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2019版高考数学一轮复习第二章函数与导数课时训练

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                           第二章 函数与导数
                              第 1 课时 函数及其表示
    一、 填空题
    1. 下列五个对应      f,________是从集合     A 到集合   B 的函数.(填序号)
           1   3                      1                    3
            ,1,
    ① A={2     2},B={-6,-3,1},f(2)=-6,f(1)=-3,f(2)=1;
    ② A={1,2,3},B={7,8,9},f(1)=f(2)=7,f(3)=8;
    ③ A=B={1,2,3},f(x)=2x-1;
    ④ A=B={x|x≥-1},f(x)=2x+1;
    ⑤ A=Z,B={-1,1},n       为奇数时,f(n)=-1,n        为偶数时,f(n)=1.
    答案:①②④⑤
    解析:根据函数定义,即看是否是从非空数集                   A 到非空数集     B 的映射.③中集合        A 中
的元素   3 在集合   B 中无元素与之对应,故不是            A 到 B 的函数.其他均满足.
                 1,x > 0,
                 0,x=0,          1,x为有理数,
    2. 设 f(x)={-1,x   < 0,)g(x)={0,x为无理数,)则    f(g(π))的值为________.
    答案:0
    解析:根据题设条件,∵ π            是无理数,∴ g(π)=0,
    ∴ f(g(π))=f(0)=0.
             x
              -1
    3. 已知  f(2   )=2x+3,且   f(m)=6,则    m=________.
            1
    答案:-4
                           3          x    1  3       1
    解析:令    2x+3=6,得    x=2,所以     m=2-1=2×2-1=-4.
             1    x
    4. 如果  f(x)=1-x,则当    x≠0  且 x≠1  时,f(x)=________.
           1
    答案:x-1
                                    1
                                     t
               1       1              1   1
                                   1-
    解析:令    t=x,得    x=t,∴ f(t)=      t=t-1,
              1
    ∴ f(x)=x-1.
    5.    计算机中常用的十六进制是逢            16 进 1 的计数制,采用数字         0~9 和字母   A~F  共
16 个计数符号,这些符号与十进制的对应关系如下表:

十
六
     0    1    2   3    4    5   6    7   8    9    A    B   C    D    E    F
进
制
十
进    0    1    2   3    4    5   6    7   8    9   10   11   12   13  14   15
制
    例如,用十六进制表示:E+D=1B,则               A×B=________.
    答案:6E
                                 1-x2            1
    6. 已知  g(x)=1-2x,f(g(x))=     x2 (x≠0),则    f(2)=__________.
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    答案:15
                         1       1
    解析:令    g(x)=1-2x=2,得     x=4.
               1
            1-   2
               (4)
         1    1
                2
    ∴ f(2)=  (4)  =15.
    7.      函数  f(x)对任意    x,y 满足  f(x+y)=f(x)+f(y),且     f(2)=4,则   f(-1)=
____________.
    答案:-2
    解析:由    f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=2f(1)=4      得 f(1)=2,由   f(0)=f(0+0)=
f(0)+f(0)=2f(0)得   f(0)=0,由   f(0)=f(-1+1)=f(-1)+f(1)=0,得         f(-1)=-
f(1)=-2.
                                 -x-1(-1   ≤ x < 0),
    8.            已知函数    f(x)={  -x+1(0  < x ≤ 1), )则 f(x)-f(-x)>-1 的解集为
______________.
                1
           -1,-
    答案:[        2)∪(0,1]
    解析:① 当-1≤x<0       时,0<-x≤1,此时       f(x)=-x-1,f(-x)=-(-x)+1=x+
                                               1            1
1,∴ f(x)-f(-x)>-1     化为-2x-2>-1,解得        x<-2,则-1≤x<-2.
    ② 当  0-1   化为-2x+2>-1,解得        x<2,则
0 1,)
    所以  0≤x≤1   或 3≤x≤4;
    ② 由  f(x)-3=1,得    f(x)=4,所以     x-3=4,∴ x=7.
    综合①②知,x      的取值范围是[0,1]∪[3,4]∪{7}.
    点评:由于     f(x)是分段函数,所以在探求方程             f(f(x))=1 的解时,需要根据分段函
数中相应的限制定义域进行分类讨论.
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                           第 2 课时 函数的定义域和值域
    一、 填空题
                  -x2+x+6
    1. 函数  f(x)=    x-1    的定义域是______________.
    答案:[-2,1)∪(1,3]
                   -x2+x+6  ≥ 0,     -2  ≤ x ≤ 3,
    解析:依题意有{         x-1 ≠ 0,   )解得{    x ≠ 1, )所以定义域为[-2,1)∪(1,3].
                   1
    2. 已知  f(x)=x+1,则函数      f(f(x))的定义域是________.
    答案:(-∞,-2)∪(-2,-1)∪(-1,+∞)
                              1
                     1      1
                              +1
    解析:f(f(x))=f(x)+1=x+1        ,
         x+1 ≠ 0,
         1              x ≠ -1,
            +1 ≠ 0,
    ∴ {1+x        )解得{  x ≠ -2. )
    所以定义域为(-∞,-2)∪(-2,-1)∪(-1,+∞).
                            1                        1
                             ,3
    3. 若函数   y=f(x)的值域是[2       ],则函数   F(x)=f(x)+f(x)的值域是________.
             10
           2,
    答案:[     3 ]
                           1                1            10
                            ,3                         2,
    解析:令    t=f(x),则   t∈[2   ],由  F(x)=t+t知,F(x)∈[       3 ],所以函数    F(x)的
         10
       2,
值域为[     3 ].
    4. 函数  y=4-   3+2x-x2的值域是__________________.
    答案:[2,4]
    解析:y=4-      -(x-1)2+4,∵ 0≤-(x-1)2+4≤4,
    ∴ 0≤   -(x-1)2+4≤2,∴ 2≤4-        -(x-1)2+4≤4,
    ∴ 所给函数的值域为[2,4].
    5. 函数  y=  x-x(x≥1)的值域为________.
    答案:(-∞,0]
                   1    1
                x-
    解析:y=-(        2)2+4.因为   x≥1,所以    y≤0.
              |x|
    6. 函数  y=  x +x 的值域是____________________.
     答案:(-∞,-1)∪(1,+∞)
                x+1,x > 0,
    解析:由    y={  x-1,x < 0 )可得值域.
                1
    7. 若函数   y=2x2-2x+4   的定义域、值域都是闭区间[2,2b],则               b=________.
     答案:2
             1          1
    解析:y=2x2-2x+4=2(x-2)2+2,显然           f(2)=2,所以    f(2b)=2b,结合    b>1,得
b=2.
                  x2,|x| ≥ 1,
    8.  设  f(x)={ x,|x| < 1, )g(x)是定义在 R 上的二次函数,若        f(g(x))的值域是[0,+
∞),则   g(x)的值域是________.
    答案:[0,+∞)
    解析:若    f(g(x))的值域是[0,+∞),则         g(x)可取(-∞,-1]∪[0,+∞).又            g(x)是
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定义在   R 上的二次函数,定义域连续,其值域也是连续的,因此                       g(x)的值不可能同时取
(-∞,-1]和[0,+∞).又若           g(x)的值域为(-∞,-1],则          f(g(x))的值域为[1,+∞),
所以   g(x)的值域只能为[0,+∞).
    二、 解答题
    9. 求下列函数的值域:
    (1) y=2x-   x-1;
    (2) y=  x+1-   x-1.
    解:(1)    令  x-1=t,则    t≥0,且    x=t2+1≥1,所以     y=2x-   x-1=2t2-t+2=2
   1    15                  15                      15
 t-                                                   ,+∞
(  4)2+ 8 .因为  t≥0,所以    y≥ 8 ,因此所求函数的值域为[          8     ).
                               2
    (2)   y=  x+1-  x-1=   x+1+   x-1,不难证明函数在其定义域[1,+∞)上是减函
数,所以其值域为(0,          2].
    点评:利用代换法求值域时,要关注新代换量的取值范围.
                                    1
    10. 已知函数    g(x)=  x+1,h(x)=x+3(x∈(-3,a]),其中         a 为常数且    a>0.令函数
f(x)=g(x)·h(x).
    (1) 求函数   f(x)的解析式,并求其定义域;
             1
    (2) 当 a=4时,求函数      f(x)的值域.
                    x+1
     解:(1) f(x)=   x+3 ,x∈[0,a](a>0).
             1                          1
    (2) 当 a=4时,函数     f(x)的定义域为[0,4].
                                    3
    令  x+1=t,则    x=(t-1)2,t∈[1,2],
                              1
                      t       4
                            t+ -2
    则 f(x)=F(t)=t2-2t+4=      t   .
         4               3            3        4
    当 t=t时,t=±2∉[1,2].又        t∈[1,2]时,t+t单调递减,∴F(t)单调递增,
       1  6                       1  6
F(t)∈[3,13],即函数      f(x)的值域为[3,13].
                      a
    11. 函数  f(x)=2x-x的定义域为(0,1](a∈R).
    (1) 当 a=-1   时,求函数     y=f(x)的值域;
    (2) 若 f(x)>5 在定义域上恒成立,求          a 的取值范围.
                                                       a      1      1
                                                                   2x·
     解:(1)   当 a=-1   时,∵    x∈(0,1],∴     y=f(x)=2x-x=2x+x≥2        x=2  2,
            2
当且仅当    x=  2 时取最小值.∴ 函数        y=f(x)的值域为[2      2,+∞).
    (2)       若 f(x)>5 在定义域(0,1]上恒成立,即          2x2-5x>a 在(0,1]上恒成立.设
                                      5   25
                                   x-
g(x)=2x2-5x,∵      g(x)=2x2-5x=2(     4)2- 8 ,∴   当  x∈(0,1]时,g(x)∈[-3,
0).而  g(x)=2x2-5x>a,∴ 只要      a<-3 即可,∴ a     的取值范围是(-∞,-3).
    12.   已知二次函数      f(x)=ax2+bx(a,b   是常数,且     a≠0)满足条件:f(2)=0,且方
程  f(x)=x 有等根.
    (1) 求 f(x)的解析式;
    (2)  是否存在实数      m,n(m 0,
                        1
                          ≥ 2,
(-∞,2)上单调递减,则{2a             )
             1                       1
                                   0,
    解得  00 且 f(x)在(1,+∞)内单调递减,则实数             a 的取值
范围是________.
    答案:(0,1]
                                                         x1     x2

