    y=tx 代入   x +y -4y=0  得  x=1  t2,y=1   t2,∴参数方程为          1  t2 (t 为
参数).
           4t
      x=     ,
         1+t2
           4t2
       y=     .
      {    +   )
答案        1 t2 (t 为参数)
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要点三 参数方程的应用

例 3 已知   x、y  满足  x2+(y-1)2=1,求:

(1)3x+4y 的最大值和最小值;

(2)(x-3)2+(y+3)2  的最大值和最小值.

解 由圆的普通方程         x2+(y-1)2=1

                 x=cos θ,
得圆的参数方程为{y=1+sin θ.)(θ∈[0,2π)).
(1)3x+4y=3cos θ+4sin θ+4=4+5sin(θ+φ),
            3
其中  tan φ=4,且    φ  的终边过点(4,3).
∵-5≤5sin(θ+φ)≤5,∴-1≤4+5sin(θ+φ)≤9,

∴3x+4y  的最大值为     9,最小值为-1.

(2)(x-3)2+(y+3)2=(cos θ-3)2+(sin θ+4)2

=26+8sin θ-6cos θ=26+10sin(θ+φ).
              3
其中  tan φ=-4.且    φ  的终边过点(4,-3).
∵-10≤10sin(θ+φ)≤10,∴16≤26+10sin(θ+φ)≤36,

所以(x-3)2+(y+3)2    的最大值为     36,最小值为     16.

 规律方法 1.运用参数思想解题的关键在于参数的选择.选择参数时,应注意所选择的参

数易于与两个坐标产生联系.由于三角函数的巨大作用,常选择角为参数,若轨迹与运动有

关,常选择时间为参数.2.解决与圆有关的最大值和最小值问题,常常设圆的参数方程,然

后转化为求三角函数的最大值和最小值问题.3.注意运用三角恒等式求最值:

asin θ+bcos θ=    a2+b2sin(θ+φ).
            b
其中  tan φ=a(a≠0),且     φ 的终边过点(a,b).
跟踪演练    3 如图,已知点       P 是圆  x2+y2=16 上的一个动点,定点         A(12,0),当点     P 在圆

上运动时,利用参数方程求线段             PA 的中点   M 的轨迹.


                                x=4cos θ,
解 因为圆     x2+y2=16 的参数方程为{       y=4sin θ )(θ 为参数),
所以可设点     P(4cos        θ,4sin          θ),设点    M(x,y),由线段中点坐标公式得
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   4cos θ+12
 x=         ,
       2
      4sin θ                                      x=2cos θ+6,
   y=
{            )                                       =
        2     (θ 为参数),即点      M 的轨迹的参数方程为{          y  2sin θ )
(θ 为参数),所以点       M 的轨迹是以点(6,0)为圆心、2          为半径的圆.


1.参数方程和普通方程的互化

参数方程化为普通方程,可通过代入消元法和三角恒等式消参法消去参数方程中的参数,通

过曲线的普通方程来判断曲线的类型.

由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数,寻求曲线上任一点                           M 的坐标  x,y  和参数的关

系,根据实际问题的要求,我们可以选择时间、角度、线段长度、直线的斜率、截距等作为

参数.

2.同一道题参数的选择往往不是唯一的,适当地选择参数,可以简化解题的过程,降低计算

量,提高准确率.求轨迹方程与求轨迹有所不同,求轨迹方程只需求出方程即可,而求轨迹

往往是先求出轨迹方程,然后根据轨迹方程指明轨迹是什么图形.


3.参数方程与普通方程的等价性

把参数方程化为普通方程后,很容易改变了变量的取值范围,从而使得两种方程所表示的曲

线不一致,因此我们要注意参数方程与普通方程的等价性.


1.与普通方程     x2+y-1=0   等价的参数方程为(t        为参数)(  )

   x=sin t                                   x=cos t
A.{y=cos2t)                               B.{y=sin2t)
   x= 1-t                                     x=tan t
C.{ y=t   )                               D.{y=1-tan2t)
解析 A   化为普通方程为       x2+y-1=0,x∈[-1,1],y∈[0,1].B         化为普通方程为       x2+

y-1=0,x∈[-1,1],y∈[0,1].C        化为普通方程为       x2+y-1=0,x∈[0,+∞),

y∈(-∞,1].D    化为普通方程为       x2+y-1=0,x∈R,y∈R.

答案 D
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                  1
            x=t+  ,
                  t
                   1
           {y=t2+   )
2.将参数方程           t2 (t 为参数)化为普通方程为________.
              1          1              1                  1
解析 由    x=t+t得   x2=t2+t2+2,又    y=t2+t2,∴x2=y+2.∵t2+t2≥2,∴y≥2.
答案 x2-y=2(y≥2)

            x=sin 2θ,
3.参数方程{y=sin θ+cos θ)(θ   为参数)表示的曲线的普通方程是________.
解析 y2=(sin θ+cos θ)2=sin2θ+2sin θcos θ+cos2θ=1+2sin θcos θ=1+

x,又  x=sin 2θ∈[-1,1],∴曲线的普通方程是              y2=x+1(-1≤x≤1).

答案 y2=x+1(-1≤x≤1)

                            x=1+2t,
4.已知某条曲线      C 的参数方程为{      y=at2  )(其中  t 是参数,a∈R),点      M(5,4)在该曲线上.
(1)求常数   a;

(2)求曲线   C 的普通方程.

                   1+2t=5,     t=2,
解 (1)由题意,可知{        at2=4, )故{a=1,)所以    a=1.
                                  x=1+2t,                    x-1
(2)由已知及(1)可得,曲线         C 的方程为{    y=t2,  )由第一个方程,得        t=  2 ,代入第二个
            x-1
方程,得    y=(  2 )2,即(x-1)2=4y    为所求.


一、基础达标

      x=|sin θ|,
1.曲线{  y=cos θ )(θ 为参数)的方程等价于(  )
A.x=  1-y2                                B.y=  1-x2

C.y=±   1-x2                              D.x2+y2=1

解析 由    x=|sin θ|得   0≤x≤1;由    y=cos θ   得-1≤y≤1.故选      A.

答案 A

              x=2+t,                    x=2cos θ+1,
2.已知直线    l:{y=-2-t)(t   为参数)与圆     C:{   y=2sin θ )(θ 为参数),则直线       l 的倾
斜角及圆心     C 的直角坐标分别是(  )
  π                                         π
A.4,(1,0)                                 B.4,(-1,0)
  3π                                        3π
C. 4 ,(1,0)                               D. 4 ,(-1,0)
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                                                             3π
解析 直线消去参数得直线方程为              y=-x,所以斜率       k=-1   即倾斜角为     4 .圆的标准方程
为(x-1)2+y2=4,圆心坐标为(1,0).

答案 C
             1-t2
          x=     ,
             1+t2
               2t
           y=
         {     +   )
3.参数方程        1  t2 (t 为参数)化为普通方程为(  )
A.x2+y2=1

B.x2+y2=1 去掉(0,1)点

C.x2+y2=1 去掉(1,0)点

D.x2+y2=1 去掉(-1,0)点
             1-t2      2t
解析 x2+y2=(1+t2)2+(1+t2)2=1,又∵x=-1         时,1-t2=-(1+t2)不成立,故去掉点
(-1,0).

答案 D

4.若 x,y 满足   x2+y2=1,则   x+  3y 的最大值为(  )

A.1                                       B.2  

C.3                                       D.4
                                 x=cos θ,
解析 由于圆      x2+y2=1 的参数方程为{y=sin θ,)(θ       为参数),则     x+  3y=
                        π
                      θ+
 3sin θ+cos θ=2sin(     6),故  x+  3y 的最大值为     2.故选  B.
答案 B

5.在直角坐标系      xOy 中,以原点    O 为极点,x    轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方

                            x=t2,
程为  ρcos θ=4   的直线与曲线{      y=t3 )(t 为参数)相交于     A,B  两点,则|AB|=________.
解析 由    ρcos θ=4,知     x=4.

   x=t2,
又{y=t3,)∴x3=y2(x≥0).
   x=4,      x=4,     x=4,
由{x3=y2,)得{  y=8  )或{y=-8.)
∴|AB|=   (4-4)2+(8+8)2=16.

答案 16
                                         π
                                      θ-
                                  2   (   )
6.在极坐标系中,圆        C1 的方程为   ρ=4    cos   4 ,以极点为坐标原点,极轴为            x 轴的正
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                                  x=-1+acos θ,

半轴建立平面坐标系,圆           C2 的参数方程{    y=-1+asin θ )(θ 为参数),若圆       C1 与 C2 相切,
则实数   a=________.

                           2   2                          2        2
解析 圆    C1 的直角坐标方程为       x +y =4x+4y,其标准方程为(x-2)          +(y-2)  =8,圆心

为(2,2),半径长为       2 2,圆  C2 的圆心坐标为(-1,-1),半径长为|a|,由于圆                C1 与圆

C2 外切,则|C1C2|=2    2+|a|=3  2或|C1C2|=|a|-2   2=3  2⇒a=±   2或  a=±5   2.

答案 ±     2或±5  2
                               1
                        x=  t-  ,
                               t
                               1
                       {y=3 t+  ,)
7.已知曲线    C 的参数方程为          (  t) (t 为参数,t>0).求曲线       C 的普通方程.
             1                 1
解 由   x=  t- t两边平方得     x2=t+t-2,
         1        1  y
       t+
又 y=3(   t),则  t+t=3(y≥6).
           1          y
代入  x2=t+t-2,得     x2=3-2.
∴3x2-y+6=0(y≥6).

故曲线   C 的普通方程为      3x2-y+6=0(y≥6).

二、能力提升

                                             x=  3+3cos θ,
8.已知在平面直角坐标系          xOy 中圆 C 的参数方程为:{        y=1+3sin θ )(θ 为参数),以     Ox 为
                                           π
                                        θ+
极轴建立极坐标系,直线极坐标方程为:ρcos(                    6)=0,则圆    C 截直线所得弦长为(  )
A. 2                                      B.2 2  

C.3 2                                     D.4 2
                      x=  3+3cos θ
解析 圆    C 的参数方程为{      y=1+3sin θ )的圆心为(    3,1),半径为     3,直线普通方程为        ρ
       π        π    3  1
cos θcos -sin θsin 
(      6        6)= 2 x-2y=0,即    3x-y=0,圆心     C( 3,1)到直线     3x-y=0  的距离
     |( 3)2-1|
为 d=    3+1  =1,所以圆     C 截直线所得弦长|AB|=2        r2-d2=2   32-12=4  2.
答案 D

                               x=4+2cos α,
9.过原点作倾斜角为        θ 的直线与圆{       y=2sin α )相切,则    θ=________.
                                                                           3
解析 直线为      y=xtan  θ,圆为(x-4)2+y2=4,直线与圆相切时,易知                 tan  θ=±   3 ,
      π 5π
∴θ=6或    6 .
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      π 5π
答案 6或    6
                                   x=t+1,                      x=asin θ

10.在直角坐标系      xOy 中,已知曲线     C1:{y=1-2t)(t  为参数)与曲线      C2:{y=3cos θ)(θ 为
参数,a>0)有一个公共点在           x 轴上,则   a=________.
                                                    x2  y2

解析 曲线     C1 的普通方程为     2x+y=3,曲线     C2 的普通方程为a2+      9 =1,直线    2x+y=3  与
               3           x2  y2                            3      3
                ,0
x 轴的交点坐标为(2       ),故曲线a2+     9 =1 也经过这个点,代入解得           a=2(舍去-2).
      3
答案 2
11.在平面直角坐标系中,以坐标原点              O 为极点,x    轴的正半轴为极轴建立坐标系.已知直线

                                  2 3 π                    x=2+2cos θ,
                                     ,
l 上两点  M,N  的极坐标分别为(2,0),(         3  2),圆  C 的参数方程为{y=-        3+2sin θ)(θ 为
参数).

(1)设 P 为线段   MN 的中点,求直线      OP 的平面直角坐标方程;

(2)判断直线    l 与圆  C 的位置关系.
                                                   2 3
                                                0,
解 (1)由题意知,M,N        的平面直角坐标分别为(2,0),(              3 ).又 P 为线段  MN 的中点,从
                         3                                   3
                      1,
而点  P 的平面直角坐标为(         3 ),故直线    OP 的平面直角坐标方程为         y= 3 x.
                                                     2 3
                                                   0,
(2)因为直线    l 上两点   M,N 的平面直角坐标分别为(2,0),(              3 ),
所以直线    l 的平面直角坐标方程为         x+  3y-2=0.

又圆  C 的圆心坐标为(2,-        3),半径为    r=2,
                     |2-3-2|  3
圆心到直线     l 的距离   d=    2   =2<r,故直线      l 与圆  C 相交.
                                                 2
                                             x=   t- 2,
                                                2
               x=cos θ,                            2
                                               y=   t
                 =                          {          )
12.已知曲线    C1:{ y  sin θ )(θ 为参数),曲线    C2:        2
(t 为参数).

(1)指出  C1,C2 各是什么曲线,并说明         C1 与 C2 公共点的个数;

(2)若把  C1,C2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线                      C′1,C′2.写出

C′1,C′2  的参数方程.C′1      与 C′2 公共点的个数和       C1 与 C2 公共点的个数是否相同?说明

你的理由.

                                      2   2
解 (1)C1 是圆,C2   是直线.C1   的普通方程为      x +y =1,

圆心  C1(0,0),半径    r=1.
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C2 的普通方程为     x-y+   2=0.因为圆心     C1 到直线  x-y+   2=0 的距离为    1,

所以  C2 与 C1 只有一个公共点.
                                                              2
                                                          x=   t- 2,
                               x=cos θ,                      2
                                  1                             2
                              { y= sin θ )               {  y=   t  )
(2)压缩后的参数方程分别为           C′1:     2    (θ  为参数),C′2:            4    (t 为参数),

                                       1    2
                    2    2
化为普通方程为       C′1:x  +4y =1,C′2:y=2x+      2 ,
联立消元得     2x2+2 2x+1=0,

其判别式    Δ=(2   2)2-4×2×1=0,

所以压缩后的直线        C′2 与椭圆   C′1 仍然只有一个公共点,和           C1 与 C2 公共点的个数相同.

