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2018年高中数学第三章不等式3.3二元一次不等式组与简单的线性规划问题学案新人教A版必修5

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                 3.3 二元一次不等式组与简单的线性规划问题

                       3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域


     
   预习课本    P82~86,思考并完成以下问题

    (1)二元一次不等式是如何定义的?

     
     
    (2)应按照怎样的步骤画二元一次不等式表示的平面区域?

     
     
    (3)应按照怎样的步骤画二元一次不等式组表示的平面区域?

     

                                    [新知初探]
    1.二元一次不等式
    含有两个未知数,并且未知数的次数是                 1 的不等式称为二元一次不等式.
    2.二元一次不等式组
    由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组.
    3.二元一次不等式(组)的解集
    满足二元一次不等式(组)的           x 和 y 的取值构成的有序数对(x,y),叫做二元一次不等
式(组)的解,所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集.
    4.二元一次不等式表示平面区域
    在平面直角坐标系中,二元一次不等式                 Ax+By+C>0   表示直线    Ax+By+C=0   某一侧
所有点组成的平面区域,把直线画成虚线以表示区域不包括边界.
    不等式   Ax+By+C≥0    表示的平面区域包括边界,把边界画成实线.
    5.二元一次不等式表示的平面区域的确定
    (1)直线  Ax+By+C=0   同一侧的所有点的坐标(x,y)代入             Ax+By+C,所得的符号都
相同.

    (2)在直线   Ax+By+C=0   的一侧取某个特殊点(x0,y0)作为测试点,由                Ax0+By0+C  的
符号可以断定      Ax+By+C>0   表示的是直线       Ax+By+C=0   哪一侧的平面区域.
    [点睛] 确定二元一次不等式表示平面区域的方法是“线定界,点定域”,定边界时
需分清虚实,定区域时常选原点(C≠0).

                                    [小试身手]
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    1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
    (1)由于不等式     2x-1>0 不是二元一次不等式,故不能表示平面的某一区域(  )
    (2)点(1,2)不在不等式      2x+y-1>0  表示的平面区域内(  )
    (3)不等式   Ax+By+C>0  与  Ax+By+C≥0   表示的平面区域是相同的(  )
    (4)二元一次不等式组中每个不等式都是二元一次不等式(  )
    (5)二元一次不等式组所表示的平面区域都是封闭区域(  )
                                                                         1
    解析:(1)错误.不等式         2x-1>0 不是二元一次不等式,但表示的区域是直线                   x=2的
右侧(不包括边界).
    (2)错误.把点(1,2)代入       2x+y-1,得    2x+y-1=3>0,所以点(1,2)在不等式           2x+
y-1>0 表示的平面区域内.
    (3)错误.不等式      Ax+By+C>0  表示的平面区域不包括边界,而不等式                 Ax+By+
C≥0  表示的平面区域包括边界,所以两个不等式表示的平面区域是不相同的.

    (4)错误.在二元一次不等式组中可以含有一元一次不等式,如Error!也称为二元一次
不等式组.
    (5)错误.二元一次不等式组表示的平面区域是每个不等式所表示的平面区域的公共部
分,但不一定是封闭区域.
    答案:(1)× (2)× (3)× (4)× (5)×
    2.在直角坐标系中,不等式            y2-x2≤0 表示的平面区域是(  )


    解析:选    C 原不等式等价于(x+y)(x-y)≥0,因此表示的平面区域为左右对顶的区
域(包括边界),故选        C.
    3.在不等式     2x+y-6<0  表示的平面区域内的点是(  )
    A.(0,7)                         B.(5,0)
    C.(0,1)                          D.(2,3)
    解析:选    C 对于点(0,1),代入上述不等式            2×0+0×1-6<0    成立,故此点在不等式
2x+y-6<0  表示的平面区域内,故选           C.
    4.已知点    A(1,0),B(-2,m),若     A,B  两点在直线     x+2y+3=0   的同侧,则     m 的取
值集合是________.
    解析:因为     A,B  两点在直线     x+2y+3=0   的同侧,所以把点        A(1,0),B(-2,m)代入
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                                                              1
可得   x+2y+3  的符号相同,即(1+2×0+3)(-2+2m+3)>0,解得               m>-2.

