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2018全国Ⅰ卷理科数学高考真题

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高中数学审核员

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               2018  年普通高等学校招生全国统一考试
                              理科数学

注意事项:

    1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

    2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如

需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

    3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共         12 小题,每小题      5 分,共   60 分。在每小题给出的四个选项中,只有

    一项是符合题目要求的。

         1 i
     z       2i
1.设      1 i   ,则|  z |

                           1
   A. 0                 B. 2               C.1                D.    2

                   2
           A   x x  x  2  0    ð A 
2.已知集合                      ,则   R
       x 1  x  2                             x 1 x  2
   A.                                    B.               
       x | x  1  x | x  2                   x | x  1  x | x  2
   C.                                  D.                     

3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解

   该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比

   例,得到如下饼图:


                                             

             建设前经济收入构成比例                        建设后经济收入构成比例

   则下面结论中不正确的是

   A.新农村建设后,种植收入减少
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   B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上

   C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍

   D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

     S           a              3S  S   S   a  2    a  
4.记   n 为等差数列       n 的前  n 项和.若    3   2   4 ,  1   ,则   5

   A. 12                  B.  10                 C.10              

    D.12

                 3        2
5.设函数     f (x)  x  (a 1)x  ax .若 f (x) 为奇函数,则曲线   y  f (x) 在点 (0,0) 处的

切线方程为

   A.  y  2x             B.  y  x              C.  y  2x

    D.  y  x
                                                       
6.在△ABC     中,  AD  为 BC  边上的中线,      E 为 AD 的中点,则     EB  

       3  1            1  3           3  1 
        AB    AC                AB    AC              AB    AC
   A.  4     4             B.  4      4            C. 4      4

        1  3 
          AB   AC
    D.  4      4

7.某圆柱的高为       2,底面周长为      16,其三视图如图.圆柱表面上的点               M 在正视图上的对

   应点为   A ,圆柱表面上的点        N 在左视图上的对应点为          B ,则在此圆柱侧面上,从          M  到

   N 的路径中,最短路径的长度为


   A. 2  17                B.  2  5                C.3

    D.2

                                                    2
8.设抛物线     C:y2=4x  的焦点为    F,过点(–2,0)且斜率为          3 的直线与    C 交于  M,N  两
          
   点,则   FM   FN =

   A.5                     B.6                     C.7                    D
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   .8

                  ex,x, 0
            f (x)  
                   ln x,x, 0
9.已知函数                       g(x)  f (x)  x  a .若 g(x)存在 2 个零点,则     a 的
   取值范围是

   A.[–1,0)                B.[0,+∞)                C.[–1,+∞)              D

   .[1,+∞)

10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半

    圆的直径分别为直角三角形            ABC 的斜边   BC,直角边     AB,AC.△ABC      的三边所围成
    的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点,此点

    取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为              p1,p2,p3,则


    A.p1=p2                                        B.p1=p3

    C.p2=p3                                        D.p1=p2+p3
                  x2
11.已知双曲线      C:     y2 1 ,O 为坐标原点,F      为 C 的右焦点,过      F 的直线与    C 的两
                  3
    条渐近线的交点分别为          M、N.若△OMN      为直角三角形,则|MN|=
        3
    A.                     B.3                 C. 2  3            D.4
        2
12.已知正方体的棱长为          1,每条棱所在直线与平面           α 所成的角都相等,则        α 截此正方体

    所得截面面积的最大值为

        3 3                    2 3                 3 2                 3
    A.                     B.                  C.                 D.
         4                      3                   4                  2
二、填空题:本题共         4 小题,每小题      5 分,共   20 分。

                        x  2y  2  0
                        
13.若  x , y 满足约束条件      x  y 1  0 ,则 z  3x  2y 的最大值为_____________.
                        
                        y  0


14.记  Sn 为数列an  的前   n 项和.若  Sn  2an 1,则 S6  _____________.

15.从  2 位女生,4    位男生中选     3 人参加科技比赛,且至少有            1 位女生入选,则不同的选

    法共有_____________种.(用数字填写答案)
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16.已知函数      f x 2sin x  sin 2x ,则 f x 的最小值是_____________.