三、探究与创新

                         x=4+5cos t,

13.已知曲线    C1 的参数方程为{     y=5+5sin t )(t 为参数),以坐标原点为极点,x           轴的正半轴

为极轴建立极坐标系,曲线            C2 的极坐标方程为      ρ=2sin θ.

(1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程;

(2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).
         x=4+5cos t,
解 (1)将{   y=5+5sin t )消去参数   t,
化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25,

                               x=ρcos θ
       2  2                                  2  2                      2
即 C1:x +y  -8x-10y+16=0,将{y=ρsin θ)代入       x +y -8x-10y+16=0    得,ρ   -
8ρcos θ-10ρsin θ+16=0,

                    2
∴C1 的极坐标方程为       ρ -8ρcos θ-10ρsin θ+16=0;

                  2  2
(2)C2 的普通方程为     x +y -2y=0,
   x2+y2-8x-10y+16=0,
由{     x2+y2-2y=0,      )
    x=1,     x=0,
解得{  y=1 )或{ y=2. )
                                                  π     π
                                              ( 2, ) (2, )
                  ∴C1 与  C2 的交点的极坐标分别为            4 ,   2 .
                            二 圆锥曲线的参数方程


[学习目标]
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1.掌握椭圆的参数方程及应用.

2.了解双曲线、抛物线的参数方程.

3.能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题.

[知识链接]

1.椭圆的参数方程中,参数           φ 是 OM 的旋转角吗?

                    x=acos φ,
提示 椭圆的参数方程{          y=bsin φ )(φ 为参数)中的参数      φ 不是动点     M(x,y)的旋转角,它
是点  M 所对应的圆的半径        OA(或 OB)的旋转角,称为离心角,不是             OM 的旋转角.

2.双曲线的参数方程中,参数           φ  的三角函数     sec φ 的意义是什么?
               1                          π     3
提示 sec φ=cos φ,其中       φ∈[0,2π)且     φ≠2,φ≠2π.
3.类比  y2=2px(p>0),你能得到       x2=2py(p>0)的参数方程吗?

      x=2pt,
提示 {y=2pt2)(p>0,t     为参数,t∈R.)
[预习导引]

1.椭圆的参数方程


                    普通方程                          参数方程

               x2  y2                        x=acos φ
               a2+b2=1(a>b>0)               {y=bsin φ)(φ 为参数)
               y2  x2                        x=bcos φ
               a2+b2=1(a>b>0)               {y=asin φ)(φ 为参数)
2.双曲线的参数方程

                   普通方程                          参数方程

              x2  y2                       x=asec φ,
              a2-b2=1(a>b>0)               { y=btan φ )(φ 为参数)
3.抛物线的参数方程

                            x=2pt2,
(1)抛物线   y2=2px 的参数方程是{       y=2pt )(t∈R,t  为参数).
(2)参数  t 表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.
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要点一 椭圆参数方程的应用
                        x2 y2
例 1 已知   A、B  分别是椭圆36+      9 =1 的右顶点和上顶点,动点          C 在
该椭圆上运动,求△ABC         重心  G 的轨迹的普通方程.

解 由题意知      A(6,0),B(0,3).由于动点       C 在椭圆上运动,故可设

动点  C 的坐标为(6cos θ,3sin θ),点        G 的坐标为(x,y),由三角形重心的坐标公式可得
   6+0+6cos θ
 x=           ,
        3
    0+3+3sin θ                 x=2+2cos θ,
 y=
{              )                =  +
         3      (θ 为参数),即{      y 1  sin θ. )
                          x=2+2cos θ,
故重心   G 的轨迹的参数方程为{         y=1+sin θ )(θ 为参数).
规律方法 本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性.运用参数方程显

得很简单,运算更简便.

                        x=-4+cos t,                    x2  y2

跟踪演练    1 已知曲线     C1:{  y=3+sin t  )(t 为参数),曲线     C2:64+  9 =1.

(1)化 C1 为普通方程,C2     为参数方程;并说明它们分别表示什么曲线?
                              π

(2)若 C1 上的点  P 对应的参数为      t=2,Q  为  C2 上的动点,求     PQ 中点  M 到直线  C3:x-2y-
7=0 距离的最小值.

         x=-4+cos t,     cos t=x+4,
解 (1)由{   y=3+sin t, )得{ sin t=y-3. )

               2        2
∴曲线   C1:(x+4)  +(y-3)   =1,

C1 表示圆心是(-4,3),半径是         1 的圆.
        x2 y2

曲线  C2:64+  9 =1 表示中心是坐标原点,焦点在            x 轴上,长半轴长是        8,短半轴长是      3 的
椭圆.

            x=8cos θ,
其参数方程为{y=3sin θ,)(θ      为参数)
                π
(2)依题设,当     t=2时,P(-4,4);
且 Q(8cos θ,3sin θ),
                 3
    -2+4cos θ,2+  sin θ
故 M(             2    ).

又 C3 为直线  x-2y-7=0,
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                5

M 到 C3 的距离  d= 5 |4cos θ-3sin θ-13|
   5
= 5 |5cos(θ+φ)-13|,
              4           3
从而当   cos θ=5,sin θ=-5时,
             3       4                                8 5
其中φ由sin φ=   ,cos φ= 确定
(            5       5   ),cos(θ+φ)=1,d      取得最小值     5 .
要点二 双曲线参数方程的应用
                 x2  y2
例 2 求证:双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定
值.
             x2  y2
证明 由双曲线a2-b2=1,得两条渐近线的方程是:bx+ay=0,bx-ay=0,设双曲线上
任一点的坐标为(asec φ,btan φ),

它到两渐近线的距离分别是            d1 和 d2,
         |absec φ+abtan φ| |absec φ-abtan φ|
                +             +(-  )
则 d1·d2=      b2  a2   ·    b2    a 2
  |a2b2(sec2φ-tan2φ)| a2b2
=      a2+b2      =a2+b2(定值).
规律方法 在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时,使用曲线的参数方程非常简捷方便,

其中点到直线的距离公式对参数形式的点的坐标仍适用,另外本题要注意公式                                sec2φ-

tan2φ=1  的应用.

                                  2  2
跟踪演练    2 如图,设     P 为等轴双曲线      x -y =1 上的一点,F1、F2      是两个焦点,证明:

                 2
|PF1|·|PF2|=|OP| .


证明 设    P(sec φ,tan φ),∵F1(-      2,0),F2(  2,0),
         (sec φ+ 2)2+tan2φ
∴|PF1|=

=  2sec2φ+2 2sec φ+1,

       (sec φ- 2)2+tan2φ
|PF2|=

=  2sec2φ-2 2secφ+1,

              (     +  ) -            2
|PF1|·|PF2|=   2sec2φ 1 2 8sec2φ=2sec φ-1.
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∵|OP|2=sec2φ+tan2φ=2sec2φ-1,

                   2
∴|PF1|·|PF2|=|OP|  .

要点三 抛物线参数方程的应用

例 3 设抛物线     y2=2px 的准线为     l,焦点为    F,顶点为    O,P 为抛物线上任一点,PQ⊥l          于

Q,求  QF 与 OP 的交点   M 的轨迹方程.

解 设   P 点的坐标为(2pt2,2pt)(t     为参数),
                            1
当 t≠0  时,直线    OP 的方程为   y=tx,
                     p
                  x-
QF 的方程为   y=-2t(     2),
                               1
                             y= x
                                t
                                   p
                         {y=-2t x-  )
它们的交点     M(x,y)由方程组           (   2) 确定,
                              p
                           x-
两式相乘,消去       t,得  y2=-2x(    2),
∴点  M 的轨迹方程为      2x2-px+y2=0(x≠0).

当 t=0  时,M(0,0)满足题意,且适合方程            2x2-px+y2=0.

故所求的轨迹方程为         2x2-px+y2=0.

                                             x=2pt2,
 规律方法 1.抛物线         y2=2px(p>0)的参数方程为{        y=2pt )(t 为参数),参数     t 为任意实
数,它表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.2.用参数法求动点的轨

迹方程,其基本思想是选取适当的参数作为中间变量,使动点的坐标分别与参数有关,从而

得到动点的参数方程,然后再消去参数,化为普通方程.

                                 x=2pt2,
跟踪演练    3 已知抛物线的参数方程为{            y=2pt )(t 为参数),其中      p>0,焦点为     F,准线
为 l.

过抛物线上一点       M 作 l 的垂线,垂足为      E,若|EF|=|MF|,点     M 的横坐标是     3,则  p=

________.

解析 根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是                       y2=2px,所以    yM2 =6p,所以   E
  p          p         p
-  , ± 6p     ,0
( 2      ),F(2  ),所以2+3=      p2+6p,所以    p2+4p-12=0,解得     p=2(负值舍去).
答案 2
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              x=rcos θ,                                          x=acos φ,
1.圆的参数方程{      y=rsin θ )中的参数   θ 是半径   OM 的旋转角,椭圆参数方程{           y=bsin φ )中
的参数   φ 是椭圆上点      M 的离心角.

      (x-m)2  (y-n)2                         x=m+acos φ,
2.椭圆    a2   +   b2  =1(a>b>0)的参数方程为{         y=n+bsin φ )(φ 为参数).
3.双曲线的参数方程中,参数           φ  的三角函数     cot  φ、sec   φ、csc    φ 的意义分别为       cot 
     1             1            1
φ=tan φ,sec φ=cos φ,csc φ=sin φ.
                          x=2pt2,                y 1
4.抛物线   y2=2px 的参数方程{      y=2pt )(t 为参数),由于x=t,因此         t 的几何意义是抛物
线的点(除顶点外)与抛物线的顶点连线的斜率的倒数.

5.利用圆锥曲线的参数方程,可以方便求解一些需要曲线上点的两个坐标独立表示的问题,

如求最大值、最小值问题、轨迹问题等.


           x=et+e-t,
1.参数方程{y=2(et-e-t))(t    为参数)的普通方程是(  )
A.抛物线                                     B.一条直线

C.椭圆                                      D.双曲线

                2x=2et+2e-t,                            x2  y2
解析 由参数方程{        y=2(et-e-t) )平方相减可得      4x2-y2=16,即   4 -16=1,故答案为       D.
答案 D

      x=4+5cos φ,
2.椭圆{    y=3sin φ )(φ 为参数)的焦点坐标为(  )
A.(0,0),(0,-8)                            B.(0,0),(-8,0)

C.(0,0),(0,8)                             D.(0,0),(8,0)
                               (x-4)2  y2
解析 利用平方关系化为普通方程:                 25  +  9 =1.
∴焦点(0,0),(8,0).

答案 D
               α     α
          x=sin +cos  ,
               2     2
3.参数方程{    y=  2+sin α )(α 为参数)表示的普通方程是________.
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                                                                α     α
解析 因    x2=1+sin    α,y2=2+sin     α,所以     y2-x2=1,又因    x=sin2+cos2=    2sin
α  π
 +
(2 4),所以答案为      y2-x2=1(|x|≤   2且 y≥1).
答案 y2-x2=1(|x|≤      2且 y≥1)

                  x=t2,
4.点 P(1,0)到曲线{    y=2t )(参数  t∈R)上的点的最短距离为(  )

A.0                                       B.1  

C. 2                                      D.2

       2   2    2   2    2   2
解析 d   =(t  -1) +4t  =(t +1)  .∵t∈R,∴dm2in=1,∴dmin=1.

答案 B
               x2
5.已知点   P 是椭圆   4 +y2=1 上任意一点,求点        P 到直线   l:x+2y=0   的距离的最大值.
               x2
解 因为    P 为椭圆   4 +y2=1 上任意一点,故可设         P(2cos   θ,sin     θ),其中    θ∈[0,
2π).又直线    l:x+2y=0.

因此点   P 到直线   l 的距离
                         π
                2 2 sin θ+
   |2cos θ+2sin θ| |  (  4)|                       2 2  2 10
        +
d=    12  22  =       5    .又 θ∈[0,2π),∴dmax=       5 =  5 ,
                                       2 10
即点  P 到直线   e:x+2y=0   的距离的最大值为         5 .


一、基础达标

          x=cos θ,
1.参数方程{    y=2sin θ )(θ 为参数)化为普通方程为(  )
     y2                                        y2
A.x2+ 4 =1                                B.x2+ 2 =1
     x2                                        x2
C.y2+ 4 =1                                D.y2+ 4 =1
                            y        y2
解析 易知     cos θ=x,sin θ=2,∴x2+       4 =1,故选    A.
答案 A

      xcos θ=a,
2.方程{  y=bcos θ )(θ 为参数,ab≠0)表示的曲线是(  )
A.圆                                       B.椭圆

C.双曲线                                     D.双曲线的一部分
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                             a
解析 由    xcos θ=a,∴cos θ=x,代入         y=bcos θ,得    xy=ab,又由    y=
bcos θ 知,y∈[-|b|,|b|],∴曲线应为双曲线的一部分.

答案 D

                                   x=4t2,
3.若点  P(3,m)在以点    F 为焦点的抛物线{       y=4t )(t 为参数)上,则|PF|等于(  )


A.2                                       B.3  

C.4                                       D.5

解析 抛物线为       y2=4x,准线为     x=-1,|PF|为    P(3,m)到准线    x=-1  的距离,即为      4.

