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北师大版 选修1-1 第二章 圆锥曲线与方程 > 1.1 椭圆及其

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♦自然界处处存在着椭圆,
我们如何用自己的双手画出椭圆呢?

♦如何定义椭圆?

首先来看圆的定义: 平面上到定点的距
离等于定长的点的集合叫圆.


                      那么椭圆的定义呢
椭圆定义的文字表述:           椭圆定义的符号表述:

平面上到两个定点的
                      M  F     M F    22 a     c
  距离的和(2a)等于              12

  定长(大于|F1F2    |)
  的点的轨迹叫椭圆。

  定点F1 、F2 叫做椭圆
  的焦点。

两焦点之间的距离叫
  做焦距(2c)。
1.   改变两图钉之间的距离,使其与
绳长相等,画出的图形还是椭圆吗?


2.绳长能小于两图钉之间的距离吗?
1.   改变两图钉之间的距离,使其与
绳长相等,画出的图形还是椭圆吗?


2.绳长能小于两图钉之间的距离吗?

♦提出了问题就要试着解决问题.
        怎么推导椭圆的标准方程呢?

   ♦ 求动点轨迹方程的一般步骤:              坐标法

         1、建立适当的坐标系,用有序实数对
回忆求曲
线方程推         (x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;
导步骤
         2、写出适合条件      P(M)   ;

         3、用坐标表示条件P(M),列出方程             ;  

         4、化方程为最简形式。
  ♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案

              y y y          y

         y         M           F2
                         M

                             O
          F1 O  O OF2 x x x        x

         O       x             F1

             方案一           方案二

原则:尽可能使方程的形式简单、运算简单;
     (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的
直线作为坐标轴.)      (对称、“简
               洁”)
设P (x, y)是椭圆上任意一点,

椭圆的焦距|F1F2|=2c(c>0),

则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0)    .

P与F1和F2的距离的和为
固定值2a(2a>2c)

 由椭圆的定义得,限制条件:
                     | PF |  | PF | 2a
                         1       2 y
  由于
      | PF     |     ( x   c)  2    y 2 ,| PF      |    ( x    c) 2    y  2
             1                       P(x , y)      2
 得方程
          ( x  c) 2   y 2     ( x  c) 2   y 2   2a
(问题:下面怎样化简?)                               x
                                   0
                                F1     F2
移项,再平方


     (           x                                   c)                      2                                     y             2                                      4a                            2                                  4a                                              (          x                                    c)                     2                                     y              2                                    (          x                                    c)                     2                                     y              2


     a           2                        cx                                      a                        (       x                           c)               2                            y          2
  两边再平方,得


          a               4                                    2a                             2cx                                                          c              2          x              2                                       a               2           x             2                                    2a                             2cx                                                          a                2c                      2                                    a                2           y              2
        整理得
                                       (a                 2                         c          2        )x                 2                          a           2        y          2                            a            2       (a                  2                         c          2       )
     由椭圆定义可知

                                                                 2a                           2c,即                             a                    c,          所以

                                                                         2                         2
                                                                 a                         c                          0a,2        设         c      2               b      2    (b                    0),

                                             b       2      x       2                  a         2     y        2                    a        2b            2                        椭圆的标
                                                                                                                                                                                           准方程
                                                                                       x       2                       y       2
      两边除以                                2   2                    得
                                       a   b                                                                                                      1(a                              b                     0).
                                                                                      a        2                      b       2
刚才我们得到了焦点在x轴上的椭圆方程,
如何推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程呢?

             由椭圆的定义得,限制条件:
                                                                                                                       |    PF1                  |            |     PF            2       |          2a
                      由于
                                                                                                                                                    2                                                                                       2                                                                                                                2                                                                                      2
                                                       |        PF1                                 |                                   x                                      (         y                            c)                           ,|              PF                        2           |                                    x                                     (         y                            c)


              得方程                                                     x        2                      (       y                       c)             2                                     x        2                     (        y                      c)              2                         2a
            (问题:下面怎样化简?)