    答案:Error!


                                  二元一次不等式(组)表示的平面区域

    [典例] 画出下列不等式(组)表示的平面区域.
    (1)2x-y-6≥0;

    (2)Error!
    [解] (1)如图,先画出直线          2x-y-6=0,
    取原点   O(0,0)代入   2x-y-6  中,
    ∵2×0-1×0-6=-6<0,
    ∴与点   O 在直线   2x-y-6=0   同一侧的所有点(x,y)都满足
2x-y-6<0,因此      2x-y-6≥0   表示直线下方的区域(包含边界)(如
图中阴影部分所示).
    (2)先画出直线     x-y+5=0(画成实线),如图,取原点              O(0,0)代
入  x-y+5,
    ∵0-0+5=5>0,
    ∴原点在    x-y+5>0    表示的平面区域内,即         x-y+5≥0    表示直
线  x-y+5=0   上及其右下方的点的集合.同理可得,x+y≥0                  表示
直线   x+y=0  上及其右上方的点的集合,x≤3             表示直线    x=3 上及其左方的点的集合.如
图所示的阴影部分就表示原不等式组的平面区域.


    (1)在画二元一次不等式组表示的平面区域时,应先画出每个不等式表示的区域,再取
它们的公共部分即可.其步骤为:①画线;②定侧;③求“交”;④表示.
    (2)要判断一个二元一次不等式所表示的平面区域,只需在它所对应的直线的某一侧取

一个特殊点(x0,y0),从       Ax0+By0+C  的正负判定.      
    [活学活用]

    若关于   x,y  的不等式组Error!表示的平面区域是直角三角形区域,则正数                     k 的值为(  
)
    A.1                             B.2
    C.3                              D.4
    解析:选    B 如图,易知直线        kx-y+1=0    经过定点    A(0,1),又
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知道关于    x,y  的不等式组Error!表示的平面区域是直角三角形区域,且                    k>0,所以
      1
    -
k·(   2)=-1,解得    k=2,故选    B.

                                二元一次不等式(组)表示平面区域的面积


    [典例] 不等式组Error!表示的平面区域的面积为(  )
      50                             25
    A. 3                           B. 3
      100                            10
    C. 3                           D. 3

    [解析] 作出不等式组Error!表示的平面区域,如图阴影部分所示.可以求得点                            A 的坐
     4 4
      ,
标为(3   3),点  B 的坐标为(-2,-2),点        C 的坐标为(8,-2),所以△ABC         的面积是
1              4          50
                --2
2×[8-(-2)]×[3           ]= 3 .


    [答案] A


                              求平面区域的面积的方法
    求平面区域的面积,先画出不等式组表示的平面区域,然后根据区域的形状求面
积.若图形为规则的,则直接利用面积公式求解;若图形为不规则图形,可采取分割的方
法,将平面区域分为几个规则图形求解.      


[活学活用]

     不等式组Error!所表示的平面区域的面积等于(  )
      3                              2
    A.2                            B.3
      4                              3
    C.3                            D.4
    解析:选    C 作出平面区域如图所示为△ABC,

    由Error!可得  A(1,1),
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                  4           1             1     4     4
               (0, )                           (4- )
    又 B(0,4),C    3 ,∴S△ABC=2·|BC|·|xA|=2×        3 ×1=3,故选     C.

                                   用二元一次不等式组表示实际问题


    [典例] 某厂使用两种零件           A,B 装配两种产品      P,Q,该厂的生产能力是月产            P 产品
最多有   2  500 件,月产    Q 产品最多有    1  200 件;而且组装一件       P 产品要   4 个零件   A,2 个零
件  B,组装一件     Q 产品要   6 个零件  A,8 个零件   B,该厂在某个月能用的          A 零件最多    14 
000 个,B  零件最多    12 000 个.用数学关系式和图形表示上述要求.

