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1.2.3 空间几何体的直观图

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1.2.3   空间
几何体的直
   观图
鹿邑三高  史琳
        图片都是空间图形在平面上的反映,通过对图片的研究可
 以了解空间图形的一些性质和特征.
        三视图是用平面图形表示空间图形的一种重要方法,但三
 视图的直观性较差,因此有必要绘制空间图形的直观图.一般
 采用中心投影或平行投影.


       在中心投影中,水平线(或垂直线)仍保持水平(或垂直),但
斜的平行线则会相交,交点称为消点.
       中心投影虽然可以显示空间图形的直观形象,但作图较复
杂,又不易度量.
       立体几何中常用平行投影(斜投影)来画空间图形的直观图,
这种画法叫斜二测画法.

        投影规律
1.平行性不变,但形状、长度
、夹角会改变;
2.平行直线段或同一直线上的
两条线段的比不变;

3.在太阳光下,平行于地面的
直线在地面上的投影长不变.
问题提出
   1.把一本书正面放置,其视觉效果
是一个矩形;把一本书水平放置,其视
觉效果还是一个矩形吗?这涉及水平放
置的平面图形的画法问题.
   2.对于柱体、锥体、台体及简单的组
合体,在平面上应怎样作图才具有强烈
的立体感?这涉及空间几何体的直观图
的画法问题.

知识探究(一):水平放置的平面图形的画法   
思考1:把一个矩形水平放置,从适当的
角度观察,给人以平行四边形的感觉,
如图.比较两图,其中哪些线段之间的位
置关系、数量关系发生了变化?哪些没
有发生变化?
思考2:把一个直角梯形水平放置得其直
观图如下,比较两图,其中哪些线段之
间的位置关系、数量关系发生了变化?
哪些没有发生变化?
思考3:画一个水平放置的平面图形的直
观图,关键是确定直观图中各顶点的位
置,我们可以借助平面坐标系解决这个
问题. 那么在画水平放置的直角梯形的
直观图时应如何操作?

  y
  D    C               y′
                          C′
                     D′

                    A′    B′
  A       B x               x′
思考4:你能用上述方法画水平放置的正
六边形的直观图吗?

         y
                                      y′
      F  M    E
                                F′ M  E′
                   x      A′
   A
         o       D               o′    D′   x′
                           B′  N   C′
      B  N    C
                                  F′     E′
                             A′
                                         D′
                             B′      C′
思考5:上述画水平放置的平面图形的直
观图的方法叫做斜二测画法,你能概括
出斜二测画法的基本步骤和规则吗?
(1)建坐标系,定水平面;
(2)与坐标轴平行的线段保持平行;
(3)水平线段等长,竖直线段减半.
思考6:斜二测画法可以画任意多边形水
平放置的直观图,如果把一个圆水平放
置,看起来像什么图形?在实际画图时
有什么办法?
知识探究(二):空间几何体的直观图的画法    
思考1:对于柱、锥、台等几何体的直观
图,可用斜二测画法或椭圆模板画出一
个底面,我们能否再用一个坐标确定底
面外的点的位置?
                 z
                     y


                  o     x
思考2:怎样画底面是正三角形,且顶点
在底面上的投影是底面中心的三棱锥?

                z  S
    C
                     y
                  C
  A    B          M
              A  o  B  x

                   S

                    C

               A      B
思考3:画棱柱、棱锥的直观图大致可分
几个步骤进行?

 画轴   → 画底面   →  画侧棱   →  成图

思考4:已知一个几何体的三视图如下,
这个几何体的结构特征如何?试用斜二
测画法画出它的直观图.
                               z

                                    y′

正视图      侧视图              A′         B′
                                 o′       x′
                                       y

                          A      o   B    x
俯视图
理论迁移
   例  如图,一个平面图形的水平放
置的斜二测直观图是一个等腰梯形,它
的底角为45°,两腰和上底边长均为1
,求这个平面图形的面积.

                  D  C
     D   C


   A        B
                 A         B
    例1.用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图
 (1)在六边形ABCDEF中,取AD所在的直线为X轴,对称轴MN
 所在直线为Y轴,两轴交于点O.画对应的         轴,两轴相交
 于点    ,使


注意:(1)建系时要尽量考虑图形的对称性
           (2)画水平放置平面图形的关键是确定多边形顶点的位置.
(2)以  为中心,在    上取           ,在   轴上取
以点    为中心,画          轴,并等于       ,再以    为中心,画
       轴,并等于


  注意:水平放置的线段长不变,铅垂放置的线段长变为原    
             来的一半.
(3)     连接                                       并擦去辅助线x’轴和y’轴,便获得
正六边形ABCDEF水平放置的直观图


  ~请您总结斜二测画法画水平放置的平面图形的方法步骤~
             斜二测画法的步骤

(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于O点.画
直观图时,把它画成对应的x’轴、y’轴,两轴交于O’,使
                      ,它们确定的平面表示水平平面.

(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画
成平行于x’轴或y’轴的线段.

(3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不
变;平行于y轴的线段,长度为原来的一半.
       关于水平放置的圆的直观图的画法,常用正等测画法.
在实际画水平放置的圆的直观图时,通常使用椭圆模版.
例2.用斜二测画法画长,宽,高分别是4cm,3cm,2cm的长方
体的直观图


                                    联想水平放置的平
                             面图形的画法,并注意
                             到高的处理
                                4

1.5

例3.已知几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图

       ·
                          ·             ·

                          ·             ·

                         正视图           侧视图

                          ·


                         俯视图
       三视图从细节上刻画了空间几何体的结构,
根据三视图,我们可以得到一个精确的空间几
何体,正是因为这个特点,使它在生产活动中得
到广泛应用(比如零件图纸、建筑图纸等).直观
图是对空间几何体的整体刻画,我们可以根据
直观图的结构想象实物的形象.
         中心投影    投影线交于一点       直观强、接近实物
投影
                               斜投影    不改变原
         平行投影    投影线平行
                               正投影    物形状

            正视图
            侧视图      三视图        视图
            俯视图
                                         可以根
                               直观图       据直观
     长对正、高平齐、宽相等                         图的结
                                         构想象
根据三视图,我们可以得
                              斜二测画法      实物的
到一个精确的空间几何体                               形象
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