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2019版高考数学一轮复习第三章三角函数三角恒等变换及解三角形课时训练

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             第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形
                    第  1 课时 任意角和弧度制及任意角的三角函数
    一、 填空题
                           |sin α| tan α
    1. 若 α  为第二象限角,则        sin α +|tan α|的值是________.
    答案:0
                                              |sin α|             tan α
    解析:因为     α  为第二象限角,所以         sin α>0,   sin α =1,tan α<0,|tan α|=-1,
    |sin α| tan α
所以  sin α +|tan α|=0.
    2.   如图,在平面直角坐标系          xOy 中,角   α  的终边与单位圆交于点         A,点   A 的纵坐标
  4
为5,则   cos α=________.


            3
    答案:-5
                             4

    解析:因为点      A 的纵坐标    yA=5,且点    A 在第二象限.又圆       O 为单位圆,所以点        A 的
            3                               3

横坐标   xA=-5.由三角函数的定义可得            cos α=-5.
                                         sin α-cos α
    3. 已知角   α  的终边经过点      P(2,-1),则sin α+cos α=________.
    答案:-3
                            1           2      sin α-cos α
    解析:由题意得       sin α=-    5,cos α=    5,所以sin α+cos α=-3.
    4.  (2017·泰州模拟)设      α 是第二象限角,P(x,4)为其终边上的一点,且                  cos α=
1
5x,则  tan α=________.
            4
    答案:-3
                                           1                         x
    解析:因为     α  是第二象限角,所以         cos α=5x<0,即     x<0.又 cos  α=   x2+16,所
  1      x
以5x=   x2+16,解得    x=-3,所以     tan α
      4    4
    =x=-3.
    5. 函数  y=  2sin x-1的定义域为________.
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               π      5π
           2kπ+ ,2kπ+
    答案:[       6      6 ](k∈Z)
                                     1
    解析:∵     2sin x-1≥0,∴     sin x≥2.由三角函数线画出         x 满足条件的终边范围(如
                            π      5π
                       2kπ+  ,2kπ+
图阴影部分所示).∴ x∈[              6      6 ](k∈Z).
    6. 若 420°角的终边所在直线上有一点(-4,a),则                 a 的值为________.
    答案:-4     3
                                        a
    解析:由三角函数的定义有            tan 420°=-4.又    tan 420°=tan (360°+60°)=tan 
             a
60°=   3,故-4=     3,解得   a=-4   3.
                                                          2π
    7.  点 P 从(1,0)出发,沿单位圆         x2+y2=1 按逆时针方向运动        3 弧长到达点     Q,则点
Q 的坐标为________.
            1   3
           - ,
    答案:(    2  2 )
                                 2π                                       2π
    解析:由弧长公式        l=|α|r,l=    3 ,r=1  得点  P 按逆时针方向转过的角度为            α=  3 ,
                   2π   2π       1  3
                cos  ,sin      -  ,
所以点   Q 的坐标为(      3     3 ),即(  2  2 ).
                                 3
    8. 已知角   α  的终边在直线      y=-4x  上,则   2sin α+cos α=________.
          2    2
    答案:5或-5
                            3
    解析:由题意知       tan α=-4,∴ α      在第二象限或第四象限,
              3            4            3          4
    故 sin α=5,cos α=-5或       sin α=-5,cos α=5,
                       2    2
    ∴ 2sin α+cos α=5或-5.
    9. 已知  2 弧度的圆心角所对的弦长为            2,那么这个圆心角所对的弧长是__________.
           2
    答案:sin 1
    解析:如图,∠AOB=2        弧度,过点     O 作 OC⊥AB 于  C,并延长    OC 交弧  AB 于 D.则
∠AOD=∠BOD=1    弧度,且    AC=BC=1.
                        AC      1
    在 Rt△AOC  中,AO=sin∠AOC=sin 1.
           1                               2
    即 r=sin 1,从而弧    AB 的长为   l=|α|·r=sin 1.


                                      5π    5π
                                    sin ,cos
    10. 已知角   x 的终边上一点的坐标为(           6     6 ),则角  x 的最小正值为________.
          5π
    答案:   3
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                 5π  1      5π     3                     1    3
                                                          ,-
    解析:∵     sin  6 =2,cos  6 =-  2 ,∴   角 x 的终边经过点(2        2 ),所以角    x 是第
                    3
                 -
                    2
                   1                     5π                          5π
四象限角,tan      x=   2 =-   3,∴   x=2kπ+   3 ,k∈Z,∴     角 x 的最小正值为      3 .(也可
                       sin x
用同角基本关系式        tan x=cos x得出)
                               θ       θ        θ
                             cos
    11. 设 θ  是第三象限角,且|         2|=-cos2,则    sin2的值的符号是________.
    答案:+
                                                    3π             π θ
    解析:由于     θ  是第三象限角,所以         2kπ+π<θ<2kπ+      2 (k∈Z),kπ+2<20.
    二、 解答题
    12.  如图所示,动点       P,Q 从点  A(4,0)出发沿圆周运动,点          P 按逆时针方向每秒钟转
π                             π
3弧度,点    Q 按顺时针方向每秒钟转6弧度,求点              P,Q  第一次相遇时所用的时间、相遇点的
坐标及   P,Q  点各自走过的弧长.


                                                 π       π
                                                       -
    解:设点    P,Q  第一次相遇时所用的时间是            t,则  t·3+t·|    6|=2π.
    所以  t=4(秒),即点      P,Q 第一次相遇时所用的时间为            4 秒.
                                                                 π     4π
    设点  P,Q  第一次相遇点为       C,第一次相遇时点        P 和点  Q 已运动到终边在3·4=        3 的位
置,
                π                   π

    则 xC=-cos 3·4=-2,yC=-sin 3·4=-2           3.
    所以点   C 的坐标为(-2,-2       3).
                       π     16π                    π     8π
    点 P 走过的弧长为      4·3·4=    3 ,点  Q 走过的弧长为      4·6·4=   3 .
    13. 如图,在平面直角坐标系           xOy 中,角   α 的始边与    x 轴的非负半轴重合且与单位圆
相交于   A 点,它的终边与单位圆相交于             x 轴上方一点    B,始边不动,终边在运动. 
                         4
    (1) 若点  B 的横坐标为-5,求        tan α 的值;
    (2) 若△AOB  为等边三角形,写出与角           α  终边相同的角      β 的集合;
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                 2π
               0,
    (3) 若 α∈(     3 ],请写出弓形     AB 的面积  S 与 α  的函数关系式.