答案 C

4.当 θ  取一切实数时,连接         A(4sin θ,6cos θ)和   B(-4cos θ,6sin θ)两点的线段的

中点的轨迹是(  )

A.圆                                       B.椭圆  

C.直线                                      D.线段

解析 设中点      M(x,y),由中点坐标公式,得           x=2sin  θ-2cos    θ,y=3cos     θ+3sin 
      x                 y                                 x2  y2
θ,即2=sin θ-cos θ,3=sin θ+cos θ,两式平方相加,得                   4 + 9 =2,是椭圆.
答案 B

5.实数  x,y 满足   3x2+4y2=12,则   2x+  3y 的最大值是________.

解析 因为实数       x,y 满足   3x2+4y2=12,所以设     x=2cos α,y=     3sin α,则   2x+  3y=
                                            4          3
4cos α+3sin   α=5sin(α+φ),其中        sin φ=5,cos    φ=5.当    sin(α+φ)=1    时,
2x+  3y 有最大值为    5.

答案 5
              2x
6.抛物线   y=x2-  t 的顶点轨迹的普通方程为________.
                            1    1            1   1
                         x-                    ,-
解析 抛物线方程可化为           y=(   t)2-t2,∴其顶点为(t        t2),记 M(x,y)为所求轨迹上任
              1
            x= ,
              t
               1
          y=-   ,
         {        )             2
意一点,则          t2 消去   t 得 y=-x  (x≠0).
答案 y=-x2(x≠0)
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                                1
7.如图所示,连接原点         O 和抛物线   y=2x2 上的动点    M,延长    OM 到点
P,使|OM|=|MP|,求     P 点的轨迹方程,并说明是什么曲线?

                                        x=2t,
解 抛物线标准方程为          x2=2y,其参数方程为{y=2t2.)得       M(2t,2t2).
设 P(x,y),则   M 是 OP 中点.
      x+0
   2t=    ,
        2
       y+0      x=4t                       1
   2t2=   ,
  {         )   =                            2
∴       2   ∴{y   4t2)(t 为参数),消去    t 得 y=4x  ,是以   y 轴为对称轴,焦点为(0,
1)的抛物线.

二、能力提升

         x=sin2θ,
8.若曲线{y=cos θ-1)(θ    为参数)与直线      x=m 相交于不同两点,则         m 的取值范围是(  )
A.R                                       B.(0,+∞)

C.(0,1)                                   D.[0,1)

             x=sin2θ,
解析 将曲线{y=cos θ-1)化为普通方程得(y+1)2=
-(x-1)(0≤x≤1).它是抛物线的一部分,如图所示,由数形结合

知 0≤m<1.

答案 D

          x=t2,
9.圆锥曲线{    y=2t )(t 为参数)的焦点坐标是________.
解析 将参数方程化为普通方程为              y2=4x,表示开口向右,焦点在            x 轴正半轴上的抛物线,

由 2p=4⇒p=2,则焦点坐标为(1,0).

答案 (1,0)

                       x=t,
10.设曲线   C 的参数方程为{y=t2)(t      为参数),若以直角坐标系的原点为极点,x                 轴的正半
轴为极轴建立极坐标系,则曲线             C 的极坐标方程为________.

      x=t,
解析 {y=t2)化为普通方程为          y=x2,由于    ρcos θ=x,ρsin θ=y,所以化为极坐标方
程为  ρsin θ=ρ2cos2θ,即      ρcos2θ-sin θ=0.

答案 ρcos2θ-sin θ=0
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                                         x=  3cos α,

11.在直角坐标系      xOy 中,曲线   C1 的参数方程为{      y=sin α, )

(α 为参数),以坐标原点为极点,x             轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线                C2 的极坐标方
            π
          θ+
程为  ρsin(   4)=2  2.

(1)写出  C1 的普通方程和     C2 的直角坐标方程;

(2)设点  P 在 C1 上,点  Q 在 C2 上,求|PQ|的最小值及此时         P 的直角坐标.
                    x2
                         2
解 (1)C1 的普通方程为       3 +y =1.C2 的直角坐标方程为       x+y-4=0.

(2)由题意,可设点       P 的直角坐标为(      3cos α,sin    α).因为   C2 是直线,所以|PQ|的最小

值即为   P 到 C2 的距离  d(α)的最小值.
       | 3cos α+sin α-4|       π
                          sin α+ -2
d(α)=         2      =  2|  (  3)   |.
                  π
当且仅当    α=2kπ+6(k∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为                  2,此时   P 的直角坐标为
3 1
 ,
(2 2).
三、探究与创新
                                                  3            3
                                                             0,
12.设椭圆的中心是坐标原点,长轴在              x 轴上,离心率      e= 2 ,已知点    P(  2)到这个椭圆上
的点的最远距离是        7,求这个椭圆的方程,并求椭圆上到点                 P 的距离等于     7的点的坐标.

                      x=acos θ                                 c2  a2-b2
解 设椭圆的参数方程是{y=bsin θ),其中,a>b>0,0≤θ<2π.由                     e2=a2=   a2 =1-
b      b         1
(a)2可得a=   1-e2=2即  a=2b.设椭圆上的点(x,y)到点          P 的距离为    d,则  d2=x2+
   3                    3                               9
y-               bsin θ-
(  2)2=a2cos2θ+(        2)2=a2-(a2-b2)sin2θ-3bsin θ+4
                          9
=4b2-3b2sin2θ-3bsin θ+4
             1
       sin θ+
=-3b2(      2b)2+4b2+3,
    1         1                                                    3
                                                                b+
如果2b>1   即 b<2,即当    sin  θ=-1    时,d2 有最大值,由题设得(          7)2=(   2)2,由此得
       3 1        1             1                          1
b=  7-2>2,与    b<2矛盾.因此必有2b≤1       成立,于是当       sin θ=-2b时,d2    有最大值,
由题设得(    7)2=4b2+3,由此可得       b=1,a=2.

                    x=2cos θ,
所求椭圆的参数方程是{          y=sin θ. )
            1            3                       1           1
                                           - 3,-         3,-
由 sin θ=-2,cos θ=±       2 可得,椭圆上的点(             2),点(       2)到点 P 的距离都
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是  7.

                              三 直线的参数方程


[学习目标]

1.掌握直线的参数方程.

2.能够利用直线的参数方程解决有关问题.

[知识链接]

1.若直线   l 的倾斜角    α=0,则直线      l 的参数方程是什么?

                x=x0+t,
提示 参数方程为{         y=y0. )(t 为参数).
2.如何理解直线参数方程中参数的几何意义?


                                                      x=x0+tcos α,

提示 过定点      M0(x0,y0),倾斜角为     α 的直线    l 的参数方程为{y=y0+tsin α,)(t     为参数)
,其中   t 表示直线    l 上以定点   M 为起点,任意一点        M(x,y)为终点的有向线段          →  的长度,
                          0                                       M0M
即|t|=|   →  |.
       M0M
①当  t>0 时,    →  的方向向上;②当        t<0 时,   →  的方向向下;③当        t=0  时,点   M 与点
            M0M                          M0M

M0 重合.

[预习导引]

直线的参数方程

                              π                     x=x0+tcos α,
                            α ≠
                           (   )                      =   +
经过点   M0(x0,y0),倾斜角为     α    2 的直线   l 的参数方程为{      y  y0  tsin α )
(t 为参数),其中参数       t 的几何意义是:|t|是直线         l 上任一点    M(x,y)到点

M (x ,y )的距离,即|t|=|      →  |.
 0 0   0                M0M


要点一 直线参数方程的标准形式
                           3
                 x=-   3+   t
                          2
                        1
                { y=2+   t, )
例 1 已知直线     l:         2    (t 为参数).
(1)求直线   l 的倾斜角;
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(2)若点  M(-3  3,0)在直线    l 上,求   t 并说明   t 的几何意义.
                              π
                   x=-  3+tcos ,
                              6
                             π                                          π
                     y=2+tsin
                  {             )                       3
解 (1)由于直线      l:            6   (t 为参数)表示过点      M0(-   ,2)且斜率为     tan6的直
                        π
线,故直线     l 的倾斜角    α=6.
                                     π    π    3 1
                                   cos ,sin     ,
(2)由(1)知,直线     l 的单位方向向量      e=(   6    6)=( 2 2).
                                                       3 1
                                                        ,
∵M =(-   3,2),M(-3    3,0),∴    →  =(-2   3,-2)=-4(   2  2)=-4e,
   0                           M0M
∴点  M 对应的参数     t=-4,

几何意义为|      →  |=4,且    →  与 e 方向相反(即点      M 在直线  l 上点  M 的左下方).
          M0M         M0M                                 0

 规律方法 1.一条直线可以由定点              M0(x0,y0),倾斜角    α(0≤α<π)唯一确定,直线上
                         x=x0+tcos α,
的动点   M(x,y)的参数方程为{       y=y0+tsin α )(t 为参数),这是直线参数方程的标准形式.2.直
                                                                   b

线参数方程的形式不同,参数            t 的几何意义也不同,过定点            M0(x0,y0),斜率为a的直线的
          x=x0+at,
参数方程是{     y=y0+bt )(a、b 为常数,t     为参数).
                                        π

跟踪演练    1 直线   l 经过点   M0(1,5),倾斜角为3,且交直线          x-y-2=0    于 M 点,则

|MM0|=________.
                                       1
                                  x=1+  t,
                                       2
                                        3
                                 {y=5+   t)
解析 由题意可得直线          l 的参数方程为            2  (t 为参数),代入直线方程         x-y-2=0,
     1       3
          5+  t
得 1+2t-(     2 )-2=0,解得     t=-6(  3+1).

根据  t 的几何意义可知|MM0|=6(        3+1).

答案 6(    3+1)

要点二 利用直线的参数方程求曲线的弦长
                                      t
                                 x=2-  ,
                                      2
                                        t
                                y=-1+
                               {         )                2  2
例 2 已知过点     M(2,-1)的直线     l:          2 (t 为参数),与圆     x +y =4 交于   A,B 两
点,求|AB|及|AM|·|BM|.
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                         2 t
                  x=2-       ,
                        2 ( 2)
                          2 t
                  y=-1+
                 {        2  2 )
解 l  的参数方程为                (  ) (t 为参数).
                       2
                x=2-   t′,
                      2
        t               2
                y=-1+    t′
        2      {          )
令 t′=    ,则有            2  (t′是参数).
其中  t′是点   M(2,-1)到直线     l 上的一点    P(x,y)的有向线段的数量,代入圆的方程                x2+

 2             2
y =4,化简得     t′ -3  2t′+1=0.∵Δ>0,可设         t′1,t′2  是方程的两根,由根与系数

关系得   t′1+t′2=3    2,t′1t′2=1.

由参数   t′的几何意义得|MA|=|t′1|,|MB|=|t′2|,∴|MA|·|MB|=|t′1·t′2|=1,

                                      14
|AB|=|t′1-t′2|=     (t1  t2 )  4t1t2 = .

规律方法 1.在直线参数方程的标准形式下,直线上两点之间的距离可用|t1-t2|来求.本

题易错的地方是:将题目所给参数方程直接代入圆的方程求解,忽视了参数                               t 的几何意义.2.根

据直线的参数方程的标准式中            t 的几何意义,有如下常用结论:

(1)直线与圆锥曲线相交,交点对应的参数分别为                   t1,t2,则弦长    l=|t1-t2|;

(2)定点  M0 是弦 M1M2 的中点⇒t1+t2=0;
                                         t1+t2

(3)设弦  M1M2 中点为  M,则点   M 对应的参数值      tM=  2  (由此可求|M1M2|及中点坐标).
                                     π
                                  3,
跟踪演练    2 在极坐标系中,已知圆心            C(  6),半径  r=1.
(1)求圆的直角坐标方程;
                  3
         x=-1+     t,
                 2
                1
        {    y=  t  )
(2)若直线          2    (t 为参数)与圆交于       A,B 两点,求弦     AB 的长.
                    3 3 3                         3 3       3
                       ,                       x-        y-
解 (1)由已知得圆心        C( 2 2),半径为    1,圆的方程为(         2 )2+(   2)2=1,
即 x2+y2-3  3x-3y+8=0,
              3
     x=-1+     t,
             2
            1
         y=  t
     {           )                                  3
(2)由        2    (t 为参数)得直线的直角坐标系方程             x-   y+1=0,
                   3 3  3 3
                      -    +1
                   | 2   2   |  1      |AB|
圆心到直线的距离        d=      2     =2,所以(    2 )2+d2=1,
解得|AB|=   3.
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要点三 直线参数方程的综合应用

例 3 已知直线     l 过定点   P(3,2)且与   x 轴和  y 轴的正半轴分别交于         A,B 两点,求

|PA|·|PB|的值为最小时的直线         l 的方程.

                                    x=3+tcos α,
解 设直线的倾斜角为          α,则它的方程为{        y=2+tsin α )(t 为参数).

由 A,B  是坐标轴上的点知        yA=0,xB=0,
                              2
∴0=2+tsin α,即|PA|=|t|=sin α,0=3+tcos α,
                3
即|PB|=|t|=-cos α,
               2       3       12
                   -
故|PA|·|PB|=sin α·(   cos α)=-sin 2α.
∵90°<α<180°,∴当         2α=270°,即     α=135°时,

|PA|·|PB|有最小值.
                   2
            x=3-    t,
                  2
                   2
           { y=2+   t )
∴直线方程为             2  (t 为参数),化为普通方程为          x+y-5=0.
规律方法 利用直线的参数方程,可以求一些距离问题,特别是求直线上某一定点与曲线交

点距离时使用参数的几何意义更为方便.
                                                       2
                                                 x=3-   t,
                                                       2
                                                        2
                                                {y=  5+  t)
跟踪演练    3 在直角坐标系       xOy 中,直线    l 的参数方程为             2  (t 为参数).在极坐标
系(与直角坐标系       xOy 取相同的长度单位,且以原点            O 为极点,以     x 轴正半轴为极轴)中,

圆 C 的方程为    ρ=2   5sin θ.

