网校教育资源平台

2018年高中数学第三章不等式3.4基本不等式学案新人教A版必修5

评价文档:
文档评论: 0

高中数学审核员

中国现代教育网
分享到:
0积分 下载
                 中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台

                                                a+b
                                基本不等式:      ab ≤
                          3.4                    2


     预习课本    P97~100,思考并完成以下问
     题
    (1)基本不等式的形式是什么?需具备哪些条件?

     

     
    (2)在利用基本不等式求最值时,应注意哪些方面?

      

     
    (3)一般按照怎样的思路来求解实际问题中的最值问题?

     

     

     

                                    [新知初探]
    1.重要不等式
    当 a,b  是任意实数时,有        a2+b2≥2ab,当且仅当      a=b  时,等号成立.
    2.基本不等式
                                     a+b
    (1)有关概念:当      a,b 均为正数时,把        2  叫做正数    a,b 的算术平均数,把         ab叫做
正数   a,b 的几何平均数.
    (2)不等式:当     a,b  是任意正实数时,a,b        的几何平均数不大于它们的算术平均数,
       a+b
即  ab≤  2 ,当且仅当      a=b 时,等号成立.
                 a+b    a2+b2
    (3)变形:ab≤(     2 )2≤  2   ,a+b≥2   ab(其中  a>0,b>0,当且仅当        a=b  时等号
成立).
    [点睛] 基本不等式成立的条件:a>0               且 b>0;其中等号成立的条件:当且仅当                a=
                               a+b               a+b
b 时取等号,即若       a≠b 时,则    ab≠  2 ,即只能有      ab<  2 .
                 中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台

                                    [小试身手]
    1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
    (1)对任意   a,b∈R,a2+b2≥2ab,a+b≥2        ab均成立(  )

                     4     4
                         a·
    (2)若 a≠0,则    a+a≥2    a=4(  )
                          a+b
    (3)若 a>0,b>0,则    ab≤( 2  )2(  )
    解析:(1)错误.任意        a,b∈R,有    a2+b2≥2ab  成立,当    a,b 都为正数时,不等式
a+b≥2   ab成立.

                                                       4     4
                                                            a·
    (2)错误.只有当      a>0 时,根据基本不等式,才有不等式              a+a≥2    a=4  成立.
                     a+b            a+b
    (3)正确.因为      ab≤  2 ,所以   ab≤(  2 )2.
    答案:(1)× (2)× (3)√
    2.若  a>b>0,则下列不等式成立的是(  )
             a+b
    A.a>b>    2 >  ab
          a+b
    B.a>   2 >  ab>b
          a+b
    C.a>   2 >b>   ab
               a+b
    D.a>   ab>  2 >b
                  a+a   a+b
    解析:选    B a=   2  >  2 >  ab>  b·b=b,因此    B 项正确.
                    9
    3.若  x>0,则   x+x+2  有(  )
    A.最小值    6                      B.最小值     8
    C.最大值    8                       D.最大值    3

                     9        9                  9
                            x·
    解析:选    B 由   x+x+2≥2     x+2=8(当且仅当      x=x,即   x=3 时,取等号),故选
B.
    4.利用基本不等式求最值,下列运用正确的是(  )

                4        4
                     |x|2·
    A.y=|x|2+|x|≥2      |x|=4 |x|≥0

                  4           4
                        sin x·
    B.y=sin x+sin x≥2       sin x=4(x 为锐角)
                 中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台

                  a  b    a b
                           ·
    C.已知   ab≠0,b+a≥2     b a=2

              4       4
                   3x·
    D.y=3x+3x≥2       3x=4
                                                                   4
    解析:选    D 在   A 中,4  |x|不是常数,故     A 选项错误;在     B 中,sin    x=sin x时无解,
                                      a  b
y 取不到最小值      4,故  B 选项错误;在      C 中,b,a未必为正,故        C 选项错误;在      D 中,3x,
 4              4
3x均为正,且     3x=3x时,y   取最小值    4,故   D 选项正确.