                         4  3                              y    3
                        - ,
    解:(1) 由题意可得       B( 5  5),根据三角函数的定义得          tan α=x=-4.
                                      π
    (2) 若△AOB  为等边三角形,则∠AOB=3.
                                         π
                                      β=
    故与角   α  终边相同的角      β 的集合为{β|       3)+2kπ,k∈Z}.
                 2π             1      1          2π
               0,                               0,
              (    ]                2          (    ]
    (3) 若 α∈      3 ,则  S 扇形 AOB=2αr =2α,α∈        3 .
             1               1

    而 S△AOB=2×1×1×sin α=2sin α,
                                     1    1              2π
                                                       (0, ]
     故弓形   AB 的面积   S=S 扇形 AOB-S△AOB=2α-2sin α,α∈         3 .第 2 课时 同角三
                         角函数的基本关系式与诱导公式
    一、 填空题
    1. sin 750°=________.
          1
    答案:2
                                                    1
    解析:sin 750°=sin (2×360°+30°)=sin 30°=2.
                π π            3
              -  ,
    2. 若 α∈(    2 2),sin α=-5,则     cos(-α)的值为________.
          4
    答案:5
                     π π            3              4                4
                   -  ,
    解析:因为     α∈(    2 2),sin α=-5,所以      cos α=5,即    cos (-α)=5.
                                                     12
    3. (2017·镇江期末)已知       α 是第四象限角,sin α=-13,则            tan α=________.
            12
    答案:-    5
                                         12                         5
    解析:因为     α  是第四象限角,sin        α=-13,所以      cos  α=   1-sin2α=13,故   tan 
    sin α   12
α=cos α=-   5 .
                                            π
                                            +β
    4.  已知   α 为锐角,且     2tan(π-α)-3cos(2      )+5=0,tan(π+α)+6sin(π+
β)=1,则    sin α  的值是________.
          3 10
    答案:    10
    解析:由已知可得-2tan α+3sin β+5=0,tan α-6sin β=1,解得                     tan α=
                         3 10
3.又  α 为锐角,故     sin α=   10 .
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    5.   (2017·射阳县中模拟)若        f(tan  x)=sin2x-5sin    x·cos    x,   则 f(5)=
________.
    答案:0
                                     sin2x-5 sin x· cos x tan2x-5tan x
    解析:由已知得       f(     tan     x)=   sin2x+ cos2x =   tan2x+1  ,所以   f(5)=
52-5 × 5
  52+1  =0.
                                                     2
    6.   已知  θ 是第三象限角,且        sin   θ-2cos    θ=-5,则     sin   θ+cos    θ=
________.
            31
    答案:-25
                                   2
    解析:由    sin   θ-2cos     θ=-5,sin2θ+cos2θ=1,θ         是第三象限角,得        sin 
      24            7                      31
θ=-25,cos θ=-25,则         sin θ+cos θ=-25.
                            1          π
                                     (- ,0)
    7. 已知  sin(π-α)=log84,且      α∈    2   ,则  tan(2π-α)的值为________.
          2 5
    答案:    5
                                   1    2

    解析:sin (π-α)=sin α=log84=-3.
             π                          5
           -  ,0
    又 α∈(    2  ),得  cos α=   1-sin2α= 3 ,
                                          sin α 2 5
    tan (2π-α)=tan (-α)=-tan α=-cos α=           5 .
    8. 已知  sin θ=2cos θ,则     sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ=________.
          4
    答案:5
    解析:由 sin θ=2cos θ,得 tan θ=2.
                                         sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ tan2θ+tan θ-2
     sin2θ+sin    θ    cos  θ-2cos2θ=         sin2θ+cos2θ    =    tan2θ+1  =
22+2-2    4
  22+1  =5.
    9.  设函数   f(x)(x∈R)满足   f(x+π)=f(x)+sin     x,当   0≤x<π  时,f(x)=0,则     f
 23π
( 6 )=________.
          1
    答案:2
    解析:由    f(x+π)=f(x)+sin       x,得  f(x+2π)=f(x+π)+sin(x+π)=f(x)+
                          23     11         11        5     5      5
                            π      π+2π       π    π+ π     π
sin x-sin   x=f(x),所以    f( 6 )=f( 6    )=f( 6 )=f(   6 )=f(6 )+sin6π.因为当
                          23      1  1
                            π
0≤x<π  时,f(x)=0,所以      f( 6 )=0+2=2.
    10. 已知函数     f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),且         f(4)=3,则   f(2 017)的值
为________.
    答案:-3
    解析:∵ f(4)=asin (4π+α)+bcos (4π+β)=asin α+bcos β=3,∴ f(2 
017)=asin (2 017π+α)+bcos (2 017π+β)=asin (π+α)+bcos (π+β)=-
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asin α-bcos β=-(asin α+bcos β)=-3.
     二、 解答题
             1+sin α     1      cos α
     11. 已知    cos α =-2,求sin α-1的值.
      解:由同角三角函数关系式               1-sin2α=cos2α     及题意可得      cos     α≠0,且     1-sin 
                                                                1+sin α   cos α
α≠0,可得(1+sin          α)(1-sin      α)=cos     αcos    α,所以      cos α =1-sin α,所以
  cos α     1      cos α   1
1-sin α=-2,即sin α-1=2.
                    cos2(nπ+x)·sin2(nπ-x)
     12. 已知   f(x)=    cos2[(2n+1)π-x]     (n∈Z).
     (1) 化简   f(x)的解析式;
               π       2 015π
     (2) 求  f(2 017)+f( 4 034 )的值.
      解:(1) 当    n 为偶数,即      n=2k(k∈Z)时,
           cos2(2kπ+x)·sin2(2kπ-x)    cos2x·sin2(-x)
     f(x)=    cos2[(2·2k+1)π-x]     =   cos2(π-x)
       cos2x·(-sin x)2
     =   (-cos x)2    =sin2x;
     当 n 为奇数,即      n=2k+1(k∈Z)时,
           cos2[(2k+1)π+x]·sin2[(2k+1)π-x]
     f(x)=      cos2{[2·(2k+1)+1]π-x}
       cos2(2kπ+π+x)·sin2(2kπ+π-x)
     =      cos2[2·(2k+1)π+π-x]
       cos2(π+x)·sin2(π-x)    (-cos x)2·sin2x
     =      cos2(π-x)      =    (-cos x)2   =sin2x.
     综上,f(x)=sin2x.
                     π      2 015π
     (2) 由(1)得   f(2 017)+f( 4 034 )
             π        2 015π
     =sin22 017+sin2  4 034
             π        π    π
                       -
     =sin22 017+sin2(2    2 017)
             π          π
     =sin22 017+cos22 017=1.
                                                            π π
                                                          -  ,
     13.                    是否存在角       α  和 β,当    α∈(     2 2),β∈(0,π)时,等式
                    π
  sin(3π-α)=   2cos  -β  ,
                   (2   )
{ 3cos(-α)=-     2cos(π+β))同时成立?若存在,求出              α  和  β 的值;若不存在,请说明理
由.
                  π       π
     解:存在     α=4,β=6使等式同时成立.
                           π
         sin(3π-α)=   2cos  -β  ,
                          (2   )
     由{  3cos(-α)=-    2cos(π+β),)
         sin α=  2sin β,
     得{  3cos α=  2cos β,)
     两式平方相加,得          sin2α+3cos2α=2,
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                1               2
    得到  cos2α=2,即    cos α=±   2 .
               π π                2          π        π
             -  ,
    因为  α∈(    2 2),所以   cos α=  2 ,所以   α=4或   α=-4.
          π                                   3
    将 α=4代入     3cos α=   2cos β,得   cos β=  2 .
                             π
    由于  β∈(0,π),所以       β=6.
            π                                     1
    将 α=-4代入      sin α=   2sin  β,得   sin  β=-2.由于     β∈(0,π),这样的角
β  不存在.
                       π      π
     综上可知,存在       α=4,β=6使等式同时成立.第              3 课时 三角函数的图象和性质
    一、 填空题
                                        π
                                     (x+ )
    1. (必修  4P33 例 4 改编)函数   y=-tan     6 +2 的定义域为____________.
                   π
           x x ≠ kπ+ , k ∈ Z
    答案:{    |      3 )    }
               π       π                  π
    解析:由    x+6≠kπ+2,k∈Z,得        x≠kπ+3,k∈Z.
                                                  π
                                              2x+
    2.    (2017·珠海调研改编)要得到函数            y=sin(    6)的图象,只需要将函数         y=sin 
2x 的图象作平移变换:____________.
                  π
    答案:向左平移12个单位
                    π            π                              π
                2x+           x+                            2x+
    解析:y=sin(       6)=sin  2(  12),所以要得到函数        y=  sin  (   6)的图象,只需
                                π
要将函数    y=sin 2x  的图象向左平移12个单位.
                                               π                        π
                                            2x+                   0 < φ <
    3.   (2017·南京、盐城一模)将函数          y=3sin(    3)的图象向右平移       φ(       2)个单
位后,所得函数为偶函数,则             φ=________.
          5π
    答案:12
                                  π                     π  π
                          2(x-φ)+
    解析:由题意得       y=3sin(         3)为偶函数,所以-2φ+3=2+kπ(k∈Z).又
     π          5π
0<φ<2,所以    φ=12.
    4. 函数  y=cos2x-2sin x  的最大值与最小值分别是________.
    答案:2,-2
    解析:y=cos2x-2sin       x=1-sin2x-2sin      x=-(sin     x+1)2+2.由-1≤sin 
x≤1  知,当   sin x=-1  时,y  取最大值     2;当  sin x=1 时,y   取最小值-2.
                            π                            π
                        ωx+                               ,0
    5.      若函数   y=cos(    6)(ω∈N)图象的一个对称中心是(6             ),则  ω 的最小值为
____________.
    答案:2
                  πω  π       π