(1)求圆  C 的直角坐标方程;

(2)设圆  C 与直线   l 交于点   A,B.若点   P 的坐标为(3,     5),求|PA|+|PB|.

解 (1)由   ρ=2   5sin θ,

得 ρ2=2   5 ρsin θ.

∴x2+y2-2   5y=0,

即 x2+(y-   5)2=5.

(2)法一 直线     l 的普通方程为     y=-x+3+     5,

与圆  C:x2+(y-   5)2=5 联立,消去      y,

得 x2-3x+2=0,
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        x=1        x=2,
解之得{y=2+     5)或{y=1+   5.)
不妨设   A(1,2+   5),B(2,1+   5).

又点  P 的坐标为(3,     5),

故|PA|+|PB|=   8+  2=3  2.

法二 将    l 的参数方程代入       x2+(y-  5)2=5,
      2      2
  3-   t      t
得(    2 )2+( 2 )2=5,
即 t2-3  2t+4=0,(*)

由于  Δ=(3   2)2-4×4=2>0.

故可设   t1,t2 是(*)式的两个实根.

∴t1+t2=3   2,且  t1t2=4.

∴t1>0,t2>0.

又直线   l 过点  P(3,  5),

∴由  t 的几何意义,

得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=3    2.


                                                  x=x0+tcos α,

1.经过点   M0(x0,y0),倾斜角为     α 的直线    l 的参数方程为{     y=y0+tsin α )(t 为参数).其中
t 表示直线   l 上以定点    M 为起点,任意一点        M(x,y)为终点的有向线段          →  的数量,可为正、
                    0                                       M0M
为负,也可为零.

2.在直线参数方程中,如果直线上的点               M1、M2 所对应的参数值分别为          t1 和 t2,则线段
                              1

M1M2 的中点所对应的参数值为         t 中=2·(t1+t2).
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      x=-2+tcos 50°,
1.直线{   y=3-tsin 40° )(t 为参数)的倾斜角      α  等于(  )

A.40°                                     B.50°

C.-45°                                    D.135°
                  -sin 40°
解析 根据     tan α=  cos 50° =-1,因此倾斜角为        135°.
答案 D

    x=x0-3λ,                x=x0+tcos α,
2.若{ y=y0+4λ  )(λ 为参数)与{    y=y0+tsin α )(t 为参数)表示同一条直线,则           λ 与  t 的
关系是(  )

A.λ=5t                                    B.λ=-5t

C.t=5λ                                    D.t=-5λ

解析 由    x-x0,得-3λ=tcos       α,由   y-y0,得   4λ=tsin    α,消去    α  的三角函数,

得 25λ2=t2,得    t=±5λ,借助于直线的斜率,可排除               t=-5λ,所以      t=5λ.

答案 C

              x=1+3t,

3.已知直线    l1:{ y=2-4t  )(t 为参数)与直线     l2:2x-4y=5   相交于点    B,且点   A(1,2),
则|AB|=________.

        x=1+3t,                       1      5                        5
                                             ,0
解析 将{    y=2-4t  )代入  2x-4y=5,得    t=2,则   B(2  ).又 A(1,2),所以|AB|=2.
      5
答案 2
                   6
            x=4+     t,
                   13
                    4
             y=3+    t
            {       13 )
4.求直线   l1:            (t 为参数)与直线      l2:x+y-2=0    的交点到定点(4,3)的距离.

                              3         3
                        x=4+    ·2t=4+    t′,
                               13       13
                               2         2
                         y=3+    ·2t=3+    t′
                       {       13        13 )
解 ∵l1  的参数方程可化为                              (t′为参数).

把 l1 的参数方程的标准形式代入           x+y-2=0   中,
      3          2
得 4+  13t′+3+    13t′-2=0.
解得  t′=-    13,∴|t′|=    13.由|t′|的几何意义为交点到点(4,3)的距离,

∴所求的距离为|t′|=         13.
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一、基础达标

       x=1+tcos α,
1.直线{y=-2+tsin α)(α   为参数,0≤a<π)必过点(  )
A.(1,-2)                                  B.(-1,2)

C.(-2,1)                                  D.(2,-1)

解析 直线表示过点(1,-2)的直线.

答案 A

2.下列可以作为直线        2x-y+1=0   的参数方程的是(  )

   x=1+t,                                    x=1-t,
A.{ y=3+t )(t 为参数)                        B.{y=5-2t)(t 为参数)
                                                  2
                                             x=2+   5t,
                                                  5
   x=-t,                                            5
                                              y=5+   t
   =  -                                     {          )
C.{y 1  2t)(t 为参数)                        D.        5  (t 为参数)
                                                                     1
解析 题目所给的直线的斜率为             2,选项    A 中直线斜率为     1,选项    D 中直线斜率为2,所以可
排除选项    A、D.而选项    B 中直线的普通方程为         2x-y+3=0,故选      C.

答案 C


                                 x=-1-t,
3.极坐标方程     ρ=cos θ   和参数方程{      y=2+t   )(t 为参数)所表示的图形分别是(  )
A.直线、直线                                   B.直线、圆

C.圆、圆                                     D.圆、直线
                                                     1       1
                                                  x-
解析 ∵ρ=cos θ,∴ρ2=ρcos θ,即              x2+y2=x,即(     2)2+y2=4,
∴ρ=cos θ    所表示的图形是圆.

   x=-1-t
由{ y=2+t  )(t 为参数)消参得:x+y=1,表示直线.
答案 D
              1
        x=1+   t,
              2
                 3
      y=-3   3+   t
      {           )              2   2
4.直线            2  (t 为参数)和圆    x +y  =16 交于  A、B  两点,则    AB 的中点坐标为(  )
A.(3,-3)                                  B.(-  3,3)

C.( 3,-3)                                 D.(3,-   3)
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              t            3                   t           3
                                            1+      -3  3+  t
解析 将    x=1+2,y=-3      3+ 2 t 代入圆方程,得(        2)2+(       2 )2=16,

   2
∴t -8t+12=0,则     t1=2,t2=6,
                         t1+t2
因此  AB 的中点   M 对应参数    t=  2  =4,
       1                   3
∴x=1+2×4=3,y=-3        3+ 2 ×4=-    3,
故 AB 中点  M 的坐标为(3,-      3).

答案 D

                                    x=t,                     x=3cos φ,
5.在平面直角坐标系        xOy 中,若直线    l:{y=t-a)(t  为参数)过椭圆      C:{  y=2sin φ )(φ 为
参数)的右顶点,则常数          a 的值为________.

              x=t,
解析 直线     l:{y=t-a)消去参数      t 后得 y=x-a.
        x=3cos φ,               x2  y2
椭圆  C:{  y=2sin φ )消去参数   φ 后得  9 + 4 =1.
又椭圆   C 的右顶点为(3,0),代入        y=x-a   得 a=3.

答案 3
                                                    x=  5cos θ,
                                                   { y=  5sin θ )
6.在平面直角坐标系        xOy 中,曲线   C1 和 C2 的参数方程分别为                  (θ 为参数,
                  2
           x=1-    t,
                 2
       π          2
          { y=-    t )
0≤θ≤2)和          2   (t 为参数),则曲线       C1 与 C2 的交点坐标为________.
                                     2   2
解析 曲线     C1 和 C2 的直角坐标方程分别为        x +y =5(0≤x≤    5,0≤y≤    5)①,x-y=1②
            x=2,
联立①②解得{      y=1. )

∴C1 与 C2 的交点坐标为(2,1).

答案 (2,1)
                    x=-3+t
7.化直线   l 的参数方程{y=1+       3t),(t 为参数)为普通方程,并求倾斜角,说明|t|的几何
意义.
      x=-3+t
解 由{y=1+     3t)消去参数   t,得直线     l 的普通方程为      3x-y+3  3+1=0.
                                         π
故斜率   k=  3=tan α,由于     0≤α<π,即     α=3.
                   π
因此直线    l 的倾斜角为3.
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   x+3=t,
又{y-1=   3t.)得(x+3)2+(y-1)2=4t2,
        (x+3)2+(y-1)2
∴|t|=         2       .
故|t|是  t 对应点   M 到定点   M (-3,1)的向量     →  的模的一半.
                        0             M0M
二、能力提升

                                    x=2s+1,                       x=at,

8.在平面直角坐标系        xOy 中,若直线    l1:{   y=s   )(s 为参数)和直线     l2:{y=2t-1)(t  为
参数)平行,则常数        a 的值为________.

        x=2s+1,
解析 由{      y=s   )消去参数    s,得  x=2y+1.
   x=at,
由{y=2t-1)消去参数     t,得   2x=ay+a.
           2  1 1

∵l1∥l2,∴a=2≠a,∴a=4.
答案 4

        x=1-2t
9.若直线{y=2+3t)(t   为参数)与直线       4x+ky=1  垂直,则常数      k=________.
        x=1-2t           3   7              3

解析 将{y=2+3t)化为      y=-2x+2,∴斜率       k1=-2,显然     k=0 时,直线     4x+ky=1  与上
                                                 4                      4

述直线不垂直.∴k≠0,从而直线            4x+ky=1   的斜率   k2=-k.依题意     k1k2=-1,即-k×
  3
-
( 2)=-1,
∴k=-6.

答案 -6
       x2 y2
10.椭圆25+16=1    上的点到圆     x2+(y-6)2=1  上的点的距离的最大值是(  )
A.11                                      B. 74

C.5 5                                     D.9


                         x2  y2
解析 由平面几何知识,椭圆25+16=1              上的点到圆     x2+(y-
6)2=1 上的点的距离最大值=椭圆上的动点到圆心的最大距离+

圆的半径.如图,设圆         x2+(y-6)2=1  圆心为   O′,P(5cos    θ,

4sin θ)是椭圆上的点,则|PO′|=           (5cos θ)2+(4sin θ-6)2

=  25cos2θ+16sin2θ-48sin θ+36
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=  -9sin2θ-48sin θ+61

           8                  8
   -9 sin θ+ 2+125   -9  -1+   2+125
=    (     3)      ≤    (     3)     =10

(当 sin θ=-1   时取等号).则所求距离最大值为             11.

答案 A
                                   3
                             x=2+   t,
                                   2
                                  1
                            {  y=  t  )
11.在直角坐标系中,参数方程为                  2    (t 为参数)的直线     l 被以原点为极点,x        轴的
正半轴为极轴,极坐标方程为            ρ=2cos θ    的曲线   C 所截,求截得的弦长.
                     3
              x=2+    t,
                    2
                    1
             {   y= t  )
解 参数方程为             2   (t 为参数)表示的直线        l 是过点  A(2,0),倾斜角为      30°,极
坐标方程    ρ=2cos θ   表示的曲线     C 为圆  x2+y2-2x=0.

此圆的圆心为(1,0),半径为          1,且圆    C 也过点   A(2,0);设直线     l 与圆 C 的另一个交点为

B,在  Rt△OAB 中,|AB|=2cos 30°=      3.

12.在直角坐标系      xOy 中,圆   C 的方程为(x+6)2+y2=25.

(1)以坐标原点为极点,x         轴正半轴为极轴建立极坐标系,求              C 的极坐标方程;

                     x=tcos α,
(2)直线  l 的参数方程是{      y=tsin α )(t 为参数),l  与 C 交于  A,B 两点,|AB|=     10,求
l 的斜率.

解 (1)由   x=ρcos θ,y=ρsin θ       可得圆   C 的极坐标方程为       ρ2+12ρcos θ+11=0.

(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线            l 的极坐标方程为       θ=α(ρ∈R).设      A,B 所对应的极

                                                      2
径分别为    ρ1,ρ2,将    l 的极坐标方程代入        C 的极坐标方程得       ρ +12ρcos α+11=0,于

是 ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11.
                  ( +   ) -
|AB|=|ρ1-ρ2|=      ρ1 ρ2 2  4ρ1ρ2

=  144cos2α-44.
                    3             15
由|AB|=   10得 cos2α=8,tan α=±      3 .
              15     15
所以  l 的斜率为    3 或-   3 .
三、探究与创新

                         x=2cos φ

13.已知曲线    C1 的参数方程是{y=3sin φ)(φ     为参数),以坐标原点为极点,x             轴的正半轴为
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极轴建立极坐标系,曲线           C2 的极坐标方程是      ρ=2,正方形      ABCD 的顶点都在    C2 上,且   A,
                                         π
                                       2,
B,C,D  依逆时针次序排列,点          A 的极坐标为(      3).
(1)求点  A,B,C,D   的直角坐标;

                            2      2     2      2
(2)设 P 为 C1 上任意一点,求|PA|      +|PB|  +|PC| +|PD|  的取值范围.
                      π     π
                  2cos ,2sin 
解 (1)由已知可得       A(   3     3),
     π  π      π π         π        π
 2cos +   ,2sin +      2cos +π ,2sin +π
B(   (3 2)    (3 2)),C(   (3   )    (3  )),
     π  3π      π 3π
 2cos +    ,2sin +
D(   (3  2 )   (3  2 )),
即 A(1,  3),B(-   3,1),C(-1,-     3),D(  3,-1).

(2)设 P(2cos φ,3sin φ),令     S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2,则    S=(2cos φ-1)2+(

 3-3sin   φ)2+(-   3-2cos   φ)2+(1-3sin     φ)2+(-1-2cos     φ)2+(-    3-3sin 

φ)2+(  3-2cos         φ)2+(-1-3sin           φ)2=16cos2φ+36sin2φ+16=32+

20sin2φ.∵0≤sin2φ≤1,∴S      的取值范围是[32,52].


                               四 渐开线与摆线


[学习目标]

1.了解圆的渐开线的参数方程.

2.了解摆线的生成过程及它的参数方程.

3.学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤.

[知识链接]

1.圆的渐开线的参数方程中的参数             φ  的几何意义是什么?