                                       利用基本不等式比较大小

                          1
    [典例] (1)已知     m=a+a-2(a>2),n=22-b2(b≠0),则        m,n 之间的大小关系是(  
)
    A.m>n                           B.mb>1,P=   lg a·lg b,Q=2(lg a+lg b),R=lg    2  ,则  P,Q,R  的大小关系
是________.
                                                  1            1
    [解析] (1)因为     a>2,所以   a-2>0,又因为     m=a+a-2=(a-2)+a-2+2,所以
              1
     a-2·
m≥2         a-2+2=4,由     b≠0,得   b2≠0,所以    2-b2<2,n=22-b2<4,综上可知
m>n.
    (2)因为  a>b>1,所以    lg a>lg b>0,
           1
    所以  Q=2(lg a+lg b)>   lg a·lg b=P;
       1                                     a+b
    Q=2(lg a+lg b)=lg    a+lg   b=lg   ab0,b>0.      

    [活学活用]
     已知   a,b,c   都是非负实数,试比较          a2+b2+   b2+c2+  c2+a2与  2(a+b+c)的大
小.
    解:因为    a2+b2≥2ab,所以     2(a2+b2)≥(a+b)2,
                  2
    所以    a2+b2≥  2 (a+b),
                  2                 2
    同理    b2+c2≥  2 (b+c),  c2+a2≥  2 (c+a),
                                   2
    所以    a2+b2+  b2+c2+   c2+a2≥  2 [(a+b)+(b+c)+(c+a)],
    即  a2+b2+  b2+c2+   c2+a2≥  2(a+b+c),当且仅当       a=b=c  时,等号成立.

                                      利用基本不等式证明不等式

                                          2b+3c-a   a+3c-2b   a+2b-3c
    [典例] 已知     a,b,c  均为正实数, 求证:             a   +    2b   +    3c   ≥3.
    [证明] ∵a,b,c      均为正实数,
      2b  a
    ∴  a +2b≥2(当且仅当     a=2b 时等号成立),
    3c  a
     a +3c≥2(当且仅当     a=3c 时等号成立),
    3c  2b
    2b+3c≥2(当且仅当      2b=3c 时等号成立),
                    2b  a    3c  a    3c 2b
                      +        +       +
    将上述三式相加得(        a  2b)+( a  3c)+(2b 3c)≥6(当且仅当     a=2b=3c  时等号成立)
,
       2b  a      3c  a      3c  2b
        +   -1      +  -1      +   -1
    ∴( a  2b   )+( a  3c  )+(2b  3c   )≥3(当且仅当     a=2b=3c  时等号成立),
      2b+3c-a   a+3c-2b   a+2b-3c
    即     a   +    2b   +    3c   ≥3(当且仅当     a=2b=3c   时等号成立).


                     利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
    (1)策略:从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过
逐步的逻辑推理,最后转化为所求问题,其特征是以“已知”看“可知”,逐步推向“未
知”.
             中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台

(2)注意事项:
①多次使用基本不等式时,要注意等号能否成立;
②累加法是不等式证明中的一种常用方法,证明不等式时注意使用;
③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合,形成基本不等式模型再使用.      

[活学活用]
                                             1    1    1
                                              -1   -1   -1
 已知   a,b,c   为正实数, 且      a+b+c=1,求证:(a         )(b  )(c )≥8.
证明:因为     a,b,c   为正实数,且      a+b+c=1,

    1     1-a  b+c   2 bc
所以a-1=     a =   a ≥  a  .
      1     2 ac 1     2 ab
同理,b-1≥      b ,c-1≥    c  .
上述三个不等式两边均为正,

       1   1    1      2 bc 2 ac  2 ab                     1
       -1   -1   -1
相乘得(a     )(b  )(c  )≥  a ·   b ·  c =8,当且仅当       a=b=c=3时,取等号.