                                                                                                                    y       2                        x       2
                                                                                                                                                                                 1(a                                 b                      0)
                                                                                                                   a        2                       b        2
   ♦椭圆的标准方程的特点:                     Y
             Y
                  M                     F2(0 , c)
                                 M

                                      O        X
       F1    O       F2  X
      (-c,0)        (c,0)               F1(0,-c)


       x 2    y 2                 y 2    x 2
                   1(a     b   0)         1(a     b   0)
      a  2    b 2                 a 2    b 2
(1)椭圆标准方程的形式:左边是两个分式的平方和,右边是1
(2)椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。
(3)由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。反之
求出a.b.c的值可写出椭圆的标准方程。
(4)椭圆的标准方程中,x2与y2的分母哪一个大,则焦点就在哪一
个轴上。并且哪个大哪个就是a2
                                              标准方程                                                                                                22                                                                                                                          22
                                                                                                                                        xy                                                                                                                          xy
                                                                                                                                                            +                                   =           1               ab           >                        >            0+                                         =           1               ab           >                        >            0         
                                                                                                                                       ab22                                                                                                                         ba22
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         y
                                                                                                                                                                                            y
                                                                                                                                                                                                 P
                                                                                                                                                                                                                                                                                                       F
不                                                   图                               形                                                                                                                                                                                                                         2                           P
                                                                                                                                                                                         O                                                 x                                                                  O                                                x
同                                                                                                                                                                 F1                              F2
                                                                                                                                                                                                                                                                                                         F1
点

                                                焦点坐标
                                                                                                                                                                                                                                                                       F0                           ,    -       c,                         F                     0       ,     c
                                                                                                                                                                                                  ,                                                                            1                                                                     2                                   
                                                                                                                                             F1             -        c         , 0                            F2                   c        , 0
                                                                                                                                   平面内到两个定点F                                                                                                                ,F                        的距离的和等
                                                       定                        义                                                                                                                                                                      1                          2
相                                                                                                                                  于常数(大于F1F2)的点的轨迹
同

                              a、b、c 的关系                                                                                                                                                               a2=+            b    2          c   2
点
                           焦点位置的判断                                                                                                                       分母哪个大,焦点就在哪个轴上
     xy22                    则a=            5     ,b=             3      ;
1.                    1,
     5322


        22                          =                     =
      xy                     则a             6     ,b             4       ;
2.                      1,
      4622


                          2       2              则      =             ,       =              ;
                        x       y                     a         3           b       6
                    3.                1  
                         9       6


                         x 2     y  2
                                                 则      =      7      ,       =              .
                     4.                1            a                     b        2
                          7       4

例1.求下列椭圆的焦点坐标,以及椭圆上
   每一点到两焦点距离的和。


     2             2  2
    x  2          x  y             2   2
  (1)  y  1   (2)    1     (3)4 x  3 y  4
    4             4  5


                      2 2
  解:椭圆方程具有形式         x  y    其中  a  2, b  1
                         1
                     a 2 b 2


因此         2    2   两焦点坐标为
    c    a   b     4  1  3
                               ( 3,0), ( 3,0)

椭圆上每一点到两焦点的距离之和为
                              2a  4


 (2)焦点坐标(                               0,-1)和(                 0,1),2a              10


                                                                 3                               3                         8
(3)焦点坐标:(                                           0,-              )和(               0,            ),2a             
                                                               3                               3                           3
        练习1.下列方程哪些表示椭圆?


                   x   2            y    2
        (1)                                       1         (4)9x                    2            25           y     2            225                        0
                  16               16


                         2                2
                    x                 y                      (5)                3x        2          2     y    2            1
        (2)                                         1
                    25               16


                                                                                       2                                2
                      x    2                     y    2                            x                               y
        (3)                                                   (6)1                                                                    1
                            2                    2                                                                   ?
                     m                    m                 1              24              k             16              k

                                                                                                                                                                                                                                                                       24                                   -           k                                  0
                                                                                                                                                                                                                                                                       
(6)若是椭圆,则须满足                                                                                                                                                                                                                                                           16                                                  k                                  0                                                                                                            16                     ,4                                            4,24                                             
                                                                                                                                                                                                                                                                       