    解析:任取     x1,x2∈(1,+∞),且       x10,所以要使     f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-
a)>0 恒成立.又     x∈(1,+∞),所以       a≤1.综上,实数      a 的取值范围是     0x2>-1,则   x2-x1<0,
           x1+2   x2+2      x2-x1

    y1-y2=x1+1-x2+1=(x1+1)(x2+1),
    ∵ x1>x2>-1,x1+1>0,x2+1>0,x2-x1<0,
           x2-x1

    ∴ (x1+1)(x2+1)<0,即    y1-y2<0.∴y1<y2.
          x+2
    ∴ y=x+1在(-1,+∞)上是递减函数.
                       ax
    11. 讨论函数    f(x)=x2-1(a>0)在   x∈(-1,1)上的单调性.
     解:设-10,x1x2+1>0,(x12-1)(x2-1)>0.
    ∵ a>0,∴ f(x1)-f(x2)>0,即     f(x1)>f(x2).
    ∴ 函数   f(x)在(-1,1)上为减函数.
                      1  1
    12. 已知函数    f(x)=a-x(a>0,x>0).
    (1) 求证:f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数;
                 1             1
                  ,2            ,2
    (2) 若 f(x)在[2   ]上的值域是[2      ],求  a 的值.
    (1) 证明:设    x2>x1>0,则  x2-x1>0,x1x2>0.
                     1  1    1  1   1   1  x2-x1
                    ( -  )  ( -  )
    ∵  f(x2)-f(x1)=  a  x2 - a x1 =x1-x2=   x1x2 >0,∴   f(x2)>f(x1),∴  f(x)在
(0,+∞)上是单调递增函数.
                     1             1
                      ,2            ,2
    (2) 解:∵ f(x)在[2     ]上的值域是[2      ],
             1
              ,2
    又 f(x)在[2   ]上单调递增,
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         1  1                  2
    ∴ f(2)=2,f(2)=2,解得      a=5.
    13.  已知函数    f(x)对任意的    m,n∈R,都有     f(m+n)=f(m)+f(n)-1,并且       x>0 时,
恒有   f(x)>1.
    (1) 求证:f(x)在    R 上是增函数;
    (2) 若 f(3)=4,解不等式      f(a2+a-5)<2.

    (1) 证明:设    x1,x2∈R,且    x10.
    ∵ 当  x>0 时,f(x)>1,

    ∴ f(x2-x1)>1.
    f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)-1,
    ∴ f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1>0,∴f(x1)0 时,f(x)<0  恒成立,求证:
    (1) 函数  y=f(x)是   R 上的减函数;
    (2) 函数  y=f(x)是奇函数.

    证明:(1) 设    x1>x2,则  x1-x2>0,而  f(a+b)=f(a)+f(b),∴ f(x1)=f(x1-x2+x2)=
f(x1-x2)+f(x2)0,则3  a>
0;若   a<0,则3 a<0.但对根指数为偶数的根式,如             a,只有当    a≥0  时,   a才有意义.

    3. log29×log34=__________.
    答案:4
                       lg 9 lg 4 2lg 3 2lg 2

    解析:log29×log34=lg 2×lg 3=    lg 2 × lg 3 =4.
           1+3-x
    4. 方程   1+3x =3  的解是________.
    答案:x=-1
          3-x·3x+3-x
    解析:      1+3x     =3-x=3,x=-1.
    5. 若 f(10x)=x,则   f(5)=________.
    答案:lg 5
    解析:由题意得       10x= 5,故   x=lg 5,即   f(5)=lg 5.
                 4x         1     2     3         10
    6. 设 f(x)=4x+2,那么     f(11)+f(11)+f(11)+…+f(11)的值为________.
    答案:5
                    4x        2                          2          2
    解析:∵ f(x)=4x+2=1-4x+2,∴ f(x)+f(1-x)=1-4x+2+1-41-x+2=2-
  2       2          2     4x                      1     2     3         10
4x+2-41-x+2=2-4x+2-2+4x=1.∴                      f(11)+f(11)+f(11)+…+f(11)=
  1     10     2    9           5     6
 f  +f       f   +f
[ (11) (11)]+[ (11) (11)]+…+[f(11)+f(11)]=5.
    7. 若对数式    log(a-2)(5-a)有意义,则实数       a 的取值范围是____________.
    答案:(2,3)∪(3,5)
                   a-2>0,     a>2,
                   a-2 ≠ 1,   a ≠ 3,
    解析:由题意得{5-a>0,)即{a<5,)∴ 2 2.故 c<a<b.
    二、 解答题
                                     3
                                    a2    4
                                      -9b
                                    b2    3
                                3       3       4    b3
                                            1       3    5
                               a b-2-6a  b-  +9b
                                2       4       3  a +3b
    10. 已知  a=2  7,b=5   2,求                3    ·  4    3的值.
             3       3   1    4   3       2       3       5      3     2
             2 -2    4   3    3   4 -1    3 2     4       3      4 -1  3
    解:由于    a b  3-6a 1b0- +9b =(a b  -3b  ) ,且  a 1,y>1,且    2logxy-2logyx+3=0,求    T=x -4y  的最小值.
                                                       1