三、解答题:共       70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第                      17~21 题为必考题,

    每个试题考生都必须作答。第             22、23 题为选考题,考生根据要求作答。

(一)必考题:60       分。

17.(12  分)

      在平面四边形      ABCD  中,   ADC   90 , A  45 , AB  2 , BD  5 .

      (1)求   cosADB   ;

      (2)若   DC   2 2 ,求  BC .

18.(12  分)

    如图,四边形      ABCD  为正方形,      E, F 分别为  AD, BC  的中点,以     DF 为折痕把

    △DFC    折起,使点     C 到达点   P 的位置,且     PF  BF  .

    (1)证明:平面       PEF   平面  ABFD  ;

    (2)求   DP  与平面   ABFD  所成角的正弦值.


19.(12  分)

             x2
    设椭圆   C :    y2 1的右焦点为     F ,过  F 的直线   l 与 C 交于  A, B 两点,点   M  的坐
              2

标为  (2,0) .

    (1)当   l 与 x 轴垂直时,求直线       AM  的方程;

    (2)设   O 为坐标原点,证明:         OMA    OMB  .

20.(12  分)

    某工厂的某种产品成箱包装,每箱               200 件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检

    验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取                               20 件作检验,

    再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都

    为  p(0  p 1) ,且各件产品是否为不合格品相互独立.(1)记                   20 件产品中恰有
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    2 件不合格品的概率为         f ( p) ,求 f ( p) 的最大值点 p0 .


    (2)现对一箱产品检验了           20 件,结果恰有     2 件不合格品,以(1)中确定的             p0 作为

     p 的值.已知每件产品的检验费用为              2 元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对

    每件不合格品支付        25 元的赔偿费用.

    (i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为                                 X ,

    求 EX  ;

    (ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品

    作检验?

21.(12  分)

                   1
    已知函数     f (x)   x  a ln x .
                   x

    (1)讨论     f (x) 的单调性;


                                           f x1  f x2 
    (2)若    f (x) 存在两个极值点     x1, x2 ,证明:                a  2 .
                                              x1  x2

(二)选考题:共        10 分。请考生在第       22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的

第一题计分。

22.[选修   4—4:坐标系与参数方程](10          分)


    在直角坐标系      xOy 中,曲线    C1 的方程为    y  k|x| 2 .以坐标原点为极点,      x 轴正半轴

                                              2
    为极轴建立极坐标系,曲线            C2 的极坐标方程为         2 cos  3  0 .


    (1)求   C2 的直角坐标方程;


    (2)若   C1 与 C2 有且仅有三个公共点,求          C1 的方程.

23.[选修   4—5:不等式选讲](10        分)

    已知   f (x) | x 1|  | ax 1| .

    (1)当   a 1 时,求不等式      f (x) 1 的解集;

    (2)若   x (0,1) 时不等式   f (x)  x 成立,求  a 的取值范围.
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参考答案:

   1     2      3     4     5      6     7      8     9     10    11     12

   C     B     A      B     D      A     B     D      C     A      B     A

                            3 3
13.6   14. 63    15.16   16. 
                             2

17.(12 分)
                                        BD        AB
    解:(1)在△ABD        中,由正弦定理得                         .
                                      sin A  sin ADB

                 5         2                       2
    由题设知,                      ,所以   sin ADB      .
              sin 45  sin ADB                    5
                  中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台

                                                2     23
    由题设知,     ADB    90 ,所以  cosADB     1         .
                                                25    5

                                                  2
    (2)由题设及(1)知,          cosBDC    sin ADB     .
                                                  5

    在△BCD    中,由余弦定理得

    BC  2  BD2  DC 2  2 BD  DC cosBDC

                          2
     25  8  25 2 2 
                          5

     25 .

    所以  BC   5 .

18.(12 分)

    解:(1)由已知可得,BF⊥PF,BF⊥EF,所以                 BF⊥平面    PEF.