                                                                                                                                                                                                                                                                       24                                                    k                                16                                          k
例2、求适合下列条件的椭圆的标准方程:
  两个焦点分别是       (-2,0), (2,0),
              F1
                      F2
且过点P
      (3,2 6 ),

   法一:  c=2


   设椭圆标准方程为:     x 2 y 2
                     1
                a 2 b 2
    法二:   c=2    

     2a=P +P

        F1 F2
                                                             2                            2
                                            a                                   b                          4                                                2
                                                                                                                                              a                                 36
        法一:                                            9                           24                                                        
                                                                                                                 1                                         2
                                                             2                              2                                                 b                                 32
                                                    a                              b


                                                                                                                            x    2                 y     2
                           椭圆的标准方程为:                                                                                                                                 1
                                                                                                                           36                     32


        法二:由椭圆定义可知                                                                                                                                                                                             PF1                                                PF                     2                             2a

                                                                                                  2                                                                                                2                                                                                       2                                                                                               2
       即                    :                    3                              2                                      2                          6                          0                                                     3                            2                                       2                          6                          0                                          2a


故:2a                                                                 12,所以                                                                               a                              6,因此                                                                     b           2                            a            2                         c          2                           36                                     4                              32


                                                                                                                              x     2                y     2
                             椭圆的标准方程为:                                                                                                                                 1
                                                                                                                             36                     32
1.求适合下列条件的椭圆方程
1.a=4,b=3,焦点在x轴上;

2.b=1,     ,焦点在y轴上
     c  15

3、若椭圆满足: a=5 , c=3 , 

求它的标准方程。
例3. 求出刚才在实验中画出的椭圆的标准方程
如图:求满足下列条件的椭圆方程


 | PF |  | PF | 10 ,
     1      2   | F1F2 | 8


                     2  2
 解:椭圆具有标准方程          x y    其中  2c  8,2a  10
                        1
                     a 2 b 2


                                    2  2
因此 c  4, a  5, b 2  a 2  c 2  25所求方程为 16  9 x y
                                        1
                                    25 9
.     已知方程xy22表示焦点在x轴
              +  =1
             4m
                        (0,4) 
上的椭圆,则m的取值范围是                  .


             xy22
                +   = 1
变1:已知方程      m - 1 3 - m
表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值
        (1,2)
范围是             .
小结:

    一种方法:     求椭圆标准方程的方法


    二类方程:     x 2 y 2    y 2    x 2
                    1            1  a   b  0 
              a 2 b 2    a 2   b 2

    三个意识:     求美意识,     求简意识,前瞻意识
                                              标准方程                                                                                                22                                                                                                                          22
                                                                                                                                        xy                                                                                                                          xy
                                                                                                                                                            +                                   =           1               ab           >                        >            0+                                         =           1               ab           >                        >            0         
                                                                                                                                       ab22                                                                                                                         ba22
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         y
                                                                                                                                                                                            y
                                                                                                                                                                                                 P
                                                                                                                                                                                                                                                                                                       F
不                                                   图                               形                                                                                                                                                                                                                         2                           P
                                                                                                                                                                                         O                                                 x                                                                  O                                                x
同                                                                                                                                                                 F1                              F2
                                                                                                                                                                                                                                                                                                         F1
点

                                                焦点坐标
                                                                                                                                                                                                                                                                       F0                           ,    -       c,                         F                     0       ,     c
                                                                                                                                                                                                  ,                                                                            1                                                                     2                                   
                                                                                                                                             F1             -        c         , 0                            F2                   c        , 0
                                                                                                                                   平面内到两个定点F                                                                                                                ,F                        的距离的和等
                                                       定                        义                                                                                                                                                                      1                          2
相                                                                                                                                  于常数(大于F1F2)的点的轨迹
同

                              a、b、c 的关系                                                                                                                                                               a2=+            b    2          c   2
点
                           焦点位置的判断                                                                                                                       分母哪个大,焦点就在哪个轴上


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