    解:因为    x>1,y>1,所以    logxy>0.令 t=logxy,则   logyx=t.所以原式可化为        2t-
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2               1                         1
                                                               2    2  2
t+3=0,解得     t=2或   t=-2(舍去),即      logxy=2,所以   y=  x.所以  T=x  -4y  =x -
4x=(x-2)2-4,由于      x>1,所以当    x=2,y=    2时,T  取最小值,最小值为-4.
                                                     a
                             2
    13. 设 logaC,logbC 是方程   x -3x+1=0   的两根,求     logbC 的值.
                   logaC+logbC=3,
    解:依题意,得{logaC      × logbC=1,)
           1     1
             +      =3,
         logCa logCb
           1     1         logCa+logCb=3,
              ×     =1.
        {               )             =
    从而   logCa  logCb   即{ logCa × logCb 1. )
                     2              2                 2
    所以(logCa-logCb)   =(logCa+logCb) -4logCa×logCb=3   -4=5,所以         logCa-
                      1
                        a       1          5                    5
                 a   logC                            a
          5             b  logCa-logCb    5                     5
logCb=±    .又 logbC=     =            =±    ,所以   logbC 的值为±     .
     点评:本题将对数运算、换底公式、根与系数的关系综合于一起,是对学生数学运算
 能力、应用能力的综合考查.如何利用对数的运算性质,在已知条件和待求的式子间建立
                  联系是解决本题的关键.第            6 课时 指 数 函 数
    一、 填空题
    1. 函数  f(x)=  2x-4的定义域为__________.
    答案:[2,+∞)
    解析:由    2x-4≥0,得    x≥2.
    2. 函数  y=3-|x-2|的单调递增区间是__________.
    答案:(-∞,2]
             1
    解析:y=(3)|x-2|,t=|x-2|的单调减区间(-∞,2]就是所给函数的单调增区间.
              ex-1
    3. 函数  y=ex+1的值域是________.
    答案:(-1,1)
             ex-1        1+y
    解析:y=ex+1,则       ex=1-y>0,则-11,解
  3
得40.
                       1    1  x  2x+1
                          +
    (1) 解:∵f(x)=x(2x-1      2)=2·2x-1,
              x  2-x+1   x  2x+1
    f(-x)=-2·2-x-1=2·2x-1=f(x),
    ∴ f(x)为偶函数.
                     x  2x+1
    (2)  证明:f(x)=2·2x-1,当        x>0 时,2x-1>0,即    f(x)>0;当  x<0 时,2x-1<0,
即  f(x)>0,∴ f(x)>0.
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                                       1          1
    12. 已知  9x-10·3x+9≤0,求函数       y=(4)x-1-4·(2)x+2    的最大值和最小值.
    解:由   9x-10·3x+9≤0    得(3x-1)(3x-9)≤0,
    解得  1≤3x≤9,∴ 0≤x≤2.
       1        1                          1
                                        t-
    令(2)x=t,则4≤t≤1,y=4t2-4t+2=4(           2)2+1,
         1

    当 t=2时,ymin=1,此时,x=1;
    当 t=1  时,ymax=2,此时,x=0.
    13.   已知函数    f(x)=2x(x∈R),且    f(x)=g(x)+h(x),其中     g(x)为奇函数,h(x)为
偶函数.
    (1) 求 g(x),h(x)的解析式;
    (2) 若不等式    2a·g(x)+h(2x)≥0   对任意    x∈[1,2]恒成立,求实数        a 的取值范围.
                  f(x)=g(x)+h(x)=2x,
    解:(1) 由{f(-x)=g(-x)+h(-x)=2-x,)
         g(x)+h(x)=2x,
    得{-g(x)+h(x)=2-x,)
              1                1
    解得  g(x)=2(2x-2-x),h(x)=2(2x+2-x).
                                            1
    (2) 由  2a·g(x)+h(2x)≥0,得     a(2x-2-x)+2(22x+2-2x)≥0  对任意   x∈[1,2]恒成
                                                               3 15
                                                                ,
立.令   t=2x-2-x,由于     t 在 x∈[1,2]上单调递增,所以          t=2x-2-x∈[2   4 ].因为  22x+
                                   t2+2    1   2       3 15
                                             t+         ,
2-2x=(2x-2-x)2+2=t2+2,所以      a≥-    2t =-2(    t)在 t∈[2 4 ]上恒成立.设
         1   2      3 15                1   2   2-t2                 3 15
          t+         ,                   1-                           ,
φ(t)=-2(     t),t∈[2  4 ],由  φ′(t)=-2(      t2)= 2t2 <0,知 φ(t)在   t∈[2  4 ]上
                              (3)   17           17
为单调减函数,所以[φ(t)]max=φ           2 =-12,所以     a≥-12.
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                              第  7 课时 对 数 函 数 
    一、 填空题
                                          x
    1.  在下列四个图象中,能够表示函数               y=a  与 y=-logax(a>0,a≠1)在同一坐标系
中的图象的是________.(填序号)


    答案:①
                                               1
    解析:将    y=-logax(a>0,a≠1)首先改为        y=logax(a>0,a≠1),结合函数的定义域
                       1
                                                     1
                        a            x
首先排除②,当       a>1 时,0<  <1,函数    y=a  单调递增,y=logax     单调递减,①中图象正确,
                         1
                                                       1
                         a             x
③中图象错误,当        01,函数    y=a 单调递减,y=logax      单调递增,④中图象错
误.
    2. 函数  y=ln(x2-x-2)的定义域是________.
    答案:(-∞,-1)∪(2,+∞)
    解析:由    x2-x-2>0,解得      x>2 或  x<-1.
                         2
    3. 函数  f(x)=log2(-x  +2  2)的值域为________.
               3
           -∞,
    答案:(       2]
                                            3                       3
                                                               -∞,
               2   2    2                2                     (     ]
    解析:由-x     +2   ≤2   ,得  f(x)≤log22   =2,函数    f(x)的值域为         2 .
    4. 函数  f(x)=  1-2log6x的定义域为__________.
    答案:(0,     6]
                                   1

    解析:由    1-2log6x≥0,得    log6x≤2,即   0<x≤   6,故所求的定义域为(0,          6].
    5. 函数  y=ln(1-x)的图象大致为________.(填序号)


    答案:③
    解析:由    1-x>0,知    x<1,排除①②;设       t=1-x(x<1),因为     t=1-x  为减函数,而
y=ln t 为增函数,所以        y=ln(1-x)为减函数,故选③.
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                                  1
                                     2
    6.              已知函数    y=log2(x  -2kx+k)的值域为      R,则实数    k 的取值范围是
____________.
    答案:(-∞,0]∪[1,+∞)
    解析:要想满足题意,则           t=x2-2kx+k   要能取到所有正实数,抛物线要与坐标轴有
交点,所以     Δ=4k2-4k≥0,解得       k≥1 或  k≤0.

    7.        已知  3 是不等式    loga(1+x)>loga(2x+3)的一个解,则此不等式的解集为
____________.
    答案:{x|x>-1}

    解析:将    x=3  代入不等式     loga(1+x)>loga(2x+3),得    loga4>loga9,则  00,∴ 
  a
    ≥ 1- 3,
  2
{g(1-  3) ≥ 0,)解得 2-2  3≤a≤2.
    二、 解答题
                         1
                            2
    10. 已知函数    f(x)=log2(x -2ax+3).
    (1) 若函数   f(x)的定义域为(-∞,1)∪(3,+∞),求实数                a 的值;
    (2) 若函数   f(x)的定义域为     R,值域为(-∞,-1],求实数            a 的值;
    (3) 若函数   f(x)在(-∞,1]上为单调增函数,求实数               a 的取值范围.
    解:(1)     由  x2-2ax+3>0 的解集为(-∞,1)∪(3,+∞),得             2a=1+3,所以     a=
2,即实数    a 的值为   2.
    (2)  因为  f(x)的定义域为     R,所以    y=x2-2ax+3>0   在  R 上恒成立.由     Δ<0,得-
                                                             2
 3<a<   3,又  f(x)的值域为(-∞,-1],则          f(x)max=-1,所以    y=x  -2ax+3  的最小
                   2               2     2        2          2
值为   ymin=2,由  y=x -2ax+3=(x-a)    +3-a   ,得  3-a  =2,所以    a =1,所以    a=±1.
    (3)  f(x)在(-∞,1]上为单调增函数,则             y=x2-2ax+3   在(-∞,1]上为单调减函
数,且   y>0,
            a ≥ 1,      a ≥ 1,
    所以{1-2a+3    > 0,)即{a < 2,)即 1≤a<2.
    所以实数    a 的取值范围是[1,2).
                                                      1
                                                      [ ,2]
    11. 已知   f(x)=logax(a>0 且 a≠1).如果对于任意的         x∈ 3   都有|f(x)|≤1   成立,
试求   a 的取值范围.

