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2017_2018学年高中数学课时跟踪检测二十二函数模型的应用实例新人教A版必修1

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高中数学审核员

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               课时跟踪检测(二十二) 函数模型的应用实例

    1.一家旅社有      100 间相同的客房,经过一段时间的经营实践,旅社经理发现,每间客
房每天的价格与住房率之间有如下关系:

                 每间每天定价         20 元    18 元    16 元    14 元

                    住房率          65%     75%     85%     95%
    要使收入每天达到最高,则每间应定价为(  )
    A.20 元                         B.18  元
    C.16 元                         D.14  元
    解析:选    C 每天的收入在四种情况下分别为
    20×65%×100=1 300(元),18×75%×100=1 350(元),16×85%×100=1 360(元),
14×95%×100=1 330(元).
    2.若等腰三角形的周长为           20,底边长    y 是关于腰长     x 的函数,则它的解析式为(  )
    A.y=20-2x(x≤10)                B.y=20-2x(x<10)
    C.y=20-2x(5≤x≤10)              D.y=20-2x(5<x<10)
    解析:选    D 由题意,得      2x+y=20,∴y=20-2x.∵y>0,∴20-2x>0,∴x<

10.又∵三角形两边之和大于第三边,∴Error!解得                 x>5,∴5<x<10,故选        D.
    3.某公司招聘员工,面试人数按拟录用人数分段计算,计算公式为                            y=Error!其中,
x 代表拟录用人数,y        代表面试人数,若面试人数为            60,则该公司拟录用人数为(  )
    A.15         B.40           C.25                       D.130
    解析:选    C 若   4x=60,则   x=15>10,不合题意;若         2x+10=60,则    x=25,满足
题意;若    1.5x=60,则    x=40<100,不合题意.故拟录用           25 人.

    4.某种动物的数量        y(单位:只)与时间       x(单位:年)的函数关系式为           y=alog2(x+
1),若这种动物第       1 年有  100 只,则第    7 年它们的数量为(  )
    A.300 只                        B.400 只
    C.500 只                        D.600 只

    解析:选    A 由题意,知      100=alog2(1+1),得    a=100,则当    x=7  时,y=

100log2(7+1)=100×3=300.
    5.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品                                 x 万件
                                1
时的生产成本(单位:万元)为            C(x)=2x2+2x+20.已知    1 万件售价是     20 万元,为获取更
大利润,该企业一个月应生产该商品数量为(  )
    A.36 万件                        B.22  万件
    C.18 万件                        D.9  万件
                                        1
    解析:选    C ∵利润     L(x)=20x-C(x)=-2(x-18)2+142,∴当        x=18 时,L(x)取最
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大值.
    6.某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批后方可投入生产.已知
                                      1
该生产线连续生产        n 年的累计产量为       f(n)=2n(n+1)(2n+1)吨,但如果年产量超过
150 吨,将会给环境造成危害.为保护环境,环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生
产期限是______年.
                                     1

    解析:由题意可知,第一年产量为               a1=2×1×2×3=3;以后各年产量为            an=f(n)-
         1               1
f(n-1)=2n(n+1)(2n+1)-2n·(n-1)(2n-1)=3n2(n∈N*),令          3n2≤150,得   1≤n≤5

 2⇒1≤n≤7,故生产期限最长为            7 年.
    答案:7
    7.某商人购货,进价已按原价             a 扣去  25%,他希望对货物定一新价,以便按新价让利
20%销售后仍可获得售价         25%的利润,则此商人经营这种货物的件数                 x 与按新价让利总额
y 之间的函数关系式是______________.
    解析:设新价为       b,则售价为     b(1-20%).∵原价为      a,
    ∴进价为    a(1-25%).依题意,有       b(1-20%)-a(1-25%)=b(1-20%)×25%,化简得
   5                  5                 a
b=4a,∴y=b×20%·x=4a×20%·x,即           y=4x(x∈N*).
             a
    答案:y=4x(x∈N*)
    8.某商店每月按出厂价每瓶            3 元购进一种饮料,根据以前的统计数据,若零售价定为
每瓶   4 元,每月可销售      400 瓶;若零售价每降低(升高)0.5          元,则可多(少)销售        40 瓶,在
每月的进货当月销售完的前提下,为获得最大利润,销售价应定为________元/瓶.
                                                           4-x
                                                       400+     × 40
    解析:设销售价每瓶定为           x 元,利润为     y 元,则  y=(x-3)(       0.5    )=80(x-
3)(9-x)=-80(x-6)2+720(x≥3),所以        x=6  时,y  取得最大值.
    答案:6
    9.为了保护学生的视力,课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的.研究表明:假
设课桌的高度为       y cm,椅子的高度为       x cm,则   y 应是 x 的一次函数,下表列出了两套符合
条件的课桌椅的高度:
                                          第一套          第二套