    解析:由题意知       6 +6=kπ+2(k∈Z)⇒ω=6k+2(k∈Z)⇒ωmin=2.
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                                                                  π
                                                            0 < φ <
    6.    (2017·苏北四市第三次调研)若函数             f(x)=2sin(2x+φ)(        2)的图象过点
(0,  3),则函数    f(x)在[0,π]上的单调递减区间是________.
           π  7π
            ,
    答案:(12    12)
                                                              3     π
    解析:由题意可得        2sin(2×0+φ)=     3,∴        sin      φ=  2 ,φ=3,f(x)=
        π                                      π  7π
     2x+                                         ,
2sin(   3),函数   f(x)在[0,π]上的单调递减区间是(12            12).
    7.       (2017·南京调研)如图是函数          f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈(0,
2π))图象的一部分,则         f(0)的值为________.


          3 2
    答案:    2
                            2π                         π
    解析:由函数图象得         A=3,  ω =2[3-(-1)]=8,解得       ω=4,所以     f(x)=3sin
 π                                π                       π
  x+φ                             x+φ
(4    ).因为(3,0)为函数     f(x)=3sin(4    )的一个下降零点,所以4×3+φ=(2k+
                    π                                        π
1)π(k∈Z),解得     φ=4+2kπ(k∈Z).因为        φ∈(0,2π),所以       φ=4,所以     f(x)=
     π  π               π  3 2
      x+
3sin(4  4),则  f(0)=3sin4=   2 .
                                       π
                                     0,
    8. 若 f(x)=2sin ωx(0<ω<1)在区间[       3]上的最大值是       2,则  ω 的值为________.
          3
    答案:4
                  π            ωπ  π
    解析:由    0≤x≤3,得    0≤ωx≤    3 <3,
               π                                                   ωπ
             0,
    则 f(x)在[   3]上单调递增,且在这个区间上的最大值是                  2,所以   2sin   3 =  2,且
   ωπ  π      ωπ  π          3
0<  3 <3,所以    3 =4,解得   ω=4.
    9.   函数  f(x)=sin   πx+cos     πx+|sin    πx-cos    πx|对任意的     x∈R  都有

f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则|x2-x1|的最小值为__________.
          3
    答案:4
    解析:依题意得,当         sin πx≥cos πx   时,f(x)=2sin πx;当      sin πx0)在区间(     2)上单调递增,则       ω 的取值范围是
____________.
             3
           0,
    答案:(     2]
              π            π  π                  π   2kπ     3π 2kπ
    解析:由-2+2kπ≤ωx-4≤2+2kπ,k∈Z,得-4ω+                   ω ≤x≤4ω+   ω ,k∈Z.取
          π      3π                       π               π
                                      ωx-              0,
k=0,得-4ω≤x≤4ω.因为函数          f(x)=sin(     4)(ω>0)在区间(     2)上单调递增,所以
3π  π        3                               3
                                           0,
4ω≥2,即    ω≤2.又   ω>0,所以    ω 的取值范围是(        2].
    11.      (原创)已知函数      f(x)=cos2x+sin        x,那么下列命题中是真命题的是
________.(填序号)
    ① f(x)既不是奇函数也不是偶函数;
    ② f(x)是周期函数;
    ③ f(x)在[-π,0]上恰有一个零点;
             π  5π
              ,
    ④ f(x)在(2   6 )上是增函数;
    ⑤ f(x)的值域为[0,2].
    答案:①②④
              π         π
                      -
    解析:∵ f(2)=1,f(      2)=-1,即    f(-x)≠f(x),
    ∴ f(x)不是偶函数.
    ∵  x∈R,f(0)=1≠0,∴       f(x)不是奇函数,故①为真命题.∵               f(x)=f(x+2π),
∴     T=2π,故函数      f(x)为周期函数,故②为真命题.令              f(x)=cos2x+sin     x=1-
                                                 1 ± 5
sin2x+sin x=0,则    sin2x-sin x-1=0,解得      sin x=  2  ,当   x∈[-π,0]时,sin 
   1-  5
x=   2  ,由正弦函数图象可知函数            f(x)在[-π,0]上有两个零点,故③为假命题.∵ 
                                                            π 5π
                                                             ,
f′(x)=2cos x·(-sin x)+cos x=cos x·(1-2sin x),当          x∈(2  6 )时,cos x<0,
1
20,
               π 5π
                ,
    ∴    f(x)在(2  6 )上是增函数,故④为真命题.f(x)=cos2x+sin               x=-sin2x+sin 
              1   5                                    5
         sin x-                                    -1,
x+1=-(        2)2+4,由-1≤sin x≤1     得  f(x)的值域为[       4],故⑤为假命题.
    二、 解答题
                                                             π
    12.   已知函数    f(x)=Asin(ωx+φ)(其中      A>0,ω>0,0<φ<2)的周期为           π,且
                      2π
                        ,-3
图象上有一个最低点为          M( 3    ).
    (1) 求 f(x)的解析式;
                  3
    (2) 求使  f(x)<2成立的    x 的取值集合.
                                            4π                 4π   π
                                              +φ
    解:(1)      由题意知,A=3,ω=2,由           3sin( 3  )=-3,得    φ+  3 =-2+2kπ,
              11
k∈Z,即   φ=-    6 π+2kπ,k∈Z.
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             π                π
    而 0<φ<2,所以       k=1,φ=6.
                     π
                 2x+
    故 f(x)=3sin(     6).
              3              π   3
                          2x+
    (2) f(x)<2等价于    3sin(   6)<2,即
           π   1
        2x+
    sin(   6)<2,
              7π      π        π
    于是  2kπ-   6 <2x+6<2kπ+6(k∈Z),
             2π
    解得  kπ-   3 <x<kπ(k∈Z),
              3                           2π
    故使  f(x)<2成立的     x 的取值集合为{x|kπ-       3 <x<kπ,k∈Z}.
                                                                  π
                                                       ω > 0,0 ≤ φ ≤
    13.  (2017·扬州中学质检)如图,函数           y=2cos(ωx+φ)(               2)的部分图象
与  y 轴交于点(0,     3),最小正周期是       π.