提示 根据渐开线的定义和求解参数方程的过程,可知其中的字母

r 是指基圆的半径,而参数          φ 是指绳子外端运动时绳子与基圆的切
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点 B 转过的角度,如图,其中的∠AOB            即是角    φ.显然点    M 由参数   φ 唯一确定.在我们解决

有关问题时可以适当利用其几何意义,把点的坐标转化为与三角函数有关的问题,使求解过

程更加简单.

2.圆的摆线的参数方程中的参数            φ  的几何意义是什么?

提示 同样,根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程,可知其中的字母                               r 是指定圆的半

径,参数    φ 是指圆上定点相对于定直线与圆的切点所张开的角度.参数的几何意义可以在解

决问题中加以引用,简化运算过程.当然这个几何意义还不是很明显,直接使用还要注意其

取值的具体情况.

[预习导引]

1.渐开线及其参数方程

(1)把线绕在圆周上,假设线的粗细可以忽略,拉着线头逐渐展开,保持线与圆相切,线头

的轨迹就叫做圆的渐开线,相应的定圆叫做渐开线的基圆.

                                          x=r(cos φ+φsin φ),
(2)设基圆的半径为       r,圆的渐开线的参数方程是{            y=r(sin φ-φcos φ) )
(φ 为参数).

2.摆线及其参数方程

(1)当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时,圆周上的一个定点运动的轨迹叫做平摆线,

简称摆线,又叫旋轮线.

                                                      x=r(φ-sin φ),
(2)设圆的半径为      r,圆滚动的角为       φ,那么摆线的参数方程是{            y=r(1-cos φ) )(φ 是参数)

.


要点一 求圆的渐开线参数方程

例 1 用向量的方法求半径为           4 的圆的渐开线参数方程.

解 以圆心为原点        O,绳端点的初始位置为          M ,向量   →  的方向为
                                      0     OM0
x 轴正方向,建立坐标系,设渐开线上的任意点                   M(x,y),绳拉直

时和圆的切点为       A,故  OA⊥AM,按渐开线定义,弧A︵M0的长和线段

AM 的长相等,记     → 和  x 轴正向所夹的角为       θ(以弧度为单位),则
              OA
|AM|=A︵M0=4θ.作    AB 垂直于  x 轴,过   M 点作  AB 的垂线,由三角函数和向量知识,得

→ =(4cos θ,4sin θ)由几何知识知∠MAB=θ,              → =(4θsin θ,-4θcos θ),得
OA                                          AM
→  = → +  → .
OM   OA  AM
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=(4cos θ+4θsin θ,4sin θ-4θcos θ)

=(4(cos θ+θsin θ),4(sin θ-θcos θ)).

                     x=4(cos θ+θsin θ),
又 →  =(x,y),因此有{     y=4(sin θ-θcos θ). )(θ 为参数)
  OM
这就是所求圆的渐开线的参数方程.

规律方法 用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤:

(1)建立适当的坐标系,设轨迹曲线上的动点为                  M(x,y).

(2)选取运动中产生的某一角度为参数.

(3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式.

(4)用向量运算得到       → 的坐标表达式,由此得到轨迹曲线的参数方程.
                OM
跟踪演练    1 半径为    2 的基圆的渐开线的参数方程为________.

            x=2(cos φ+φsin φ),
解析 方程为{      y=2(sin φ-φcos φ) )(φ 为参数).
      x=2(cos φ+φsin φ),
答案 {   y=2(sin φ-φcos φ) )(φ 为参数).
要点二 求摆线的参数方程

例 2 已知一个圆的摆线过一定点(2,0),请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程以及

对应的圆的渐开线的参数方程.

解 令   y=0,可得    r(1-cos φ)=0,由于      r>0,

即得  cos φ=1,所以     φ=2kπ(k∈Z).

代入  x=r(φ-sin φ),得      x=r(2kπ-sin 2kπ).

又因为   x=2,所以    r(2kπ-sin 2kπ)=2,
       1                                 1

即得  r=kπ(k∈Z).又由实际可知        r>0,所以    r=kπ(k∈Z+).
                           1
易知,当    k=1 时,r   取最大值为π.
                                 1
                              x= (φ-sin φ),
                                 π
                                 1
                             { y= (1-cos φ) )
代入即可得圆的摆线的参数方程为                  π          (φ 为参数)
                         1
                      x=  (cos φ+φsin φ),
                         π
                         1
                     { y= (sin φ-φcos φ) )
圆的渐开线的参数方程为              π              (φ 为参数).
规律方法 根据摆线的定义和求解参数方程的过程可知其中的参数                            φ 是指圆上定点相对于

定直线与圆的切点所张开的角度.
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                               x=1+6cos α,
跟踪演练    2 已知圆    C 的参数方程是{y=-2+6sin α)
(α 为参数)和直线      l 对应的普通方程是        x-y-6   2=0.

(1)如果把圆心平移到原点          O,请问平移后圆和直线有什么关系?

(2)写出平移后圆的摆线方程;

(3)求摆线和    x 轴的交点.


                                                               6 2
解 (1)圆   C 平移后圆心为      O(0,0),它到直线      x-y-6  2=0  的距离为    d=  2 =6,恰好等
于圆的半径,所以直线和圆是相切的.

                                      x=6φ-6sin φ,
(2)由于圆的半径是       6,所以可得摆线方程是{          y=6-6cos φ  )(φ 为参数).
(3)令 y=0,得   6-6cos φ=0⇒cos φ=1,所以         φ=2kπ(k∈Z).代入      x=6φ-

6sin φ,得   x=12kπ(k∈Z),即圆的摆线和          x 轴的交点为(12kπ,0)(k∈Z).


1.圆的渐开线的参数方程中,字母             r 表示基圆的半径,字母          φ 是指绳子外端运动时绳子上

的定点   M 相对于圆心的张角.

2.由圆的摆线的参数方程的形式可知,只要确定了摆线生成圆的半径,就能确定摆线的参数

方程.


    x=3cos θ,
1.圆{ y=3sin θ )(θ 为参数)的平摆线上一点的纵坐标为              0,那么其横坐标可能是(  )

A.π                                       B.3π  

C.6π                                      D.10π
                                       x=3φ-3sin φ,
解析 根据条件可知圆的平摆线的参数方程为{                   y=3-3cos φ  )(φ 为参数),把     y=0  代入,
得 cos φ=1,所以     φ=2kπ(k∈Z).从而      x=3φ-3sin φ=6kπ(k∈Z).

答案 C

                          x=6(cos φ+φsin φ)
2.当 φ=2π   时,圆的渐开线{y=6(sin φ-φcos φ))上的点是(  )
A.(6,0)                                   B.(6,6π)
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C.(6,-12π)                                D.(-π,12π)


解析 当    φ=2π   时,代入圆的渐开线方程.

∴x=6(cos 2π+2π·sin 2π)=6,

y=6(sin 2π-2π·cos 2π)=-12π.

答案 C

3.半径为   4 的圆的渐开线的参数方程是________.

                            x=r(cos φ+φsin φ),
解析 由圆的渐开线的参数方程{             y=r(sin φ-φcos φ) )
   x=4(cos φ+φsin φ),
得{ y=4(sin φ-φsin φ) )(φ 为参数)
      x=4(cos φ+φsin φ),
答案 {   y=4(sin φ-φcos φ) )(φ 为参数)
                        x=4φ-4sin φ,
4.已知一个圆的摆线方程是{           y=4-4cos φ )(φ 为参数),求该圆的面积和对应的圆的渐开
线的参数方程.

解 首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为                   4,所以面积为      16π,该圆对应的渐开线的参

          x=4cos φ+4φsin φ,
数方程是:{     y=4sin φ-4φcos φ )(φ 为参数).


一、基础达标

                            x=cos θ+θsin θ,
1.已知圆的渐开线的参数方程是{            y=sin θ-θcos θ )(θ 为参数),则此渐开线对应的基圆的
周长是(  )

A.π                                       B.2π  

C.3π                                      D.4π

解析 圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定,从方程不难看出基圆的半径为                                  1,所以

基圆的周长为      2π,故选    B.

答案 B


                        x=3cos θ,                                        π
2.已知一个圆的参数方程为{           y=3sin θ )(θ 为参数),那么圆的摆线方程中与参数              φ=2对
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             3π
               ,2
应的点   A 与点  B( 2 )之间的距离为(  )
  π
A.2-1                                     B. 2  

                                             3π
                                               -1
C. 10                                     D. 2

解析 根据圆的参数方程可知,圆的半径为                  3,那么它的摆线的参数方程为
                                                         π
                                                    x=3   -1 ,
 x=3(φ-sin φ),                   π                      (2  )
{ y=3(1-cos φ) )(φ 为参数),把    φ=2代入参数方程中可得{             y=3,   )

    3π                 3π    3π
      -3,3              -3-    2+(3-2)2
即 A( 2     ),∴|AB|=   ( 2    2 )         =  10.

答案 C

      x=2(t-sin t),
3.摆线{  y=2(1-cos t) )(t 为参数,0≤t<2π)与直线        y=2 的交点的直角坐标是(  )
A.(π-2,2),(3π+2,2)                        B.(π-3,2),(3π+3,2)

C.(π,2),(-π,2)                            D.(2π-2,2),(2π+2,2)
                                                       π     3π

解析 由    2=2(1-cos    t)得 cos  t=0.∵t∈[0,2π),∴t1=2,t2=         2 .代入参数方程得
到对应的交点的坐标为(π-2,2),(3π+2,2).

答案 A

                            x=cos θ+θsin θ,
4.已知圆的渐开线的参数方程是{            y=sin θ-θcos θ )(θ 为参数),则此渐开线对应的基圆的
                         π
直径是________,当参数       θ=4时对应的曲线上的点的坐标为________.
解析 圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定,从方程不难看出基圆的半径为                                  1,故直
            π                          2   2π      2   2π
径为  2.把 θ=4代入曲线的参数方程,得             x=  2 + 8 ,y=  2 -  8 ,由此可得对应的坐标
   2   2π  2   2π
    +    ,  -
为( 2   8   2   8 ).
          2   2π  2   2π
           +    ,  -
答案 2 (    2   8  2    8 )
                                                             π
5.已知圆的方程为       x2+y2=4,点   P 为其渐开线上一点,对应的参数             φ=2,则点      P 的坐标
为________.

                                                x=2(cos φ+φsin φ)
解析 由题意,圆的半径           r=2,其渐开线的参数方程为{y=2(sin φ-φcos φ))(φ           为参数).
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      π
当 φ=2时,x=π,y=2,故点           P 的坐标为    P(π,2).
答案 (π,2)

6.给出直径为     6 的圆,分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程.

解 以圆的圆心为原点,一条半径所在的直线为                    x 轴,建立直角坐标系.又圆的直径为              6,

                                       x=3cos φ+3φsin φ,
所以半径为     3,所以圆的渐开线的参数方程是{              y=3sin φ-3φcos φ )
(φ 为参数).

以圆周上的某一定点为原点,以定直线为                 x 轴,建立直角坐标系,所以摆线的参数方程为

 x=3φ-3sin φ,
{ y=3-3cos φ )(φ 为参数).
7.已知圆的直径为       2,其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点                   A、B 对应的参数分别是
π  π
3和2,求   A、B 两点的距离.
                                                       x=cos φ+φsin φ,
解 根据条件可知圆的半径是            1,所以对应的渐开线参数方程是{              y=sin φ-φcos φ )(φ 为参
数),
          π      π
分别把   φ=3和   φ=2代入,可得       A、B  两点的坐标分别为
 3+  3π 3 3-π     π
       ,           ,1
A(  6      6  ),B(2  ).

那么,根据两点之间的距离公式可得               A、B  两点的距离为

       3+  3π  π    3 3-π
             -  2+       -1  2
|AB|=  (  6    2)  (  6     )
  1
=6  (13-6 3)π2-6π-36  3+72.
即 A、B  两点之间的距离为
1
6 (13-6 3)π2-6π-36  3+72.
二、能力提升

8.如图,ABCD   是边长为    1 的正方形,曲线       AEFGH…叫做“正方形的渐开线”

,其中A︵E、E︵F、F︵G、G︵H…的圆心依次按          B、C、D、A   循环,它们依次相

连接,则曲线      AEFGH 的长是(  )

A.3π                                      B.4π

C.5π                                      D.6π
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                                         1              π
解析 根据渐开线的定义可知,A︵E是半径为                 1 的4圆周长,长度为2,继续旋转可得E︵F是半
       1                                1              3π                1
径为  2 的4圆周长,长度为        π;F︵G是半径为     3 的4圆周长,长度为       2 ;G︵H是半径为     4 的4圆
周长,长度为      2π.所以曲线     AEFGH 的长是   5π.

答案 C

                          x=2φ-2sin φ,
9.已知一个圆的平摆线方程是{            y=2-2cos φ )(φ 为参数),求该圆的周长,并写出平摆线
上最高点的坐标.

解 由平摆线方程知,圆的半径为              2,

则圆的周长为      4π.当  φ=π    时,y  有最大值    4,

平摆线具有周期性,周期为            2π.

∴平摆线上最高点的坐标为(π+2kπ,4)(k∈Z).

               x=6(cos φ+φsin φ),
10.渐开线方程为{      y=6(sin φ-φcos φ) )(φ 为参数)的基圆的圆心在原点,把基圆的横坐标
伸长为原来的      2 倍得到曲线     C,求曲线    C 的方程,及焦点坐标.


解 由渐开线方程可知基圆的半径为               6,则圆的方程为       x2+y2=36.

把横坐标伸长到原来的          2 倍,
           x2            x2  y2
得到椭圆方程      4 +y2=36,即114+36=1,
对应的焦点坐标为(6        3,0)和(-6    3,0).