                                    利用基本不等式求最值


[典例] (1)已知     lg a+lg b=2,求    a+b  的最小值.
(2)已知  x>0,y>0,且     2x+3y=6,求     xy 的最大值.
                   1  9
(3)已知  x>0,y>0,x+y=1,求        x+y 的最小值.
[解] (1)由   lg a+lg b=2  可得   lg ab=2,
即 ab=100,且    a>0,b>0,
因此由基本不等式可得          a+b≥2   ab=2 100 =20,
当且仅当    a=b=10   时,a+b   取到最小值     20.
(2)∵x>0,y>0,2x+3y=6,
      1          1  2x+3y
∴xy=6(2x·3y)≤6·(      2   )2
  1  6    3
=6·(2)2=2,
当且仅当    2x=3y,
     3                       3
即 x=2,y=1    时,xy  取到最大值2.
     1  9
(3)∵x+y=1,
                 中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台

                    1  9
                     +
    ∴x+y=(x+y)·(x      y)
         9x  y    y  9x
    =1+  y +x+9=x+    y +10,
    又∵x>0,y>0,

      y  9x        y 9x
                   ·
    ∴x+  y +10≥2   x y +10=16,
            y  9x
    当且仅当x=     y ,即  y=3x 时,等号成立.

    由Error!得Error!
    即当  x=4,y=12    时,x+y   取得最小值     16.


    (1)应用基本不等式需注意三个条件:即一正、二定、三相等.在具体的题目中,“正
数”条件往往易从题设中获得解决,“相等”条件也易验证确定,而要获得“定值”条件
却常常被设计为一个难点,它需要一定的灵活性和变形技巧.因此,“定值”条件决定着
基本不等式应用的可行性,这是解题成败的关键.
    (2)常用构造定值条件的技巧变换:
    ①加项变换;②拆项变换;③统一变元;④平方后利用基本不等式.
    (3)对于条件最值要注意“1”的代换技巧的运用.      

    [活学活用]
                     2  1  1
    1.已知   a>0,b>0,a+b=6,若不等式         2a+b≥9m  恒成立,则     m 的最大值为(  )
    A.8                              B.7
    C.6                              D.5
                             2  1               2  1
                              +                  +
    解析:选    C 由已知,可得       6(a  b)=1,∴2a+b=6(a     b)·(2a+b)=
     2a 2b                         2a  2b
  5+  +
6(   b   a )≥6×(5+4)=54,当且仅当       b = a 时等号成立,∴9m≤54,即         m≤6,故选    C.
                       1     1
    2.设  a>b>0,则   a2+ab+aa-b的最小值是(  )

    A.1                              B.2
    C.3                              D.4
    解析:选    D 因为    a>b>0,所以   a-b>0,
                 中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台

            1      1
    所以  a2+ab+aa-b
                  1         1
    =a(a-b)+aa-b+ab+ab
                   1          1
        aa-b·            ab·
    ≥2          aa-b+2      ab=4,
                        1          1
    当且仅当    a(a-b)=aa-b且     ab=ab,
                 2
    即 a=  2,b=   2 时等号成立.

                                       利用基本不等式解应用题

    [典例] 某单位决定投资          3  200 元建一仓库(长方体状),高度恒定,它的后墙利用旧
墙不花钱,正面用铁栅,每米长造价                40 元,两侧墙砌砖,每米长造价            45 元,顶部每平方
米造价   20 元,求:
    (1)仓库面积    S 的最大允许值是多少?
    (2)为使  S 达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计为多长?
    [解] (1)设铁栅长为       x 米,一堵砖墙长为        y 米,而顶部面积为       S=xy,依题意得,
40x+2×45y+20xy=3 200,
    由基本不等式得

    3 200≥2  40x × 90y+20xy
    =120  xy+20xy,
    =120  S+20S.
    所以  S+6  S-160≤0,即(     S-10)(  S+16)≤0,
    故  S≤10,从而    S≤100,
    所以  S 的最大允许值是       100 平方米,
    (2)取得最大值的条件是         40x=90y 且  xy=100,
    求得  x=15,即铁栅的长是        15 米.


