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2019高考数学(文)培优二轮(优课件+精讲义+优习题)全国通用版:专题五 规范答题示范

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高中数学审核员

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               规范答题示范——解析几何解答题

【典例    】  (本小题满分     12 分)(2017·全国Ⅱ卷)设     O 为坐标原点,动点        M  在椭圆

   x2
C:  2 +y2=1 上,过    M 作 x 轴的垂线,垂足为        N,点   P 满足  → =  2 → .
                                                     NP    NM
(1)求点  P 的轨迹方程;
(2)设点  Q 在直线   x=-3   上,且   → · → =1.证明:过点     P 且垂直于    OQ 的直线
                            OP PQ
l 过 C 的左焦点    F.
[信息提取]
❶看到求点      P 的轨迹方程,想到先设出点的坐标,然后利用已知条件,采用代
入法求轨迹方程;

❷看到过点      P 且垂直于    OQ 的直线    l 过 C 的左焦点    F,想到证明     → ⊥→.
                                                        OQ  PF
[规范解答]


[高考状元满分心得]
❶写全得分步骤:对于解题过程中是得分点的步骤,有则给分,无则没分,所以
                中国现代教育网    www.30edu.com  全国最大教师交流平台


对于得分点步骤一定要写全,如第(1)问,设                  P(x,y),M(x0,y0),N(x0,0),就
得分,第(2)问中求出-3m-m2+tn-n2=1             就得分.
❷写明得分关键:对于解题过程中的关键点,有则给分,无则没分,所以在答题
                                                        2

时一定要写清得分关键点,如第(1)问中一定要写出                     x0=x,y0=  2 y,没有则不得
分;第(2)问一定要写出         → ·→=0,即    → ⊥→,否则不得分,因此步骤才是关键
                    OQ  PF      OQ   PF
的,只有结果不得分.
[解题程序]
第一步:设出点的坐标,表示向量               → ,  → ;
                              NP  NM
第二步:由     → =2  → ,确定点    P,N  坐标等量关系;
          NP   NM
第三步:求点       P 的轨迹方程     x2+y2=2;
第四步:由条件确定点           P,Q  坐标间的关系;
第五步:由     →  ·→=0,证明     OQ⊥PF;
          OQ PF
第六步:利用过定点作垂线的唯一性得出结论.

【巩固提升】       (2018·湖南六校联考)已知抛物线           C:y2=2px(p>0)在第一象限内的

                         5
点  P(t,2)到焦点   F 的距离为2,且向量→在向量            → 上的投影为正数(O       为坐标原
                                  FP      OF
点).
         1                                                |QF|
       -  ,0
(1)若 M(  2  ),过点   M,P  的直线    l1 与抛物线相交于另一点         Q,求|PF|的值;
                                                    2  2
(2)若直线   l2 与抛物线   C 相交于   A,B  两点,与圆      M:(x-a)  +y  =1 相交于    D,
E 两点,OA⊥OB,试问:是否存在实数                a,使得|DE|的长为定值?若存在,求
出  a 的值;若不存在,请说明理由.
                               2
解 将点     P(t,2)代入  y2=2px 得  t=p.
            2  p  5
由焦半径公式p+2=2,解得           p=1  或 4.
                    1
                     ,0
当  p=1 时,y2=2x,F(2     ),P(2,2)满足向量→在向量         → 上的投影为正数;
                                        FP      OF
                             1
                              ,2
当  p=4 时,y2=8x,F(2,0),P(2       ),此时向量→在向量        → 上的投影为负数,
                                          FP      OF
舍去.
                            1
                             ,0
故抛物线     C 的方程为    y2=2x,F(2   ),P(2,2).
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                            4   2

(1)由题意知直线      l1 的方程为   y=5x+5.
                    1
     2
联立   y =2x 可得,xQ=8.
                                   1 1
                                    +
                                   8 2
             1           1    |QF|   1  1
                                   2+
又∵|QF|=xQ+2,|PF|=xP+2,∴|PF|=         2=4.
(2)设直线   AB 的方程为    x=ty+m(m≠0),
代入   y2=2x,得   y2-2ty-2m=0.

设  A(x1,y1),B(x2,y2),则  y1+y2=2t,y1y2=-2m.①

由  OA⊥OB,得    x1x2+y1y2=(ty1+m)(ty2+m)+y1y2=0,

         2                     2
整理,得(t    +1)y1y2+tm(y1+y2)+m  =0.②
将①代入②,       解得   m=2,

∴直线    l2 的方程为   x=ty+2.
                             |a-2|
                              1+t2
∵圆心(a,0)到直线       l2 的距离  d=      .
             (a-2)2
         12-
∴|DE|=2       1+t2 ,

显然当    a=2 时,|DE|=2,|DE|的长为定值.
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