    [解] 设分别生产       P,Q 产品   x 件,y  件,依题意则有Error!用图形表示上述限制条件,
得其表示的平面区域如图(阴影部分整点)所示.


                       用二元一次不等式组表示实际问题的方法
    (1)先根据问题的需要选取起关键作用的关联较多的两个量用字母表示.
    (2)将问题中所有的量都用这两个字母表示出来.
    (3)由实际问题中有关的限制条件或由问题中所有量均有实际意义写出所有的不等式.
    (4)把这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来.     


    [活学活用]
    某家具厂制造甲、乙两种型号的桌子,每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木
工做一张甲、乙型号的桌子分别需要                1 h 和 2  h,漆工油漆一张甲、乙型号的桌子分别需
要  3 h 和 1 h.又木工、漆工每天工作分别不得超过                8 h 和 9 h.请列出满足生产条件的数
学关系式,并画出相应的平面区域.
    解:设家具厂每天生产甲,乙型号的桌子的张数分别为                       x 和 y,它们满足的数学关系

式为:Error!分别画出不等式组中各不等式表示的平面区域,然后取交集,如图中的阴影部
分所示,生产条件是图中阴影部分的整数点所表示的条件.
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                               层级一 学业水平达标
    1.设点   P(x,y),其中    x,y∈N,满足      x+y≤3  的点  P 的个数为(  )
    A.10                            B.9
    C.3                              D.无数个

    解析:选    A 作Error!的平面区域,


    如图所示,符合要求的点           P 的个数为    10.
    2.不在   3x+2y>3   表示的平面区域内的点是(  )
    A.(0,0)                          B.(1,1)
    C.(0,2)                          D.(2,0)
    解析:选    A 将(0,0)代入,此时不等式          3x+2y>3  不成立,故(0,0)不在       3x+2y>
3 表示的平面区域内,将(1,1)代入,此时不等式                 3x+2y>3  成立,故(1,1)在     3x+2y>
3 表示的平面区域内,将(0,2)代入,此时不等式                 3x+2y>3  成立,故(0,2)在     3x+2y>
3 表示的平面区域内,将(2,0)代入,此时不等式                 3x+2y>3  成立,故(2,0)在     3x+2y>
3 表示的平面区域内,故选          A.

    3.不等式组Error!表示的平面区域为(  )


    解析:选    C 取满足不等式组的一个点(2,0),由图易知此点在选项                     C 表示的阴影中,
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故选   C.
    4.已知点    M(2,-1),直线     l:x-2y-3=0,则(  )
    A.点  M 与原点在直线      l 的同侧
    B.点  M 与原点在直线      l 的异侧
    C.点  M 与原点在直线      l 上
    D.无法判断点      M 及原点与直线      l 的位置关系
    解析:选    B 因为    2-2×(-1)-3=1>0,0-2×0-3=-3<0,所以点             M 与原点在直线
l 的异侧,故选      B.

    5.若不等式组Error!表示的平面区域为Ⅰ,则当                a 从-2  连续变化到     1 时,动直线     x+
y-a=0  扫过Ⅰ中的那部分区域的面积为(  )
      7                              7
    A.2                            B.3
      7                              1
    C.4                            D.2
    解析:选    C 如图所示,Ⅰ为△BOE         所表示的区域,而动直线           x+
y=a  扫过Ⅰ中的那部分区域为四边形             BOCD,而   B(-2,0),O(0,0),
           1  3
          - ,
C(0,1),D(  2  2),E(0,2),△CDE  为直角三角形.
                1        1     1  7

    ∴S 四边形  BOCD=2×2×2-2×1×2=4.
    6.直线   2x+y-10=0   与不等式组Error!表示的平面区域的公共点有________个.