11.如图,若点     Q 在半径   AP 上(或在半径    AP 的延长线上),当车轮滚
                                       r       3r
动时,点    Q 的轨迹称为变幅平摆线,取|AQ|=2或|AQ|=              2 ,请推出
Q 的轨迹的参数方程.

解 设   Q(x,y)、P(x0,y0),若    A(rθ,r),

   x0=r(θ-sin θ),        r
则{y0=r(1-cos θ).)当|AQ|=2时,
   x0=2x-rθ,       x0=r(θ-sin θ),
有{ y0=2y-r,  ) 代入{y0=r(1-cos θ).)
                               1
                        x=r θ-  sin θ ,
                           (   2   )
                               1
                       { y=r 1- cos θ )
∴点  Q 的轨迹的参数方程为             (  2    ) (θ 为参数).
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                  rθ+2x
              x0=      ,
                    3
      3r          r+2y        x0=r(θ-sin θ),
               y0=     ,
             {          )       = ( -     )
当 AQ= 2 时,有         3    代入{y0    r 1 cos θ .)
                         3
                  x=r θ-  sin θ ,
                      (  2   )
                         3
                 { y=r 1- cos θ )
∴点  Q 的轨迹方程为          (  2    ) (θ 为参数).
三、探究与创新

                     x=2+tcos α,
12.已知一个参数方程是{y=2+tsin α,)如果把           t 当成参数,它表示的图形是直线             l(设斜率
存在),如果把      α 当成参数(t>0),它表示半径为            t 的圆.

(1)请写出直线和圆的普通方程;

(2)如果把圆平移到圆心在(0,t),求出圆对应的摆线的参数方程.


解 (1)如果把     t 看成参数,可得直线的普通方程为:y-2=tan                     α(x-2),即    y=xtan 

α-2tan α+2,如果把        α 看成参数且     t>0  时,它表示半径为        t 的圆,其普通方程为(x-

2)2+(y-2)2=t2.

(2)由于圆的圆心在(0,t),圆的半径为             t,所以对应的摆线的参数方程为

 x=t(φ-sin φ),
{ y=t(1-cos φ) )(φ 为参数).
                                   讲末复习


                                         —参数方程的概念
                           曲线的参
                         —  数方程   —       —圆的参数方程
                                    |—参数方程与普通方程的互化)
                                          —椭圆的参数方程
                              圆锥曲线的
                            —  参数方程    — —双曲线的参数方程
                                         |—抛物线的参数方程)
                             直线的参数
                           —    方程    —参数t的几何意义及应用
                                          —渐开线的参数方程
                           —渐开线与摆线—
                         |                   摆线的参数方程         )
               参数方程—                      | —              )


1.直线的参数方程

直线的参数方程可以从它的普通方程转化而来,设直线的点斜式方程为                             y-y0=k(x-x0).其
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                                                  sin α           π    x-x0

中 k=tan   α,α   为直线的倾斜角,代入上式得,y-y0=cos α(x-x0),α≠2,即                   cos α =
y-y0                           x=x0+tcos α,
sin α .记上式的比值为     t,整理后得{      y=y0+tsin α )(t 为参数).

2.圆的参数方程

                                              x=x0+rcos θ,

若圆心在点     M0(x0,y0),半径为    r,则圆的参数方程为{y=y0+rsin θ,)(θ         为参数)
3.椭圆的参数方程
                                                (x-x0)2  (y-y0)2

若椭圆的中心不在原点,而在点             M0(x0,y0),相应的椭圆         a2  +    b2   =1 的参数方
    x=x0+acos t,
程为{  y=y0+bsin t )
(t 为参数).

4.双曲线的参数方程

      x2 y2                x=asec θ
双曲线a2-b2=1     的参数方程是{y=btan θ)(θ     为参数).
5.抛物线的参数方程

                          x=2pt2,
抛物线   y2=2px 的参数方程是{       y=2pt )(t 为参数).
6.渐开线的参数方程

                      x=r(cos φ+φsin φ),
圆的渐开线的参数方程为{           y=r(sin φ-φcos φ) )(φ 为参数).
7.摆线的参数方程

                    x=r(φ-sin φ)
圆的摆线的参数方程为{y=r(1-cos φ))(φ          为参数).


题型一 参数方程与普通方程的互化

参数方程是用第三个变量(即参数),分别表示曲线上任一点                        M 的坐标   x、y 的另一种曲线方

程的形式,它体现了         x、y 之间的一种关系,这种关系借助于中间桥梁——参数.有些参数具

有物理或几何意义,在解决问题时,要注意参数的取值范围.

在参数方程与普通方程的互化中,要注意参数方程与普通方程应是等价的,即它们所表示的

应是同一条曲线.

例 1 求方程    4x2+y2=16  的参数方程.

(1)设 y=4sin θ,θ    为参数;
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(2)以过点   A(0,4)的直线的斜率       k 为参数.

解 (1)把   y=4sin θ  代入方程,得到       4x2+16sin2 θ=16,

于是  4x2=16-16sin2θ=16cos2θ.

∴x=±2cos θ.由于参数        θ 的任意性,可取       x=2cos θ.

                           x=2cos θ,
因此  4x2+y2=16  的参数方程是{      y=4sin θ )(θ 为参数).
                                                y-4
(2)设 M(x,y)是曲线    4x2+y2=16  上异于   A 的任一点,则       x =k(x≠0),将    y=kx+4  代入
方程,得    x[(4+k2)x+8k]=0.
         8k
   x=-       ,
        4+k2
     -4k2+16
   y=         ,
  {     +      )
∴      4  k2    易知  A(0,4)也适合此方程.
         x=0,
另有一点{y=-4.)
                         8k
                   x=-      ,
                        4+k2
                       4k2-16               x=0,
                  y=-        ,
                 {       +    )             =-
∴所求的参数方程为               4 k2   (k 为参数)和{y       4.)
                                            12
                                     2
跟踪演练    1 已知椭圆     C 的极坐标方程为       ρ =3cos2θ+4sin2θ,点   F1、F2 为其左、右焦点,
                         2
                  x=2+    t,
                        2
                        2
                 {  y=   t )
直线  l 的参数方程为           2    (t 为参数,t∈R).
(1)求直线   l 和曲线   C 的普通方程;

(2)求点  F1、F2 到直线   l 的距离之和.
                                                   x2  y2
解 (1)直线    l 的普通方程为      y=x-2,曲线     C 的普通方程为     4 + 3 =1.
                                                 |-1-0-2|   3 2

(2)∵F1(-1,0),F2(1,0),∴点       F1 到直线  l 的距离   d1=     2   =  2 ,点   F2 到直线
           |1-0-2|   2

l 的距离  d2=     2  =  2 ,∴d1+d2=2   2.
题型二 圆的参数方程及其应用

            x=x0+rcos θ,

圆的参数方程{      y=y0+rsin θ )(θ 为参数)表示圆心在(x0,y0),半径为           r 的圆的参数方程.
                          1              x2  y2
例 2 已知圆的方程为        x2+y2=2,椭圆的方程为25+16=1,过原点的射
线交圆于    A,交椭圆于     B.过  A,B 分别作   x 轴和  y 轴的平行线,求所作两

直线交点    P 的轨迹方程.
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         2      2
          cos α, sin α
解 设   A( 2     2    ),B(5cos θ,4sin θ)(θ     为离心角),则所求轨迹的参数方程为
 x=5cos θ,                  ①
     2
 y=   sin θ.                  ②
{   2                             )
                                                                          4

由 O,A,B  三点共线,知       kOA=kOB,从而得双参数      θ  和 α 的一个约束条件为         tan α=5tan 
θ,③
               25-x2
由①,得    tan2θ=   x2  .④
                 2y2
由②,得    tan2α=1-2y2.⑤
将③式两边平方,
          16
得 tan2α=25tan2θ.⑥
把④⑤代入⑥,化简、整理,

得轨迹方程为      8x2+9x2y2+400y2=200.

                                                     x=4cos θ,

跟踪演练    2 在平面直角坐标系         xOy 中,曲线    C1 的参数方程为{     y=4sin θ )(θ 为参数,且

0≤θ<2π),点      M 是曲线   C1 上的动点.

(1)求线段   OM 的中点   P 的轨迹的直角坐标方程;

(2)以坐标原点     O 为极点,x    轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若直线                 l 的极坐标方程为

ρcos θ-ρsin θ+1=0(ρ>0),求点           P 到直线   l 距离的最大值.


解 (1)曲线    C1 上的动点   M 的坐标为(4cos θ,4sin θ),坐标原点           O(0,0),
                                        1                            1
设 P 的坐标为(x,y),则由中点坐标公式得              x=2(0+4cos    θ)=2cos    θ,y=2(0+4sin 
θ)=2sin θ,

所以点   P 的坐标为(2cos θ,2sin θ),

                          x=2cos θ
因此点   P 的轨迹的参数方程为{y=2sin θ)(θ        为参数,且      0≤θ<2π),
消去参数    θ,得点    P 轨迹的直角坐标方程为          x2+y2=4.

(2)由直角坐标与极坐标关系得

直线  l 的直角坐标方程为        x-y+1=0.

又由(1),知点     P 的轨迹为圆心在原点,半径为            2 的圆,因为原点(0,0)到直线          x-y+1=
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          |0-0+1|     1   2                                    2
0 的距离为    12+(-1)2=   2=  2 ,所以点   P 到直线   l 距离的最大值为       2+ 2 .
题型三 圆锥曲线的参数方程及其应用

对于椭圆的参数方程,要明确            a,b  的几何意义以及离心角          φ 的意义,要分清椭圆上一点的

离心角   φ 和这点与坐标原点连线倾斜角             θ  的关系,双曲线和抛物线的参数方程中,要注意

参数的取值范围,且它们的参数方程都有多种形式.
                                           x2
例 3 在平面直角坐标系         xOy 中,设   P(x,y)是椭圆    3 +y2=1 上的一个动点,求        S=x+
y 的最大值和最小值.

         x2                    x=  3cos φ,
解 ∵椭圆     3 +y2=1 的参数方程为{        y=sin φ )(φ 为参数).
故设动点    P( 3cos φ,sin φ),其中      φ∈[0,2π).

因此  S=x+y=    3cos φ+sin φ
      π         π              π
   sin cos φ+cos sin φ      φ+
=2(   3         3   )=2sin (   3).
        π
∴当  φ=6时,S    取得最大值     2.
      7π
当 φ=   6 时,S 取得最小值-2.
                                                 x=acos θ,
跟踪演练    3 在直角坐标系       xOy 中,椭圆    C 的参数方程为{     y=bsin θ )(φ 为参数,a>b>0).在
极坐标系(与直角坐标系          xOy 取相同的长度单位,且以原点            O 为极点,以    x 轴正半轴为极轴)
                                         π    2
                                       θ+
中,直线    l 与圆  O 的极坐标方程分别为        ρsin(   4)= 2 m(m 为非零常数)与     ρ=b.若直线
l 经过椭圆   C 的焦点,且与圆       O 相切,则椭圆      C 的离心率为________.
                     x2  y2                      π    2    2
                                              θ+
解析 椭圆的标准方程为a2+b2=1(a>b>0),由              ρsin(   4)= 2 m 得 2 ( ρsin  θ+ρcos 
      2
θ)=  2 m,即直线方程为       x+y-m=0.由    ρ=b,得    ρ2=b2,即   x2+y2=b2,所以圆的标准
方程为   x2+y2=b2.因为直线     x+y-m=0   过椭圆的焦点,代入得          m=±c.直线    x+y-m=0    与
                   |m|                                                    c
圆 x2+y2=b2 相切,则     2=b,即|m|=     2b.所以  c=  2b,解得   a=  3b,所以离心率      e=a=
 2b   6
 3b= 3 .
       6
答案    3
题型四 直线参数方程的应用

直线参数方程的应用非常广泛,主要用来解决直线与圆锥曲线的位置关系问题.在解决这类
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问题时,应用直线的参数方程,利用直线参数方程中参数                        t 的几何意义,可以避免通过解方

程组求交点等繁琐运算,使问题得到简化,由于直线的参数方程有多种形式,只有标准形式

中的参数才具有明显的几何意义.
                                                  3
                                         x=-4+    t,
                                                 2
                                               1
                                             y= t
                                        {           )              2   2
例 4 直线   l 过点  P0(-4,0),它的参数方程为                2     (t 为参数)与圆    x +y  =7 相
交于  A,B 两点.

(1)求弦长|AB|;

(2)过 P0 作圆的切线,求切线长.

解 将直线     l 的参数方程代入圆的方程,
        3    1
  -4+    t    t
得(     2 )2+(2 )2=7,整理得     t2-4 3t+9=0.

(1)设 A 和 B 两点对应的参数分别为         t1 和 t2,由根与系数的关系得
                                       ( +  ) -
t1+t2=4  3,t1·t2=9.故|AB|=|t2-t1|=       t1 t2 2 4t1t2=2 3.

                                       2
(2)设圆过   P0 的切线为   P0T,T 在圆上,则|P0T|     =|P0A|·|P0B|=|t1t2|=9,

∴切线长|P0T|=3.

跟踪演练    4 
                                                    2
                                             x=1-    t,
                                                   2
                                                     2
                                            { y=2+   t )
在平面直角坐标系        xOy 中,已知直线     l 的参数方程为             2  (t 为参数),直线      l 与抛
物线  y2=4x 相交于   A,B  两点,求线段      AB 的长.
                             2
                      x=1-   t,
                            2
                             2
                       y=2+   t
                     {         )               2
解 将直线     l 的参数方程            2  代入抛物线方程       y =4x,
      2         2
  2+   t     1-  t
得(    2 )2=4(   2 ).

解得  t1=0,t2=-8    2.

所以  AB=|t1-t2|=8   2.

题型五 极坐标、参数方程与普通方程的综合应用

极坐标、参数方程与普通方程的综合试题是热点与重点,掌握好极坐标方程与普通方程、参

数方程与普通方程的互化是解题的关键点.

