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东北三省四市2018届高考第二次模拟数学试题(文)含答案

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高中数学审核员

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                 东北三省四市教研联合体           2018 届高三第二次模拟考试

                                    文科数学

                               第Ⅰ卷(共      60 分)

一、选择题:本大题共          12 个小题,每小题      5 分,共  60 分.在每小题给出的四个选项中,只有

一项是符合题目要求的.

1.设集合    A  x x  1, B  x xx  3 0,则 A B (   )

A.(-1,0)         B.(0,1)       C.(-1,3)       D.(1,3)
            1 i
2.若复数   z       为纯虚数,则实数        a 的值为(   )
            1 ai
                             1
A.1         B.0       C.            D.-1
                             2
3.中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外.”其中的“筹”取意是指《孙子算经》中

记载的算筹.古代是用算筹来进行计算.算筹是将几寸长的小竹棍摆在下面上进行运算.算筹

的摆放形式有纵横两种形式(如下图所示).表示一个多位数时,像阿拉伯计数一样,把各个

数位的数码从左到右排列.但各位数码的筹式要纵横相间,个位,百位,万位数用纵式表示,

十位,千位,十万位数用横式表示.以此类推.例如                     3266 用箅筇表示就是                ,则

8771 用算筹可表示为(   )


中国古代的算筹数码

A.                    B.                  C.                  D.             

4.右图所示的程序框图是为了求出满足                2n  n2  28 的最小偶数   n ,那么在          空白框内
填入及最后输出的        n 值分别是(   )
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A.  n  n 1 和 6        B. n  n  2 和 6       C. n  n 1 和 8         

D.  n  n  2 和 8
                    tan x
5.函数   f (x) 1 x2     的部分图像大致为(   )
                      x


A.                     B.                   C.               D.


6.等差数列an    的公差不为零,首项         a1 1, a2 是 a1 和 a5 的等比中项,则数列an      的前

9 项之和是(   )

A.9                    B.10                 C.81               D.90

7.某几何体的三视图如图所示(单位:                cm ),其俯视图为等边三角形,则该几何体的体积

(单位:    cm3 )是(   )
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                    10                             8
A.  4 3          B.     3        C. 2 3          D.   3
                    3                              3

                                              2                   2   1
8.已知首项与公比相等的等比数列a              中,满足     a a   a2 (m,n N * ) ,则    的最小
                                n          m n    4               m   n
值为(   )
                3                      9
A.1         B.           C.2        D.
                2                      2

                 x
9.已知过曲线     y  e 上一点   P(x0 , y0 ) 做曲线的切线,若切线在       y 轴上的截距小于       0 时,则


 x0 的取值范围是(   )
                       1
A. (0,)          B. ( ,)       C. (1,)          D. (2,)
                       e
10.已知边长为     2 的等边三角形      ABC  , D 为 BC  的中点,以     AD 为折痕,将     ABC  折成直

二面角   B  AD  C ,则过   A, B,C, D 四点的球的表面积为(   )

A. 3          B. 4        C. 5         D. 6

                                                                    
11.将函数    f (x)  sin2x   的图像向右平移     a 个单位得到函数      g(x)  cos(2x  ) 的图
                       3                                             4

象,则   a 的值可以为(   )
    5                    7              9               41
A.                     B.              C.                D.      
    12                    12               24                24
                           x2    y2
12.已知焦点在     x 轴上的双曲线                1的左右两个焦点分别为          F 和  F ,其右支上存
                           m2   m2 1                        1    2


在一点   P 满足   PF1  PF2 ,且 PF1F2 的面积为    3,则该双曲线的离心率为(   )

     5                     7
A.                     B.              C. 2              D. 3  
    2                      2
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                               第Ⅱ卷(共      90 分)

二、填空题(每题        5 分,满分    20 分,将答案填在答题纸上)

                           y  0,
                           
13.设实数   x , y 满足约束条件      4x  y  0, 则 z  x  2y  5 的最大值为          .
                           