    解析:画出不等式组Error!表示的平面区域,如图中阴影部分所示.因为直线                            2x+y-
                                                           4
10=0  过点  A(5,0),且其斜率为-2,小于直线            4x+3y=20  的斜率-3,故只有一个公共点
(5,0).


    答案:1

    7.平面直角坐标系中,不等式组Error!表示的平面区域的形状是________.
    解析:画出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,由图易知平面区域为等
腰直角三角形.
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    答案:等腰直角三角形


    8.若不等式组Error!表示的平面区域是一个三角形,则                   a 的取值范围是________.
    解析:不等式组表示的平面区域如图所示,当                   y=a  过 A(0,5)时表示的平面区域为三
角形,即△ABC,当       5<a<7  时,表示的平面区域为三角形,综上,当                  5≤a<7  时,表示的
平面区域为三角形.
    答案:[5,7)
    9.已知点    P(1,-2)及其关于原点的对称点均不在不等式                  kx-
2y+1<0 表示的平面区域内,求          k 的取值范围.
    解:点   P(1,-2)关于原点的对称点为           P′(-1,2),

    由题意,得Error!

    即Error!
    解得-5≤k≤-3.
    故 k 的取值范围是[-5,-3].

    10.已知实数     x,y  满足不等式组      Ω:Error!
    (1)画出满足不等式组        Ω 的平面区域;
    (2)求满足不等式组       Ω 的平面区域的面积.
    解:(1)满足不等式组        Ω 的平面区域如图中阴影部分所示.


    (2)解方程组Error!
        6 10
         ,
    得 A(7  7 ),

    解方程组Error!
        9 4
         ,
    得 D(5 5),
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    所以满足不等式组        Ω  的平面区域的面积为
                                 1         10  1             1         4  89

    S 四边形 ABCD=S△AEF-S△BCF-S△DCE=2×(2+3)×   7 -2×(1+2)×1-2×(3-1)×5=70.

                               层级二 应试能力达标
    1.如图阴影部分用二元一次不等式组表示为(  )


    A.Error!                       B.Error!

    C.Error!                       D.Error!
    解析:选    B 由图易知平面区域在直线            2x-y=0  的右下方,在直线        x+y=3   的左下方,
在直线   y=1  的上方,故选      B.
    2.原点和点(1,1)在直线        x+y-a=0   的两侧,则     a 的取值范围是(  )
    A.(-∞,0)∪(2,+∞)                  B.{0,2}
    C.(0,2)                          D.[0,2]
    解析:选    C 因为原点和点(1,1)在直线          x+y-a=0   的两侧,所以-a(2-a)<0,即
a(a-2)<0,解得    03,故  m 的取值范围是(3         ).
           2
           ,+∞
    答案:(3       )

    7.已知点    M(a,b)在由不等式组Error!表示的平面区域内,求               N(a-b,a+b)所在的平
面区域的面积.

    解:由题意,得       a,b  满足不等式组Error!
                             n+m      m-n
    设 n=a-b,m=a+b,则       a=   2  ,b=   2  ,

    于是有Error!即Error!这个不等式组表示的平面区                                   域为如图所
                               1                                   4,即点
示的N(a-△b,OABa+内部b)所在的平面区域的面积为(含边界),其面积为2×(24.+2)×2=


    8.已知点    P 在|x|+|y|≤1   表示的平面区域内,点          Q 在Error!表示的平面区域内.
    (1)画出点   P 和点  Q 所在的平面区域;
    (2)求 P 与 Q 之间的最大距离和最小距离.

    解:(1)不等式|x|+|y|≤1       等价于Error!


    不等式组Error!等价于Error!
    由此可作出点      P 和点  Q 所在的平面区域,分别为如图所示的四边形
ABCD 内部(含边界),四边形        EFGH 内部(含边界).
    (2)由图易知|AG|(或|BG|)为所求的最大值,|ER|为所求的最小值,

                                                   1       2
易求得|AG|=     -1-32+0-32=       42+32=5,|ER|=2|OE|=    2 .