    解:因为    f(x)=logax,所以    y=|f(x)|的图象如图.
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                    1
                     ,2
    由图知,要使      x∈[3   ]时恒有|f(x)|≤1,
          1                1
        |f( )|
    只需    3 ≤1,即-1≤loga3≤1,
                  1
           -1
    即 logaa  ≤loga3≤logaa.
                     1
    当 a>1 时,得   a-1≤3≤a,即    a≥3;
                       1            1
    当 00    且  a≠1.
    (1) 求 f(x)的定义域;
    (2) 判断  f(x)的奇偶性并予以证明;
    (3) 若 a>1,求使    f(x)>0 的 x 的解集.
                                           x+1 > 0,

    解:(1) f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),则{1-x       > 0,)解得-11 时,f(x)在定义域{x|-10,即1-x>
1,解得   00 的 x 的解集是{x|0( 5)n,则  n 的值为________.
    答案:-1    或  2
    解析:可以逐一进行检验,也可利用幂函数的单调性求解.
    4. 已知函数     f(x)=ax2+(1-3a)x+a   在区间[1,+∞)上单调递增,则实数               a 的取值
范围是________.
    答案:[0,1]
                                                          1-3a
    解析:若    a=0,则    f(x)=x,满足题意;若       a≠0,则    a>0 且-   2a  ≤1,解得    0<
a≤1,所以    0≤a≤1. 
                        α     1
    5.  已知   a=xα,b=x2,c=xα,x∈(0,1),α∈(0,1),则             a,b,c  的大小顺序是
__________.
    答案:cα>2.又∵ x∈(0,1),∴ xα0}
                                                                  x ≤ 0,
    解析:由    f(-4)=f(0),得    b=4.又   f(-2)=0,可得     c=4,∴      {x2+4x+4  ≤ 1)或
  x>0,
{-2 ≤ 1,)可得-3≤x≤-1      或 x>0.
    9.     如图,已知二次函数         y=ax2+bx+c(a,b,c    为实数,a≠0)的图象过点          C(t,
2),且与   x 轴交于   A,B  两点.若    AC⊥BC,则   a=________.
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            1
    答案:-2
    解析:设    y=a(x-x1)(x-x2),由图象过点        C(t,2)可得    a(t-x1)(t-x2)=2.又
                       2     2                  1
AC⊥BC,利用斜率关系得t-x1·t-x2=-1,所以               a=-2.
    二、 解答题
    10. 已知函数    h(x)=(m2-5m+1)xm+1  为幂函数,且为奇函数.
    (1)求 m 的值;
                                          1
                                       0,
    (2)求函数   g(x)=h(x)+   1-2h(x)在  x∈[   2]上的值域.
    解:(1)∵ 函数     h(x)=(m2-5m+1)xm+1  为幂函数,
    ∴m2-5m+1=1,解得       m=0 或 5.
    ∵函数   h(x)为奇函数,∴m=0.
                                                  1
                                                0,
    (2)由(1)可知   h(x)=x,∴ g(x)=x+      1-2x,x∈[    2].
                                           1       1                1
                                                                     ,1
    令  1-2x=t,则    t∈[0,1],g(x)=f(t)=-2t2+t+2,可求得其值域为[2                ].从而
                 1          1
              0,             ,1
函数   g(x)在 x∈[   2]上的值域为[2      ].
    11. 已知关于    x 的函数   y=(m+6)x2+2(m-1)x+m+1     的图象与     x 轴总有交点.
    (1) 求 m 的取值范围;
    (2) 若函数图象与      x 轴的两个交点的横坐标的倒数和等于-4,求                  m 的值.
    解:(1)      当 m+6=0,即    m=-6   时,函数    y=-14x-5   与  x 轴有一个交点;当       m+
                                                                         5
6≠0,即   m≠-6   时,有   Δ=4(m-1)2-4(m+6)(m+1)=4(-9m-5)≥0,解得            m≤-9,
         5
即当   m≤-9且   m≠-6  时,函数图象与       x 轴有一个或两个交点.
                     5
    综上可知,当      m≤-9时,此函数的图象与           x 轴总有交点.
                                                                     2(m-1)
                             2
    (2) 设 x1,x2 是方程(m+6)x    +2(m-1)x+m+1=0     的两个根,则      x1+x2=-    m+6  ,
     m+1       1   1         x1+x2             2(m-1)

x1x2=m+6.∵    x1+x2=-4,即      x1x2 =-4,∴     -  m+1   =-4,解得     m=-3.当   m=
-3  时,m+6≠0,Δ>0,符合题意,∴ m            的值是-3.
                           3                1         1  1          1
                                                       ,
    12.  已知函数    f(x)=ax-2x2  的最大值不大于6,又当          x∈[4  2]时,f(x)≥8,求实数
a 的值.
                3   a   1            1   1
                 x-
                 (   )    2            2
    解:f(x)=-2       3 2+6a ,f(x)max=6a ≤6,得-1≤a≤1,函数         f(x)的对称轴是直
      a         3          1  1                    1              1  a
                           [ , ]                                 ( )
线  x=3.当-1≤a<4时,f(x)在      4  2 上单调递减,而      f(x)≥8,即   f(x)min=f 2 =2-
                                                                 1  1
                                                                  +
3  1                   3                 3          1  a  1    1 4  2  3
8≥8,即   a≥1,与-1≤a<4矛盾,即不存在;当4≤a≤1                时,4≤3≤3,且3<      2  =8,即
                  中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台
         (1) a  3  1            3
f(x)min=f 2 =2-8≥8,即    a≥1,又4≤a≤1,故       a=1.综上,a=1.
                  1                 3
                            k ∈ R,k ≤
    13. 设 f(x)=-4x2+x+2k(           2),是否存在实数       m,n(m0,即2≥k>-2时,方程有两个不等实根,且{                  n=-2+2   1+2k. )
                 1                        3      1
    综上,当    k≤-2时,不存在这样的          m,n;当2≥k>-2时,方程有两不等实根,
       m=-2-2    1+2k,
    且{  n=-2+2   1+2k. )
                   1                        3      1
      综上,当    k≤-2时,不存在这样的          m,n;当2≥k>-2时,方程有两不等实根,且
                     m=-2-2    1+2k,
                    { n=-2+2   1+2k. )第 9 课时 函数的图象
    一、 填空题
    1. 已知  f(x)的图象恒过(1,1)点,则         f(x-4)的图象恒过____________.
    答案:(5,1)
    解析:(解法     1)由  f(x)的图象恒过(1,1)点知       f(1)=1,即    f(5-4)=1,故函数
f(x-4)的图象恒过点(5,1).
    (解法  2)f(x-4)的图象可由      f(x)的图象向右平移       4 个单位而得到,(1,1)向右平移
4 个单位后变为(5,1).
                            x+3
    2.     为了得到函数      y=lg  10 的图象,只需把函数         y=lg      x 的图象上所有的点
__________________.
    答案:向左平移       3 个单位长度,再向下平移          1 个单位长度
                  x+3
    解析:∵ y=lg      10 =lg(x+3)-1,
    ∴  将  y=lg  x 的图象上所有的点向左平移           3 个单位长度得到       y=lg(x+3)的图象,再
将  y=lg(x+3)的图象上所有的点向下平移             1 个单位长度得到       y=lg(x+3)-1   的图象.
    3. 下列函数图象中,正确的有________.(填序号)
                  中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台


    答案:③
    解析:对于①②,由         y=x+a  知  a>1,可知①②图象不正确;对于③④,由                y=x+
                  x
a 知 00,且    a≠1)有两个零点,则实数          a 的取值范围是
____________.
    答案:(1,+∞)
    解析:函数     f(x)的零点的个数就是函数          y=ax 与函数   y=x+a   交点的个数,由函数的
图象可知    a>1 时两函数图象有两个交点,01. 


                     x2+x,x < 0,
    9. 设函数   f(x)={-x2,   x   ≥ 0.)若 f(f(a))≤2,则实数    a 的取值范围是________.
    答案:(-∞,       2]
    解析:函数     f(x)的图象如图所示.


    令 t=f(a),则    f(t)≤2,由图象知      t≥-2,所以     f(a)≥-2.当   a<0 时,由   a2+
a≥-2,得    a2+a+2≥0   恒成立;当     a≥0  时,由-a2≥-2,得       0≤a≤   2,故   a≤  2.
    二、 解答题
    10. 作出下列函数的图象,并根据图象写出函数的单调区间.
    (1) y=|3x-1|;
    (2) y=|x-2|(x+1).
                          3x-1,x ≥ 0,
    解:(1)    y=|3x-1|={1-3x,x    < 0,)图象如下,其单调增区间是(0,+∞),单调减
区间是(-∞,0).