例 5 在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x                   轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知
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                 π                               π
               2,                             θ-
点 A 的极坐标为(       4),直线   l 的极坐标方程为       ρcos(   4)=a,且点    A 在直线  l 上.
(1)求 a 的值及直线     l 的直角坐标方程;


                   x=1+cos α,
(2)圆 C 的参数方程为{       y=sin α  )(α 为参数),试判断直线         l 与圆  C 的位置关系.
                π                π
              2,              θ-
解 (1)由点    A(   4)在直线   ρcos (   4)=a 上,可得    a=  2.
所以直线    l 的方程可化为      ρcos θ+ρsin θ=2,

从而直线    l 的直角坐标方程为       x+y-2=0.

(2)由已知得圆     C 的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,

所以圆   C 的圆心为(1,0),半径       r=1,
                           1   2
因为圆心    C 到直线   l 的距离   d= 2=  2 <1,
所以直线    l 与圆  C 相交.

跟踪演练    5 在直角坐标系       xOy 中,以   O 为极点,x   轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆              C1,
                                             π
                                          θ-
                                          (   )   2
直线  C2 的极坐标方程分别为        ρ=4sin θ,ρcos        4 =2  .

(1)求 C1 与 C2 交点的极坐标;

(2)设 P 为 C1 的圆心,Q   为  C1 与 C2 交点连线的中点.已知直线         PQ 的参数方程为
 x=t3+a,
   b
 y= t3+1
{  2     )(t∈R 为参数),求     a,b 的值.

                            2       2
解 (1)圆   C1 的直角坐标方程为       x +(y-2)  =4,直线    C2 的直角坐标方程为       x+y-4=0.
   x2+(y-2)2=4,     x1=0,   x2=2,
解{   x+y-4=0     )得{ y1=4. ){ y2=2. )
                           π       π
                        (4, ) (2 2, )
所以  C1 与 C2 交点的极坐标为        2 ,     4 .
(2)由(1)可得,P    点与  Q 点的直角坐标分别为(0,2),(1,3).

故直线   PQ 的直角坐标方程为        x-y+2=0.
                 b   ab
由参数方程可得       y=2x-  2 +1.
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       b
        =1,
       2
      ab            a=-1,
    -   +1=2,
    {          )      =
所以     2        解得{   b 2. )


1.参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程,是曲线在同一坐标系下的又一

种表示形式.某些曲线上点的坐标,用普通方程描述它们之间的关系比较困难,甚至不可能,

列出的方程既复杂又不易理解,而用参数方程来描述曲线上点的坐标的间接关系比较方便,

学习参数方程有助于进一步体会数学方法的灵活多变,提高应用意识和实践能力.

2.参数方程、极坐标方程是解析几何曲线方程的另外两种巧妙的表达形式,解题时要善于根

据解题的需求将参数方程与普通方程进行互化,达到方便解题的目的,同时注意参数的范围.

                                   讲末检测

一、选择题
                         2
                x=-1-     t
                        2
                        2
               { y=2+    t )
1.下列点不在直线              2   (t 为参数)上的是(  )
A.(-1,2)                                  B.(2,-1)

C.(3,-2)                                  D.(-3,2)

解析 直线     l 的普通方程为      x+y-1=0,因此点(-3,2)的坐标不适合方程                x+y-1=0.

答案 D

2.以平面直角坐标系的原点为极点,x              轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取

                                     x=t+1,
相同的长度单位.已知直线           l 的参数方程是{     y=t-3  )(t 为参数),圆    C 的极坐标方程是
ρ=4cos θ,则直线       l 被圆  C 截得的弦长为(  )

A. 14                                     B.2 14  

C. 2                                      D.2 2


解析 由题意得,直线          l 的普通方程为     x-y-4=0,圆     C 的直角坐标方程为(x-2)2+y2=
                         |2-0-4|
4,则圆心到直线       l 的距离   d=    2   =  2,直线   l 被圆  C 截得的弦长为     2 22-(  2)2=2
 2.
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答案 D

3.极坐标方程(ρ-1)(θ-π)=0(ρ≥0)表示的图形是(  )

A.两个圆                                     B.两条直线

C.一个圆和一条射线                                D.一条直线和一条射线

解析 ∵(ρ-1)(θ-π)=0(ρ≥0),∴ρ=1               或 θ=π(ρ≥0).ρ=1       表示圆心在原点,

半径为   1 的圆,θ=π(ρ≥0)表示         x 轴的负半轴,是一条射线,故选              C.

答案 C
                         π
                       2,
4.在极坐标系中,已知点          P( 6),则过点    P 且平行于极轴的直线的方程是(  )
A.ρsin θ=1                                B.ρsin θ=   3

C.ρcos θ=1                                D.ρcos θ=   3
              π                      π                       π
            2,
解析 因点     P(  6),得  x=ρcos θ=2cos 6=     3,y=ρsin θ=2sin 6=1,
即(  3,1),过点(    3,1)且平行于     x 轴的直线为     y=1,

再化为极坐标为       ρsin θ=1,选     A.

答案 A

                        π            x=3cos θ,
5.已知  O 为原点,当     θ=-6时,参数方程{         y=9sin θ )(θ 为参数)上的点为      A,则直线
OA 的倾斜角为(  )
  π                                         π
A.6                                       B.3
  2π                                        5π
C. 3                                      D. 6


              π       3 3      9
解析 当    θ=-6时,x=       2 ,y=-2,
              y

∴kOA=tan α=x=-     3,且   0≤α<π,
        2
因些  α=3π.
答案 C

                      x=1+3t,
6.若直线   l 的参数方程为{      y=2-4t )(t 为参数),则直线      l 的倾斜角的余弦值为(  )
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    4                                         3
A.-5                                      B.-5  
  3                                         4
C.5                                       D.5
解析 由题意知,直线          l 的普通方程为     4x+3y-10=0.设    l 的倾斜角为     θ,则   tan  θ=-
4    1                       9   π                    3
3.由cos2θ=1+tan2θ   知 cos2θ=25.∵2<θ<π,∴cos θ=-5,故选            B.
答案 B

      x=3cos θ,
7.椭圆{  y=4sin θ )(θ 为参数)的离心率是(  )
   7                                         7
A. 4                                      B. 3
   7                                         7
C. 2                                      D. 5
          x=3cos θ,            x2  y2           7
解析 椭圆{     y=4sin θ )的标准方程为     9 +16=1,∴e=    4 .故选  A.
答案 A

                      x=2+cos θ,
8.若直线   y=x-b  与曲线{     y=sin θ  )θ∈[0,2π)有两个不同的公共点,则实数                b 的取
值范围是(  )

A.(2-  2,1)                               B.[2-  2,2+  2]

C.(-∞,2-    2)∪(2+   2,+∞)                D.(2-  2,2+  2)


        x=2+cos θ,
解析 由{      y=sin θ )消去  θ,得(x-2)2+y2=1.
将 y=x-b  代入(*),化简得       2x2-(4+2b)x+b2+3=0,

依题意,Δ=[-(4+2b)]2-4×2(b2+3)>0.

解之得   2-  2<b<2+    2.

答案 D
           x=  1+sin θ
                 π  θ
          y=cos2  -
9.参数方程{          (4 2))(θ 为参数,0≤θ<2π)所表示的曲线是(  )
A.椭圆的一部分

B.双曲线的一部分
                            1
                        -1,
C.抛物线的一部分,且过点(              2)
                          1
                        1,
D.抛物线的一部分,且过点(            2)
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                           π
                     1+cos  -θ
               π  θ        (2  ) 1+sin θ
                -
解析 由    y=cos2(4  2)=     2     =   2   ,
可得  sin θ=2y-1,由     x=  1+sin θ得 x2-1=sin θ,

∴参数方程可化为普通方程            x2=2y.

又 x=  1+sin θ∈[0,  2],故选   D.

答案 D

               x=  3t,
                                                2
10.已知直线    l:{y=2-t)(t  为参数),抛物线       C 的方程   y =2x,l  与 C 交于  P1,P2,则点

A(0,2)到  P1,P2 两点距离之和是(  )

A.4+  3                                   B.2(2+  3)

C.4(2+  3)                                D.8+  3


                                3
                          x=-   t′
                               2
                               1
                          y=2+  t′
                         {       )                  2           2       3
解析 将直线      l 参数方程化为           2  (t′为参数),代入       y =2x,得   t′ +4(2+    )

t′+16=0,设其两根为         t1′,t2′,则    t1′+t2′=-4(2+      3),t1′t2′=16>0.

由此知在    l 上两点   P1,P2 都在  A(0,2)的下方,则|AP1|+|AP2|=|t1′|+|t2′|=|t1′+

t2′|=4(2+   3).

答案 C

二、填空题

         x=tan φ,
11.双曲线{   y=sec φ )(φ 是参数)的渐近线方程为________.
解析 化参数方程为普通方程,得              y2-x2=1.故其渐近线为        y=±x,即    x±y=0.

答案 x±y=0
                                          π
12.在极坐标系中,直线过点(1,0)且与直线               θ=3(ρ∈R)垂直,则直线极坐标方程为
________.
                                       π
解析 由题意可知在直角坐标系中,直线                 θ=3的斜率是       3,所求直线是过点(1,0),且斜
      1                      1                                  1
率是-    3,所以直线方程为        y=-  3(x-1),化为极坐标方程         ρsin θ=-     3(ρcos θ-1)化
             π
           θ+
简得  2ρsin(   6)=1.
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               π             π
            θ+      或2ρcos θ-  =1、
答案 2ρsin(      6)=1(      (  3)    )(ρcos θ+ 3ρsin θ=1)
                         x=2+t,
13.已知直线    l 的参数方程为{      y=3+t )(t 为参数),以坐标原点为极点,x            轴的正半轴为极
轴建立极坐标系,曲线          C 的极坐标方程为      ρsin2θ-4cos    θ=0(ρ≥0,0≤θ<2π),则

直线  l 与曲线   C 的公共点的极径      ρ=________.

解析 直线     l 的普通方程为      y=x+1,曲线     C 的直角坐标方程为       y2=4x,

              y=x+1,
联立两方程,得{       y2=4x, )
    x=1,
解得{  y=2. )
所以公共点为(1,2).

所以公共点的极径为         ρ=   22+1=  5.

答案     5

14.已知  P 为椭圆   4x2+y2=4 上的点,O     为原点,则|OP|的取值范围是________.
                         y2
解析 由    4x2+y2=4,得   x2+ 4 =1.
   x=cos φ,
令{ y=2sin φ )(φ 为参数),
则|OP|2=x2+y2=cos2φ+4sin2φ=1+3sin2φ.

∵0≤sin2φ≤1,

∴1≤1+3sin2φ≤4,

∴1≤|OP|≤2.

答案 [1,2]

三、解答题
                                                      1
                                                x=1+   t,
                                                      2
                                                      3
                                               {  y=  t )
15.在平面直角坐标系        xOy 中,已知直线     l 的参数方程为           2   (t 为参数),椭圆      C 的
          x=cos θ,
参数方程为{     y=2sin θ )(θ 为参数).设直线    l 与椭圆   C 相交于   A,B 两点,求线段      AB 的长.
解 直线    l 的方程化为普通方程为          3x-y-   3=0,
                             y2
椭圆  C 的方程化为普通方程为         x2+  4 =1,
             3x-y-   3=0,
                  y2
              x2+   =1,
联立方程组得{           4       )
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                   1
              x2=-  ,
                   7
    x1=1          8 3
             y2=-    ,
      =     {         )
解得{y1   0)或        7
              1   8 3
            -  ,-
∴A(1,0),B(    7    7 ).

          1       8 3    16
        1+  2+ 0+     2
故 AB=  (  7)   (   7 ) = 7 .

                       x=2cos θ
16.已知圆   O 的参数方程为{y=2sin θ)(θ      为参数,0≤θ<2π).
(1)求圆心和半径;
                            5π
(2)若圆  O 上点  M 对应的参数     θ=  3 ,求点   M 的坐标.
         x=2cos θ
解 (1)由{y=2sin θ)(0≤θ<2π),
平方得   x2+y2=4,

∴圆心   O(0,0),半径    r=2.
         5
(2)当 θ=3π   时,x=2cos θ=1,y=2sin θ=-          3.
∴点  M 的坐标为(1,-      3).

                           x=2cos t,
17.已知动点    P、Q 都在曲线     C:{ y=2sin t )(t 为参数)上,对应参数分别为          t=α  与 t=
2α(0<α<2π),M      为 PQ 的中点.


(1)求 M 的轨迹的参数方程;

(2)将 M 到坐标原点的距离        d 表示为  α  的函数,并判断       M 的轨迹是否过坐标原点.

解 (1)依题意有      P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),

因此  M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α).

                    x=cos α+cos 2α,
M 的轨迹的参数方程为{        y=sin α+sin 2α )(α 为参数,0<α<2π).
(2)M 点到坐标原点的距离

d=  x2+y2=2+2cos α(0<α<2π).

当 α=π   时,d=0,故      M 的轨迹过坐标原点.

18.在直角坐标系      xOy 中,l  是过定点    P(4,2)且倾斜角为      α 的直线;在极坐标系(以坐标原

点 O 为极点,以     x 轴非负半轴为极轴,取相同单位长度)中,曲线                   C 的极坐标方程为      ρ=

4cos θ.
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(1)写出直线    l 的参数方程;并将曲线         C 的方程化为直角坐标方程;

(2)若曲线   C 与直线相交于不同的两点          M,N,求|PM|+|PN|的取值范围.

