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2019高考数学文一轮分层演练:第7章不等式 章末总结

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                                     章末总结
     知识点                                    考纲展示
不等关系与不等式          了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景.
                  ❶  会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.
 二元一次不等式          ❷  了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等
(组)与简单的线性         式组.
    规划问题          ❸  会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解
                  决.
 基本不等式     ab≤
                  ❶  了解基本不等式的证明过程.
a+b
                  ❷  会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
  2 (a≥0,b≥0)
                  ❶  会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.
                  ❷  通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方
简单不等式的解法          程的联系.
                  ❸  会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程
                  序框图.
    一、点在纲上,源在本里
    考点                             考题                               考源

               (2017·高考全国卷Ⅲ,T5,5       分)设  x,y 满足约束条件
                  3x+2y-6 ≤ 0

                     x ≥ 0                                     必修  5 P86 练习 T2
                 {   y ≥ 0   ),则  z=x-y  的取值范围是(  )
线性目标函数            A.[-3,0]B.[-3,2]     C.[0,2]D.[0,3]

   的最值         (2017·高考全国卷Ⅱ,T7,5       分)设  x、y 满足约束条件
                  2x+3y-3  ≤ 0,
                                                                必修  5 P 练习
                  2x-3y+3  ≥ 0,                                       91
                                                                    T
                  {  y+3 ≥ 0,  )则 z=2x+y  的最小值是(  )                  1(1)
                          A.-15B.-9     C.1D.9

              (2016·高考全国卷Ⅰ,T16,5       分)某高科技企业生产产
              品 A 和产品    B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产
              品 A 需要甲材料     1.5 kg,乙材料    1 kg,用 5 个工时;
              生产一件产品      B 需要甲材料     0.5 kg,乙材料   0.3 kg,用
线性规划的实
              3 个工时.生产一件产品         A 的利润为    2 100 元,生产一       必修  5 P 练习   T
际应用                                                                   91     2
              件产品   B 的利润为    900 元.该企业现有甲材料          150 
              kg,乙材料    90 kg,则在不超过      600 个工时的条件下,
              生产产品    A、产品    B 的利润之和的最大值为
              ________元.
    二、根置教材,考在变中
    一、选择题

    1.(必修   5 P100 练习 T3 改编)用长为    a(a>0)的铁丝折成一个矩形,则矩形面积的最大值
为(  )
       a2                                          a2
    A.  2                                        B. 4
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       a2                                          a2
    C.  8                                        D.16
                                                             a
    解析:选    D.设折成的矩形的两边分别为            x,y(x>0,y>0).则   x+y=2.因为    x+
                 1       a2           a2              a         a2
     xy                2
y≥2    ,所以   xy≤4(x+y) =16,即    S 矩形≤16.当且仅当    x=y=4时,Smax=16.故选     D.
                                        x ≥ a(a < 1),
                                           y ≥ x,
                                       {  +     ,  )
    2.(必修   5P91 练习 T1 改编)实数   x,y 满足    x  y ≤ 2  且  z=2x+y 的最大值是最小值
的  4 倍,则  a 的值是(  )
        2                                          1
    A.11                                         B.4
       1                                           3
    C.2                                          D.4
    解析:选    B.在直角坐标系中作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分(包括边界)
所示,当目标函数        z=2x+y  经过可行域中的点        B(1,1)时有最大值      3;当目标函数      z=2x+
                                                        1
y 经过可行域中的点        A(a,a)时有最小值     3a,由  3=4×3a,得     a=4.


                                                  2x-3y ≤ 6,
                                                 x-6y ≤ -6,
                                                    x ≥ 0,
                                                {       ,   )
    3.(必修   5    P93B 组 T1 改编)设实数   x,y  满足条件       y ≥ 0   若目标函数      z=ax+
                          3  1
by(a>0,b>0)的最大值为      8,则a+b的最小值为(  )
    A.2                                          B.3
    C.4                                          D.6
    解析:选    C.画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(包括边界)所示,当直线                            z=
ax+by(a>0,b>0)过直线    2x-3y=6  与直线    x-6y=-6   的交点(6,2)时,目标函数         z=ax+
                                                        3  1
                                                         +
by(a>0,b>0)取得最大值      8,即  6a+2b=8,所以     3a+b=4,所以(a      b)(3a+b)=10+3
 b  a        3  1
  +
(a  b)≥16.所以a+b≥4.当且仅当       a=b=1  时,取等号.故选        C.
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    4.(必修   5  P85 例 4 改编)一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产                   1 车皮甲种肥料
需要主要原料磷酸盐         4 吨,硝酸盐     18 吨;生产    1 车皮乙种肥料需要主要原料磷酸盐              1 吨,
硝酸盐   15 吨,现库存磷酸盐        10 吨,硝酸盐     66 吨,若生产    1 车皮甲种肥料获利润         1 万元,
生产   1 车皮乙种肥料获利润        0.5 万元,则该化肥厂的最大利润为(  )
    A.2  万元                                      B.2.5 万元
    C.3  万元                                      D.3.5 万元
                                                       4x+y ≤ 10,
                                                      18x+15y ≤ 66,
                                                         x ≥ 0,
                                                     {       ,    )
    解析:选    C.设生产甲、乙两种肥料各           x 车皮与   y 车皮,则       y ≥ 0     表示的区域
如图中阴影部分.目标函数为             z=x+0.5y.由图可知,当直线        x+0.5y=z  经过点   M 时,z  取
            4x+y=10
              +   =
最大值,由{18x      15y  66),解得   x=2,y=2,即     M(2,2).此时    zmax=2+0.5×2=3,故
选  C.