                               1   9
                         -  x-  2+  ,x < 2,
                           (   2)  4
                             1   9
                        { x-   2- , x ≥ 2, )
    (2) y=|x-2|(x+1)=     (  2)  4
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                                1                          1
                            -∞,                             ,2
    图象如下,其单调增区间是(               2)和(2,+∞),单调减区间是(2            ).


    11. 已知函数    f(x)=2x,x∈R.
    (1) 当 m 取何值时方程|f(x)-2|=m        有一个解?两个解?
    (2) 若不等式    f2(x)+f(x)-m>0  在 R 上恒成立,求      m 的取值范围.
    解:(1) 令   F(x)=|f(x)-2|=|2x-2|,G(x)=m,画出        F(x)的图象如图所示.


    从图象看出,当       m=0  或 m≥2 时,函数     F(x)与 G(x)的图象只有一个交点,即原方程有
一个解;
    当 00),H(t)=t2+t,因为       H(t)=(  2)2-4在区间(0,+∞)上是增
函数,所以     H(t)>H(0)=0.因此要使     t2+t>m 在区间(0,+∞)上恒成立,应有             m≤0,即所
求  m 的取值范围是(-∞,0].
    12. 已知函数    f(x)=x|m-x|(x∈R),且     f(4)=0.
    (1) 求实数   m 的值;
    (2) 作出函数    f(x)的图象;
    (3) 根据图象指出      f(x)的单调递减区间;
    (4) 若方程   f(x)=a  只有一个实数根,求         a 的取值范围.
    解:(1) ∵ f(4)=0,∴ 4|m-4|=0,即          m=4.
                        x(x-4)=(x-2)2-4,  x   ≥ 4,
    (2) f(x)=x|x-4|={-x(x-4)=-(x-2)2+4,x       < 4.)
    f(x)的图象如图所示:


    (3) f(x)的单调递减区间是[2,4].
    (4)   从 f(x)的图象可知,当       a>4 或 a<0 时,f(x)的图象与直线       y=a 只有一个交点,
即方程   f(x)=a  只有一个实数根,所以          a 的取值范围是(-∞,0)∪(4,+∞).
                                         1
    13. 已知函数    f(x)的图象与函数      h(x)=x+x+2   的图象关于点      A(0,1)对称.
    (1) 求 f(x)的解析式;
                      a
    (2) 若 g(x)=f(x)+x,且    g(x)在区间(0,2]上为减函数,求实数             a 的取值范围.
    解:(1)   设  f(x)图象上任一点      P(x,y),则点    P 关于(0,1)点的对称点       P′(-x,2-
                               1                 1
y)在  h(x)的图象上,即      2-y=-x-x+2,∴ f(x)=x+x(x≠0).
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                    a    a+1              a+1
    (2) g(x)=f(x)+x=x+     x ,g′(x)=1-     x2 .
                                    a+1
    ∵ g(x)在(0,2]上为减函数,∴ 1-           x2 ≤0 在(0,2]上恒成立,即        a+1≥x2  在(0,
2]上恒成立,∴ a+1≥4,即          a≥3,故   a 的取值范围是[3,+∞).第           10 课时 函数与方
                                      程
    一、 填空题
                        1

    1. 函数  f(x)=log2x-2x+2   的零点个数为________.
    答案:2
                             1

    解析:作函数      y=log2x 和  y=2x-2  的图象可以看出,两个函数的图象有两个交点,
                   1

则函数   f(x)=log2x-2x+2   的零点个数为      2.


                x2-x-1,x  ≥ 2或x ≤ -1,
    2. 若 f(x)={      1,-1<x<2,       )则函数   g(x)=f(x)-x  的零点为__________.
    答案:1+     2,1
                                                           x ≥ 2或x ≤ -1,
    解析:求解函数       g(x)=f(x)-x  的零点,即求      f(x)=x  的根,由{     x2-x-1=x   )或
 -1<x<2,
{  1=x,    )解得  x=1+  2或  x=1.∴ g(x)的零点为      1+  2,1.
    3. 函数  f(x)=2x+x3-2   在区间(0,1)内的零点个数是__________.
    答案:1
    解析:函数     f(x)=2x+x3-2   在区间(0,1)内的零点个数即为函数             y=2x 和  y=2-
x3 在区间(0,1)内的图象的交点个数,作出图象即可知两个函数图象在区间(0,1)内有
1 个交点,故原函数在区间(0,1)内的零点个数是                  1.
    4. 函数  y=ln x-6+2x   的零点一定位于区间(k,k+1)(k∈Z)上,则               k=________.
    答案:2
    解析:令函数      y=f(x)=ln   x-6+2x,则函数在(0,+∞)上是增函数.∵                 f(2)=ln 
2-2<0, f(3)=ln 3>0,∴ f(2)·f(3)<0, ∴ 函数       y=ln x-6+2x    的零点一定位于区间
(2,3)上,故    k=2.

    5.  已知函数     f(x)=2ax+4,若在区间[-2,1]上存在零点             x0,则实数    a 的取值范围
是__________.
    答案:(-∞,-2]∪[1,+∞)
    解析:由题设条件知         f(-2)·f(1)≤0,∴       (-4a+4)(2a+4)≤0,即(-a+1)(a+
2)≤0,∴ a≤-2     或  a≥1.
                               lg|x|,x ≠ 0,
    6.  定义在    R 上的函数   f(x)={  1,x=0,  )若关于   x 的方程   f(x)=c(c 为常数)恰有三
个不同的实数根       x1,x2,x3,则   x1+x2+x3=____________.
    答案:0
    解析:函数     f(x)的图象如图,方程        f(x)=c 有三个根,即       y=f(x)与  y=c 的图象有三

个交点,易知      c=1,且一根为      0.由  lg|x|=1 知另两根为-10      和  10,∴ x1+x2+x3=0.
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    7.      若偶函数    f(x)满足  f(x+2)=f(x)且    x∈[0,1]时,f(x)=x,则方程        f(x)=

log3|x|的根的个数是________.
    答案:4

    解析:由题意可得        f(x)的图象如图中的折线,结合函数              y=log3|x|的图象,可得      4 个
交点.


                             2
                         x2+  ,x > 0,
                             x
    8.  已知函数    f(x)={ln(1-x)+4,x  ≤ 0,)则关于   x 的方程   f(x2-4x)=6 的不同实根的
个数为________.
    答案:4
    解析:函数     f(x)的图象如图所示,令         t=x2-4x=(x-2)2-4        ,由图象可知,当-
4≤t≤0    时,   f(t)=6   无解,当    t>0 时,    f(t)=6 有  2 个解,对应    t=x2-4x,各有
2 个解,故关于      x 的方程   f(x2-4x)=6 的不同实根的个数为         4 .


    9.  已知函数    y=f(x)是  R 上的偶函数,满足        f(x+2)=f(x-2)+f(2),且当      x∈[0,
2]时,   f(x)=2x-4,令函数      g(x)=f(x)-m,若    g(x)在区间[-10,2]上有       6 个零点,分

别记为   x1,x2,x3,x4,x5,x6,则     x1+x2+x3+x4+x5+x6=________.
    答案:-24
    解析:因为函数       y=f(x)是  R 上的偶函数,所以        f(-2)=f(2).由    f(x+2)=f(x-
2)+f(2),令   x=0,可得     f(2)=0,因此    f(x+2)=f(x-2),即     f(x+4)=f(x),∴ 
f(4-x)=f(-x)=f(x),∴ x=2       是函数   f(x)的对称轴,周期       T=4.又函数    f(x)是偶函数,
关于   y 轴对称,因此     x=0  也是其对称轴.∵g(x)在区间[-10,2]上有              6 个零点,即函数
y=f(x)和  y=m  的图象有    6 个交点.因为当       x∈[0,2]时,      y=f(x)单调递增,f(x)在区

