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2018秋新版高中数学北师大版必修4习题:第一章三角函数 1.4.3

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    4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
                                              课时过关·能力提升
                     𝜋 2𝜋
                       ,   ,则𝑦的取值范围是(  )
1.已知函数    y=sin x,x∈[6  3 ]
                   1     1   3     3
                  . ,1 𝐶. ,   𝐷.  ,1
A.[-1,1]        B [2  ] (2  2 )  ( 2  )
                                    𝜋 𝜋             𝜋 2𝜋
                                 在    , 上是增加的      在    ,   上是减少的
解析:由单位圆可知正弦函数              y=sin x  [6 2]          , [2  3 ]          ,所以当    x
  𝜋                    𝜋            1
=  时取得最大值             =  时取得最小值        .
  2             1,当 x   6             2
答案:B
                                            1
                                      为  - 1, ,则𝑏 ‒ 𝑎的最大值和最小值之和等于(  )
2.已知函数    y=sin x 的定义域为[a,b],值域         [   2]
  4𝜋 8𝜋
 .  𝐵.  𝐶.2𝜋𝐷.4𝜋
A 3    3
                                   2𝜋             4𝜋
                                 =    ,(𝑏 ‒ 𝑎)𝑚𝑎𝑥 = ,故
解析:利用正弦函数的性质知(b-a)min               3               3    b-a 的最大值和最小值之和等于              2π.
答案:C
              1
       =   1 - 𝑠𝑖𝑛𝑥的值域是(  )
3.函数  y       2
  1       1
 .  ,1 𝐵. 0,
A [2 ]  [ 2]
    3     2  6
 . 1, 𝐷.  ,
C [ 2]  [ 2 2  ]
                   1    1      3  2        1        6
                 ∴     ‒  𝑠𝑖𝑛 ,  ≤   1 - 𝑠𝑖𝑛𝑥 ≤ .因此函数
解析:∵-1≤sin x≤1,    2≤1  2    x≤2  2        2       2          y
      1               2  6
=  1 -  𝑠𝑖𝑛𝑥的值域是   ,   ,故选
      2             [ 2  2 ]    D.
答案:D
4.函数  y =  1 + 2𝑐𝑜𝑠𝑥的定义域是(  )
    2𝜋 2𝜋
 . -   ,
A [  3  3 ]
       2𝜋       2𝜋
 . 2𝑘𝜋 - ,2𝑘𝜋 + ,𝑘
B [     3         3 ] ∈Z
    𝜋 𝜋
 . - ,
C [ 3 3]
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       𝜋     𝜋
 . 2𝑘𝜋 - ,2𝑘𝜋 + ,𝑘
D [    3      3] ∈Z
                         1
                       ‒  ,
解析:∵1+2cos x≥0,∴cos x≥   2
              2𝜋     2𝜋
         2𝑘𝜋 - ,2𝑘𝜋 + ,𝑘
    ∴x∈[      3        3 ] ∈Z,此即为所求函数的定义域,故选             B.
答案:B
5.函数  y = 1 - 𝑐𝑜𝑠𝑥的单调增区间是 . 
解析:∵y=cos x  的递减区间是[2kπ,2kπ+π],k∈Z,它与       y=-cos x 的单调性相反,∴原函数的递增区间为

[2kπ,2kπ+π],k∈Z.
答案:[2kπ,2kπ+π],k∈Z
           1 - 𝑥
       =         的定义域是           ;函数𝑦              =  2𝑠𝑖𝑛𝑥 - 1的定义域是 . 
6.函数  y  1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥
解析:∵1+cos x≠0,∴cos x≠-1,

    ∴x∈{x|x≠2kπ+π,k∈Z}.
                     1
                      ,
    ∵2sin x-1≥0,∴sin x≥2
                𝜋          5𝜋
         𝑥 2𝑘𝜋 + ≤ 𝑥 ≤ 2𝑘𝜋 + ,𝑘 ∈ 𝑍 .
    ∴x∈{  |     6            6       }
答案:{x|x≠2kπ+π,k∈Z}
       𝜋           5𝜋
 𝑥 2𝑘𝜋 + ≤ 𝑥 ≤ 2𝑘𝜋 + ,𝑘 ∈ 𝑍
{ |     6           6       }
                  3𝜋 𝜋
                 -  ,  的最大值为     ,最小值为     . 
7.函数  y=-sin x,x∈( 4 3]
           𝜋                  3𝜋 𝜋               𝜋
         ‒  时                 -  ,  取得最大值         =  时
解析:当   x=  2  ,函数  y=-sin x,x∈( 4 3]         1;当 x  3  ,函数  y=-sin x,x∈
  3𝜋 𝜋           3
 -   , 取得最小值     ‒   .
(  4 3]            2
          3
        ‒
答案:1      2
8.函数  y=2-sin x 的值域是     ,递增区间是             ,最小正周期是     
. 
                𝜋     3𝜋
          2𝑘𝜋 + ,2𝑘𝜋 + (𝑘
答案:[1,3]  [     2       2 ] ∈Z) 2π
9.下列说法正确的有     .(只填序号) 

①y=|sin x|的定义域为    R;
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②y=3sin x+1 的最小值为     1;
                           𝜋     3𝜋
                   为  2𝑘𝜋 + ,2𝑘𝜋 + (𝑘
③y=sin x-1 的递增区间     [     2       2 ] ∈Z).
解析:∵y=sin x 的定义域为      R,∴y=|sin x|的定义域为    R,故①正确;
                                                     𝜋     𝜋
                                              为[2𝑘𝜋 - ,2𝑘𝜋 + ],𝑘
    当 sin x=-1 时,ymin=-2,故②错;y=sin x-1 的递增区间         2      2   ∈Z,故③错.
答案:①
10.已知函数    y=asin x+b 的最大值为   0,最小值为-4,求    a,b 的值.

            |𝑎| + 𝑏 = 0,
        知,
解由题意      { - |𝑎| + 𝑏 = - 4,

         𝑎 = 2, 𝑎 = - 2,
      得       或
    解   {𝑏 = - 2 {𝑏 = - 2.
                       3         1
                    <    和𝑐𝑜𝑠 𝛼 > 同时成立的𝛼的范围.
11.若 0<α<2π,求使  sin α  2         2
解利用单位圆及正弦函数的性质,在(0,2π)内,
             3        𝜋   2𝜋
          <    ,得    0,  ∪    ,2𝜋 .
    由 sin α  2   α∈(  3)  ( 3   )
                 1        𝜋  5𝜋
               >  ,得    0,  ∪    ,2𝜋 .
    同理,由   cos α 2  α∈(   3)  ( 3   )
                     𝜋   5𝜋
                 是  0,  ∪    ,2𝜋 .
    故所求   α 的范围    (  3)  ( 3   )
                                 17
                                   对一切𝑥
★12.函数  f(x)=-sin2x+sin x+a,若 1≤f(x)≤ 4   ∈R 恒成立,求    a 的取值范围.
              1    1
       ‒ (𝑠𝑖𝑛𝑥 - )2 + + 𝑎,当
解 f(x)=       2    4      sin x=-1 时,ymin=a-2;
            1        1
          =  时     =  + 𝑎,
    当 sin x 2  ,ymax 4
                     1
              为  𝑎 - 2, + 𝑎 .
    ∴f(x)的值域    [    4   ]
       𝑎 - 2 ≥ 1,
                  𝑎 ≥ 3,
    ∴ 1      17 ∴      即
     {  + 𝑎 ≤ , {𝑎 ≤ 4,
      4      4           3≤a≤4.

    ∴a 的取值范围是[3,4].
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