                           x  y  5,

14.为了了解居民天气转冷时期电量使用情况,某调查人员由下表统计数据计算出回归直线

方程为    y  2.11x  61.13 ,现表中一个数据为污损,则被污损的数据为          .(最

后结果精确到整数位)

  气温  x        18          13         10         -1

 用电量   y       24          34         ·          64

                             1  f (x)
15.已知函数     f (x) 满足 f (x 1)       ,当   f (1)  2 时, f (8)  f (9) 的值为          
                             1  f (x)

.
                                                      1
16.已知菱形    ABCD   的一条对角线      BD 长为  2,点   E 满足  AE    ED ,点  F 为  CD 的的中点.若
                                                      2

 AD  BE  2 则 CD  AF =          .

三、解答题 (本大题共          6 小题,共    70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 

17.已知  ABC  的内角    A, B,C 的对边分别为     a,b,c ,若 b  2 ,且

 2bcos B  a cosC  c cos A .
(I)求   B 的大小;

(II)求   ABC  面积的最大值.

18.树立和践行“绿水青山就是金山银山,坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心,

已形成了全民自觉参与,造福百姓的良性循环.据此,某网站退出了关于生态文明建设进展

情况的调查,调查数据表明,环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点,参与调查者中

关注此问题的约占80%         .现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出                     200 人,并将这

200 人按年龄分组:第        1 组[15,25) ,第  2 组[25,35) ,第  3 组[35,45) ,第  4 组[45,55) ,

第  5 组[55,65) ,得到的频率分布直方图如图所示.
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(I)求出    a 的值;

(II)求出这     200 人年龄的样本平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数

(精确到小数点后一位);

(III)现在要从年龄较小的第            1,2 组中用分层抽样的方法抽取           5 人,再从这     5 人中随机抽

取  3 人进行问卷调查,求第         2 组恰好抽到     2 人的概率.

19.在如图所示的几何体中,四边形              ABCD  是正方形,     PA  平面   ABCD  , E , F 分别是
线段   AD , PB 的中点,     PA  AB 1.


(1)证明:     EF  / / 平面 DCP ;

(2)求平面     EFC  与平面   PDC  的距离.

                               x2   y2                       1          3
20.在平面直角坐标系中,椭圆            C :        1(a  b  0) 的离心率为     ,点  M (1, ) 在椭
                               a2   b2                       2          2

圆 C 上.

(1)求椭圆     C 的方程;

(2)已知    P(2,0) 与 Q(2,0) 为平面内的两个定点,过          (1,0) 点的直线   l 与椭圆  C 交于  A ,

 B 两点,求四边形       APBQ  面积的最大值.

21.已知函数     f (x)  ln x, g(x)  x  m(m R) .

(I)若    f (x)  g(x) 恒成立,求实数     m 的取值范围;
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(II)已知    x1, x2 是函数 F(x)  f (x)  g(x) 的两个零点,且    x1  x2 ,求证:   x1x2  1 .

 请考生在    22、23  两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.

22.选修   4-4:坐标系与参数方程


在直角坐标系      xOy 中,以坐标原点为极点,           x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线               C1 :
                                        
  cos  3 ,曲线 C  :   4cos ( 0     ).
                  2                     2

(I)求   C1 与 C2 交点的极坐标;
                       2 
(II)设点    Q 在 C  上,  OQ    QP  ,求动点    P 的极坐标方程.
                2          3
23.选修   4-5:不等式选讲

已知函数     f (x) | 2x |  | 2x  3| m , m R .

(I)当   m  2 时,求不等式      f (x)  3 的解集;
                                    2
(II)对于    x (,0)  都有  f (x)  x  恒成立,求实数      m 的取值范围.
                                    x
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                            数学(文科)试题参考答案

一、选择题

1-5: CDCDD          6-10: CBACC       11、12:  CB

二、填空题
                                  7
13.14          14.38           15.             16.-7
                                  3
三、解答题

17.解:
                 a      b      C
(1)由正弦定理                        可得
               sin A  sin B  sin C
 2sin B cos B  sin AcosC  sin C cos A  sin B
                      1
∵ sin B  0 ,故 cos B   ,
                      2
                   
∵ 0  B   ,∴  B 
                    3
                
(2)由   b  2, B   ,由余弦定理可得       ac  a2  c2  4 ,
                 3
由基本不等式可得        ac  a2  c2  4  2ac  4,ac  4 ,

                          1                  1      3
而且仅当    a  c  2 时 S      acsin B 取得最大值      4      3 ,
                    ABC  2                  2      2

故  ABC 的面积的最大值为          3 .