间[-2,0]上单调递减,所以当            x∈[0,2]时,只有一个零点设为            x1,同理在区间[-2,0)上
只有一个零点设为        x2,则  x1+x2=0,同理     x3+x4=-8,x5+x6=-16,∴         x1+x2+x3+
x4+x5+x6=-24.
    二、 解答题
    10.  若二次函数     y=-x2+mx-1    的图象与两端点为        A(0,3),B(3,0)的线段      AB 有两
个不同的交点,求        m 的取值范围.
                                                       x+y=3(0  ≤ x ≤ 3)
    解:线段    AB 的方程为    x+y=3(0≤x≤3),由题意得方程组{            y=-x2+mx-1    ) 
Error!有两组实解,将①代入②得,x2-(m+1)x+4=0(0≤x≤3)有两个实根.令                        f(x)=
x2-(m+1)x+4,在     x∈[0,3]上有两个实根,有
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       Δ=(m+1)2-16   > 0,
             m+1
          0 <     < 3,
               2
           f(0)=4 > 0,               10                    10
                                                        3,
    { ( )= -  ( +  )+    ,)
     f 3  9  3 m  1   4 ≥ 0 解得  3 0,               a < 0,
     Δ=8a2+24a+4  > 0,    Δ=8a2+24a+4  > 0,
              1                    1
       -1  < -  < 1,        -1 < -   < 1,
              2a                  2a
          f(1) ≥ 0,           f(1) ≤ 0,
    {     (-  )       )  {    (-  )   ,    )
         f   1 ≥ 0     或     f   1 ≤ 0
                 -3-   7
    解得  a≥5  或 a<   2   .
                                         -3-   7
    综上所述,实数       a 的取值范围是      a≥1 或  a≤   2   .
                         1  2x2-1                          2x2-1
    说明:也可以将问题看成a=            3-2x 在[-1,1]上有解.求出         y= 3-2x (-1≤x≤1)的
                          1
值域为[    7-3,1],令     7-3≤a≤1   得解.
    13.  是否存在实数      a,使函数    f(x)=x2+(3a-2)x+a-1     在区间[-1,3]上与       x 轴有
且只有一个交点?若存在,求出              a 的取值范围;若不存在,请说明理由.
    解:∵ Δ=(3a-2)2-4(a-1)>0,
    ∴ 若存在实数      a 满足条件,则只需        f(-1)·f(3)≤0   即可.
    f(-1)·f(3)=(1-3a+2+a-1)·(9+9a-6+a-1)=4(1-a)(5a+1)≤0.
            1
    ∴ a≤-5或    a≥1.
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检验:① 当     f(-1)=0  时,a=1.所以      f(x)=x2+x.
令 f(x)=0,x2+x=0,解得       x=0 或  x=-1.
方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故                a≠1.
                     1                13   6
② 当  f(3)=0  时,a=-5,此时       f(x)=x2-  5 x-5;
               13   6              2
令 f(x)=0,x2-   5 x-5=0,解得     x=-5或   x=3.
                                        1
方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故                a≠-5.
                              1
                        -∞,-
综上所述,a     的取值范围是(            5)∪(1,+∞).
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                           第  11 课时 导数的概念与运算
    一、 填空题
    1. 设 y=x2ex,则   y′=________.
    答案:(2x+x2)ex
    解析:y′=2xex+x2ex=(2x+x2)ex.
                   ln x
    2. 若函数   f(x)=  x ,则  f′(2)=________.
          1-ln 2
    答案:     4
                     1-ln x            1-ln 2
    解析:∵ f′(x)=       x2  ,∴ f′(2)=      4  .
    3. 设曲线   y=ax2 在点(1,a)处的切线与直线          2x-y-6=0   平行,则    a=________.
    答案:1
                                       2
    解析:y′=2ax,点(1,a)在曲线           y=ax  上,依题意得      k=y′|x=1=2a=2,解得
a=1.
                           π π
                            ,
    4. 曲线  y=x-cos x   在点(2  2)处的切线方程为____________. 
                 π
    答案:2x-y-2=0
                                 π              π π               π       π
                                                ,                      x-
    解析:k=y′=(1+sin          x)|x=2=2,切线过点(2       2),切线方程为     y-2=2(     2),
         π
即  2x-y-2=0.
                                                   1
    5. 设 f(x)=a·ex+bln x,且     f′(1)=e,f′(-1)=e,则实数          a+b=________.
    答案:1
                                      ae+b=e,
                           b          a     1       a=1,
                                       -b=   ,
    解析:因为     f′(x)=aex+x,由已知得{       e     e )解得{  b=0. )所以  a+b=1.
    6.  曲线   y=e-2x+1  在点(0,2)处的切线与直线         y=0  和 y=x  围成的三角形的面积为
________.
          1
    答案:3
                       -2x                     -2x
    解析:y′|x=0=(-2e        )|x=0=-2,故曲线     y=e    +1 在点(0,2)处的切线方程为
                                                             2 2
                                                              ,
y=-2x+2,易得切线与直线           y=0 和  y=x 的交点坐标分别为(1,0)和(3          3),故围成的三
            1     2 1
角形的面积为2×1×3=3.
    7.  设函数   f(x)=g(x)+x2,曲线     y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为          y=2x+1,
则曲线   y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为__________.
    答案:4
    解析:∵      曲线   y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为          y=2x+1,∴      g′(1)=k=
2.又  f′(x)=g′(x)+2x,∴ f′(1)=g′(1)+2=4,故切线的斜率为                 4.
                 sin x   1      π
                                 ,0
    8. 曲线  y=sin x+cos x-2在点   M(4 )处的切线的斜率为____________.
          1
    答案:2
               cos x(sin x+cos x)-sin x(cos x-sin x)
    解析:y′=              (sin x+cos x)2
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            1
    =(sin x+cos x)2,
                       1
               π     π    π    1
                   sin +cos 2
    所以  y′|x=4=(     4    4) =2.
    9.  已知   f(x)=ln   x-x2+bx+c.若函数      f(x)在 x=3 处的切线与直线       3x+7y+2=
0 垂直,且    f(1)=0,则   b+c=________.
    答案:1
                  1                1        7
    解析:f′(x)=x-2x+b,f′(3)=3-6+b=3,∴                 b=8.又   f(1)=0-1+8+c=
0,∴ c=-7.∴ b+c=1.
    二、 解答题
                         2                2
    10.  已知曲线    C1:y=x   与 C2:y=-(x-2)    .直线  l 与 C1,C2 都相切,求直线       l 的方
程.
                                                              2
     解:设   l 与 C1 相切于点   P(x1,x12),与  C2 相切于点   Q(x2,-(x2-2)   ).对  C1:y′=
2x,则与   C1 相切于点    P 的切线方程为     y-x12=2x1(x-x1),即   y=2x1x-x12 ①.
                                                               2
    对 C2:y′=-2(x-2),则与        C2 相切于点   Q 的切线方程为      y+(x2-2)  =-2(x2-
2)(x-x2),即   y=-2(x2-2)x+x2-4 ②.
    ∵ 两切线重合,
               x1=0,     x1=2,
    ∴      解得{  x2=2 )或{x2=0,)
    ∴ 直线方程为      y=0  或 y=4x-4.
                      1    4
    11. 已知曲线    C:y=3x3+3. 
    (1) 求曲线   C 在点  P(2,4)处的切线方程;
    (2) 求曲线   C 的斜率为    4 的切线方程.
                                   1   4
     解:(1)   ∵  点  P(2,4)在曲线    y=3x3+3上,且    y′=x2,∴     在点  P(2,4)处的切线
的斜率为    k=4.∴ 曲线在点      P(2,4)处的切线方程为        y-4=4(x-2),即     4x-y-4=0.

    (2) 设切点为(x0,y0),则      x02=4,x0=±2.
                           4
                     -2,-
    ∴ 切点为(2,4),(           3).
                                4
    切线方程为     y-4=4(x-2)和    y+3=4(x+2),
    即 4x-y-4=0    和 12x-3y+20=0.
                              9
    12. 已知抛物线      C:y=-x2+2x-4,过原点        O 作 C 的切线   y=kx,使切点     P 在第一象
限.
    (1) 求 k 的值;
    (2) 过点  P 作切线的垂线,求它与抛物线的另一个交点                  Q 的坐标.