                            3.3.2 简单的线性规划问题
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   预习课本    P87~91,思考并完成以下问题

    (1)约束条件,目标函数,可行解,线性规划问题是如何定义的?


    (2)如何求解线性目标函数的最值问题?


     

                                    [新知初探]
    线性规划的有关概念
          名称                                    意义
        约束条件                          变量   x,y 满足的一组条件
      线性约束条件                由 x,y  的二元一次不等式(或方程)组成的不等式组
        目标函数                 欲求最大值或最小值所涉及的变量              x,y  的解析式
      线性目标函数                         关于   x,y 的二元一次解析式
         可行解                         满足线性约束条件的解(x,y)
         可行域                            所有可行解组成的集合
         最优解                    使目标函数取得最大值或最小值的可行解
      线性规划问题            在线性约束条件下,求线性目标函数的最大值或最小值问题
    [点睛] (1)线性约束条件包括两点:一是变量                 x,y  的不等式(或等式),二是次数为

1.
    (2)目标函数与线性目标函数的概念不同,线性目标函数在变量                         x,y 的次数上作了严
格的限定:一次解析式,即目标函数包括线性目标函数和非线性目标函数.
    (3)可行解必须使约束条件成立,而可行域是所有的可行解组成的一个集合.

                                    [小试身手]
    1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
    (1)可行域是一个封闭的区域(  )
    (2)在线性约束条件下,最优解是唯一的(  )
    (3)最优解一定是可行解,但可行解不一定是最优解(  )
    (4)线性规划问题一定存在最优解(  )
    解析:(1)错误.可行域是约束条件表示的平面区域,不一定是封闭的.
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    (2)错误.在线性约束条件下,最优解可能有一个或多个,也可能有无数个,也可能无
最优解,故该说法错误.
    (3)正确.满足线性约束条件的解称为可行解,但不一定是最优解,只有使目标函数取
得最大值或最小值的可行解,才是最优解,所以最优解一定是可行解.
    (4)错误.线性规划问题不一定存在可行解,存在可行解也不一定存在最优解,故该说
法是错误的.
    答案:(1)× (2)× (3)√ (4)×

    2.已知变量     x,y  满足约束条件Error!则     z=x+2y  的最小值为(  )
    A.3                             B.1
    C.-5                             D.-6
    解析:选    C 由约束条件作出可行域如图:
                      1   z  z
    由 z=x+2y   得 y=-2x+2,2的几何意义为直线在             y 轴上的截距,
           1   z
当直线   y=-2x+2过直线      x=-1   和 x-y=1  的交点    A(-1,-2)时,
z 最小,最小值为-5,故选          C.

    3.已知实数     x,y  满足Error!若可行域内存在点使得          x+2y-a=0   成立,则    a 的最大值
为(  )
    A.-1                             B.1
    C.4                              D.5 
    解析:选    D 作出不等式对应的可行域如图所示,由                  x+2y-a=
           1   a               1   a
0 可得  y=-2x+2,平移直线        y=-2x+2,
               1   a                     1   a
    当直线   y=-2x+2经过点      A 时,直线    y=-2x+2的截距最大,此

时  a 最大,由Error!解得Error!故   A(1,2),此时   a 的最大值是     a=x+2y=1+2×2=5.
                                   x
    4.已知实数     x,y  满足条件Error!则x+y的取值范围是________.
    解析:由约束条件Error!
                            y
    作出可行域如图所示 ,所以x即是可行域内的点与原点连线的斜率,
                           1
      y              x      y  1
                         1+     ,1
故可得x∈[0,2],所以x+y=           x∈[3   ].
           1
           ,1
    答案:[3     ]
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                                     求线性目标函数的最大(小)值

    [典例] 设    z=2x+y,变量     x,y  满足条件Error!求   z 的最大值和最小值.
    [解] 作出不等式组表示的平面区域,即可行域,如图
所示.把    z=2x+y   变形为   y=-2x+z,则得到斜率为-2,
在  y 轴上的截距为     z,且随   z 变化的一组平行直线.由图可
以看出,当直线       z=2x+y   经过可行域上的点        A 时,截距   z 最
大,经过点     B 时,截距    z 最小.