18.解:(1)由10(0.010       0.015  a  0.030  0.010) 1,得 a  0.035 ,

(2)平均数为      200.1  300.15  400.35  500.3 600.1  41.5 岁;

设中位数为     x ,则100.010   100.015   (x  35)0.035  0.5 ,∴ x  42.1岁.

(3)第    1,2 组抽取的人数分别为        20 人,30  人,从第    1,2 组中用分层抽样的方法抽取           5 人,


则第   1,2 组抽取的人数分别为        2 人,3  人,分别记为      a1,a2 ,b1,b2 ,b3 .


设从   5 人中随机抽取     3 人,为(    a1,a2 ,b1 ),( a1,a2 ,b2 ),( a1,a2 ,b3 ),( a1,b1,b2 ),


(  a1,b1,b3 ),( a1,b2 ,b3 ),( a2 ,b1,b2 ),( a2 ,b1,b3 ),( a2 ,b2 ,b3 ),( b1,b2 ,b3 ),

共  10 个基本事件,


其中第    2 组恰好抽到    2 人包含(    a1,b1,b2 ),( a1,b1,b3 ),( a1,b2 ,b3 ),( a2 ,b1,b2 ),
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(  a2 ,b1,b3 ),( a2 ,b2 ,b3 )共 6 个基本事件
                          6   3
从而第    2 组抽到  2 人的概率       
                          10  5
19.解:(1)取     PC  中点  M ,连接    DM  , MF  ,
                                                  1
∵  M , F 分别是    PC , PB 中点,∴     MF / /CB , MF    CB ,
                                                  2
                                                 1
∵  E 为 DA 中点,   ABCD   为矩形,∴     DE / /CB , DE    CB ,
                                                 2
∴  MF / /DE , MF   DE ,∴四边形     DEFM   为平行四边形,

∴  EF / /DM ,∵  EF   平面  PDC  , DM    平面  PDC  ,

∴  EF / / 平面 PDC .

(2)∵   EF  ∥平面   PDC  ,∴  F 到平面    PDC  的距离等于     E 到平面   PDC  的距离,

∵  PA ⊥平面   ABCD  ,∴  PA   DA ,∵  PA  AD  1 ,在  RtPAD  中 DP    2 ,

∵  PA ⊥平面   ABCD  ,∴  PA   CB ,∵  CB   AB, PA AB  A ,∴  CB   平面  PAB ,∴

 CB  PB ,则   PC   3 ,∵  PD2   DC 2  PC 2 ,∴ PDC 为直角三角形,

          1           2
∴  S      1   2 
    PDC  2          2


VEPDC  VCPDE ,设 E 到平面   PDC  的距离为    h ,

又∵  CD   AD,CD    PA, AD  PA  A ,∴ CD   平面  PAD
   1   1         1   1
则   h  1 2   1 1 2
   3   2         3   2
        2
∴  h 
       4

                          2
∴  F 到平面   PDC  的距离为
                         4
              c   1
20.解:(1)∵          ,∴  a  2c ,
              a   2
             x2   y2
椭圆的方程为              1 ,
            4c2   3c2
     3         1    9
将 (1, ) 代入得            1,∴   c2 1,
     2        4c2  12c2
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            x2   y2
∴椭圆的方程为           1.
             4   3

                             x2 y2
                                  1,
(2)设  l 的方程为  x  my 1,联立   4   3
                            
                            x  my 1,

消去  x ,得 (3m2  4)y2  6my  9  0 ,


设点  A(x1, y1) , B(x2 , y2 ) ,
          6m            9
有 y  y        , y y        ,
   1  2  3m2  4   1 2 3m2  4

              12 1 m2  12(1 m2 )
有| AB | 1 m2                  ,
               3m2  4   3m2  4