    解:(1) 设点    P 的坐标为(x1,y1),则      y1=kx1 ①,
             9

    y1=-x12+2x1-4 ②,
                       9
                     k-
                 2  (   )
    ①代入②,得      x1+    2 x1+4=0.
                          9                17     1
                        k-
    ∵ P 为切点,∴ Δ=(         2)2-16=0,得    k= 2 或 k=2.
         17                          1

    当 k=  2 时,x1=-2,y1=-17.当      k=2时,x1=2,y1=1.
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                                     1
    ∵ P 在第一象限,∴ 所求的斜率            k 为2.
    (2) 过 P 点作切线的垂线,其方程为            y=-2x+5 ③.
                            13
    将③代入抛物线方程得          x2- 2 x+9=0.
    设 Q 点的坐标为(x2,y2),则       2x2=9,
           9

    ∴ x2=2,y2=-4.
                   9
                    ,-4
    ∴ Q 点的坐标为(2         ).
                      1
    13. 已知函数    f(x)=3x3-2x2+3x(x∈R)的图象为曲线         C.
    (1) 求过曲线    C 上任意一点的切线斜率的取值范围.
    (2)  若在曲线    C 上存在两条相互垂直的切线,求其中一条切线与曲线                      C 的切点的横坐
标的取值范围.
    (3)  试问:是否存在一条直线与曲线              C 同时切于两个不同点?若存在,求出符合条件
的所有直线方程;若不存在,请说明理由.
    解:(1)    f′(x)=x2-4x+3,则      f′(x)=(x-2)2-1≥-1,即过曲线          C 上任意一点
的切线斜率的取值范围是[-1,+∞).
                      k ≥ -1,
                       1
                     -  ≥ -1,
    (2)    由(1)可知{     k     )解得-1≤k<0    或  k≥1.由-1≤x2-4x+3<0     或  x2-4x+
3≥1,得   x∈(-∞,2-      2]∪(1,3)∪[2+     2,+∞).

    (3) 不存在.理由:设存在过点            A(x1,y1)的切线与曲线      C 同时切于两点,另一切点为
B(x2,y2),x1≠x2,

    则过点   A(x1,y1)的切线方程是       y-    =(x12-4x1+3)·(x-x1),

    化简得   y=(x12-4x1+3)x+      .

    而过点   B(x2,y2)的切线方程是       y=(x2-4x2+3)x+      ,
    由于两切线是同一直线,则有             x12-4x1+3=x2-4x2+3,得     x1+x2=4.
          2          2
    又由-3x13+2x12=-3x23+2x2,
        2

    即-3(x1-x2)(x12+x1x2+x2)+2(x1-x2)(x1+x2)=0,
      1

    -3(x12+x1x2+x2)+4=0,即     x1(x1+x2)+x2-12=0,
    即(4-x2)×4+x2-12=0,x2-4x2+4=0,
    得 x2=2,但当    x2=2 时,由    x1+x2=4 得  x1=2,这与    x1≠x2 矛盾.
    所以不存在一条直线与曲线            C 同时切于两个不同点.第          12 课时 导数在研究函数中的
                                     运用
    一、 填空题
                 ln x
    1. 函数  f(x)=  x  的单调增区间为________.
    答案:(0,e)
                          1
                           ·x-ln x
                  ln x    x        1-ln x
    解析:f′(x)=(     x )′=    x2   =   x2 ,令   f′(x)>0,得   1-ln       x>0,即  ln 
x<1,即  0f(0)的解集为________.
    答案:(0,+∞)
    解析:f(x)=x+cos      x,f′(x)=1-sin     x≥0,∴    f(x)(x∈R)是增函数.若       f(ex-
1)>f(0),则  ex-1>0,ex>1,即    x>0.∴ 解集为(0,+∞).
                      1
    5.    设函数   f(x)=2x2+ex-xex.若   x∈[-2,2]时,不等式        f(x)>m 恒成立,则实数
m 的取值范围是________.
    答案:(-∞,2-e2)
    解析:          f′(x)=x+ex-(ex+xex)=x(1-ex).若-20,所以
f′(x)<0;若   0m 恒成立,所以     m< fmin(x)=
f(2)=2-e2.所以当     m<2-e2 时,不等式     f(x)>m 恒成立.故实数      m 的取值范围是(-∞,
2-e2).
    6.         若  f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1    有极大值和极小值,则          a 的取值范围是
________.
    答案:(-∞,-1)∪(2,+∞)
    解析:f′(x)=3x2+6ax+3(a+2),由题意知            f′(x)=0  有两个不等的实根,由
Δ=(6a)2-4×3×3(a+2)>0,即        a2-a-2>0,解得      a>2  或 a<-1.
    7.    已知  a>0,函数   f(x)=x3-ax  在[1,+∞)上是单调递增函数,则              a 的最大值是
__________.
    答案:3
    解析:f′(x)=3x2-a,在        x∈[1,+∞)上     f′(x)≥0,则    f′(1)≥0⇒a≤3.
    8. 已知函数    f(x)=ex-2x+a   有零点,则     a 的取值范围是____________.
    答案:(-∞,2ln 2-2]
    解析:函数     f(x)=ex-2x+a   有零点,即方程       f(x)=0 有解,即-a=ex-2x       有解.设
g(x)=ex-2x,因为     g′(x)=ex-2,当     x>ln 2 时,g′(x)>0,当    x0,f(x)单调递增;当            x∈(0,1]时,
f′(x)<0,f(x)单调递减.∴         f(x)在区间[-1,1]上的最大值为           f(0)=b,∴     b=1.又
         3         3               3        3
f(1)=1-2a+1=2-2a,f(-1)=-1-2a+1=-2a,∴ f(-1)log0.80.05,化简得   n>3lg 2-1=1-3lg 2,解得
n>13.4,则  n 的最小值为     14.
    5. 有一批材料可以建成         200 m 长的围墙,如果用这批材料在一边靠墙的地方围成一块
矩形场地,中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示),则围成场地的最大面积
为________(围墙的厚度不计).


    答案:2 500 m2
                                      200-x
    解析:设所围场地的长为           x  m,则宽为      4     m,其中   0 0,
   x2
      > 0,
   2R
     x2                                                        1
 2R-   > 0,
{          )           2                                         2
     R       解得   0 10),)
    由于  y>0 且 x∈N*,
       100x-575 > 0,
    由{    x ≤ 10,  )得 6≤x≤10,x∈N*.
                x > 10,
    由{[100-(x-10)  × 3]x-575 > 0,)
    得 1010 时,y=-3x2+130x-575,
                    130    65
    当且仅当    x=-2   × (-3)= 3 时,y  取最大值,但      x∈N*,
    所以当   x=22  时,y=-3x2+130x-575(102,∴ 60,且       f(x)在(6,50]上连续,因此,f(x)在(6,50]上是增
函数;
    当 x∈(50,+∞)时,f′(x)<0,且         f(x)在[50,+∞)上连续,因此,f(x)在[50,+
∞)上是减函数.
    ∴ x=50  为极大值点.
       12t            1 25
                       ,
    当2t-1≥50,即    t∈(2  44]时,投入    50 万元改造时取得最大增加值;
          12t           25             12t
                          ,+∞
    当  6<2t-1<50,即  t∈(44     )时,投入2t-1万元改造时取得最大增加值.第                 14 课时 
                                函数的综合应用
    一、 填空题
                    x-1,x > 0,
                      a,x=0,
    1. 若函数   f(x)={  x+b,x < 0 )是奇函数,则     a+b=________.
    答案:1
    解析:∵       f(x)是奇函数,且      x∈R,∴     f(0)=0,即   a=0.又   f(-1)=-f(1),∴ 
b-1=-(1-1)=0,即       b=1,因此    a+b=1.
    2. 已知函数     f(x)=ex-e-x+1(e  是自然对数的底数),若          f(a)=2,则   f(-a)的值为
________.
    答案:0
    解析:依题意得,f(a)+f(-a)=2,f(-a)=2-f(a)=2-2=0.
                    -x+3a,x  < 0,
    3.  函数   f(x)={    ax,x ≥ 0 )(a>0,且  a≠1)是  R 上的减函数,则       a 的取值范围是
__________.
           1
           ,1
    答案:[3     )
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                                            0 < a < 1, 1
    解析:根据单调性定义,f(x)为减函数应满足{                 3a ≥ a0, )即3≤a<1.
    4. 过点  A(0,16)作曲线    y=x3-3x  的切线,则该切线的方程为________.
    答案:9x-y+16=0
    解析:∵     f′(x)=3x2-3,设切点坐标为(t,t3-3t),则切线方程为                  y-(t3-3t)=
3(t2-1)(x-t).
    ∵ 切线过点     A(0,16),∴ 16-(t3-3t)=3(t2-1)(0-t),
    ∴ t=-2,∴ 切线方程为          9x-y+16=0.
    5.   已知  f(x)是  R 上最小正周期为      2 的周期函数,且当        0≤x<2 时,f(x)=x3-x,则
函数   y=f(x)的图象在区间[0,6]上与         x 轴的交点的个数为________.
    答案:7
    解析:∵      f(x)是最小正周期为       2 的周期函数,且当        0≤x<2 时,f(x)=x3-x=x(x-

