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2018_2019学年高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)3.2.3指数函数与对数函数的关系课件新人教B版必修1

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3.2.3 指数函数与对数函数的关系
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             1.了解反函数的定义,知道指数函数y=ax与对数函数
   课标要求      y=logax互为反函数.
             2.能利用指、对函数的图象与性质解决一些简单问题                    .
             通过指数函数与对数函数互为反函数的学习,使学生养
   素养达成      成数形结合解决函数问题          的习惯   ,借助指、对函数的对
             立统一关系,欣赏互为反函数的对称美.
新知探求

课堂探究
                  新知探求·素养养成
                         知识探究
1.反函数
(1)互为反函数的概念
当一个函数y=f(x)中x任取一个值时,y有唯一确定的值与之对应,反之,y任
取一个值时,x有唯一确定的值与之对应,可以把这个函数的因变量作为一
个新的函数的   自变量     ,而把这个函数的自变量作为新的函数的   因变量   .我
们称这两个函数互为     反函数       .
                                         -1
(2)反函数的记法:函数y=f(x)的反函数通常用  y=f    (x)       来表示.
2.指数函数与对数函数的关系
       x                               反函数
函数y=a  (a>0,a≠1)与y=logax(a>0,a≠1)互为          ,互为反函数的
两个图象在同一坐标系内关于直线     y=x     对称.
【拓展延伸】
1.若点P(m,n)在函数y=f(x)(或在反函数y=f-1(x))的图象上,则点P′(n,m)
在反函数y=f-1(x)(或在函数y=f(x))的图象上,利用这种对称性去解题,常
常可以避开求反函数的解析式,从而达到简化运算的目的.
            x
2.指数函数y=a   与对数函数y=logax的图象、性质对比
       名称               指数函数                  对数函数
                        x
     一般形式            y=a (a>0,a≠1)        y=logax(a>0,a≠1)
      定义域               (-∞,+∞)                (0,+∞)
       值域                (0,+∞)               (-∞,+∞)

       图象


  自我检测

B 
2.函数y=log3x的定义域为(0,+∞),则其反函数的值域是(  A )
(A)(0,+∞)
(B)R
(C)(-∞,0)
(D)(0,1)


 解析:原函数的定义域恰好是其反函数的值域.
     x
3.y=2 与y=log2x的图象关于(  B )
(A)x轴对称
(B)直线y=x对称
(C)原点对称
(D)y轴对称

                      x
解析:由反函数的定义知y=2         与y=log2x互为反函数,所以它们的图象关
于直线y=x对称,选B.
答案:y=4x
                   课堂探究·素养提升
类型一  指数函数与对数函数图象的关系

                             x
【例1】 已知a>0,且a≠1,则函数y=a        与y=loga(-x)的图象只能是(  )
思路点拨: 可以从图象所在的位置及单调性来判别,也可利用函数的性质
识别图象,特别要注意底数a对图象的影响.
                     x
解析:法一 首先,曲线y=a        只可能在上半平面,y=loga(-x)只可能在左半
平面,从而排除A,C.
                    x
其次,从单调性着眼.y=a       与y=loga(-x)的增减性正好相反,又可排除D.
故选B.
                     x
法二 若01,则曲线y=a    上升且过点(0,1),而曲线y=loga(-x)下降且过点(-1, 
0),只有B满足条件.故选B.

法三 如果注意到y=loga(-x)的图象关于y轴的对称图象为y=logax,又
           x
y=logax与y=a 互为反函数(图象关于直线y=x对称),则可直接选定B.
方法技巧       要养成从多角度分析问题、解决问题的习惯,培养思维的
灵活性.
                                        -x
变式训练1-1:在同一平面直角坐标系中,函数y1=a               ,y2=-logax(其中a>0且
a≠1)的图象只可能是(  )

类型二  反函数性质的应用 


  思路点拨:先由A(1,2)在函数f(x)的反函数图象上得出A′(2,1)在f(x)的图象上,然
  后建立关于a,b的方程组求解.
方法技巧         利用互为反函数的图象关于直线y=x对称,可由反函数图
象过A(1,2)点得原函数图象过(2,1)点,可简化运算过程,达到事半功倍之功
效.
变式训练2-1:若a>0且a≠1,函数f(x)=ax-2-1的反函数图象过定点M,则M
的坐标为    . 


 解析:由题意可得f(2)=0,所以函数f(x)的反函数图象过定点M(0,2).
 答案:(0,2)
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