    (1) 求 ω,φ    的值;
                π                                                          3
               ( ,0)
    (2) 已知点   A 2   ,点  P 是该函数图象上一点,点          Q(x0,y0)是  PA 的中点,当    y0=  2 ,
    π
    [ ,π]
x0∈ 2   时,求   x0 的值.
                                                        3
    解:(1) 将点(0,      3)代入  y=2cos(ωx+φ),得      cos φ=  2 .
              π        π
    ∵ 0≤φ≤2,∴ φ=6.
                                       2π
    ∵ 最小正周期      T=π,且    ω>0,∴ ω=     T =2.
                          π
                       2x+
    (2) 由(1)知  y=2cos(    6).
         π                              3
        ( ,0)
    ∵ A  2  ,Q(x0,y0)是   PA 的中点,y0=    2 ,
             π
         2x0- , 3
    ∴ P(     2   ).
                        π
                     2x+
    ∵ 点  P 在 y=2cos(    6)的图象上,
                   π                 π      3
           4x0-π+                4x0+
    ∴ 2cos(        6)= 3,∴ cos(      6)=-  2 .
           π            π      π     π
           [ ,π]           [2π+ ,4π+  ]
    ∵ x0∈  2   ,∴ 4x0+6∈       6     6 ,
            π          π       π           π

    ∴ 4x0+6=2π+π-6或        4x0+6=2π+π+6,
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                    2π  3π

              ∴ x0=  3 或 4 .第 4 课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
    一、 填空题
    1. cos 15°的值是____________.
           2+  6
    答案:     4
                                    2+  6
    解析:cos15°=cos(60°-45°)=           4  .
    2. 计算:cos 42°cos 18°-cos 48°sin 18°=_________.
          1
    答案:2
    解析:原式=sin 48°cos 18°-cos 48°sin 18°
    =sin (48°-18°)
    =sin 30°
      1
    =2.
                                      5             3 10
    3.   设 α,β   为钝角,且      sin  α=   5 ,cos   β=-   10 ,则   cos(α+β)的值为
________.
           2
    答案:   2
                                    5           3 10
    解析:∵ α,β       为钝角,sin α=      5 ,cos β=-    10 ,
                -2  5          10
    ∴  cos α=     5 ,sin β=    10 ,
                                                2
    ∴ cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=          2 .
                                                                         3
    4.     (2017·苏锡常镇四市调研(二))已知           α  是第二象限角,且        sin    α=   10,
tan(α+β)=-2,则       tan β=________.
          1
    答案:7
                                        3                1
    解析:由    α  是第二象限角,且        sin α=   10,得  cos α=-    10,tan α=-3,所以
                         tan(α+β)-tan α  -2+3   1
tan β=tan(α+β-α)=1+tan(α+β)tan α=         1+6 =7.
                          π 5π           π   4        5π   5
                           ,          α+           β-
    5.       已知  α,β∈(3     6 ),若  sin(  6)=5,cos(    6 )=13,则  sin(α-β)=
__________.
          16
    答案:65
                        π  π         5π    π                π    3
                            ,π           -  ,0           α+
    解析:由题意可得        α+6∈(2     ),β-  6 ∈(  2  ),所以   cos(   6)=-5,sin(β-
5π     12
 6 )=-13,
                                π       5π       4  5     3     12    16
                                                        -     -
    所以  sin(α-β)=-sin[(α+6)-(β-          6 )]=-[5×13-(    5)×(  13)]=65.
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               π             4 3           7π
                +α                      α+
    6. 已知  sin(3   )+sin α=   5 ,则  sin(   6 )=__________.
            4
    答案:-5
               π             4 3      π            π                 4 3 3
                +α
    解析:sin    (3   )+sin α=   5 ⇒sin  3cos α+cos   3sin  α+sin   α=   5 ⇒2sin 
     3        4 3  3        1        4            7π            7π
                                               α+
α+   2 cos α=  5 ⇒ 2 sin α+2cos α=5,故     sin (   6 )=sin αcos   6 +cos αsin 
7π      3        1          4
 6 =-( 2 sin α+2cos α)=-5.
    7.   若锐角   α,β   满足   tan  α+tan    β=   3-  3tan   αtan   β,则   α+β=
____________.
          π
    答案:3
                    tan α+tan β
    解析:由已知可得1-tan αtan β=        3,即  tan (α+β)=     3.
                                   π
    又 α+β∈(0,π),所以         α+β=3.
             2sin 50°- 3sin 20°
    8. 计算:        cos 20°   =________.
    答案:1
                2sin(30°+20°)- 3sin 20°
    解析:原式=             cos 20°
      2sin 30°cos 20°+2cos 30°sin 20°- 3sin 20°
    =               cos 20°
      cos 20°+ 3sin 20°- 3sin 20°
    =          cos 20°        =1.
                                     5               10
    9. 若 α,β    都是锐角,且      cos α=  5 ,sin(α-β)=     10 ,则 β=________.
          π
    答案:4
                                        5                10
    解析:∵ α,β       都是锐角,且      cos α=   5 ,sin(α-β)=    10 ,
                 2 5               3 10
    ∴   sin  α=   5 ,cos(α-β)=     10 ,从而    cos  β=cos    [α-(α-β)]=cos 
                                  2                     π
αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=          2 .∵ β 是锐角,∴ β=4.
    10.   如图所示,正方形        ABCD 的边长为   1,延长   BA 至 E,使   AE=1,连结    EC,ED,则
sin∠CED=__________.


