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2018秋新版高中数学北师大版必修4习题:第一章三角函数 1.8.2

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第   2  课时 函数               y=Asin(ωx+φ)的性质
                                              课时过关·能力提升
                                               𝜋
                                             =   对称的是(  )
1.下列函数中,最小正周期为            π,且图像关于直线         x  3
            𝜋
      𝑛 2𝑥 -
A.y=si (    3)
           𝜋
     𝑛 2𝑥 -
B.y=si (    6)
            𝜋
     𝑛 2𝑥 +
C.y=si (    6)
        𝑥 𝜋
      𝑛 +
D.y=si (2  6)
答案:B
                    𝜋
             𝑛 6𝑥 + 取最大值时,自变量𝑥的取值集合是(  )
2.当函数   y=8si (     3)
         5𝜋   𝑘𝜋
 . 𝑥 𝑥 = - +    ,𝑘 ∈ 𝑍
A { |     6    3         }
        𝜋   𝑘𝜋
 . 𝑥 𝑥 = +    ,𝑘 ∈ 𝑍
B { |   36    3        }
        𝑘𝜋
 . 𝑥 𝑥 = ,𝑘 ∈ 𝑍
C { |   3        }
        𝜋  𝑘𝜋
 . 𝑥 𝑥 = +  ,𝑘 ∈ 𝑍
D { |   9   3         }
                       𝜋             𝜋        𝜋            𝑘𝜋  𝜋
                𝑛 6𝑥 + = 1,此时     +   = 2𝑘𝜋 + (𝑘       =     +   (𝑘
解析:由题意,知      si (     3)        6x   3         2  ∈Z),故   x   3    36  ∈Z).
答案:B
                            𝜋
                          移   个单位长度后,所得函数图像的一条对称轴方程是(  )
3.函数  y=sin x 的图像向左平        4
      𝜋     𝜋
     ‒  𝐵.𝑥 =
A.x=  4      4
     𝜋     3𝜋
   =  𝐷.𝑥 =
C.x  2       4
                                𝜋                                                   𝜋
                              移  个单位长度后                                        𝑛 𝑥 + ,令
解析:函数    y=sin x 的图像向左平         4             ,所得图像对应函数的解析式为               y=si (    4)   x
  𝜋  𝜋                    𝜋
+   =   + 𝑘𝜋(𝑘         =   + 𝑘𝜋(𝑘
  4   2       ∈Z),解得    x   4       ∈Z),所以只有      B 正确.
                     中国现代教育网 www.30edu.com  全国最大教师交流平台

答案:B

★4.已知函数    f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 均为正的常数)的最小正周期为          π,当 x
  2𝜋
=    时,函数𝑓(𝑥)取得最小值,则下列结论中正确的是(  )
   3
A.f(2) 0,𝑓(2) = 𝐴𝑠𝑖𝑛 4 + = 𝐴𝑠𝑖𝑛 
  6       ∈Z,所以   f(x)=Asi (   6)    f(0)=Asi 6 2              (   6)  2     4
  𝐴                    𝜋     3       𝐴
+  𝑐𝑜𝑠         𝑛 - 4 + =‒   𝐴𝑠𝑖𝑛 + 𝑐𝑜𝑠 
  2    4<0,f(-2)=Asi (  6)    2     4  2    4.
    因为  f(2)-f(-2) = 3𝐴𝑠𝑖𝑛 4<0,
    所以  f(2) 𝑠𝑖𝑛 𝜋 + =‒ ,
    所以  si (  6)     (   6)   2
            𝜋  1
       𝑛 4 - +   > 0,
    即 si (  6)  2
    所以  f(-2) 0, - < 𝜑 < ,给出以下四个论断:
6.设 f(x)=sin(ωx+φ (    2      2)
                      𝜋
                    =   对称;
①f(x)的图像关于直线       x  12
                 𝜋
              点   ,0 对称;
②f(x)的图像关于      (3  )
③f(x)的周期是    π;
            𝜋
        间  -  ,0 上是增加的.
④f(x)在区   [ 6  )
以其中两个论断作为条件,余下的论断作为结论,写出你认为正确的一个命题 (用序号表示). 
解析:利用其中的两个条件确定            ω,φ,再探究其性质可得结论.由③知            ω=2,再由条件①或②得
   𝜋             𝜋
 =  ,则      𝑛 2𝑥 + ,从而得命题
φ  3   f(x)=si (  3)          ①③⇒②④,②③⇒①④.
答案:①③⇒②④或②③⇒①④
                      𝜋
                𝑛 2𝑥 + (𝑥
7.关于函数    f(x)=4si (  3)  ∈R),有下列命题:
                           𝜋
                         是  的整数倍;
①由  f(x1)=f(x2)=0 可得 x1-x2 必 2
                                         𝜋
                                    𝑠 2𝑥 - (𝑥
②函数   y=f(x)的表达式可以改写为        f(x)=4co (  6)  ∈R);
                                  𝜋
                                移  个单位长度得到;
③其图像可由      y=4sin 2x 的图像向左平      3
                         𝜋
                     点  - ,0 对称;
④函数   y=f(x)的图像关于      ( 6  )
                𝜋 𝜋
               -  , 上是增加的.
⑤函数   f(x)在 x∈[ 6 6]
其中,正确命题的序号是     . 