    解方程组Error!得    A 点坐标为(5,2),

    解方程组Error!得    B 点坐标为(1,1),

    ∴z 最大值=2×5+2=12,z      最小值=2×1+1=3.

                             解线性规划问题的基本步骤
    (1)画:画出线性约束条件所表示的可行域.
    (2)移:在线性目标函数所表示的一组平行线中,用平移的方法找出与可行域有公共点
且纵截距最大或最小的直线.
    (3)求:通过解方程组求出最优解.
    (4)答:根据所求得的最优解得出答案.      


    [活学活用]

    1.若实数    x,y  满足不等式组Error!目标函数        t=x-2y  的最大值为      2,则实数    a 的值是
(  )
    A.0                             B.1
    C.2                              D.3
    解析:选    C 作出满足条件的可行域(如图),由目标函数                   t=
                1   1        a-2
                          (2,    )
x-2y,得直线     y=2x-2t  在点      2  处取得最大值,即        tmax=
      a-2
2-2×   2  =4-a=2,得     a=2,故选    C.

    2.已知实数     x,y  满足约束条件Error!若目标函数         z=2x+ay  仅在点(3,4)取得最小值,
则  a 的取值范围是________.
    解析:作出不等式对应的平面区域如图所示,
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    若 a=0,则目标函数为        z=2x,即此时函数在        A(3,4)时取得最大值,不满足条件.
                               2   z                        2
    当 a≠0,由    z=2x+ay  得 y=-ax+a,若     a>0,目标函数斜率-a<0,
                 2   z         2   z
    此时平移    y=-ax+a,得     y=-ax+a在点     A(3,4)处的截距最大,此时         z 取得最大值,
不满足条件.
                          2                      2   z
    若 a<0,目标函数斜率-a>0,要使目标函数                 y=-ax+a仅在点      A(3,4)处取得最小
        2

值,则-a-7,所以,由图
                50
              0,
可知直线过点      A(   7 )时,z 取得最大值.又       x,y∈N,所以点      A 不是最优解.点(0,7),
(2,6),(9,2)都在可行域内,逐一验证可得,当               x=2,y=6    时,z  取得最大值,故选        D.


                               层级一 学业水平达标

    1.设变量    x,y  满足约束条件Error!则目标函数         z=x+6y  的最大值为(  )
    A.3   B.4    C.18    D.40
    解析:选    C 由题意作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.


    作直线   x+6y=0   并向右上平移,由图可知,过点             A(0,3)时  z=x+6y  取得最大值,最
大值为   18.
    2.某服装制造商有        10 m2 的棉布料,10     m2 的羊毛料和    6  m2 的丝绸料,做一条裤子需
要  1  m2 的棉布料,2     m2 的羊毛料和     1  m2 的丝绸料,做一条裙子需要          1  m2 的棉布料,1 
m2 的羊毛料和    1  m2 的丝绸料,做一条裤子的纯收益是             20 元,一条裙子的纯收益是           40 元,
为了使收益达到最大,若生产裤子               x 条,裙子    y 条,利润为    z,则生产这两种服装所满足
的数学关系式与目标函数分别为(  )