1)(x+1),∴     当 0≤x<2 时,f(x)=0   有两个根,即       x1=0,x2=1.由周期函数的性质知,
当  2≤x<4 时,f(x)=0   有两个根,即      x3=2,x4=3;当     4≤x<6 时,f(x)=0   有两个根,
即  x5=4,x6=5;x7=6    也是  f(x)=0 的根.故函数      f(x)的图象在区间[0,6]上与         x 轴的
交点的个数为      7.
                                  1
                               log (x+1)(x ≥ 1),
                                  2
    6.          已知函数     f(x)={    1(x < 1),   )则不等式    f(3-x2)>f(2x)的解集为
________.
    答案:(1,+∞)
    解析:如图,作出已知函数的图象,根据图象可得不等式                        f(3-x2)>f(2x)⇔
              3-x2 ≥ 1,
 3-x2 < 1,     2x ≥ 1,
{  2x ≥ 1 )或{3-x2 < 2x,)解得  x∈(1,+∞).


    7. 若函数   f(x)=  1+3x+a·9x的定义域为(-∞,1],则           a 的值是__________.
          4
    答案:9
                                                      1    1
    解析:由题意得       1+3x+a·9x≥0    的解集为(-∞,1],即(3x)2+3x+a≥0          的解集为
                    1     1      1  1      1                        1
                                  +
(-∞,1].设     h(x)=(3x)2+3x+a=(3x    2)2+a-4.因为    x∈(-∞,1],所以3x∈
 1                               4
  ,+∞
[3    ),故只需    h(1)=0,所以    a=-9.
    8.  已知函数    f(x)是定义在    R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上是单调递增函数.若
                      1
                     ln
实数   t 满足 f(ln t)+f(  t)≤2f(1),则   t 的取值范围是__________.
           1
    答案:[e,e]
    解析:f(ln    t)+f(-ln   t)=2f(ln  t)≤2f(1)  ,即  f(ln t)≤f(1).又   f(x)是偶函
                                                                1
数,且在[0,+∞)上单调递增,∴|ln t|≤1,∴ -1≤ln t≤1,即                     t∈[e,e].
                                                    1
                                                  -  ,0
                         3                        (    )
    9. 若函数    f(x)=loga(x -ax)(a>0,且   a≠1)在区间      2   上单调递增,则       a 的取值
范围是________.
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           3
           ,1
    答案:[4     )
                   3                  2                                 3
    解析:设    g(x)=x  -ax,则   g′(x)=3x  -a.当   00,且  a≠1)在区间(      2  )上单调递增,则      g(x)=x3-ax  在(   2  )上单调递减,所
                                   1                  3         3
                                 -  ,0                           ,1
以  g′(x)=3x2-a<0,即    a>3x2 对 x∈(  2  )恒成立,所以      a≥4,所以    a∈[4   );当
                              1
                            -  ,0
a>1 时,则需要     g(x)=x3-ax  在(  2  )上单调递增,从而        g′(x)=3x2-a>0,即有
             1                                            3
           -  ,0                                           ,1
a<3x2 对 x∈(  2  )恒成立,所以      a≤0,与   a>1 矛盾.综上可得      a∈[4   ).
    二、 解答题
    10.   已知函数    f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab(a≠0),当       x∈(-3,2)时,f(x)>0;当
x∈(-∞,-3)∪(2,+∞)时,f(x)<0.
    (1) 求 f(x)在[0,1]上的值域;
    (2) c 为何值时,不等式       ax2+bx+c≤0   在[1,4]上恒成立?
    解:由题意得      x=-3   和 x=2 是函数    f(x)的零点,且     a≠0,
       0=a·(-3)2+(b-8)·(-3)-a-ab,
    则{     0=a·22+(b-8)·2-a-ab,      )
         a=-3,
    解得{   b=5,  )∴ f(x)=-3x2-3x+18.
    (1) 由图象知,函数在[0,1]上单调递减,
    ∴ 当  x=0  时,y=18;当     x=1 时,y=12,
    ∴ f(x)在[0,1]上的值域为[12,18].
    (2) 令 g(x)=-3x2+5x+c.
             5
              ,+∞
    ∵ g(x)在[6      )上单调递减,
    要使  g(x)≤0  在[1,4]上恒成立,

    则需要   gmax(x)=g(1)≤0,
    即-3+5+c≤0,解得        c≤-2.
    ∴ 当  c≤-2   时,不等式     ax2+bx+c≤0   在[1,4]上恒成立.
    11. 设计一个包装盒如图所示,ABCD            是边长为    60 cm 的正方形硬纸片,切去阴影部分
所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得                        A,B,C,D   四个点重合于图中的
点  P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E,F                  在 AB 上,是被切去的一个等腰直角三角
形斜边的两个端点.设          AE=FB=x cm.
    (1) 某广告商要求包装盒的侧面积             S cm2 最大,试问    x 应取何值?
    (2)  某厂商要求包装盒的容积           V cm3 最大,试问    x 应取何值?并求出此时包装盒的高
与底面边长的比值.


    解:设包装盒的高为         h cm,底面边长为      a cm.
                       60-2x
    由已知得    a=  2x,h=     2  =  2(30-x),0<x<30.
    (1) S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1 800.
    所以当   x=15  时,S  取得最大值.
    (2) V=a2h=2  2(-x3+30x2),V′=6     2x(20-x).
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    由 V′=0,得     x=0(舍去)或    x=20.
    当 x∈(0,20)时,V′>0;当        x∈(20,30)时,V′<0.
    所以当   x=20  时,V  取得极大值,也就是最大值,
        h  1                                   1
    此时a=2,即此时包装盒的高与底面边长的比值为2.
    12. 设函数   f(x)=kx3-3x2+1(k≥0).
    (1) 求函数   f(x)的单调区间;
    (2) 若函数   f(x)的极小值大于      0,求   k 的取值范围.
    解:(1) 当   k=0  时,f(x)=-3x2+1,
    ∴ f(x)的单调递增区间为(-∞,0),单调递减区间为(0,+∞).
                                     2
                                  x-
    当 k>0 时,f′(x)=3kx2-6x=3kx(       k).
                                      2                       2
                                       ,+∞                  0,
    ∴ f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(k                ),单调递减区间为(         k).
    (2) 当 k=0  时,函数    f(x)不存在极小值.
                                    2   8  12
    当 k>0 时,依题意     f(x)的极小值为     f(k)=k2-k2+1>0,即    k2>4.∵ k>0,
    ∴ k 的取值范围是(2,+∞).
    13. 已知函数    f(x)=ex-kx,x∈R.
    (1) 若 k=e,试确定函数       f(x)的单调区间;
    (2) 若 k>0,且对于任意      x∈R,f(|x|)>0   恒成立,试确定实数         k 的取值范围.
    解:(1)       由  k=e 得  f(x)=ex-ex,所以    f′(x)=ex-e.由    f′(x)>0 得  x>1,故
f(x)的单调递增区间是(1,+∞),由             f′(x)<0 得 x<1,故   f(x)的单调递减区间是(-∞,
1).
    (2) 由 f(|-x|)=f(|x|)可知    f(|x|)是偶函数.于是       f(|x|)>0 对任意   x∈R 成立等价
于  f(x)>0 对任意  x≥0  成立.由    f′(x)=ex-k=0    得 x=ln k.
    ①   当  k∈(0,1]时,f′(x)=ex-k>1-k≥0(x>0).此时           f(x)在[0,+∞)上单调递
增.故   f(x)≥f(0)=1>0,符合题意.
    ② 当  k∈(1,+∞)时,ln k>0.当       x 变化时   f′(x),f(x)的变化情况如下表:

                  x       (0,ln k)      ln k      (ln k,+∞)
               f′(x)         -            0           +
                f(x)      单调递减         极小值          单调递增
    由此可得,在[0,+∞)上,f(x)≥f(ln             k)=k-kln    k.依题意,k-kln        k>0.又
k>1,∴ 1
	
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