    又 BF   平面  ABFD,所以平面      PEF⊥平面    ABFD.

    (2)作   PH⊥EF,垂足为       H.由(1)得,PH⊥平面        ABFD.
                                        
    以  H 为坐标原点,     HF  的方向为    y 轴正方向,|    BF  | 为单位长,建立如图所示的空间

    直角坐标系     H−xyz.


    由(1)可得,DE⊥PE.又         DP=2,DE=1,所以     PE=  3 .又 PF=1,EF=2,故    PE⊥PF.

               3        3
    可得  PH      , EH   .
               2        2

                       3         3        3   3          3
    则 H (0,0,0), P(0,0,  ), D(1, ,0), DP  (1, , ), HP  (0,0,  ) 为平面
                       2         2            2  2              2

    ABFD  的法向量.

                                               3
                                           HP  DP           3
    设  DP 与平面   ABFD 所成角为     ,则  sin |   | 4     .
                                          | HP || DP |  3   4
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                                    3
   所以  DP 与平面  ABFD 所成角的正弦值为          .
                                   4

19.(12 分)

   解:(1)由已知得      F(1,0) ,l 的方程为  x=1.

                            2        2
   由已知可得,点      A 的坐标为  (1,  ) 或 (1,  ) .
                           2         2

                       2             2
   所以  AM 的方程为   y     x  2 或 y    x  2 .
                       2             2

   (2)当   l 与 x 轴重合时,  OMA   OMB   0 .

   当 l 与 x 轴垂直时,OM   为  AB 的垂直平分线,所以      OMA    OMB .

   当 l 与 x 轴不重合也不垂直时,设       l 的方程为   y  k(x 1)(k  0) ,


   A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ,


                                                     y1     y2
   则 x1  2, x2  2 ,直线 MA,MB  的斜率之和为     kMA  kMB          .
                                                    x1  2 x2  2


   由 y1  kx1  k, y2  kx2  k 得


                             2kx1x2  3k(x1  x2 )  4k
                   kMA  kMB                    .
                                 (x1  2)(x2  2)

                  x2
   将 y  k(x 1) 代入   y2 1得
                   2

                     (2k 2 1)x2  4k 2 x  2k 2  2  0 .

                 4k 2       2k 2  2
   所以,   x  x       , x x      .
         1   2  2k 2 1 1 2 2k 2 1

                          4k 3  4k 12k 3  8k 3  4k
   则 2kx x  3k(x  x )  4k                   0 .
        1 2    1   2              2k 2 1


   从而  kMA  kMB  0 ,故 MA,MB 的倾斜角互补,所以      OMA   OMB  .

   综上,   OMA   OMB  .

20.(12 分)
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                                             2 2     18
   解:(1)20  件产品中恰有    2 件不合格品的概率为      f ( p)  C20 p (1 p) .因此

           2       18    2    17    2      17
    f ( p)  C20[2 p(1 p) 18p (1 p) ]  2C20 p(1 p) (110 p) .

   令  f ( p)  0 ,得 p  0.1.当 p (0,0.1) 时, f ( p)  0 ;当 p (0.1,1) 时,

    f ( p)  0 .


   所以  f ( p) 的最大值点为 p0  0.1.

   (2)由(1)知,     p  0.1.

   (i)令Y  表示余下的    180 件产品中的不合格品件数,依题意知Y         : B(180,0.1) ,

    X  20 2  25Y ,即 X  40  25Y .

   所以  EX  E(40  25Y )  40  25EY  490 .

   (ii)如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为                400 元.

   由于  EX  400 ,故应该对余下的产品作检验.

21.(12 分)

                                    1     a   x2  ax 1
   解:(1)  f (x) 的定义域为 (0,) , f (x)   1       .
                                    x2    x      x2

   (i)若  a  2 ,则 f (x)  0 ,当且仅当 a  2 , x 1时 f (x)  0 ,所以 f (x) 在

    (0,) 单调递减.