                           求实际问题中最值的解题           4 步骤
    (1)先读懂题意,设出变量,理清思路,列出函数关系式.
    (2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题.
    (3)在定义域内,求函数的最大值或最小值时,一般先考虑基本不等式,当基本不等式
求最值的条件不具备时,再考虑函数的单调性.
    (4)正确写出答案.      
                 中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台

    [活学活用]
     某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润
y(单位:万元)与机器运转时间            x(单位:年)的关系为        y=-x2+18x-25(x∈N*),求当每
台机器运转多少年时,年平均利润最大,最大值是多少.
                                     y         25            y
                                            x+
    解:每台机器运转        x 年的年平均利润为x=18-(            x ),而 x>0,故x≤18-2     25=8,
    当且仅当    x=5  时等号成立,此时年平均利润最大,最大值为                   8 万元.
    故当每台机器运转        5 年时,年平均利润最大,最大值为              8 万元.


                               层级一 学业水平达标
    1.下列结论正确的是(  )
                              1
    A.当  x>0 且 x≠1  时,lg x+lg x≥2
                     1
    B.当  x>0 时,   x+  x≥2
                     1
    C.当  x≥2  时,x+x的最小值为        2
                       1
    D.当  02x
        1                                  1
    C.x2+1≤1                         D.x+x≥2
    解析:选    C 对于    A,当  x≤0 时,无意义,故       A 不恒成立;对于       B,当  x=1  时,x2+
                                                                1
1=2x,故   B 不成立;对于      D,当  x<0 时,不成立.对于        C,x2+1≥1,∴x2+1≤1      成
立.故选    C.
    3.设  a,b  为正数,且     a+b≤4,则下列各式中正确的一个是(  )
                 中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台

      1  1                           1  1
    A.a+b<1                        B.a+b≥1
      1  1                           1  1
    C.a+b<2                        D.a+b≥2

                        a+b     4         1  1     1    1
    解析:选    B 因为    ab≤( 2  )2≤(2)2=4,所以a+b≥2     ab≥2  4=1.
    4.四个不相等的正数         a,b,c,d   成等差数列,则(  )
      a+d                            a+d
    A. 2  > bc                     B. 2  < bc
      a+d                            a+d
    C. 2  =  bc                    D. 2  ≤  bc
    解析:选    A 因为    a,b,c,d   成等差数列,则       a+d=b+c,又因为       a,b,c,d   均大
                               a+d
于  0 且不相等,所以      b+c>2  bc,故   2 > bc.
                     2  8
    5.若  x>0,y>0,且x+y=1,则       xy 有(  )
                                              1
    A.最大值    64                      B.最小值64
             1
    C.最小值2                           D.最小值    64
                          2  8
                           +
    解析:选    D 由题意     xy=(x  y)xy=2y+8x≥2   2y·8x=8 xy,∴   xy≥8,即   xy 有最小
值  64,等号成立的条件是         x=4,y=16.
                     1  1
    6.若  a>0,b>0,且a+b=      ab,则  a3+b3 的最小值为________.

                            1  1    1
    解析:∵a>0,b>0,∴        ab=a+b≥2   ab,即  ab≥2,当且仅当      a=b=   2时取等号,
∴a3+b3≥2   ab3≥2   23=4  2,当且仅当     a=b=  2时取等号,则       a3+b3 的最小值为

