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2019版高中全程复习方略数学(文)课时作业:选修4-4 坐标系与参数方程 60 Word版含答案

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高中数学审核员

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课时作业     60 参数方程

    1.求直线Error!(t 为参数)与曲线Error!(α    为参数)的交点个数.
    解析:将Error!消去参数      t 得直线  x+y-1=0;
    将Error!消去参数   α,
    得圆  x2+y2=9.
                                        2
    又圆心(0,0)到直线     x+y-1=0   的距离   d= 2 <3.
    因此直线与圆相交,故直线与曲线有               2 个交点.
    2.(2018·洛阳市第一次统一考试)在直角坐标系               xOy 中,圆
C 的参数方程为Error!(φ    为参数).以    O 为极点,x    轴的非负半轴为极
轴建立极坐标系.
    (1)求圆  C 的普通方程;
                                π                   π
                              θ+
    (2)直线  l 的极坐标方程是      2ρsin( 6)=5 3,射线  OM:θ=6与圆
C 的交点为    O,P,与直线      l 的交点为   Q,求线段     PQ 的长.
    解析:(1)因为圆     C 的参数方程为Error!(φ    为参数),所以圆心
C 的坐标为(0,2),半径为       2,圆  C 的普通方程为      x2+(y-2)2=4.
    (2)将 x=ρcosθ,y=ρsinθ 代入   x2+(y-2)2=4,得圆    C 的极坐标
方程为   ρ=4sinθ.
                                        π

    设 P(ρ1,θ1),则由Error!,解得    ρ1=2,θ1=6.
                                        π

    设 Q(ρ2,θ2),则由Error!,解得    ρ2=5,θ2=6.
    所以|PQ|=3.
    3.(2018·石家庄市教学质量检测(二))在直角坐标系               xOy 中,直
线 l 的参数方程为Error!(t   为参数),在以      O 为极点,x    轴正半轴为极
轴的极坐标系中,曲线          C 的极坐标方程为       ρ=4sinθ-2cosθ.
    (1)求直线  l 的普通方程与曲线        C 的直角坐标方程;
    (2)若直线  l 与 y 轴的交点为    P,直线    l 与曲线  C 的交点为    A,
B,求|PA||PB|的值.
    解析:(1)直线    l 的普通方程为      x-y+3=0,
    ∵ρ2=4ρsinθ-2ρcosθ,
    ∴曲线   C 的直角坐标方程为(x+1)2+(y-2)2=5.
    (2)将直线  l 的参数方程Error!(t  为参数)代入曲线       C:(x+1)2+
(y-2)2=5,得到    t2+2 2t-3=0,

    ∴t1t2=-3,

    ∴|PA||PB|=|t1t2|=3.
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    4.(2018·广东珠海模拟)在极坐标系中,圆             C 的极坐标方程为
ρ2=4ρ(cosθ+sinθ)-6.若以极点    O 为原点,极轴所在直线为           x 轴建
立平面直角坐标系.
    (1)求圆  C 的参数方程;
    (2)在直角坐标系中,点        P(x,y)是圆   C 上一动点,试求       x+y 的
最大值,并求出此时点          P 的直角坐标.
    解析:(1)因为    ρ2=4ρ(cosθ+sinθ)-6,
    所以  x2+y2=4x+4y-6,
    所以  x2+y2-4x-4y+6=0,
    即(x-2)2+(y-2)2=2   为圆  C 的直角坐标方程.
    所以所求的圆      C 的参数方程为Error!(θ    为参数).
                                             π
                                           θ+
    (2)由(1)可得  x+y=4+   2(sinθ+cosθ)=4+2sin( 4).
         π
    当 θ=4,即点    P 的直角坐标为(3,3)时,
    x+y 取得最大值     6.
    5.(2018·甘肃三校联考)在直角坐标系           xOy 中,直线    l 的参数方
程为Error!(t 为参数),在极坐标系(与直角坐标系            xOy 取相同的长度单
位,且以原点      O 为极点,以     x 轴正半轴为极轴)中,圆         C 的方程为
ρ=6sinθ.
    (1)求圆  C 的直角坐标方程;
    (2)设圆  C 与直线   l 交于点  A,B,若点     P 的坐标为(1,2),求
|PA|+|PB|的最小值.
    解析:(1)由   ρ=6sinθ,得   ρ2=2 5ρsinθ.
    得 x2+y2=6y,即   x2+(y-3)2=9.
    所以圆   C 的直角坐标方程为        x2+(y-3)2=9.
    (2)将 l 的参数方程代入圆       C 的直角坐标方程,得        t2+2(cosα-
sinα)t-7=0.
                           2
    由已知得    Δ=(2cosα-2sinα) +4×7>0,所以可设       t1,t2 是上述
方程的两根,
    则Error!由题意得直线     l 过点(1,2),结合   t 的几何意义得

    |PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|
    =  t1+t22-4t1t2
    =  4cosα-sinα2+28
    =  32-4sin2α≥ 32-4=2 7.
    所以|PA|+|PB|的最小值为      2 7.
                          [能力挑战]
    6.(2018·福州市综合质量检测)已知直线            l 的参数方程为
Error!(t 为参数),以坐标原点为极点,x         轴的正半轴为极轴建立极坐
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标系,椭圆     C 的极坐标方程为       ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12,其左焦点
F 在直线   l 上.
    (1)若直线  l 与椭圆   C 交于  A,B  两点,求|FA|·|FB|的值;
    (2)求椭圆  C 的内接矩形周长的最大值.
    解析:(1)将曲线     C 的极坐标方程      ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12 化为直
              x2 y2
角坐标方程,得12+       4 =1,则其左焦点      F(-2  2,0),则   m=-2   2.
                                               x2 y2
    将直线   l 的参数方程Error!(t  为参数)与曲线     C 的方程12+    4 =1 联
立,
    化简可得    t2-2t-2=0,

    由直线   l 的参数方程的几何意义,令|FA|=|t1|,|FB|=|t2|,则

|FA|·|FB|=|t1t2|=2.
                    x2 y2
    (2)由曲线  C 的方程12+    4 =1,可设曲线     C 上的任意一点      P 的坐
                      π
                  0 < θ <
标为(2  3cosθ,2sinθ)(   2),
    则以  P 为顶点的内接矩形的周长为
                             π
                           θ+
    4×(2 3cosθ+2sinθ)=16sin( 3),
             π
    因此当   θ=6时,可得该内接矩形周长的最大值为                16.
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