                              a  a2  4    a  a2  4
   (ii)若 a  2 ,令 f (x)  0 得, x     或 x         .
                                  2            2

          a  a2  4  a  a2  4
   当 x (0,       ) U(        ,) 时, f (x)  0 ;
              2          2

         a  a2  4 a  a2  4
   当 x (        ,        ) 时, f (x)  0 .所以 f (x) 在
            2         2

      a  a2  4 a  a2  4            a  a2  4 a  a2  4
    (0,       ),(        ,) 单调递减,在  (         ,        ) 单调递
          2         2                      2        2

   增.

   (2)由(1)知,     f (x) 存在两个极值点当且仅当    a  2 .
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                                   2
    由于   f (x) 的两个极值点    x1, x2 满足 x  ax 1  0 ,所以 x1x2 1,不妨设    x1  x2 ,


    则 x2 1.由于

     f (x )  f (x )  1        ln x  ln x       ln x  ln x       2ln x
        1      2       1 a    1    2  2  a   1     2  2  a    2 ,
                                                                    1
        x1  x2      x1x2        x1  x2           x1  x2
                                                                       x2
                                                                   x2


         f (x1)  f (x2 )         1
    所以                a  2 等价于     x2  2ln x2  0 .
            x1  x2               x2

                 1
    设函数   g(x)    x  2ln x ,由(1)知,    g(x) 在 (0,) 单调递减,又     g(1)  0 ,
                 x

    从而当   x (1,) 时,  g(x)  0 .


         1                    f (x1)  f (x2 )
    所以      x2  2ln x2  0 ,即            a  2 .
         x2                      x1  x2

22.[选修   4—4:坐标系与参数方程](10          分)

                                      C                       2   2
    解:(1)由    x   cos , y   sin 得 2 的直角坐标方程为       (x 1)  y  4 .

                  C                                         C
    (2)由(1)知       2 是圆心为    A(1,0) ,半径为   2 的圆由题设知,        1 是过点  B(0,2) 且

                                              l                  l
    关于   y 轴对称的两条射线.记         y 轴右边的射线为       1 , y 轴左边的射线为       2 .由于  B 在

      C            C    C                         l  C                  l
    圆   2 的外面,故     1 与  2 有且仅有三个公共点等价于           1 与  2 只有一个公共点且       2 与

    C                  l   C                 l   C
      2 有两个公共点,或       2 与  2 只有一个公共点且       1 与  2 有两个公共点.

                                                            | k  2 |
                                                                    2
      l   C                       l                            2
    当  1 与 2 只有一个公共点时,        A 到  1 所在直线的距离为       2 ,所以    k  1    ,故
          4
    k  
          3 或 k  0 .
                                                4
                       l   C               k        l   C
    经检验,当     k  0 时,  1 与 2 没有公共点;当           3 时,   1 与 2 只有一个公共点,

    l   C
     2 与  2 有两个公共点.

                                                            | k  2 |
                                                                    2
      l   C                        l                           2
    当  2 与  2 只有一个公共点时,        A 到 2 所在直线的距离为       2 ,所以     k 1     ,故
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             4
          k 
   k  0 或   3 .
                                         4
                    l  C              k       l  C
   经检验,当    k  0 时, 1 与 2 没有公共点;当       3 时,  2 与  2 没有公共点.

                          4
            C         y   | x | 2
   综上,所求     1 的方程为       3      .

23.[选修  4—5:不等式选讲](10     分)

                                                2, x  1,
                                                
                                          f (x)  2x,1 x 1,
                                                2, x 1.
   解:(1)当    a 1 时, f (x) | x 1|  | x 1| ,即 
                              1
                        {x | x  }
   故不等式    f (x) 1 的解集为      2  .

   (2)当   x (0,1) 时| x 1|  | ax 1| x 成立等价于当 x (0,1) 时| ax 1|1 成立.

   若 a  0 ,则当 x (0,1) 时| ax 1|1 ;

                                 2      2
                           0  x         1
   若 a  0 ,| ax 1|1 的解集为      a ,所以  a    ,故 0  a  2 .

综上,  a 的取值范围为    (0,2] .
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