           10
    答案:   10
                                                          π
    解析:因为四边形        ABCD 是正方形,且      AE=AD=1,所以∠AED=4.
    在 Rt△EBC  中,EB=2,BC=1,
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                    5             2 5
    所以  sin ∠BEC=   5 ,cos ∠BEC=   5 .
                  π
                   -∠BEC
    sin ∠CED=sin(4        )
       2            2
    =  2 cos ∠BEC- 2 sin ∠BEC
       2   2 5  5    10
             -
    =  2 ×( 5   5 )= 10 .
    二、 解答题
    11. 在△ABC  中,已知    sin(A+B)=2sin(A-B).
             π
    (1) 若 B=6,求    A;
    (2) 若 tan A=2,求    tan B 的值.
                             π          π
                          A+
    解:(1) 由条件,得       sin(   6)=2sin(A-6),
        3       1         3      1
                           sin A- cos A
    ∴  2 sin A+2cos A=2(  2      2    ).
    化简,得    sin A=  3cos A,∴ tan A=    3.
                        π
    又 A∈(0,π),∴ A=3.
    (2) ∵ sin(A+B)=2sin(A-B),
    ∴ sin Acos B+cos Asin B=2(sin Acos B-cos Asin B).
    化简,得    3cos Asin B=sin Acos B.
    又 cos Acos B≠0,∴ tan A=3tan B.
                          2
    又 tan A=2,∴ tan B=3.
                 π           α      α   6
                  ,π
    12. 已知  α∈(2    ),且  sin 2+cos 2=  2 .
    (1) 求 cos  α  的值;
                         3      π
                                 ,π
    (2) 若 sin(α-β)=-5,β∈(2         ),求  cos β  的值.
                   α     α   6
    解:(1) 已知    sin2+cos2=  2 ,两边同时平方,
             α   α  3            1
    得 1+2sin2cos2=2,则    sin α=2.
      π                                   3
    又2<α<π,所以      cos α=-    1-sin2α=-  2 .
            π        π             π        π
    (2) 因为2<α<π,2<β<π,所以-2<α-β<2.
                     3                   4
    又 sin(α-β)=-5,所以        cos(α-β)=5.
    则 cos β=cos [α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)
         3  4  1    3    4 3+3
                  -
    =-  2 ×5+2×(    5)=-   10  .
                                            π                       π     π
                                                            ω > 0,-  ≤ φ <
    13. 已知函数     f(x)= 3sin ωxcos   φ+tan   3·cos  ωxsin  φ(        2     2)的
               π
图象关于直线      x=3对称,且图象上相邻两个最高点的距离为                   π.
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    (1) 求 ω  和 φ  的值;
            α    3 π    2π           3π
                   <α<            α+
    (2) 若 f(2)= 4 (6    3 ),求  cos(  2 )的值.
    解:(1) 由已知得      f(x)=  3sin (ωx+φ),
    因为  f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为               π,所以    f(x)的最小正周期      T=π,从而
    2π
ω=  T =2.
                           π
    又 f(x)的图象关于直线       x=3对称,
           π           π
    所以  2·3+φ=kπ+2,k∈Z.
        π     π
    由-2≤φ<2得     k=0,
            π  2π    π
    所以  φ=2-    3 =-6.
                               π
                            2x-
    (2) 由(1)得  f(x)=  3sin (   6),
          α           α π    3
                    2· -
    所以  f(2)=  3sin ( 2 6)= 4 ,
              π  1
           α-
    即 sin (   6)=4.
      π    2π        π π
    由6<α<  3 得 0<α-6<2,
                π             π      1
             α-     1-sin2 α-     1-   2
    所以  cos (   6)=       (   6)=    (4)
       15
    =  4 .
                3π                  π  π
             α+                  α-  +
    因此  cos (   2 )=sin α=sin [(    6) 6]
             π     π         π    π
           α-             α-
    =sin (   6)cos 6+cos (   6)sin 6
      1   3   15  1  3+  15
    =4×  2 +  4 ×2=    8   .

