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上海市普陀区2018届高考二模数学试题含答案

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高中数学审核员

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    2017-2018     学年第二学期普陀区高三数学质量调研

                                                                          2018.4

考生注意:

    1. 本试卷共    4 页,21 道试题,满分      150 分. 考试时间    120 分钟.

    2. 本考试分试卷和答题纸.          试卷包括试题与答题要求.            作答必须涂(选择题)

或写(非选择题)在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.

    3. 答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并

将核对后的条码贴在指定位置上,在答题纸反面清楚地填写姓名.

一、填空题(本大题共有           12 题,满分    54 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结

果,每个空格填对前         6 题得  4 分、后   6 题得  5 分,否则一律得零分.

            2
1.  抛物线   x  12y  的准线方程为_______.

                     1
           f (x) 
2.  若函数          x  2m 1 是奇函数,则实数       m  ________.

3.  若函数    f (x)  2x  3 的反函数为   g(x) ,则函数    g(x) 的零点为________.

4.   书架上有上、中、下三册的《白话史记》和上、下两册的《古诗文鉴赏辞典》,现将这

五本书从左到右摆放在一起,则中间位置摆放中册《白话史记》的不同摆放种数为

_______(结果用数值表示).

5.  在锐角三角形      ABC  中,角   A 、 B 、  C 的对边分别为     a 、 b 、 c ,若

   2   2   2
 (b  c  a ) tan A  bc ,则角 A 的大小为________.

        3   1  n
      (x    2 )
6.  若      x    的展开式中含有非零常数项,则正整数                n 的最小值为_________.

7.   某单位年初有两辆车参加某种事故保险,对在当年内发生此种事故的每辆车,单位均可

获赔(假设每辆车最多只获一次赔偿).设这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为
 1     1
 20 和 21 ,且各车是否发生事故相互独立,则一年内该单位在此种保险中获赔的概率为
_________(结果用最简分数表示).
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                                                     2
                                                x     t  2
                                                     2
                                                
                                                      2
                                                y     t
8.     在平面直角坐标系        xOy 中,直线    l 的参数方程为          4       ( t 为参数),椭圆
              x  cos
              
                  1
              y    sin
 C 的参数方程为         2      (  为参数),则直线       l 与椭圆   C 的公共点坐标为__________.

                                                          a         *
9.  设函数    f (x)  logm x ( m  0 且 m  1),若 m 是等比数列      n( n  N )的公比,

且

 f (a a a a   )  7    f (a2 )  f (a2 )  f (a2 )  f (a2 )
    2 4 6   2018    ,则     1       2      3           2018 的值为_________.
                         x  y  0
                         
                         2x  y  2
                         
                         y  0
               y         x  y  m
10.  设变量   x 、   满足条件              ,若该条件表示的平面区域是三角形,则实数                   m 的
取值范围是__________.

                                                                     x
                                                                1       
                                                     M    y | y    , x  R
                                                                  2 
11.                                            设集合                         ,
             1                                 
 N  y | y     1x 1 m  1x  2,1 x  2
            m 1                                ,若  N  M  ,则实数    m 的取值
范围是         .

                           x2
                        C :    y2 1
12.   点 F1 , F2 分别是椭圆       2        的左、右两焦点,点         N 为椭圆   C 的上顶点,若动

             2      
            MN    2MF1  MF2     MF1  2MF2
点  M 满足:                     ,则              的最大值为__________.
二、选择题(本大题共有           4 题,满分    20 分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的
相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得                     5 分,否则一律得零分.

                                 2
13. 已知  i 为虚数单位,若复数        (a  i) i 为正实数,则实数     a 的值为………………(   )

                        B                C                D
   (A) 2                1                0               1

14. 如图所示的几何体,其表面积为              (5  5) ,下部圆柱的底面直径与该圆柱的高相等,

上部圆锥的母线长为           5 ,则该几何体的主视图的面积为                   …………………………(    


                                                                               第 14 题图
                   中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台

)

   (A)
       4               B 6              C8              D10

      S               a                   *       lim Sn
15. 设   n 是无穷等差数列        n 的前  n 项和(   n N  ),则“   n  存在”是

“该数列公差      d  0 ”的  ………………………………………………(   )

   (A) 充分非必要条件                            B必要非充分条件  

   C充要条件                                D既非充分也非必要条件

               *                                  2   2   2
16.   已知  k  N ,  x, y, z  R ,若 k(xy  yz  zx)  5(x  y  z ) ,则对此不等式描叙