4 2.
    答案:4    2
    7.已知正数     x,y  满足  x2+2xy-3=0,则     2x+y 的最小值是________.
                       3-x2
    解析:由题意得,y=          2x ,
                 3-x2  3x2+3   3   1
                                x+
    ∴2x+y=2x+     2x =   2x  =2(   x)≥3,
    当且仅当    x=y=1   时,等号成立.
    答案:3
             中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台

                    x
8.若对任意     x>0,x2+3x+1≤a    恒成立,则     a 的取值范围是________.
                      1
解析:因为     x>0,所以   x+x≥2.当且仅当      x=1  时取等号,
                   1
          x        1      1   1
                x+  +3
所以有x2+3x+1=        x   ≤2+3=5,
      x             1       1
即x2+3x+1的最大值为5,故         a≥5.
       1
       ,+∞
答案:[5       )
                         4
9.(1)已知   x<3,求   f(x)=x-3+x  的最大值;
                                   1 3
(2)已知  x,y  是正实数,且      x+y=4,求x+y的最小值.
解:(1)∵x<3,
∴x-3<0,
         4        4
∴f(x)=x-3+x=x-3+(x-3)+3

      4                     4
        +3-x                ·3-x
=-[3-x           ]+3≤-2   3-x        +3=-1,
         4
当且仅当3-x=3-x,
即 x=1  时取等号,
∴f(x)的最大值为-1.
(2)∵x,y  是正实数,
        1  3      y  3x
         +         +
∴(x+y)(x   y)=4+(x   y )≥4+2  3.
        y  3x
当且仅当x=     y ,
即 x=2(  3-1),y=2(3-     3)时取“=”号.
又 x+y=4,

  1  3      3
∴x+y≥1+    2 ,
  1  3              3
故x+y的最小值为       1+ 2 .
                                     b+c   c+a  a+b
10.设  a,b,c   都是正数,试证明不等式:            a  +  b +  c  ≥6.
                 中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台

    证明:因为     a>0,b>0,c>0,
        b  a     c a     b  c
    所以a+b≥2,a+c≥2,c+b≥2,
         b a   c  a   b  c
         +      +      +
    所以(a   b)+(a  c)+(c  b)≥6,
            b  a  c a  c  b
    当且仅当a=b,a=c,b=c,
    即 a=b=c   时,等号成立.
        b+c  c+a   a+b
    所以   a  +  b +  c  ≥6.
                               层级二 应试能力达标
    1.a,b∈R,则     a2+b2 与 2|ab|的大小关系是(  )
    A.a2+b2≥2|ab|                   B.a2+b2=2|ab|
    C.a2+b2≤2|ab|                    D.a2+b2>2|ab|
    解析:选    A ∵a2+b2-2|ab|=(|a|-|b|)2≥0,∴a2+b2≥2|ab|(当且仅当|a|=
|b|时,等号成立).
                                                           1  1  1
    2.已知实数     a,b,c   满足条件    a>b>c 且 a+b+c=0,abc>0,则a+b+c的值(  )
    A.一定是正数                          B.一定是负数
    C.可能是    0                       D.正负不确定
    解析:选    B 因为    a>b>c 且 a+b+c=0,abc>0,所以      a>0,b<0,c<0,且    a=-(b+
c),
        1  1  1     1   1  1
    所以a+b+c=-b+c+b+c,
    因为  b<0,c<0,所以     b+c≤-2   bc,

           1     1     1  1      1
    所以-b+c≤2     bc,又b+c≤-2      bc,

           1   1  1    1     1      3
    所以-b+c+b+c≤2       bc-2  bc=-2  bc<0,故选   B.
                                                                   a+b2
    3.已知   x>0,y>0,x,a,b,y     成等差数列,x,c,d,y         成等比数列,则          cd  的
最小值为(  )
    A.0                              B.1
    C.2                              D.4
                                 a+b2    x+y2   x2+y2+2xy   x2+y2
    解析:选    D 由题意,知Error!所以         cd   =    xy  =     xy    =   xy  +
                 中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台