    A.Error!z=20x+40y

    B.Error!z=20x+40y

    C.Error!z=20x+40y

    D.Error!z=40x+20y
    解析:选    A 由题意知     A 正确.
                                      y
    3.已知变量     x,y  满足约束条件Error!则x的取值范围是(  )
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       9                                    9
        ,6                              -∞,
    A.[5  ]                         B.(     5]∪[6,+∞)
    C.(-∞,3]∪[6,+∞)                  D.(3,6]
                                              y
    解析:选    A 作出可行域,如图中阴影部分所示,x可理解为可
                                 5  9            y
                                  ,
行域中一点与原点的连线的斜率,又                B(2 2),A(1,6),故x的取值范
     9
      ,6
围是[5    ].
    4.某学校用     800 元购买   A,B 两种教学用品,A       种用品每件      100 元,B 种用品每件
160 元,两种用品至少各买一件,要使剩下的钱最少,A,B                      两种用品应各买的件数为(  

)
    A.2,4                            B.3,3
    C.4,2                            D.不确定

    解析:选    B 设买    A 种用品  x 件,B  种用品    y 件,剩下的钱为      z 元,则Error!
    求 z=800-100x-160y   取得最小值时的整数解(x,y),用图解法求得整数解为
(3,3).

    5.已知Error!若   z=ax+y  的最小值是     2,则   a 的值为(  )
    A.1                              B.2
    C.3                              D.4
    解析:选    B 作出可行域,如图中阴影部分所示,又                  z=ax+
y 的最小值为     2,若  a>-2,则(1,0)为最优解,所以          a=2;若   a≤-
                             2
2,则(3,4)为最优解,解得         a=-3,舍去,故       a=2.


    6.若点   P(m,n)在由不等式组Error!所确定的区域内,则              n-m  的最大值为________.
    解析:作出可行域,如图中的阴影部分所示,可行域的顶点坐标分别为                              A(1,3),
B(2,5),C(3,4),设目标函数为        z=y-x,则    y=x+z,其纵截距为        z,由图易知点      P 的坐
标为(2,5)时,n-m     的最大值为     3.


    答案:3
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    7.已知   x,y  满足约束条件Error!则     x2+y2 的最小值是________.
    解析:画出满足条件的可行域(如图),根据                  x2+y2表示可行域内
一点到原点的距离,可知           x2+y2 的最小值是|AO|2.

    由Error!
    得 A(1,2),所以|AO|2=5.
    答案:5

    8.铁矿石    A 和 B 的含铁率    a,冶炼每万吨铁矿石的          CO2 的排放量   b 及每万吨铁矿石的
价格   c 如下表:

                           a      b(万吨)        c(百万元)
                     A    50%        1            3
                     B    70%       0.5           6

    某冶炼厂至少要生产         1.9(万吨)铁,若要求       CO2 的排放量不超过      2(万吨),则购买铁矿
石的最少费用为________(百万元).
    解析:设购买铁矿石         A,B 分别为    x,y 万吨,购买铁矿石的费用
为  z(百万元),

    则Error!
    目标函数    z=3x+6y.

    由Error!得Error!记 P(1,2),
    画出可行域,如图所示.当目标函数                z=3x+6y  过点  P(1,2)时,z   取到最小值,且最

小值为   zmin=3×1+6×2=15.
    答案:15

    9.若  x,y  满足约束条件Error!
                    1      1
    (1)求目标函数     z=2x-y+2的最值;

    (2)若目标函数     z=ax+2y  仅在点(1,0)处取得最小值,求           a 的取值范围.
    解:(1)作出可行域如图,可求得             A(3,4),B(0,1),
C(1,0).
                1     1
    平移初始直线2x-y+2=0,过           A(3,4)取最小值-2,过
C(1,0)取最大值     1.
    ∴z 的最大值为      1,最小值为-2.
                                                            a
    (2)直线  ax+2y=z   仅在点(1,0)处取得最小值,由图象可知-1<-2<2,解得-40,f(1)<0,f(2)>0,即Error!画出可行域如图中阴影部分所示,
由线性规划可知,点         M(1,2)与阴影部分连线的斜率          k 的取值范围为

kAM2,即     a<-4 时,f(x)min=f(2)=2a+7,
由 2a+7≥a,得     a≥-7,∴-7≤a<-4.
综上,可得     a 的取值范围为[-7,2].
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