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【全国百强校】重庆一中2017-2018年度高一上期末数学试题(含答案解析)

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        重庆一中     2017-2018 年度高一上期末数学试题


一、单选题
       5𝜋
   tan
1、    ( 3 )=(    )
                                 3            3
A. - 3         B. 3                          
                            C.- 3         D. 3    
              𝑥 + 1
2、函数𝑓(𝑥)=2𝑎   ‒ 1  (𝑎 >0,且𝑎≠1)恒过定点(    )

A. (-1,-1)     B.(-1,1)   C.(0, 2𝑎 ‒ 1) D.(0,1)
                           𝑎      𝑎
                       cos  > 0
3、已知𝑎是第三象限角,且             2   ,则2所在的象限是(    )
A.第一象限         B.第二象限        C.第三象限         D.第四象限

4、已知𝐴  = {𝑥|𝑦 = ln 𝑥},𝐵 = {𝑦|𝑦 = 𝑥},则( )

A.𝐴 ∩ 𝐵 = ∅  B.𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴 C.(𝐶𝑅𝐴) ∪ 𝐵 = 𝑅 D.𝐴 ⊇ 𝐵

          2
5、若方程𝑥    + 𝑎𝑥 + 𝑎 = 0的一根小于-2,另一根大于-2,则实数

𝑎的取值范围是(   )

A.(4, + ∞)  B.(0,4)    C.(-∞,0) D.(-∞,0) ∪ (4, + ∞) 
                                          2
6、若幂函数𝑓(𝑥)的图像过点(16,8),则𝑓(𝑥)      < 𝑓(𝑥 )的解集为(  )

A. (-∞,0)   ∪ (1, + ∞)    B.(0,1)  C.(-∞,0) D.(1, + ∞) 

7、已知函数𝑓(𝑥)   = cos (2𝜔𝜋)(𝜔 > 0),若𝑓(𝑥)的最小正周期为𝜋,

则𝑓(𝑥)的一条对称轴是(   )
     𝜋          𝜋          𝜋          3𝜋
  𝑥 =         𝑥 =       𝑥 =        𝑥 =
A.   8      B.   4     C.    2     D.    4  
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                                  𝜋      𝜋
                            𝑃𝑃(sin ,1 ‒ cos )
8、若角𝑎(0≤𝑎≤2π)的终边过点               5      5 ,则𝑎=(   )
  11𝜋     7𝜋     2𝜋       𝜋
                             
A. 10    B. 10    C. 5    D. 10 
                 2
9、若不等式log𝑎   (𝑎𝑥 ‒ 2𝑥 + 1) > 0(𝑎 >0,且𝑎≠1)在𝑥 ∈ [1,2] 上恒
成立,则𝑎的取值范围是( )
                                                      1
A.(1,2)     B.(2, + ∞)    C.(0,1) ∪ (2, + ∞)      D.(0,2) 
               2  ‒ |𝑥| 2
10、函数𝑓(𝑥) = 𝑥 ∙ 2  ‒ 2𝑥 + 1的零点个数为(  )

A.1      B.2      C.3     D.4

11、(2  3cos 20° ‒ tan 70°)cos 10° = (      )

  1         3
A.2      B. 2     C.1     D. 3
                         2
12、函数𝑓(𝑥) = 2𝑥 ‒ 3 ‒ ‒ 𝑥 + 6𝑥 ‒ 8的值域是(     )

A.[3- 5,5]     B.[1,5]    C.[2,3+ 5]     D.[3- 5,3+ 5]

二、填空题
                 𝑥 ‒ 1
                     < 2
13、关于𝑥的不等式       𝑥    的解集是
____________________________.
               𝜋  3     𝜋            𝜋
        sin (𝑎 + ) = ,𝑎 ∈ ( ,𝜋) tan (𝑎 ‒ )
14、已知          6   5     2  ,则         12 ____________.
15、若函数𝑓(𝑥)满足:对任意实数𝑥,有𝑓(2         ‒ 𝑥) + 𝑓(𝑥) = 0且

                                             2
𝑓(𝑥 + 2) + 𝑓(𝑥) = 0,当𝑥 ∈ [0,1]时,𝑓(𝑥) =‒ (𝑥 ‒ 1) ,则

 𝑥 ∈ [2017,2018]时, 𝑓(𝑥) = ______________________________.

16、已知函数𝑓(𝑥)   =  3sin 2𝑥 + |cos 2𝑥|,现有如下几个命题;其中正
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确命题的编号为 __________________ . 

①该函数为偶函数;
    𝜋 𝜋
       
②[-4, 6]是该函数的一个单调递增区间; 
③该函数的最小正周期为𝜋; 
                     7𝜋
                       ,0)
④该函数的图像关于点(          12  对称;
⑤该函数的值域为[1,2].

三、主观题
               𝜋
        tan (𝑎 +  ) =‒ 2
17、已知           4
(1)求tan   𝑎的值; 
              3𝜋
       cos 𝑎 ‒  [sin (𝜋 + 𝑎) ‒ 2cos (𝜋 ‒ 𝑎)]
(2)求      (   2 )                      的值.