                      第  5 课时 二倍角的正弦、余弦和正切公式
    一、 填空题
       1      π
    1. 2-sin212的值为________.
           3
    答案:   4
          1      π  1        π   1   π  1  3   3
                      1-2sin2
    解析:2-sin212=2(          12)=2cos6=2×   2 = 4 .
    2. 函数  y=(sin x-cos x)2  的最小正周期为__________.
    答案:π
    解析:y=(sin x-cos x)2=1-2sin xcos x=1-sin 2x,最小正周期             T=π.
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           cos 2α
               7π     2
         sin α+
    3. 若   (   4 )=- 2 ,则  sin α+cos α=__________.
          1
    答案:2
                   cos2α-sin2α
                   2                2                       1
                    (sin α-cos α)
    解析:由已知得       2            =-  2 ,整理得    sin α+cos α=2.
                             2
    4. 已知  sin(α-45°)=-10,且       0°<α<90°,则       cos 2α 的值为________.
          7
    答案:25
                               2                          1
    解析:由    sin (α-45°)=-10,展开得         sin α-cos α=-5.又      sin2α+cos2α=
             3          4                            7
1,得   sin α=5,cos α=5,则      cos 2α=cos2α-sin2α=25.
                                    π          π
                                  x+        x-
    5.           若函数    f(x)=sin2(  4)+cos2(   4)-1,则函数     f(x)的单调增区间是
____________.
             π     π
           -  +kπ,  +kπ
     答案:[    4     4    ](k∈Z)
                    π           π              π              π
                                                               +2x
    解析:f(x)=sin2(4+x)+sin2(4+x)-1=2sin2(4+x)-1=-cos(2              )=sin 
                               π     π
                             -  +kπ,  +kπ
2x.易得函数    f(x)的单调增区间是[        4     4    ](k∈Z).
                                                            1
    6.    (2017·苏州调研)已知       α 是第二象限角,且        tan    α=-3,则     sin   2α=
________.
            3
    答案:-5
                                          1               10            3 10
    解析:因为     α  是第二象限角,且        tan α=-3,所以      sin α=  10 ,cos α=-    10 ,
                                10     3 10    3
所以   sin 2α=2sin αcos α=2×     10 ×(-  10 )=-5.
                    1           π
                              α-
    7. 已知  sin 2α=3,则    cos2(  4)=___________.
          2
    答案:3
                              π               1
                    1+cos 2α-              1+
                 π        (   2) 1+sin 2α     3 2
              α-
    解析:cos2(     4)=      2     =    2   =  2 =3.
         1+tan α                     1
    8. 若1-tan α=2 017,则    tan 2α+cos 2α=________.
    答案:2 017
                     1     2tan α cos2α+sin2α  (1+tan α)2 1+tan α
    解析:tan 2α+cos 2α=1-tan2α+cos2α-sin2α=       1-tan2α =1-tan α=2 017.
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                    1+cos 2x
                        π                         π
                    2sin -x                    x+
    9.      设 f(x)=    (2   )+sin      x+a2sin(   4)的最大值为     2+3,则常数     a=
____________.
    答案:±     3
                1+2cos2x-1                 π                         π
                                         x+                       x+
    解析:f(x)=       2cos x  +sin x+a2sin(   4)=cos x+sin x+a2sin(     4)= 2sin
    π          π                 π
 x+         x+
(   4)+a2sin(  4)=( 2+a2)sin(x+4).依题意有       2+a2=   2+3,
    ∴ a=±    3.
                   π           π    2
                 0,         θ-
    10. 已知  θ∈(    2),且  sin(  4)=10,则   tan 2θ=________.
            24
    答案:-    7
                   π   2                       1             π
                θ-                                         0,
    解析:由    sin(   4)=10,得  sin   θ-cos    θ=5①,       θ∈(   2),①平方得     2sin 
          24                        7             4         3             4
θcos θ=25,可求得       sin θ+cos θ=5,∴ sin θ=5,cos θ=5,∴ tan θ=3,
          2tan θ    24
tan 2θ=1-tan 2θ=-    7 .
                      1                          1      π
                                                         +φ
    11. 已知函数    f(x)=2sin 2xsin φ+cos2xcos φ-2·sin(2       )(0<φ<π),将函数
                  π                                π   1
f(x)的图象向左平移12个单位后得到函数               g(x)的图象,且     g(4)=2,则  φ=________.
          2π
    答案:   3
                   1                         1    π
                                                   +φ
    解析:∵ f(x)=2sin 2xsin φ+cos2xcos φ-2sin(2          )
      1              cos 2x+1       1
    =2sin 2xsin φ+      2   cos φ-2cos φ
      1              1
    =2sin 2xsin φ+2cos 2xcos φ
      1
    =2cos(2x-φ),
             1        π       1       π
                 2 x+   -φ        2x+  -φ
    ∴ g(x)=2cos[  (   12)  ]=2cos(    6   ).
         π  1
    ∵ g(4)=2,
          π  π                        2π
    ∴ 2×4+6-φ=2kπ(k∈Z),即          φ=  3 -2kπ(k∈Z).
                       2π
    ∵ 0<φ<π,∴ φ=       3 .
    二、 解答题
                                             π          π
                                         2x+        2x-
    12. (2017·江阴期初)已知函数         f(x)=sin(    3)+sin(    3)+2cos2x-1,x∈R.
    (1) 求函数   f(x)的最小正周期;
                          π  π
                         - ,
    (2) 求函数   f(x)在区间[    4  4]上的最大值和最小值.
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                             π         π          π          π
    解:(1) ∵ f(x)=sin2xcos3+cos2xsin3+sin2xcos3-cos2xsin3+cos2x=sin2x+
                π
            2x+
cos2x=  2sin(   4),
                              2π
    ∴ 函数   f(x)的最小正周期      T=  2 =π.
                           π  π                  π π
                          - ,                     ,
    (2) ∵ 函数   f(x)在区间[    4  8]上是增函数,在区间[8        4]上是减函数,
          π         π        π
        -
    又 f(  4)=-1,f(8)=   2,f(4)=1,
                    π π
                  -  ,
    ∴ 函数   f(x)在[   4 4]上的最大值为      2,最小值为-1.
                                         1
    13. 已知函数    f(x)=(2cos 2x-1)sin 2x+2cos 4x.
    (1) 求 f(x)的最小正周期及单调递减区间;
                           α  π   2           π
                            -              α+
    (2) 若 α∈(0,π),且      f(4  8)= 2 ,求  tan(  3)的值.
                                    1                      1       1
    解:(1) f(x)=(2cos2x-1)sin 2x+2cos 4x=cos 2xsin 2x+2cos 4x=2(sin 4x+
          2       π
              4x+
cos 4x)= 2 sin(   4),
                          π
    ∴ f(x)的最小正周期       T=2.
            π      π        3
    令 2kπ+2≤4x+4≤2kπ+2π,k∈Z,
      kπ  π      kπ 5π
    得 2 +16≤x≤   2 +16,k∈Z.
                            kπ  π  kπ  5π
                              +   ,  +
    ∴  f(x)的单调递减区间为[        2   16 2   16],k∈Z.
            α  π    2          π
             -               α-
    (2) ∵ f(4  8)= 2 ,即  sin(  4)=1,
                     π     π 3π
    又 α∈(0,π),-4<α-4<        4 ,
          π  π        3π
    ∴α-4=2,故      α=  4 .
                     3π     π
                   tan +tan 
                      4     3
               π        3π  π  -1+   3
            α+    1-tan   tan 
    因此  tan(   3)=      4   3=  1+  3 =2-   3.