                    椅子高度    x(cm)          40.0         37.0
                    桌子高度    y(cm)          75.0         70.2
    (1)请你确定    y 与 x 的函数解析式(不必写出         x 的取值范围);
    (2)现有一把高     42.0 cm 的椅子和一张高       78.2 cm 的课桌,它们是否配套?为什么?
    解:(1)根据题意,课桌高度           y 是椅子高度     x 的一次函数,故可设函数解析式为              y=
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kx+b(k≠0).将符合条件的两套课桌椅的高度代入上述函数解析式,
    得Error!所以Error!所以    y 与 x 的函数解析式是      y=1.6x+11.
    (2)把 x=42  代入(1)中所求的函数解析式中,有             y=1.6×42+11=78.2.所以给出的
这套桌椅是配套的.
    10.某租车公司拥有汽车          100 辆,当每辆车的月租金为          3  000 元时,可全部租出,当
每辆车的月租金每增加          60 元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每月需要维护费
160 元,未租出的车每月需要维护费             40 元.
    (1)当每辆车的月租金定为          3 900 元时,能租出多少辆车?
    (2)当每辆车的月租金为多少元时,租车公司的月收益最大?最大月收益是多少?
    解:(1)租金增加了       900 元,900÷60=15,
    所以未租出的车有        15 辆,一共租出了       85 辆.
    (2)设租金提高后有       x 辆未租出,则已租出(100-x)辆.
    租赁公司的月收益为         y 元,
    y=(3 000+60x)(100-x)-160(100-x)-40x,
    其中  x∈[0,100],x∈N,
    整理,得    y=-60x2+3 120x+284 000
    =-60(x-26)2+324 560,
    当 x=26  时,y=324 560,
    即最大月收益为       324 560 元.
    此时,月租金为       3 000+60×26=4 560(元).

                               层级二 应试能力达标
    1.某地固定电话市话收费规定:前三分钟                  0.20 元(不满三分钟按三分钟计算),以后
每加一分钟增收       0.10 元(不满一分钟按一分钟计算),那么某人打市话                   550 秒,应支付电话
费(  )
    A.1.00 元                       B.0.90 元
    C.1.20 元                       D.0.80 元
                                                                         550
    解析:选    B y=0.2+0.1×([x]-3),([x]是大于         x 的最小整数,x>0),令        x=  60 ,
故[x]=10,则    y=0.9.故选   B.
    2.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次
函数关系,其图象如下图所示,由图中给出的信息可知,营销人员没
有销售量时的收入是(  )
    A.3 100 元                      B.3 000 元
    C.2 900 元                      D.2 800 元
    解析:选    B 设函数解析式为        y=kx+b(k≠0),
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    函数图象过点(1,8 000),(2,13 000),

    则Error!解得Error!∴y=5 000x+3 000,
    当 x=0  时,y=3 000,∴营销人员没有销售量时的收入是                  3 000 元.
    3.用长度为     24 的材料围一个中间有两道隔墙的矩形场地,要使矩形的面积最大,则
隔墙的长度为(  )
    A.3          B.4           C.6                         D.12
    解析:选    A 设隔墙长度为       x,如图所示,x      则与隔墙垂直
        24-4x
的边长为      2  =12-2x,

                                  2
    ∴矩形面积     S=x·(12-2x)=-2x     +12x,0<x<6,∴当      x=3  时,Smax=18.
    4.衣柜里的樟脑丸,随着时间会挥发而体积缩小,刚放进的新丸体积为                              a,经过   t 天
                                                                  4
后体积   V 与天数   t 的关系式为:V=a·e-kt.已知新丸经过             50 天后,体积变为9a.若一个新
          8
丸体积变为27a ,则需经过的天数为(  )
    A.125                          B.100
    C.75                           D.50

                         4                   4  1
    解析:选    C 由已知,得9a=a·e-50k,∴e-k=(9)         50 .