正

确的是    ……………………………………………………………………………(   )

   (A) 若 k  5 ,则至少存在一个以        x, y, z 为边长的等边三角形  

   B若  k  6 ,则对任意满足不等式的          x, y, z 都存在以 x, y, z 为边长的三角形

   C若  k  7 ,则对任意满足不等式的          x, y, z 都存在以 x, y, z 为边长的三角形

   D若  k  8 ,则对满足不等式的        x, y, z 不存在以 x, y, z 为边长的直角三角形
三、解答题(本大题共有           5 题,满分    76 分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的
规定区域内写出必要的步骤

17. (本题满分     14 分)本题共有      2 个小题,第     1 小题满分   6 分,第   2 小题满分    8 分

    如图所示的正四棱柱         ABCD   A1B1C1D1 的底面边长为1,侧棱        AA1  2 ,点 E 在棱

                                                                    D1            C1
 CC1 上,
                                                       A1
                                                                              B1
且 CE=CC1   (   0 ).
                                                                                   E
           1
       =
(1)当       2 时,求三棱锥     D1  EBC 的体积;
                                                                     D
                                             2                                    C
                                       arccos
                     D C
(2)当异面直线       BE 与   1  所成角的大小为             3 时,求    的值.       A            B

                                                                      第  17 题图
                   中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台


18.(本题满分     14 分)本题共有      2 个小题,第     1 小题满分   8 分,第   2 小题满分    6 分

                              2
  已知函数     f (x)=sin x cos x  sin x , x  R .

                         
                      [a,  ]
(1)若函数      f (x) 在区间    16 上递增,求实数       a 的取值范围;

                                                    
                                            x1 [  ,  ]
(2)若函数      f (x) 的图像关于点    Q(x1, y1) 对称,且         4  4 ,求点   Q 的坐标.


19.(本题满分     14 分)本题共有      2 个小题,第     1 小题满分   8 分,第   2 小题满分    6 分

  某市为改善市民出行,大力发展轨道交通建设.规划中的轨道交通                           s 号线线路示意图如图所

示.已知   M  , N 是东西方向主干道边两个景点,            P,Q 是南北方向

主干道边两个景点,四个景点距离城市中心O                   均为   5 2 km ,

线路   AB 段上的任意一点到景点          N 的距离比到景点       M  的距离都

多10km   ,线路   BC 段上的任意一点到O         的距离都相等,线路

 CD 段上的任意一点到景点Q           的距离比到景点       P 的距离都多

10km  ,以O   为原点建立平面直角坐标系            xOy .

(1)求轨道交通       s 号线线路示意图所在曲线的方程;

(2)规划中的线路        AB  段上需建一站点      G  到景点Q    的距离最近,问如何设置站点            G 的位置?

       


20. (本题满分     16 分)本题共有      3 小题,第    1 小题 4 分,第   2 小题  6 分,第   3 小题  6 分.

  定义在   R  上的函数    f (x) 满足:对任意的实数       x ,存在非零常数       t ,都有
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 f (x  t)  tf (x) 成立.

(1)若函数      f (x)  kx  3 ,求实数 k 和 t 的值;

(2)当   t  2 时,若  x [0,2],  f (x)  x(2  x) ,求函数 f (x) 在闭区间[2,6]上的值域;

(3)设函数      f (x) 的值域为[a,a]   ,证明:函数      f (x) 为周期函数.


21.(本题满分     18 分)本题共有      3 小题,第    1 小题  4 分,第  2 小题  6 分,第   3 小题  8 分.

         a                                   *    a   a  c
  若数列    n同时满足条件:①存在互异的             p,q  N 使得    p   q    ( c 为常数);

                                *                     a
②当  n  p 且 n  q 时,对任意    n N  都有  an  c ,则称数列     n为双底数列. 

                  a
(1)判断以下数列         n是否为双底数列(只需写出结论不必证明);

                6                  n
        a   n             a  sin
         n                   n                 a   n  3n  5
      ①         n ;      ②          2 ;     ③   n

            101 2n,1  n  50
       a  
         n    n50                    a
(2)设         2     m,n  50 ,若数列     n是双底数列,求实数         m 的值以及数列

 a
  n的前  n 项和  Sn ;

                       n
                    9 
       a    kn  3
        n                                      a
(3)设               10  ,是否存在整数      k ,使得数列      n为双底数列?若存在,求出

所有的   k 的值;若不存在,请说明理由.
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    普陀区    2017 学年第二学期高三数学质量调研评分标准(参考)