                           第 6 课时 简单的三角恒等变换
    一、 填空题
                          2
    1. 已知  cos4α-sin4α=3,则      cos 4α=________.
            1
    答案:-9
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                                                                    2
    解析:∵ cos4α-sin4α=(sin2α+cos2α)(cos2α-sin2α)=cos 2α=3,∴ cos 
                     2        1
4α=2cos22α-1=2×(3)2-1=-9.
            α   3
    2. 若 sin2=  3 ,则  cos 2α=________.
            7
    答案:-9
                        α          3   1                        1         7
    解析:cosα=1-2sin22=1-2×(        3 )2=3,cos2α=2cos2α-1=2×(3)2-1=-9.
    3. 在△ABC  中,若    2cos Bsin A=sin C,则△ABC   的形状一定是__________.
    答案:等腰三角形
    解析:在△ABC     中,C=π-(A+B),
    ∴ 2cos Bsin A=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=
    sin A cos B+cos Asin B.∴ -sin Acos B+cos Asin B=0,即       sin(B-A)=0.∴ 
A=B,故△ABC    的形状一定是等腰三角形.
    4. 在△ABC  中,tan A+tan B+     3=  3tan A·tan B,则   C=__________.
          π
    答案:3
    解析:由已知可得        tan A+tan B=   3(tan A·tan B-1),
                  tan A+tan B
    ∴ tan(A+B)=1-tan Atan B=-    3.又  0<A+B<π,
             2π       π
    ∴ A+B=   3 ,∴ C=3.
                       π            π
                        -α           ,π
    5. 若 2cos 2α=sin(4    ),且  α∈(2    ),则  sin 2α=___________.
             7
     答案:-8
                          π                           2
                           -α
    解析:由    2cos  2α=sin(4    ),得  2(cos2α-sin2α)=   2 (cos α-sin   α),所以
                 2                                                    1
cos α+sin α=    4 .又(cos α+sin α)2=1+2sin α·cos α=1+sin 2α=8,所以
           7
sin 2α=-8.
    6.   若  α∈[0,2π),则满足        1+sin 2α=sin    α+cos     α  的 α 的取值范围是
__________.
              3π   7π
           0,        ,2π
     答案:[     4 ]∪[ 4   )
                                                                   π
                                                                α+
    解析:由     1+sin 2α=sin  α+cos   α,得    sin α+cos    α=   2sin(  4)≥0.因为
                                   3π   7π
                                 0,       ,2π
α∈[0,2π),所以       α  的取值范围为[       4 ]∪[ 4   ).
       2cos 10°-sin 20°
    7.     sin 70°  =___________.
    答案:    3
                2cos(30°-20°)-sin 20°
    解析:原式=             sin 70°
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      2(cos 30°cos 20°+sin 30°sin 20°)-sin 20°
    =               sin 70°
       3cos 20°
    =  cos 20° = 3.
                      24         3π
                                   ,π
    8. 已知  sin 2α=-25,且     α∈(  4   ),则  sin α=________.
          3
    答案:5
                  3π
                    ,π
    解析:∵     α∈(  4   ),∴   cos α<0,sin    α>0,且|cos     α|>|sin   α|.又(sin 
                            24  1
α+cos α)2=1+sin 2α=1-25=25,
                        1                          7
    ∴ sin α+cos α=-5,同理可得           sin α-cos α=5,
               3
    ∴ sin α=5.
    9. sin 18°cos 36°=________.
          1
    答案:4
                2sin 18°cos 18°cos 36°
    解析:原式=           2cos 18°
      2sin 36°cos 36° sin 72° 1
    =    4cos 18° =4cos 18°=4.
                                              cos 2α
                    1                   π          π
                                      0,     sin α-
    10. 已知  sin α=2+cos α,且      α∈(    2),则   (   4)的值为________.
             14
    答案:-     2
                    1                            1
    解析:由    sin α=2+cos α,得      sin α-cos α=2,
                         1                   3
    ∴ (sin α-cos α)2=4,∴ 2sin αcos α=4,
                                           7
    ∴ (sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=4.
             π                      7
           0,
    又 α∈(    2),∴ sin α+cos α=      2 ,
        cos 2α    cos2α-sin2α
             π   2
       sin α-     (sin α-cos α)
    ∴    (   4)= 2           =-   2(sin α+cos α)
         14
    =-   2 .
    二、 解答题
                                        π         π  1
                                     B-        B-
    11. 已知△ABC   是锐角三角形,且        sin(   6)·cos(   3)=2.
    (1) 求角  B 的值;
    (2) 若 tan Atan C=3,求角    A,C  的值.
                  π        π
               B-       B-
    解:(1) sin(    6)cos(   3)
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        3     1      1       3
         sin B- cos B cos B+ sin B
    =( 2      2    )(2      2    )
      3      1             1  1
    =4sin2B-4cos2B=sin2B-4=2,
               3
    所以  sin2B=4.
                                          3       π
    因为  B 为锐角三角形的内角,所以            sin B= 2 ,即  B=3.
               π            2π
    (2) 因为  B=3,所以    A+C=   3 .
    又△ABC  是锐角三角形,所以         tan A>0,tan C>0.
                  tan A+tan C
    而 tan(A+C)=1-tan Atan C=-    3,
    所以  tan A+tan C=   3tan Atan C-  3=2  3 ①.
    又 tan Atan C=3 ②,
                                          π
    由①②解得     tan A=tan C=   3,所以   A=C=3.
                                                        π   2       π
                                                     α+             ,π
    12. (2017·南通、扬州、泰州、苏北四市二模)已知                 sin(   4)=10,α∈(2     ).
    (1) 求 cos α  的值;
                  π
              2α-
    (2) 求 sin(    4)的值.
                            π             π  3π  5π
                             ,π                ,
    解:(1) (解法    1)因为  α∈(2    ),所以   α+4∈(   4  4 ).
             π   2             π               π          2     7 2
          α+                α+       1-sin2 α+       1-    2
    又 sin(   4)=10,所以    cos(  4)=-        (   4)=-     (10) =- 10 .
                          π  π         π       π        π       π   7 2   2
                       α+  -        α+               α+
    所以  cos    α=cos[(    4) 4]=cos(   4)cos   4+sin(   4)sin   4=-  10 × 2 +
 2   2    3
10×  2 =-5.
                    π    2             π            π   2
                 α+
    (解法  2)由  sin(  4)=10得,sin αcos 4+cos αsin 4=10,
                      1
    即 sin α+cos α=5 ①.
    又 sin2α+cos2α=1 ②.
                        3          4
    由①②解得     cos α=-5或    cos α=5.
             π                   3
              ,π
    因为  α∈(2    ),所以   cos α=-5.
                 π              3
                  ,π
    (2) 因为  α∈(2    ),cos α=-5,
                                 3   4
                           1-  -  2
    所以  sin α=   1-cos2α=     (  5) =5.
                                   4    3    24
                                      -
    所以  sin 2α=2sin αcos α=2×5×(        5)=-25,
                              3        7
                            -
    cos 2α=2cos2α-1=2×(       5)2-1=-25.
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                π             π            π     24   2     7    2    17 2
            2α-                                -          -
    所以  sin(    4)=sin 2αcos 4-cos 2αsin 4=(     25)× 2 -(  25)× 2 =-  50 .
                                                           π
    13. (2017·泰州模拟)如图,现要在一块半径为                1 m,圆心角为3的扇形白铁片           AOB 上
剪出一个平行四边形         MNPQ,使点   P 在弧  AB 上,点   Q 在 OA 上,点   M,N 在 OB 上,设
∠BOP=θ,平行四边形         MNPQ 的面积为    S.
    (1) 求 S 关于  θ  的函数关系式;
    (2) 求 S 的最大值及相应的        θ 值.


    解:(1) 分别过     P,Q  作 PD⊥OB 于点   D,QE⊥OB  于点  E,则四边形     QEDP 为矩形.
    由扇形半径为      1 m,得  PD=sin θ,OD=cos θ.
                       3    3                                  3
    在 Rt△OEQ  中,OE=   3 QE= 3 PD,MN=QP=DE=OD-OE=cos       θ-  3 sin  θ,所以
                  3                             3              π
           cos θ-  sin θ                                    0,
S=MN·PD=(         3    )·sin θ=sin θcos θ-     3 sin2θ,θ∈(     3).
                  1          3
    (2) 由(1)得  S=2sin 2θ-   6 (1-cos 2θ)
      1          3         3
    =2sin 2θ+   6 cos 2θ-  6
       3       π    3
           2θ+
    =  3 sin(  6)- 6 ,
               π            π  π 5π
             0,                 ,
    因为  θ∈(    3),所以   2θ+6∈(6    6 ),
                π   1
            2θ+      ,1
    所以  sin(    6)∈(2  ].
          π          3
                        2
    当 θ=6时,Smax=     6 (m ).