                                  8

    设经过   t1 天后,一个新丸体积变为27a,
      8
    则27a=a·e-   kt1 ,
      8            4
                      t 1
    ∴27=(e-k) t1=(9) 50 ,
      t1  3

    ∴50=2,t1=75.
    5.如图所示,折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费
   y(元)与通话时间      t(分钟)之间的函数关系图象,根据图象填空:
    (1)通话  2 分钟,需付的电话费为________元;
    (2)通话  5 分钟,需付的电话费为________元;
    (3)如果  t≥3,则电话费      y(元)与通话时间       t(分钟)之间的函数关系式为________.
    解析:(1)由图象可知,当          t≤3 时,电话费都是       3.6 元.
    (2)由图象可知,当       t=5 时,y=6,即需付电话费          6 元.
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    (3)当 t≥3  时,y  关于  x 的图象是一条直线,且经过(3,3.6)和(5,6)两点,故设函数

关系式为    y=kt+b,则Error!
    解得Error!故   y 关于 t 的函数关系式为       y=1.2t(t≥3).
    答案:(1)3.6 (2)6 (3)y=1.2t(t≥3)
    6.在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度                    v 米/秒和燃料的质量        M 千克、火箭
                                                    M
                                                  1+
(除燃料外)的质量       m 千克的函数关系式是         v=2   000·ln(    m).当燃料质量是火箭质量的
________倍时,火箭的最大速度可达            12 千米/秒.
                                      M
                                   1+
    解析:当    v=12 000  时,2 000·ln(     m)=12 000,
           M        M
         1+
    ∴ln(   m)=6,∴m=e6-1.
    答案:e6-1
    7.一片森林原来面积为          a,计划每年砍伐一些树,且使森林面积每年比上一年减少
                     a                           2
p%,10 年后森林面积变为2.已知到今年为止,森林面积为                    2 a.
    (1)求 p%的值;
    (2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?

                              a              1              1 1
    解:(1)由题意得      a(1-p%)10=2,即(1-p%)10=2,解得       p%=1-(2)  10 .
                             2                 2     1      1    m   1
                                                       m      1
    (2)设经过   m 年森林面积变为       2 a,则  a(1-p%)m=  2 a,即(2) 10 =(2) 2 ,10=2,解得
m=5,故到今年为止,已砍伐了             5 年.


    8.某种新产品投放市场的           100 天中,前    40 天价格呈直线上升,而后          60 天其价格呈直
线下降,现统计出其中          4 天的价格如下表:

                时间          第 4 天    第  32 天    第 60 天    第  90 天

             价格(千元)           23        30        22         7
    (1)写出价格    f(x)关于时间    x 的函数关系式(x      表示投放市场的第        x 天,x∈N*);
                                               1   109
    (2)销售量   g(x)与时间   x 的函数关系式为       g(x)=-3x+    3 (1≤x≤100,x∈N*),则该
产品投放市场第几天的销售额最高?最高为多少千元?
    解:(1)当   0<x≤40   时,设   f(x)=kx+b,

    则有Error!⇒Error!
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    ∴f(x)=4x+22(0<x≤40,x∈N*).
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    同理可得    f(x)=-2x+52(40<x≤100,x∈N*),
    故 f(x)=Error!其中   x∈N*.
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    (2)设日销售额为      S(x)千元,则当     0<x≤40,x∈N*时,S(x)=f(x)g(x)=(4           )
   1  109     1
 -  x+
(  3   3 )=-12(x+88)(x-109).
                       109-88

    其图象的对称轴为        x=    2  =10.5,∴当     x=10,11 时,S(x)取最大值,S(x)max=
808.5.
                                   1        1  109   1
                                 -  x+52  - x+
    当 40<x≤100,x∈N*时,S(x)=(        2    )(  3   3 )=6(x-104)(x-109).
                       104+109
    其图象的对称轴为        x=    2   =106.5,
    ∴当  40<x≤100,x∈N*时,S(x)<S(40)=736<808.5.
    综上可得,该产品投放市场第             10 天和第   11 天的销售额最高,最高销售额为             808.5 千
元.
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