    二、填空题
                                                          x+y ≥ 0,
                                                        x-2y+2  ≥ 0,
                                                       {    -    ,  )
    5.(必修   5   P91 练习 T1(1)改编)已知变量    x,y 满足约束条件        mx  y ≤ 0  若  z=2x-
y 的最大值为     3,则实数    m 等于________.
    解析:作出不等式组所表示的可行域如图中的△ABO                     及其内部.联立
  -   + =  ,         2     2m
 x  2y  2 0             ,
{ mx-y=0,   )解得  A(2m-1   2m-1).
    化目标函数     z=2x-y  为  y=2x-z,由图可知,当直线          y=2x-z  过点  A 时,直线在
                                          4     2m    4-2m              7
                                          -      -      -
y 轴上的截距最小,此时         z 有最大值,且      zmax=2m  1-2m   1=2m   1=3,解得    m=8.


          7
    答案:8

    6.(必修   5  P93A 组 T4 改编)某家电生产企业根据市场调查分析,决定调整产品生产方
案,准备每周(按       40 个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共                120 台,且冰箱至少生产
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20 台.已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表:
                      家电名称        空调器       彩电     冰箱
                                     1       1       1
                        工时
                                     2       3       4
                      产值/千元          4       3       2
    则每周的最高产值是________千元.
    解析:设每周生产空调器           x 台、彩电    y 台,则生产冰箱      120-x-y  台,产值为     z.目标
函数为
    z=4x+3y+2(120-x-y)=2x+y+240,
    所以,题目中包含的限制条件为
     1   1  1
      x+  y+ (120-x-y)  ≤ 40,
     2   3  4
          120-x-y  ≥ 20,
    {         x ≥ 0,        )
               y ≥ 0.


       3x+y ≤ 120,
       x+y  ≤ 100,
      {   x ≥ 0, )
    即     y ≥ 0.
    可行域如图.
             3x+y=120,
    解方程组{    x+y=100,  )

    得点  M  的坐标为(10,90),所以       zmax=2×10+90+240=350.
    答案:350
    三、解答题
    7.(2017·高考天津卷)电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广
告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下
表所示:

          连续剧播放时长(分钟)                广告播放时长(分钟)               收视人次(万)
  甲               70                         5                    60
  乙               60                         5                    25
    已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于                        600 分钟,广告的总播放时
间不少于    30 分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的                        2 倍.分别用     x,
y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.
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    (1)用 x,y 列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;
    (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使总收视人次最多?
    解:(1)由已知,x,y      满足的数学关系式为

     70x+60y ≤ 600,   7x+6y ≤ 60,
      5x+5y ≥ 30,      x+y ≥ 6,
         x ≤ 2y,       x-2y ≤ 0,
         x ≥ 0,          x ≥ 0,
    {        ,    )  {      ,   )
         y ≥ 0     即     y ≥ 0
    该二元一次不等式组所表示的平面区域为图                  1 中的阴影部分:


    (2)设总收视人次为      z 万,则目标函数为        z=60x+25y.
                                    12   z              12
    考虑  z=60x+25y,将它变形为        y=-  5 x+25,这是斜率为-       5 ,随  z 变化的一族平行
     z                        z
直线.25为直线在      y 轴上的截距,当25取得最大值时,z            的值最大.
    又因为   x,y  满足约束条件,
                                                               z
    所以由图    2 可知,当直线      z=60x+25y  经过可行域上的点        M 时,截距25最大,即        z 最
大.
             7x+6y=60,
    解方程组{     x-2y=0,  )得点  M 的坐标为(6,3).
    所以,电视台每周播出甲连续剧              6 次、乙连续剧     3 次时才能使总收视人次最多.
    8.如图,某生态园将一三角形地块               ABC 的一角   APQ 开辟为水果园种植桃树,已知角
A 为 120°,AB,AC    的长度均大于       200 米,现在边界     AP,AQ  处建围墙,在       PQ 处围竹篱
笆.


    (1)若围墙   AP,AQ  总长度为    200 米,如何围可使得三角形地块            APQ  的面积最大?
    (2)已知  AP 段围墙高    1 米,AQ  段围墙高     1.5 米,造价均为每平方米        100 元.若围围墙
用了   20 000 元,问如何围可使竹篱笆用料最省?
    解:设   AP=x  米,AQ=y    米.
                                  1            3
    (1)则 x+y=200,△APQ    的面积   S=2xy·sin 120°= 4 xy.
            3 x+y
    所以  S≤  4 ( 2 )2=2 500 3.
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               x=y,
    当且仅当{x+y=200,)
    即 x=y=100   时取“=”.
    (2)由题意得    100×(x+1.5y)=20 000,
    即 x+1.5y=200.
    要使竹篱笆用料最省,只需其长度               PQ 最短,
    所以  PQ2=x2+y2-2xycos         120°=x2+y2+xy=(200-1.5y)2+y2+(200-1.5y)y=
                           800   120 000      400
                        y-              0 < y <
1.75y2-400y+40 000=1.75(    7 )2+   7  (      3 ),
         800               200 21         200
    当 y=  7 时,PQ   有最小值      7  ,此时    x=  7 .
               200         800
    所以当   AP 为  7 米,AQ   为  7 米时,用料最省.
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