一、填空题

    1           2           3           4            5           6
                1                                    
  y  3                  x  3         24                       5
                2                                    6
    7           8           9           10           11         12

    2          2   2                     4
            (   ,  )     1990    (0,1][ ,)    (1,0)       6  10
    21         2   4                     3


二、选择题

      13                14               15               16

       D                B                A                 B

三、解答题

          1 
         CE=  CC
                 1                         ABCD   A B C D   D C 
17.(1)由      2    ,得  CE 1,      又正四棱柱            1 1 1 1 ,则  1 1 平面

EBC ,

         1                                                z
  VD EBC  SRtECB  D1C1
则  1     3             …………………………… 4        分


         1  1         1
            CE  BC 
          3 2         6 .………………………… 6       分                           y

                                                     x
   (2)以  D 为原点,射线    DA 、  DC 、 DD1 作 x 轴、 y 轴、

z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系(如图),……………… 2                   分

则 B(1,1,0) , E(0,1,2) , D1(0,0,2) , C(0,1,0) ,
           
即 D1C  (0,1,2) , BE  (1,0,2)  ………………………………………………… 4         分

                                    2
                              arccos
又异面直线    BE 与 D1C 所成角的大小为           3 ,
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        
   2   D1C  BE   0(1) 10   (2)2      4
                              
   3   D C  BE          5  1 4 2        5  20 2
则       1                                            ,……………………… 6         分

                                     5
              2                  
化简整理得16        5,又    0 ,即      4  .   ……………………………………… 8              分

                                 1        cos 2x 1
         f (x)=sin x cos x  sin2 x  sin 2x 
18.(1)                           2           2    ,…………………………2           分

                                  2            1
                                   sin(2x  ) 
                                  2         4   2 ,…………………………4           分

                               3   
   x          2x    2           
当     16 时,则       4      16   4   8    2 ,

                                                3
             [a,   ]          2a           a  
又函数    f (x) 在  16  上递增,则         4     2 ,即        8 ,………………………7          分

                          3  
                    a [   ,   )
则实数   a 的取值范围为            8  16  .   …………………………………………………8                  分

                                                    
                                            sin(2x   )  0
                            Q(x , y )             1
(2)若函数      f (x) 的图像关于点       1  1 对称,则             4     ,  ………………2      分


                               k          
   2x1    k              x1       [   ,  ]
即       4     (  k  Z ),则       2   8      4  4 ,………………………………4             分


                                     1
                               (  ,  )
由  k  Z 得 k  0 ,则点 Q 的坐标为       8   2  .  …………………………………………6               分

19.(1)因为线路      AB  段上的任意一点到景点         N  的距离比到景点       M 的距离都多10km       ,所

以线路    AB 段所在曲线是以定点         M ,  N 为左、右焦点的双曲线的左支,

            2   2
则其方程为     x   y  25(x  0, y  0) ,  …………………………………………………3                分

因为线路    BC  段上的任意一点到O         的距离都相等,所以线路          BC  段所在曲线是以       O 为圆心、

以 OB  长为半径的圆,由线路          AB 段所在曲线方程可求得          B(5,0) ,
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            2   2
则其方程为     x   y  25(x  0, y  0) ,  …………………………………………………5                分

因为线路    CD  段上的任意一点到景点Q          的距离比到景点       P 的距离都多10km       ,所以线路

 CD 段所在曲线是以定点Q          、 P 为上、下焦点的双曲线下支,

            2   2
则其方程为     x   y  25(x  0, y  0) , …………………………………………………7                分

                            x x  y y  25
故线路示意图所在曲线的方程为                             .  ……………………………………8              分

       G(x  , y )                 GQ    x2  (y  5 2)2
(2)设       0  0 ,又  Q(0,5  2) ,则          0    0        ,

         x2  y2  25    GQ     2y2 10  2y2  75
由(1)得     0    0     ,即            0        0     ,………………………………3            分


                    5  2             5  2
   GQ    50  2(y     )2       y
                 0                0          GQ      5 2
则                     2    ,即当         2  时,      min      ,

                  5     5   
                    6,    2 
则站点   G 的坐标为      2     2    ,可使   G 到景点Q    的距离最近.……………………6            分


20.(1)由     f (x  t)  tf (x) 得, k(x  t)  3  t(kx  3) 对 x  R 恒成立,
                                           k(t 1)  0
                                           