                         x=4+tcos α
解 (1)直线    l 的参数方程为{y=2+tsin α)(t     为参数).
∵ρ=4cos θ,∴ρ2=4ρcos θ,

所以  C:x2+y2=4x.

                     x=4+tcos α
(2)直线  l 的参数方程为{y=2+tsin α)(t     为参数),代入      C:x2+y2=4x,得     t2+4(sin  α+
                    Δ=16(sin α+cos α)2-16>0
                      t1+t2=-4(sin α+cos α)
cos α)t+4=0,则有{              t1·t2=4        )

∴sin α·cos α>0,又       α∈[0,π),
           π
        (0, )
所以  α∈     2 ,t1<0,t2<0.
而|PM|+|PN|=

 (4+t1cos α-4)2+(2+t1sin α-2)2

+  (4+t2cos α-4)2+(2+t2sin α-2)2
                                                  π
                                               α+
                                          2   (   )
=|t1|+|t2|=-t1-t2=4(sin α+cos α)=4         sin    4 .
        π
      0,
∵α∈(    2),
      π  π 3π
          ,
∴α+4∈(4     4 ),
   2        π
         α+
∴ 2 <sin(   4)≤1,
所以|PM|+|PN|的取值范围是为(4,4           2).
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                                   模块检测

一、选择题
                     3
1.极坐标方程     cos θ=  2 (ρ∈R)表示的曲线是(  )
A.两条相交直线                                  B.两条射线

C.一条直线                                    D.一条射线
                 3          π      11
解析 由    cos θ=  2 ,解得   θ=6或   θ=   6 π,又  ρ∈R,故为两条过极点的直线.
答案 A
                       2
2.过点  P(4,3),且斜率为3的直线的参数方程为(  )
         3                                         3
   x=4+    t,                                x=3+    t,
         13                                        13
          2                                         2
   y=3+     t                                y=4+     t
  {       13 )                              {       13 )
A.           (t 为参数)                      B.           (t 为参数)
         2                                         2
   x=4+    t,                                x=3+    t,
         13                                        13
          3                                         3
   y=3+     t                                y=4+     t
  {       13 )                              {       13 )
C.           (t 为参数)                      D.           (t 为参数)
                               2               2            3
解析 因为倾斜角        α 满足   tan α=3,所以     sin α=   13,cos  α=   13,所以所求参数方
           3
    x=4+     t,
           13
            2
     y=3+     t
    {       13 )
程为             (t 为参数).
答案 A

3.如图所示,在柱坐标系中,长方体的两个顶点坐标为                      A1(4,0,5),C1
  π
6, ,5
( 2   ),则此长方体外接球的体积为(  )
  77 77π                                    77 77π
A.  3                                     B.  6
  77 77π                                    77 77π
C.  4                                     D.  12

解析 A1,C1   的直角坐标分别为        A1(4,0,5),C1(0,6,5),所以       OA=4,OC=6,OO1=5,
                         1            1                    4      4  1
                                                                       77
所以长方体外接球的半径           R=2 42+62+52=2    77.所以外接球体积       V=3πR3=3π(2     )3=
77 77
  6 π.
答案 B
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4.圆 ρ=5cos θ-5     3sin θ 的圆心的极坐标是(  )
        4π                                      π
  -5,-                                      -5,
A.(      3 )                              B.(   3)
    π                                           5π
  5,                                        -5,
C.( 3)                                    D.(    3 )
解析 ρ=5cos      θ-5   3sin  θ 两边同乘以     ρ,得    ρ2=5ρcos    θ-5   3ρsin  θ,即
                                      5   5 3
                                       ,-
x2+y2-5x+5   3y=0,故圆心的直角坐标为(2              2 ),半径为   5,结合该点的位置知该点
                    4π
              -5,-
的一个极坐标是(            3 ).
答案 A
                           1
                        x′= x,
                           3
       x2  y2               1
                       { y′= y )
5.将曲线   3 + 2 =1 按 φ:       2  变换后的曲线的参数方程为(  )
   x=3cos θ                                  x= 3cos θ
A.{y=2sin θ)                              B.{y=  2sin θ)
     1                                          3
   x= cos θ                                  x=  cos θ
     3                                          3
     1                                           2
  {y= sin θ)                                {y=  sin θ)
C.   2                                    D.    2
      x2 y2     (3x′)2 (2y′)2                            3x′=cos θ,
解析    3 + 2 =1→   3  +   2  =1→(   3x′)2+(  2y′)2=1→{    2y′=sin θ )→
     3
 x′=  cos θ,
    3
      2
{ y′=  sin θ )
     2
      3
   x=  cos θ,
      3
       2
  {y=  sin θ,)
即     2      故选  D.
答案 D

6.化极坐标方程      ρ2cos θ-ρ=0     为直角坐标方程为(  )

A.x2+y2=0 或  y=1                          B.x=1

C.x2+y2=0 或  x=1                          D.y=1

解析 由    ρ2cos  θ-ρ=0,得       ρ(ρcos   θ-1)=0,又     ρ=   x2+y2,x=ρcos      θ,

∴x2+y2=0  或  x=1.

答案 C
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          π
        2, ,1
7.柱坐标(    3  )对应的点的直角坐标系是(  )
A.( 3,-1,1)                               B.( 3,1,1)

C.(1,  3,1)                               D.(-1,   3,1)

                                      x=ρcos θ       x=1
                                      y=ρsin θ      y=  3
解析 由直角坐标与柱坐标之间的变换公式{                    z=z  ),可得{   z=1 ).故应选   C.
答案 C

8.已知曲线    C 的极坐标方程为      ρ=6sin    θ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为                   x 轴
                          x=  2t-1,
                                2
                            y=   t
正半轴,直线      l 的参数方程为{          2   )(t 为参数),则直线      l 与曲线   C 相交所得弦长为(  )
A.1                                       B.2  

C.3                                       D.4

解析 曲线     C 的直角坐标方程为       x2+y2-6y=0,即     x2+(y-3)2=9,
    x=  2t-1,
          2
       y=  t
直线{       2   )的直角坐标方程为       x-2y+1=0,
                         |0-2 × 3+1|
∵圆心   C 到直线   l 的距离   d=  12+(-2)2=   5.
∴直线   l 与圆  C 相交所得弦长为      2 r2-d2=2   9-5=4.

答案 D
                                    π
                                 θ-
                           2    (    )
9.已知直线    l1 的极坐标方程为       ρsin     4 =2               014,直线   l2 的参数方程为
              3
 x=-2 014+tcos π,
              4
              3
{ y=2 014+tsin π )
              4   (t 为参数),则     l1 与 l2 的位置关系为(  )
A.垂直                                      B.平行

C.相交但不垂直                                  D.重合
                  π                2       2
               θ-                   sin θ-  cos θ
解析 由     2ρsin(   4)=2 014,得   2ρ( 2      2    )=2 014,
即 ρsin θ-ρcos θ=2 014,所以         y-x=2 014,即    y=x+2 014.
                                           3
                                        tsin π
                                           4
                               y-2 014     3
                                        tcos π
把直线   l2 的参数方程化为普通方程为x+2 014=              4 =-1,即    y=-x,所以     kl1·kl2=

1×(-1)=-1,所以       l1⊥l2.
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答案 A
                    x2  y2
10.若动点(x,y)在曲线       4 +b2=1(b>0)上变化,则       x2+2y 的最大值为(  )
   b2                                        b2
    +4 (0<b   ≤ 4)                            +4 (0<b<2)
   4                                         4
A.{   2b  (b>4)  )                        B.{  2b  (b ≥ 2) )
  b2
C. 4 +4                                   D.2b
解析 设动点的坐标为(2cos            θ,bsin     θ),代入     x2+2y=4cos2θ+2bsin      θ=-
       b      b2                           b2
2sin θ-
(       )                        2
       2 2+4+ 4 ,当  0<b≤4  时,(x   +2y)max= 4 +4;
                           b      b2
                        2-
            2           (   )
当 b>4  时,(x  +2y)max=-     2 2+4+  4 =2b.
答案 A


二、填空题
                     π
                   2,
11.在极坐标系中,点(         2)关于直线    ρcos θ=1   的对称点的极坐标为________.
                          π                                          π
                        2,                                       2 2,
解析 结合图形不难知道点(             2)关于直线    ρcos θ=1   的对称点的极坐标为(            4).
          π
      2 2,
答案 (      4)
12.在直角坐标系      xOy 中,以原点    O 为极点,x    轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知射线

    π       x=t+1,
θ=4与曲线{y=(t-1)2)(t     为参数)相交于      A,B  两点,则线段      AB 的中点的直角坐标为
________.

              π                              x=t+1,
解析 射线     θ=4的普通方程为        y=x(x≥0),代入{y=(t-1)2,)得      t2-3t=0,解得     t=
0 或 t=3.

当 t=0  时,x=1,y=1,即       A(1,1);

当 t=3  时,x=4,y=4,即       B(4,4).
                   5 5
                    ,
所以  AB 的中点坐标为(2      2).
      5 5
       ,
答案 (2   2)
13.极坐标系中,曲线        ρ=-4cos    θ 上的点到直线      ρ(cos  θ+   3sin θ)=8   的距离的最

大值是________.

解析 曲线方程化为:ρ2=-4ρcos θ,即                x2+y2+4x=0,化为:(x+2)2+y2=4,圆心
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坐标为(-2,0),半径为         r=2,直线方程化为:x+          3y-8=0,圆心到直线的距离为:d=
|-2-8|
  2   =5,所以最大距离为:5+2=7.
答案 7

        x=2+t                   x=3cos α
14.直线{y=-1-t)(t   为参数)与曲线{y=3sin α)(α       为参数)的交点个数为________.
解析 直线与曲线的普通方程分别为               x+y-1=0①

x2+y2=9②
                                                            |-1|   2     2
②表示圆心为      O(0,0),半径为     3 的圆,设    O 到直线的距离为      d,则   d=  2 = 2 ,∵  2 <
3,∴直线与圆有       2 个交点.

答案 2

三、解答题

                                   x=5cos φ,
15.在平面直角坐标系        xOy 中,求过椭圆{     y=3sin φ )(φ 为参数)的右焦点,且与直线
 x=4-2t,
{ y=3-t  )(t 为参数)平行的直线的普通方程.
解 由题设知,椭圆的长半轴长             a=5,短半轴长       b=3,从而    c=  a2-b2=4,所以右焦点
                                                                     1
为(4,0).将已知直线的参数方程化为普通方程                 x-2y+2=0.故所求直线的斜率为2,因此
           1
其方程为    y=2(x-4),即    x-2y-4=0.
                   x=cos θ,
16.已知  P 为半圆   C:{ y=sin θ )(θ 为参数,0≤θ≤π)上的点,点            A 的坐标为(1,0),
                                                        π
O 为坐标原点,点      M 在射线   OP 上,线段    OM 与 C 的弧A︵P的长度均为3.
(1)以 O 为极点,x    轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点                M 的极坐标;

(2)求直线   AM 的参数方程.
                         π                  π                  π π
                                                                ,
解 (1)由已知,M      点的极角为3,且       M 点的极径等于3,故点        M 的极坐标为(3     3).
                                                              π
                                                        x=1+   -1 t,
                                                              (6  )
                  π   3π                                       3π
                   ,                                   {   y=    t  )
(2)M 点的直角坐标为(6       6 ),A(1,0),故直线      AM 的参数方程为             6     (t 为参数)
.
                                          x=acos t,

17.在直角坐标系      xOy 中,曲线   C1 的参数方程为{y=1+acos t,)(t     为参数,a>0).在以坐标原

点为极点,x     轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线               C2:ρ=4cos θ.
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(1)说明  C1 是哪一种曲线,并将        C1 的方程化为极坐标方程;

(2)直线  C3 的极坐标方程为      θ=α0,其中      α0 满足  tan  α0=2,若曲线     C1 与 C2 的公共点都

在 C3 上,求  a.

                                  2       2   2
解 (1)消去参数      t 得到  C1 的普通方程    x +(y-1)  =a ,C1 是以(0,1)为圆心,a       为半径的

圆.

                                                                    2
将 x=ρcos θ,y=ρsin θ       代入  C1 的普通方程中,得到        C1 的极坐标方程为      ρ  -

2ρsin θ+1-a2=0.

(2)曲线  C1,C2 的公共点的极坐标满足方程组
 ρ2-2ρsin θ+1-a2=0,
{     ρ=4cos θ.     )
若 ρ≠0,由方程组得        16cos2θ-8sin    θcos   θ+1-a2=0,由已知       tan  θ=2,可得

16cos2θ-8sin θcos θ=0,从而       1-a2=0,解得     a=-1(舍去),a=1.

a=1 时,极点也为      C1,C2 的公共点,在      C3 上.

所以  a=1.

18.如图,已知抛物线        y2=2px(p>0)的焦点为     F,过   F 的直线交抛物

线于  A、B 两点.
          1    1
(1)求证:|FA|+|FB|为定值;
(2)求 AB 的中点   M 的轨迹方程.
                             p
                          x=  +tcos α
                             2
(1)证明 设直线      AB 的方程为{    y=tsin α )(t 为参数,α≠0),代入        y2=2px 整理,得
t2sin2α-2ptcos α-p2=0.

设 A、B  两点对应的参数分别为         t1、t2,则由根与系数的关系,得
       2pcos α         p2

t1+t2=  sin2α ,t1t2=-sin2α.
 1    1   1   1   |t1|+|t2| |t1-t2| (t1+t2)2-4t1t2
|FA|+|FB|=|t1|+|t2|= |t1t2| = |t1t2| = |t1t2|
   2pcos α   4p2
          2+
   ( sin2α ) sin2α
       -p2        2
=      |sin2α|   =p(定值).
                                             t1+t2  pcos α
(2)解 设   AB 的中点   M(x,y),则   M 对应的参数为     t=   2  = sin2α ,
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      p  pcos2α
   x=  +       ,
      2   sin2a
         pcos α                                     p
     y=                                          x-
  {              )                          2
∴        sin α   (α  为参数),消去        α,得    y =p(    2)为所求的轨迹方程.
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