                                  第  7 课时 正弦定理和余弦定理
    一、 填空题
    1.         (2017·江阴期初)在△ABC       中,若    A=60°,B=45°,BC=3       2,则  AC=
________.
    答案:2    3
                            AC    BC         BC·sin B 3 2·sin 45°
    解析:由已知及正弦定理得sin B=sin A,即             AC=  sin A =  sin 60° =2 3.
    2. 在△ABC  中,AC=    3,A=45°,C=75°,则        BC=______.
    答案:    2
                                                   AC    BC         AC·sin A
    解析:由题意得       B=180°-A-C=60°.由正弦定理得sin B=sin A,则            BC=   sin B ,
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             2
         3 ×
             2
           3
所以   BC=   2  =  2.
                                                  3
    3. 在△ABC  中,A=60°,AB=2,且△ABC         的面积为    2 ,则  BC 的长为____________.
    答案:    3
             1                1      3       3
    解析:S=2AB·ACsin       60°=2×2×    2 ×AC=  2 ,所以  AC=1,所以    BC2=AB2+AC2-
2AB·ACcos 60°=3,所以      BC=  3.
    4. 已知在△ABC    中,内角     A,B,C  所对边的长分别为        a,b,c,a2=b2+c2-bc,bc=
4,则△ABC   的面积为________.
    答案:    3
                                     1
    解析:∵ a2=b2+c2-bc,∴ cos A=2.
          π                          1
    ∴ A=3.又   bc=4,∴ △ABC    的面积为2bcsin A=      3.
    5.  (2017·苏锡常镇调研(二))在△ABC          中,角   A,B,C  所对边的长分别是        a,b,c,
若满足   2bcos A=2c-   3a,则角   B 的大小为________.
          π
    答案:6
    解析:由正弦定理得         2sin Bcos A=2sin  C-  3sin  A⇒2sin Bcos A=2sin(A+B)-
                                                          3
 3sin A⇒2sin  Acos  B=  3sin A.∵   A∈(0,π),∴      cos B=  2 .∵ B∈(0,π),∴ 
   π
B=6.
    6. 在△ABC  中,角    A,B,C  所对边的长分别是        a,b,c.已知    b=c,a2=2b2(1-sin A),
则  A=________.
          π
    答案:4
    解析:由余弦定理知         a2=b2+c2-2bccos A,
    因为  b=c,a2=2b2(1-sin A),
    所以  b2+b2-2b2cos A=2b2(1-sin A),
    所以  cos A=sin A,即   tan A=1.
                           π
    因为  A∈(0,π),所以      A=4.
                                       B  a+c
    7.   (2017·盐城诊断)在△ABC      中,cos22=    2c (a,b,c  分别为角    A,B,C  所对边的
长),则△ABC    的形状为________.
    答案:直角三角形
                  B  a+c           B     a+c                          a
    解析:因为     cos22=  2c ,所以   2cos22-1=   c -1,所以    cos           B=c,所以
a2+c2-b2   a
   2ac   =c,所以    c2=a2+b2.
    所以△ABC   为直角三角形.

    8. 在△ABC   中,三个内角      A,B,C  所对边的长分别为        a,b,c.若   S△ABC=2 3,a+b=
   acos B+bcos A
6,       c     =2cos C,则   c=________.
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    答案:2    3
             acos B+bcos A
    解析:∵          c      =2cos C,
    由正弦定理,得       sin Acos B+cos Asin B=2sin Ccos C,
    ∴ sin(A+B)=sin C=2sin Ccos C.
                                      1       π
    由于  0<C<π,sin C≠0,∴ cos C=2,∴ C=3.
                  1          3

    ∵ S△ABC=2  3=2absin C=  4 ab,∴ ab=8.
                  a=2,    a=4,
    又 a+b=6,∴{     b=4 )或{b=2,)
    ∴ c2=a2+b2-2abcos C=4+16-8=12,∴ c=2          3.
    9. 在△ABC  中,角    A,B,C  所对边的长分别为        a,b,c,且满足      csin A=  3acos C,
则  sin A+sin B 的最大值是______.
    答案:    3
    解析:由    csin A=  3acos C,得   sin Csin A=  3sin Acos C,即  sin C=  3cos C,
                    π    2π
∴ tan C=   3,∴ C=3,A=     3 -B,
                        2π                     π
                          -B                B+
    ∴ sin A+sin B=sin(   3   )+sin B=  3sin(   6).
             2π     π    π  5π
    ∵ 0<B<   3 ,∴ 6<B+6<     6 ,
            π  π       π
    ∴ 当  B+6=2,即     B=3时,sin A+sin B   的最大值为      3.
                                       a
    10. 在锐角三角形      ABC 中,若   A=2B,则b的取值范围是________.
    答案:(    2,  3)
    解析:因为△ABC      为锐角三角形,且        A=2B,
                 π
          0<2B<   ,
                 2
                  π      π   π
        {0<π-3B<   ,)
    所以            2  所以60)的周期
为  π.
                π
              0,
    (1) 当 x∈[   2]时,求函数     f(x)的值域;
                                                          A
    (2) 已知△ABC    的内角   A,B,C  对应的边分别为       a,b,c,若     f(2)= 3,且  a=4,b+
c=5,求△ABC    的面积.
                   3              1                  π    3
                                                2ωx+
    解:(1) f(x)=   2 (1+cos 2ωx)+2sin 2ωx=sin(        3)+ 2 .
                                     2π                                 π
                                                                     2x+
    因为  f(x)的周期为     π,且   ω>0,所以2ω=π,解得         ω=1.所以    f(x)=sin(    3)+
 3
 2 .
            π      π      π  4          3          π                  π   3
                                               2x+                2x+
    又 0≤x≤2,所以3≤2x+3≤3π,所以-             2 ≤sin(    3)≤1,0≤sin    (    3)+ 2 ≤
 3                         π              3
                         0,            0,  +1
 2 +1,所以函数     f(x)在  x∈[  2]上的值域为[       2   ].
              A                  π   3
                              A+
    (2) 因为  f(2)=  3,所以   sin(   3)= 2 .
                    π    π 4           π  2           π
    由 A∈(0,π),知3b=   3,
    ∴ a+c∈(    3,2].
    ∴ a+c  的取值范围是(       3,2].
    13.   如图,某生态园将三角形地块             ABC 的一角   APQ 开辟为水果园种植桃树.已知角
A 为 120°,AB,AC   的长度均大于      200 m.现在边界     AP,AQ  处建围墙,在      PQ 处围竹篱笆.
    (1) 若围墙   AP,AQ  的总长度为     200 m,问:如何围可使得三角形地块             APQ 的面积最大?

    (2) 已知   AP 段围墙高   1 m,AQ  段围墙高    1.5 m,造价均为每平方米         100 元.若建围墙
用了   20 000 元,则如何围可使竹篱笆用料最省?


    解:(1) 设   AP=x m,AQ=y m,则     x+y=200,x>0,y>0.
                   1             3
    △APQ 的面积    S=2xysin 120°=   4 xy.
             x+y
    因为  xy≤(  2  )2=10 000,当且仅当     x=y=100  时取等号.
    所以当   AP=AQ=100 m  时,可使三角形地块         APQ 的面积最大.
    (2) 由题意得    100×(1×x+1.5×y)=20 000,
    即 x+1.5y=200.
    在△APQ  中,PQ2=x2+y2-2xycos 120°=x2+y2+xy,
                                                                       400
    即 PQ2=(200-1.5y)2+y2+(200-1.5y)y=1.75y2-400y+40 000,其中         0
	
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