2≥2+2=4,当且仅当        x=y 时,等号成立.
                               x     2y
    4.若实数    x,y  满足  xy>0,则x+y+x+2y的最大值为(  )
    A.2-   2                         B.2+   2
    C.4+2   2                        D.4-2   2
                                    y
                                  2·
                             1      x
                 x    2y      y      y
                           1+    1+2·
    解析:选    D x+y+x+2y=       x+     x,
         y
    设 t=x>0,
                                                             1
             1    2t    1   2t+1-1             t              1
                                                          2t+  +3
    ∴原式=1+t+2t+1=t+1+         2t+1 =1+t+12t+1=1+          t  .
          1
    ∵2t+t≥2    2,
                    1
    ∴最大值为     1+2  2+3=4-2    2.
                           1  4                y
    5.若两个正实数       x,y 满足x+y=1,且不等式         x+40,y>0,且x+
4            y      y 1 4   4x  y       4x y                4x   y
                 x+    +                  ·
y=1,所以    x+4=(     4)(x y)= y +4x+2≥2   y 4x+2=4,当且仅当       y =4x,即  x=2,
                             y
                           x+
                          (   )            2
y=8  时,等号是成立的,所以             4 min=4,所以   m -3m>4,即(m+1)(m-4)>0,解得
m<-1  或 m>4.
    答案:(-∞,-1)∪(4,+∞)
                                   1     1
    6.若正数    a,b  满足  a+b=1,则3a+2+3b+2的最小值为________.
                         1     1      3b+2+3a+2         7           a+b
    解析:由    a+b=1,知3a+2+3b+2=3a+23b+2=9ab+10,又              ab≤(  2 )2=
1               1                       49       7    4
4(当且仅当    a=b=2时等号成立),∴9ab+10≤           4 ,∴9ab+10≥7.
          4
    答案:7
    7.某厂家拟在      2016 年举行某产品的促销活动,经调查,该产品的年销售量(即该产品
                 中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台

                                                                k
的年产量)x(单位:万件)与年促销费用               m(m≥0)(单位:万元)满足        x=3-m+1(k   为常数)
,如果不举行促销活动,该产品的年销售量是                    1 万件.已知    2016 年生产该产品的固定投入
为  8 万元,每生产     1 万件该产品需要再投入          16 万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件
产品年平均成本的        1.5 倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用)
.
    (1)将 2016 年该产品的利润       y(单位:万元)表示为年促销费用             m 的函数;
    (2)该厂家   2016 年的促销费用为多少万元时,厂家的利润最大?
                                                                     2
    解:(1)由题意,可知当         m=0 时,x=1,∴1=3-k,解得          k=2,∴x=3-m+1,
                               8+16x
    又每件产品的销售价格为           1.5×   x  元,
               8+16x
           1.5 ×
    ∴y=x(        x  )-(8+16x+m)=4+8x-m
               2
           3-
    =4+8(    m+1)-m
          16
             +m+1
    =-[m+1            ]+29(m≥0).
                16                            16
    (2)∵m≥0,m+1+(m+1)≥2        16=8,当且仅当m+1=m+1,即           m=3 时等号成立,

    ∴y≤-8+29=21,∴ymax=21.
    故该厂家    2016 年的促销费用为       3 万元时,厂家的利润最大,最大利润为                21 万元.


             1                              1
                                         3k-
    8.已知   k>6,若对任意正数       x,y,不等式(        2)x+ky≥   2xy 恒成立,求实数       k 的最
小值.
    解:∵x>0,y>0,

                1                           1  x    y
            3k-                          3k-
    ∴不等式(       2)x+ky≥   2xy恒成立等价于(        2) y+k  x≥  2恒成立.
        1
    又 k>6,

          1  x    y         1
       3k-             k 3k-
    ∴(    2) y+k  x≥2   (   2),

             1                1           1
        k 3k-
    ∴2   (   2)≥  2,解得   k≤-3(舍去)或     k≥2,
                 中国现代教育网         www.30edu.com    全国最大教师交流平台

         1

∴kmin=2.
0积分下载