                          3
点 P (2,0) 到直线 l 的距离为         ,
                        1 m2

                        1
点 Q(2,0) 到直线 l 的距离为         ,
                       1 m2

                       1  12(1 m2 )   4     24 1 m2
从而四边形         的面积                                    (或
         APBQ       S       2               2
                       2   3m   4   1 m2    3m  4
   1
S   | PQ || y  y | )
   2       1  2

令 t  1 m2 , t 1,
      24t     24                 1           1
有 S            ,设函数    f (t)  3t  , f '(t)  3  0 ,所以 f (t) 在[1,) 上
       2        1                             2
     3t 1  3t                  t           t
                t
单调递增,
     1            24t    24
有 3t   4 ,故 S            6 ,
                  2        1
     t          3t 1   3t 
                           t
所以当  t 1,即  m  0 时,四边形   APBQ 面积的最大值为      6.
                                                      1     1 x
21.解:(1)令   F(x)  f (x)  g(x)  ln x  x  m(x  0) ,有 F(x)  1  ,
                                                      x      x
当 x  1时, F(x)  0 ,当 0  x  1 时, F(x)  0 ,所以 F(x) 在(1,+∞)上单调递减,

在(0,1)上单调递增,
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F(x) 在 x 1处取得最大值为     1 m ,

若 f (x)  g(x) 恒成立,则 1 m  0 即 m  1,


(2)由(1)可知,若函数        F(x)  f (x)  g(x) 有两个零点,则 0  x1  1 x2

                     1
要证  x1x2  1 ,只需证 x2  ,由于   F(x) 在(1,+∞)上单调递减,从而只需证
                     x1

         1 
           ,由于                           ,
Fx2  F       Fx1  Fx2  0,m  ln x1  x1
         x1 

      1  1        1   1
即证 ln      m  ln     x1  ln x1  0
      x1 x1       x1  x1

         1                        1     2   x2  2x 1
令 h(x)    x  2ln x(0  x  1),h(x)   x       0 ,
         x                        x2     x     x2

有 h(x) 在(0,1)上单调递增,

h(x)  h(1)  0 ,


所以  x1x2  1 .

               cos  3,        3
22.解:(1)联立              cos    ,
                4cos,        2
              
∵ 0    ,    ,   2 3 ,
        2      6
                     
∴所求交点的极坐标       (2 3, ) .
                     6
                                          
(2)设  P(, ) , Q( , ) 且   4cos , [0, ) ,
                  0 0    0       0   0    2

               2
          2       0   ,
由已知  OQ    QP ,得      5
          3       
                  0  ,
  2                                            
∴    4cos ,点 P 的极坐标方程为      10cos , [0,  ) .
  5                                             2
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                                           
                                           4x 1, x  0,
                                           
                                              3
23.解:(1)当   m  2 时, f (x) | 2x |  | 2x  3| 2  1,  x  0,
                                              2
                                                      3
                                            4x  5, x   .
                                                     2

  4x 1 3,         1      3
当         解得  0  x  ;当    x  0 ,1 3 恒成立;
  x  0,            2      2

  4x  5  3,
                        3
当     3    解得  2  x   ,
   x   ,               2
     2

                       1 
此不等式的解集为      x | 2  x   .
                       2

                            2        3
                         x   3 m,   x  0,
                    2       x        2
(2)令  g(x)  f (x)  x   
                    x         2           3
                        5x   m  3, x   ,
                            x           2
   3                     2
当    x  0 时, g '(x)  1 ,当  2  x  0 时, g '(x)  0 ,所以 g(x) 在
   2                    x2
                     3                                  3
[ 2,0) 上单调递增,当       x   2 时, g '(x)  0 ,所以 g(x) 在[ , 2) 上单调递
                     2                                  2
减,


所以  g(x)min  g( 2)  2 2  3 m  0 ,

所以 m  2 2  3 ,
      3               2                     3
当 x   时,  g '(x)  5   0 ,所以 g(x) 在 (, ]上单调递减,
      2               x2                    2
               3      35
所以  g(x)   g( )  m   0 ,
       min     2      6
        35
所以 m     ,
         6

综上,  m  2 2  3 .

 
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