                                        log  2
               log3 2                     5
              9    + (log3 5) × (log100 3) +
18、(1)计算                                log5 10
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                       𝑎 + 𝑎 ‒ 1
          2             1    1
                            ‒
          3             3    3
(2)已知𝑎    = 2 +  3,求𝑎  + 𝑎 的值


               𝑥 + 1    ‒ 𝑥
19、已知 𝑓(𝑥) = 2   + 𝑎 ∙ 2 (𝑎 ∈ 𝑅).

(1)若𝑓(𝑥)是奇函数,求𝑎的值,并判断𝑓(𝑥)的单调性(不用证明)

;

(2)若函数𝑦    = 𝑓(𝑥) ‒ 5在区间(0,1)上有两个不同的零点,求𝑎的

取值范围.
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                  4       2
20、已知 𝑓(𝑥) = 4cos 𝑥 + 4sin 𝑥 ‒ 3sin 2𝑥cos 2𝑥

(1)求𝑓(𝑥)的最小正周期; 

(2)将𝑓(𝑥)的图像上的各点的横坐标伸长为原来的                 2 倍,纵坐标不
                       𝜋
变,再将所得图像向右平移3个单位,得到函数𝑦                   = 𝑔(𝑥)的图像,求
           𝜋
       𝑥 ∈ [0, ]
𝑔(𝑥)在     2 上的单调区间和最值.


21、义域为𝑅的函数𝑓(𝑥)满足:对任意实数            x,y 均有

𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) + 2,且𝑓(2) = 2,又当𝑥 > 1时,𝑓(𝑥) > 0.

(1)求𝑓(0)、𝑓(  ‒ 1)的值,并证明:当𝑥      < 1时,𝑓(𝑥) < 0;

                2        2         2
(2)若不等式𝑓((𝑎     ‒ 𝑎 ‒ 2)𝑥 ‒ (2𝑎 ‒ 1) 𝑥 + 2) + 4 < 0对任意
 𝑥 ∈ [1,3]恒成立,求实数𝑎的取值范围.
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22、已知𝑓(𝑥) = log2 𝑥
                           𝑥
           𝑔(𝑥) = f2 (𝑥) + 2𝑓( )
(1)求函数                     16 的单调区间;
(2)求证:𝑥    ∈ [𝜋,2𝜋]时,

(1 ‒ sin 𝑥)f2 (𝑥) ‒ (1 ‒ sin 𝑥 ‒ cos 𝑥)𝑓(𝑥) + 4 𝜋
                                     +  2sin 𝑥sin (𝑥 + ) > 2
                𝑓(𝑥)                              4
成立.


答案

1、【分析】本题考查诱导公式及正切函数的性质,由诱导公式和正

切函数的周期性即可求解.

【解答】解:                                              .
故选  A.

2、【分析】本题考查指数运算及指数函数的性质,令                     x=-1 即可求解.

【解答】解: 令      x=-1 得 f(1)=2a0-1=1,
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即函数              (a>0 且 a≠1) 的图象恒过定点       P(-1,1).
故选  B.

3、【分析】本题考查象限角信余弦函数的性质,由已知结合象限角

的概念即可求解.

【解答】解:因为         是第三象限角,

可设                 ,k∈Z,

则                ,k∈Z,

当 k 为偶数时,     在第二象限,当       k 为奇数时,    在第四象限,

即   在第二象限或第四象限,

因为        ,

所以    在第四象限,
故选  D.

4、【分析】本题考查集合的运算及关系,同时考查对数函数的性质,

求出  A,B 即可求解.

【解答】解: 由已知                                      ,

所以           ,

所以           .

故选  C.

5、【分析】本题考查二次方程的分布,利用二次方程的根与二次函

数的零点间的关系即可求解.

【解答】解: 设                 ,

因为方程            的一根小于       ,另一根大于        ,
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所以  f(-2)=4-2a+a<0,

解得  a>4.

故选  A.

6、【分析】本题考查幂函数及二次不等式的求解,设解析式,由已知

求出解析式,然后利用函数的性质求解即可.

【解答】解: 设幂函数的解析式为              f(x)=xα,

因为幂函数        的图象过点         ,

所以  8=16α,

即 23=24α,

所以      ,
所以        ,

则 f(x)的定义域为[0,+∞),且单调递增,

则         等价于          ,
解得  x>1,

所以          的解集为         .

故选  D.

7、【分析】

本题考查余弦函数的性质,由已知求出                 ,然后利用余弦函数的性质

即可求解.

【解答】

解: 因为函数                   的最小正周期为        ,
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所以         ,
所以     ,

即         ,

令          ,得    对称轴方程是               ,

当 k=1 时,     的一条对称轴是           .
故选  C.

8、【分析】

本题考查任意角的三角函数及二倍角公式,由正切函数的定义结合二

倍角公式即可求解.

【解答】

解: 因为角     (0≤   ≤2π)的终边过点                   ,

所以                            ,

又                ,
所以  P 在第一象限,

所以  α  为锐角,

所以      .
故选  D.

