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2016年高考数学理真题分类汇编:三角函数 Word版含解析

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                  2016   年高考数学理试题分类汇编
                                  三角函数
一、选择题
                                                     
1、(2016   年北京高考)将函数         y  sin(2x  ) 图象上的点   P(   ,t) 向左平移  s ( s  0 ) 
                                       3              4

个单位长度得到点        P ' ,若 P ' 位于函数   y  sin 2x 的图象上,则(       )

     1                             3               
A. t  , s 的最小值为              B. t    , s 的最小值为           
     2               6             2                 6

     1                             3              
C. t  , s 的最小值为             D. t    , s 的最小值为       
     2               3             2                3

【答案】A

2、(2016   年山东高考)函数        f(x)=(    3 sin x+cos x)( 3 cos x –sin x)的最小正周期是
         π                                      3π
    (A)                 (B)π               (C)                (D)2π
          2                                      2
【答案】B
                                            π
3、(2016   年四川高考)为了得到函数           y  sin(2x  ) 的图象,只需把函数        y  sin 2x 的图
                                            3
象上所有的点
                   π                                π
  (A)向左平行移动        3 个单位长度         (B)向右平行移动        3 个单位长度

                   π                              π
  (C)向左平行移动        6 个单位长度       (D)向右平行移动        6 个单位长度

【答案】D

                                                        
4、(2016   年天津高考)在△ABC       中,若    AB= 13 ,BC=3, C 120  ,则 AC= (    )

    (A)1            (B)2       (C)3            (D)4

【答案】A

                                                          π       π
5、(2016   年全国   I 高考)已知函数      f (x)  sin(x+)(  0,   ), x   为 f (x) 的零
                                                          2       4

             π                                    π 5π
      点,  x   为 y  f (x) 图像的对称轴,且       f (x) 在 ( ,  ) 单调,则    的最大值为
             4                                   18 36
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      (A)11                 (B)9               (C)7                  (D)5

【答案】B
                                                        
6、(2016   年全国   II 高考)若将函数     y  2sin 2x 的图像向左平移        个单位长度,则平移后
                                                        12
图象的对称轴为(            )
             k                     k   
    (A)   x       (k  Z)   (B) x       (k  Z)   
              2   6                   2   6
             k                      k   
    (C)   x       (k  Z)   (D) x        (k  Z)
              2   12                   2   12


【答案】B[
                                 3
7、(2016   年全国   III 高考)若  tan     ,则  cos2   2sin 2   
                                 4
        64                  48                                16
     (A)               (B)               (C)  1            (D)    
        25                  25                                25
【答案】A
                                        π                 1
8、(2016   年全国   III 高考)在△ABC    中,  B =  ,BC  边上的高等于       BC ,则 cos A =  
                                        4                 3

         3 10                 10                 10               3 10
    (A)                 (B)              (C)-              (D)-
          10                  10                10                 10
【答案】C

9、(2016   年浙江高考)设函数         f (x)  sin2 x  bsin x  c ,则 f (x) 的最小正周期

A.与   b 有关,且与    c 有关    B.与  b 有关,但与     c 无关
C.与   b 无关,且与    c 无关   D.与   b 无关,但与     c 有关
【答案】B
                                     3
10、(2016   年全国   II 高考)若  cos(  )    ,则  sin 2  (    )
                              4       5
          7             1            1              7
    (A)           (B)         (C)          (D)   
          25            5            5             25
【答案】D

二、填空题

1、(2016   年上海高考)方程       3sin x 1 cos 2x 在区间0,2  上的解为___________  
           5
【答案】      或
         6   6
2、(2016   年上海高考)已知       ABC  的三边长分别为       3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于

_________
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         7 3
【答案】
          3

                         π     π
3、(2016   年四川高考)cos2       –sin2 =         .
                         8     8
          2
【答案】
         2
                                                                       4
4、(2016   年全国   II 高考)  ABC 的内角    A, B,C 的对边分别为     a,b,c ,若 cos A   ,
                                                                       5
        5
 cosC    ,  a 1,则  b          .
        13
         21
【答案】
        13

5、(2016   年全国   III 高考)函数   y  sin x  3 cos x 的图像可由函数    y  sin x  3 cos x 的

    图像至少向右平移_____________个
单位长度得到.
         
【答案】
         3

6、(2016   年浙江高考)已知        2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则 A=______,b=________.

【答案】      2    1


三、解答题

                                   2   2    2
1、(2016   年北京高考)      在  ABC 中,  a   c  b   2ac .

(1)求   B   的大小;

(2)求     2 cos A  cosC  的最大值.

                2  2   2
【解析】⑴        ∵ a  c  b  2ac

              2   2   2
           ∴ a   c  b  2ac
                    a2  c2  b2 2ac   2
             cos B                
           ∴           2ac      2ac   2
                  π
             B  
           ∴      4
        ⑵∵   A  B  C  π
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                    3
              A  C  π
           ∴        4
           ∴   2 cos A  cosC
                         2         2
             2 cos A  ( cos A)  sin A
                         2        2
              2        2             π
               cos A   sin A  sin(A  )
              2        2             4
                    3
              A  C  π
           ∵        4
                   3
              A(0, π)
           ∴       4
                 π   π
              A  (  , π)
           ∴     4   4
                    π
             sin(A  )
           ∴        4  最大值为    1
           上式最大值为      1

2、(2016   年山东高考)在△ABC        中,角   A,B,C   的对边分别为      a,b,c,已知

                 tan A  tan B
 2(tan A  tan B)          .
                 cos B  cos A

    (Ⅰ)证明:a+b=2c;

    (Ⅱ)求    cosC 的最小值.