解析:满足    f(x1)=f(x2)=0 的 x1 与 x2 间相差为半个周期的整数倍,故①正确;f(x)=4si
      𝜋       𝜋     𝜋        𝜋              𝜋
𝑛 2𝑥 + = 4𝑐𝑜𝑠 - 2𝑥 + = 4𝑐𝑜𝑠 - 2𝑥 = 4𝑐𝑜𝑠 2𝑥 - ,故
 (    3)      [2 (    3)]      (6    )     (    6)  ②正确;将    y=4sin 2x 的图像向左平
  𝜋                           2𝜋
移  个单位长度                 𝑛 2𝑥 +  ,故
  3         ,得到函数    y=4si (    3 )  ③错误;
         𝜋
      𝑓 - = 4𝑠𝑖𝑛 
    ∵  ( 6)      0=0,故④正确;
           𝜋 𝜋     𝜋    2𝜋
          - ,  时   +   ∈ 0,   ,故
    当 x∈[  6 6]  ,2x 3   [ 3 ]  ⑤错误.
答案:①②④
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                                                               𝜋
                                                             =  .
★8.设函数   y=f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)的图像的一条对称轴是直线        x  8
(1)求 φ 的值;
(2)求函数  y=f(x)的递增区间.
         𝜋
       =  是函数
解(1)∵x   8      y=f(x)的图像的一条对称轴,
            𝜋
       𝑛 2 × + 𝜑 = ± 1.
    ∴si (   8    )
     𝜋          𝜋
    ∴  + 𝜑 = 𝑘𝜋 + (𝑘
     4           2  ∈Z).
    ∵-π<φ<0,
          3𝜋
        ‒   .
    ∴φ=    4
                 3𝜋
               ‒   ,
    (2)由(1)知 φ=   4
               3𝜋
         𝑛 2𝑥 - .
    ∴y=si (    4 )
                 𝜋    3𝜋      𝜋
                ‒     ‒       +  (𝑘
    由题意,得   2kπ  2≤2x   4 ≤2kπ  2  ∈Z).
          𝜋      5𝜋
        +       +    (𝑘
    ∴kπ   8≤x≤kπ   8  ∈Z),
                   3𝜋
              𝑛 2𝑥 - 的递增区间为
    ∴函数   y=si (    4 )
         𝜋    5𝜋
    𝑘𝜋 + ,𝑘𝜋 + (𝑘
    [    8     8 ]  ∈Z).
                                    𝜋
                              𝑛 2𝑥 + 的图像.
★9.用“五点法”在图中作出函数           y=si (   3)


(1)求函数的最小正周期;
(2)求函数的最大值、最小值及相应             x 的值;
                𝜋
          𝑛 2𝑥 + 的图像可由函数𝑦    = 𝑠𝑖𝑛 𝑥的图像怎样变换得到?
(3)函数 y=si (    3)
解列表:
                               𝜋        𝜋     𝜋   7𝜋      5𝜋
             x                ‒
                               6        12      3    12       6
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                 𝜋                     𝜋           3𝜋
               +              0                 π             2π
             2x  3                      2             2
             y                0         1       0    -1       0

图像如图.


         2𝜋
       =    = 𝜋.
    (1)T  2
            𝜋       𝜋               𝜋
           +  = 2𝑘𝜋 + (𝑘         +   (𝑘
    (2)当 2x 3        2  ∈Z),即  x=kπ  12   ∈Z)时,ymax=1;
          𝜋       𝜋             5𝜋
        +   = 2𝑘𝜋 ‒ (𝑘        ‒   (𝑘
    当 2x  3        2  ∈Z),即  x=kπ 12   ∈Z)时,ymin=-1.
                                          𝜋           𝜋
                                     𝑛 𝑥 + 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 + .
    (3)(方法一)y=sin x               y=si (  3)      (    3)
                                                                    𝜋          𝜋
                                                             𝑛 2 𝑥 + = 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 + .
    (方法二)y=sin x                     y=sin 2x            y=si [ (   6)]    (    3)
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