9、【分析】

本题考查对数函数的性质及不等式恒成立问题,同时考查二次函数,

分类讨论,然后分离参数求解即可.

【解答】
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解: ①若   a>1,则由已知有               即         在       上恒成立,


即 ax>2 在       上恒成立,

所以          ,

又     在[1,2]上单调递减,所以              ,
所以  a>2,

②若  02.

故选  B.

10、【分析】

本题考查函数的奇偶性及单调性,同时考查函数零点存在性定理和指

数函数的性质,由已知         f(x)为偶函数,且在[0,+∞)单调递减,结合函

数零点存在性定理即可求解.

【解答】

解: 因为                                      ,

所以  f(x)为偶函数,
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当 x≥0  时,               ,

设 0≤x10,           ,
所以  f(x)在(0,1)有一个零点,

则由偶函数知      f(x)在(-1,0)有一个零点.

故 f(x)有  2 个零点.

故选  B.

11、【分析】

本题考查同角关系式及两角和与差的三角函数,同时考查二倍角公式,切

化弦,然后结合二倍角公式及两角和与差的三角函数即可求解.

【解答】

解: 
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   .
故选  A.

12、【分析】

本题考查函数的值域的求解及余弦函数的性质,同时考查辅助角公式,令

x-3=cosα,α∈[0,π],然后利用余弦函数的性质即可求解.

【解答】

解: 因为                                   ,

所以令   x-3=cosα,α∈[0,π],

则                                          , 为锐角,
所以            ,

所以当         即 α=0 时,f(x)取得最大值                       ,
当      时, f(x)取得最小值                          ,

即函数                     的值域是          .
故选  A.

13、【分析】

本题考查分工不等式的解法及二次不等式的求解,将分式不等式变为

二次不等式求解即可.

【解答】

解: 不等式          变形为                 ,
即 x(x+1)>0,

解得  x<-1 或 x>0,

所以不等式           的解集是                .
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故答案为                 .

14、【分析】

本题考查两角和与差的三角函数及同角关系式,由已知求出

                即可求解.
【解答】

解: 因为                   ,

所以                          ,

所以                                                 ,

                                               ,

所以                      .

故答案为-7.

15、【分析】

本题考查函数的周期性和函数解析式的求解,由已知                     f(x)的周期为    4,求

出       的解析式即可求解.

【解答】

解: 因为              ,

所以  f(x+2)=-f(x),

所以  f(x+4)=-f(x+2)=f(x),

即 f(x)的周期为     4,

设       ,则        ,

所以                             ,
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当          时,           ,

所以                               .

故答案为           .

16、【分析】

本题考查正弦余弦函数的性质及函数的奇偶性周期性,同时考查函数

的值域的求解,逐一判断即可求解.

【解答】

解: 对于①,因为                      ,所以   f(x)不是偶函数,所以错
误;

对于②,当             时,                         ,又

            ,所以               在       上单调递增,所以正确;
对于③,该函数的最小正周期为              ,所以正确;

对于④,因为                     ,所以             ,即 f(x)的图象不

关于点        对称,所以错误;
对于⑤,画出     f(x)的图象如下图,


                      ,

知函数的值域为           ,所以错误.

故答案为②③.

17、解:(1)
       ;
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(2) 


试题解析: 

本题考查两角和与差的三角函数及诱导公式与同角关系式.

(1)由两角和的正切公式求解即可;

(2)由诱导公式将要求式化简,然后利用同角关系式求解即可.

18、解:(1)

              ;
(2)设     则        ,

所以                                      .

19、解:(1)因为         是奇函数,

所以                                         ,

所以      ;

           在        上是单调递增函数;

(2)        在区间(0,1)上有两个不同的零点,

等价于方程                 在区间(0,1)上有两个不同的根,

即方程             在区间(0,1)上有两个不同的根,

所以方程            在区间        上有两个不同的根,

画出函数            在(1,2)上的图象,如下图,
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由图知,当直线      y=a 与函数          的图象有     2 个交点量时            ,

所以   的取值范围为              .
20、解:(1) 


            ,             

所以     的最小正周期为         ;

(2)由已知有                  ,

因为         ,

所以               ,

当            ,即        时,g(x)单调递增,

当            即        时,g(x)单调递减,

所以  g(x)的增区间为         ,减区间为          ,

所以     在        上最大值为           ,最小值为           .
21、解:(1)令        ,得        ,

令      , 得       ,
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令        ,得          ,

设     ,则                ,

因为                           ,

所以               ;

(2)设      ,

 

           ,                       

因为            所以             ,

所以     为增函数,

所以

                                                        ,

 即                      ,

上式等价于                       对任意        恒成立,

因为        ,所以

上式等价于                          对任意         恒成立,

设           ,                                 (    时取等)

,

所以        ,

解得      或     .

22、(1)解:由已知                              ,
所以                           ,
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令        得     ,

由复合函数的单调性得             的增区间为         ,减区间为           ;

(2)证明:           时,         ,       ,             ,当
   时取等号,


                    ,    

设          ,由         得         ,且             ,

从而                                       ,
由于上述各不等式不能同时取等号,所以原不等式成立.
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