                              tanA   tanB
【解析】(Ⅰ)由      2(tanA + tanB) =     +      得
                              cosB   cosA

         sinC       sinA        sinB
    2                               ,
       cosAcosB   cosAcosB   cosAcosB
  所以  2sin C  sin B  sin C ,由正弦定理,得     a + b = 2c .

                a2  b2  c2 (a  b)2  2ab  c2
(Ⅱ)由    cosC             
                   2ab             2ab

       3c2         3c2        3     1
          1           1   1   .
       2          a  b 2     2     2
        ab      2(     )
                    2

                         1
     所以  cosC  的最小值为      .
                         2

3、(2016   年四川高考)在△ABC        中,角   A,B,C 所对的边分别是      a,b,c,且
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 cos A  cos B  sin C
                  .
   a      b      c
(I)证明:     sin Asin B  sin C ;
                    6
(II)若  b2  c2  a2  bc ,求 tan B .
                    5
                              a     b     c
                                      
【解析】(I)证明:由正弦定理             sin A  sin B sin C 可知
                          cos A cos B  sin C
                                         1
            原式可以化解为       sin A sin B  sin C
            ∵ A 和 B 为三角形内角       ,  ∴ sin Asin B  0
            则,两边同时乘以        sin Asin B ,可得 sin B cos A  sin Acos B  sin Asin B
                            sin B cos A sin Acos B sin A B sin   C   sin C
            由和角公式可知,                                     
            原式得证。
                            6                           b2  c2  a2 3
                 b2  c2  a2  bc                cos A          
        (II)由题              5   ,根据余弦定理可知,                 2bc      5
                                 A  0,
             ∵ A 为为三角形内角,              , sin A  0
                            2
                          3  4     cos A 3
               sin A  1   
                          5    5          
             则                ,即   sin A 4
                        cos A cos B sin C       cos B  1    1
                                       1               
             由(I)可知     sin A sin B sin C  ,∴   sin B tan B 4
             ∴ tan B  4
                                                    
4、(2016   年天津高考)已知函数         f(x)=4tanxsin(  x )cos( x  )- 3 .
                                         2           3
        (Ⅰ)求  f(x)的定义域与最小正周期;
                             
      (Ⅱ)讨论     f(x)在区间[    ,  ]上的单调性.
                            4 4


                                                                  
  解:令   z  2x   , 函数 y  2sin z 的单调递增区间是           2k ,  2k ,k  Z.
                    3                                2       2      
                                             5
  由     2k  2x       2k ,得     k  x     k ,k  Z.
      2             3   2           12           12
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                                 5                              
   设  A    ,  , B  x   k  x     k ,k  Z  ,易知 A B     ,   .
           4  4        12           12                          12  4 

                                                            
所以,   当 x     ,   时, f x 在区间       ,   上单调递增,     在区间       ,    上单调
            4  4                12 4                   4  12

递减.

5、(2016   年全国   I 高考)△ABC     的内角   A,B,C   的对边分别为      a,b,c,已知

      2cosC(a cos B+bcos  A)  c.  

      (I)求  C;

                                  3  3
      (II)若  c  7,△ABC   的面积为        ,求△ABC     的周长.
                                    2
【解析】

(1) 2cosC a cos B  bcos A c

       由正弦定理得:       2cosC sin A cos B  sin B  cos A sin C

       2cosC sin A  B sin C

       ∵ A  B  C  π , A、B、,C 0 π

       ∴ sin A  B sin C  0

                          1
       ∴ 2cosC 1 , cosC 
                          2
       ∵ C 0,π

             π
       ∴ C 
             3
    ⑵  由余弦定理得:       c2  a2  b2  2ab  cosC
                      1
       7  a2  b2  2ab 
                      2

       a  b2  3ab  7

          1           3     3 3
       S   ab sin C  ab 
          2           4      2
       ∴ ab  6

       ∴ a  b2 18  7
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       a  b  5

       ∴△ABC   周长为   a  b  c  5  7

6、(2016   年浙江高考)在△ABC        中,内角    A,B,C   所对的边分别为       a,b,c.    已知  b+c=2a 
cos B.
(I)证明:A=2B;

                      a2
(II)若△ABC    的面积   S=    ,求角   A 的大小.
                       4
.


           a2   1          a2
(II)由  S     得   absin C    ,故有
            4   2           4
            1
 sin sin C  sin 2  sin cos ,
            2
因 sin   0 ,得 sin C  cos .
                          
又  ,  C0,  ,所以   C      .
                          2
                   
当   C    时,  A    ;
          2         2
                   
当 C      时,  A    .
          2         4
                  
综上,   A    或  A    .
           2       4
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