                                           (k  3)t  3  0
                                           t  0
即  (k  kt)x  (k  3)t  3  0 对 x  R 恒成立,则            ,……………………2         分
   k  0
   
    t  1
即       .       ……………………………………………………………………………4                            分

                                           2
(2)当    x [0,2]时,  f (x)  x(2  x) 1 (x 1) [0,1],……………………………2        分

当  x [2,0] 时,即  x  2[0,2] ,

                              1                     1
                      f (x)   f (x  2)  f (x)[  ,0]
由  f (x  2)  2 f (x) 得     2        ,则           2   ,……………………3         分

当  x [2,4] 时,即  x  2[0,2] ,

由  f (x  2)  2 f (x) 得 f (x)  2 f (x  2) ,则 f (x)[2,0] , ……………………4 分
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当  x [4,6]时,即   x  2[2,4] ,

由  f (x)  2 f (x  2) 得 f (x)[0,4],  …………………………………………………5              分

综上得函数      f (x) 在闭区间[0,6]  上的值域为[2,4]     . ……………………………………6             分

(3)(证法一)由函数          f (x) 的值域为[a,a]   得,   f (x  t) 的取值集合也为[a,a]    ,

                                       ta  a
                                       
                                        ta  a
当 t  0 时, f (x  t)  tf (x)[ta,ta],则       ,即  t 1.……………………2        分

由  f (x 1)   f (x) 得 f (x  2)   f (x 1)  f (x) ,

则函数    f (x) 是以 2 为周期的函数. …………………………………………………………3                         分

                                       ta  a
                                       
                                        ta  a
当 t  0 时, f (x  t)  tf (x)[ta,ta],则     ,即   t  1.……………………5       分

即  f (x 1)  f (x) ,则函数 f (x) 是以1为周期的函数.

故满足条件的函数         f (x) 为周期函数. ………………………………………………………6                      分

(证法二)由函数         f (x) 的值域为[a,a]  得,必存在      x0  R ,使得  f (x0 )  a ,

   t 1
当      时,对   t 1,有   f (x0  t)  tf (x0 )  ta  a ,

                                                     t 1
           对 t  1,有   f (x0  t)  tf (x0 )  ta  a ,则 不可能;

                 1               1
                   1    f (x )    f (x  t)
   0  t 1                 0       0 
当          时,即   t    ,          t        ,

由  f (x) 的值域为[a,a]   得,必存在     x0  R ,使得   f (x0  t)  a ,

              0  t 1                 t 1
仿上证法同样得               也不可能,则必有              ,以下同证法一.


21. (1)①③是双底数列,②不是双底数列;……………………………………………4                                  分

          a
(2)数列     n当1   n  50 时递减,当    n  50 时递增,

                  a   a
由双底数列定义可知          50   51 ,解得  m  1 ,……………………………………………2                 分


                                n 99 101 2n          2
                           Sn                  100n  n
当1   n  50 时,数列成等差,                  2                  ,
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             S 10050   502  2 1  22 1     2n50 1
当  n  50 时,  n                                      

                           n49
                         2    n  2548 ,  ………………………………………5              分

            100n  n2 ,1 n  50
      Sn  
            2n49  n  2548,n  50
综上,                            .……………………………………………………6                    分

                              n1             n
                          9             9 
     an1  an  kn  k  3   kn  3 
(3)                      10            10  ,

                    n
                 9   9kn  k  3      
                                kn  3
                 10        10
                                         ,

                       n
                 1  9 
                     9k  3 kn
                10 10             , ……………………………………2              分
       a
若数列    n是双底数列,则       9k  3  kn 有解(否则不是双底数列),

         3
     9     n
即        k    ,………………………………………………………………………3                           分

   k  1  k  3  k  1   k  3
                          
得  n  6 或 n  8 或 n  12 或 n  10

                              n
                       3  9 
             an1  an      6  n
故当  k  1时,            10 10       ,

当1   n  5 时, an1  an ;当 n  6 时, an1  an ;当 n  7 时, an1  an ;

                                                    a
从而     a1  a2  a3  a4  a5  a6  a7  a8    ,数列 n不是双底数列;

同理可得:

                                                     a
当  k  3时, a1  a2    a8  a9  a10  a11    ,数列 n不是双底数列;

                                                       a
当  k  1时,  a1  a2    a12  a13  a14  a15    ,数列 n是双底数列;

                                                       a
当  k  3时,  a1  a2    a10  a11  a12  a13    ,数列 n是双底数列;

 …………………………………………………………………………………………………7                                    分
                                      a 
综上,存在整数       k  1或 k  3,使得数列       n 为双底数列.…………………………8               分
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