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2018年高中数学复习课三不等式学案新人教A版必修5

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高中数学审核员

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                           复习课(三) 不等式

                                            一元二次不等式


    一元二次不等式和一元二次方程、一元二次函数三者构成一个统一的整体.贯穿于高中
数学的始终,更是高考的重点内容,在考题中有时单独对某类不等式的解法进行考查,一般
以小题形式出现,难度不大,但有时在解答题中与其它知识联系在一起,难度较大.

                                    [考点精要]
    解一元二次不等式需熟悉一元二次方程、二次函数和一元二次不等式三者之间的关系,
其中二次函数的零点是联系这三个“二次”的枢纽.
    (1)确定  ax2+bx+c>0(a>0)或   ax2+bx+c<0(a>0)在判别式     Δ>0 时解集的结构是关
键.在未确定      a 的取值情况下,应先分         a=0  和 a≠0 两种情况进行讨论.
    (2)若给出了一元二次不等式的解集,则可知二次项系数                      a 的符号和方程     ax2+bx+c=
0 的两个根,再由根与系数的关系就可知                a,b,c  之间的关系.
    (3)解含有参数的一元二次不等式,要注意对参数的取值进行讨论:①对二次项系数与
0 的大小进行讨论;②在转化为标准形式的一元二次不等式后,对判别式与                              0 的大小进行讨
论;③当判别式大于         0,但两根的大小不确定时,对两根的大小进行讨论.
    [典例] (1)已知不等式        ax2+bx+2>0 的解集为{x|-1
    A.{        2}                   B.{            2}
    C.{x|-21}
    (2)解关于   x 的不等式    ax2-2ax+a+3>0.
    [解析] (1)由题意知       x=-1,x=2    是方程   ax2+bx+2=0   的根.由根与系数的关系得

Error!⇒Error!
    ∴不等式    2x2+bx+a<0,即    2x2+x-1<0.
             1
    解得-14  的解集为{x|x<1    或 x>b}.
    (1)求 a,b 的值;
    (2)解不等式    ax2-(ac+b)x+bc<0.

                       2
    解:(1)因为不等式       ax -3x+6>4 的解集为{x|x<1     或 x>b},所以   x1=1 与  x2=b 是方程

ax2-3x+2=0   的两个实数根,b>1       且 a>0.由根与系数的关系,得Error!解得Error!
    (2)不等式   ax2-(ac+b)x+bc<0,
    即 x2-(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0.
    当 c>2 时,不等式(x-2)(x-c)<0      的解集为{x|22 时,不等式    ax2-(ac+b)x+bc<0   的解集为{x|20,b>0),当且仅当      a=b 时,等号成立;
                       a+b
    (2)a2+b2≥2ab,ab≤(   2  )2(a,b∈R),当且仅当      a=b 时,等号成立;
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       b a
    (3)a+b≥2(a,b   同号且均不为零),当且仅当           a=b  时,等号成立;
         1                                       1
    (4)a+a≥2(a>0),当且仅当      a=1  时,等号成立;a+a≤-2(a<0),当且仅当              a=-
1 时,等号成立.
    [典例] (1)若正数      x,y 满足  x+3y=5xy,则    3x+4y  的最小值是(  )
      24   28
    A. 5   B. 5
    C.5                              D.6
    (2)若正数   x,y 满足   4x2+9y2+3xy=30,则    xy 的最大值是(  )
      4                              5
    A.3                            B.3
                                     5
    C.2                            D.4
                               1   3
    [解析] (1)由    x+3y=5xy  可得5y+5x=1,
                      1   3   9  4  3x 12y  13  12           3x  12y
                        +
    ∴3x+4y=(3x+4y)(5y    5x)=5+5+5y+    5x ≥ 5 + 5 =5 当且仅当5y=    5x ,即  x=
      1
1,y=2时,等号成立,
    ∴3x+4y  的最小值是     5.
    (2)由 x>0,y>0,得   4x2+9y2+3xy≥2×(2x)×(3y)+3xy(当且仅当         2x=3y 时等号成
立),∴12xy+3xy≤30,即       xy≤2,∴xy   的最大值为     2.
    [答案] (1)C (2)C
    [类题通法]
    条件最值的求解通常有两种方法:一是消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,
然后代入代数式转化为函数的最值求解;二是将条件灵活变形,利用常数代换的方法构造和
或积为常数的式子,然后利用基本不等式求解最值.

                                    [题组训练]
                     1  1        1     4
    1.若正数    a,b 满足a+b=1,则a-1+b-1的最小值为(  )

    A.3                              B.4
    C.5                              D.6
                          1  1
    解析:选    B 依题意,因为a+b=1,
    ∴(a-1)(b-1)=1,
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         1    4            4
    因此a-1+b-1≥2      a-1b-1 =4,
             1    4
    当且仅当a-1=b-1,
         3
    即 a=2,b=3   时“=”成立.
                                  1  1
                              x2+     +4y2
    2.设  x,y∈R,且    xy≠0,则(      y2)(x2    )的最小值为________.

              1  1            1                1                         1
          x2+      +4y2                          ·4x2y2
    解析:(      y2)(x2   )=5+x2y2+4x2y2≥5+2     x2y2    =9,当且仅当       x2y2=2时
“=”成立.
    答案:9

                                             绝对值不等式


    绝对值不等式主要考查解法及简单的应用,题目难度中档偏下,着重考查学生的分类讨
论思想及应用能力.

                                    [考点精要]
    1.公式法

    |f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或  f(x)<-g(x);

    |f(x)||g(x)|⇔[f(x)]2>[g(x)]2.
    3.零点分段法
    含有两个以上绝对值符号的不等式,可先求出使每个含绝对值符号的代数式值等于零的
未知数的值,将这些值依次在数轴上标注出来,它们把数轴分成若干个区间,讨论每一个绝
对值符号内的代数式在每一个区间上的符号,转化为不含绝对值的不等式去解.
    4.对于不等式恒成立求参数范围问题,常用分离参数法、更换主元法、数形结合法解
决.
    [典例] 已知     f(x)=|ax+1|(a∈R),不等式       f(x)≤3 的解集为{x|-2≤x≤1}.
    (1)求 a 的值;
                 x
         fx-2f
    (2)若|        (2)|≤k 恒成立,求    k 的取值范围.
    [解] (1)由|ax+1|≤3     得-4≤ax≤2.
    又 f(x)≤3 的解集为{x|-2≤x≤1},所以当           a≤0 时,不合题意.
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                4     2
    当 a>0 时,-a≤x≤a,得       a=2.
                             x
    (2)法一:记    h(x)=f(x)-2f(2),
    则 h(x)=Error!所以|h(x)|≤1,
    因此  k 的取值范围是[1,+∞).
                  x
          fx-2f
    法二:|          (2)|=||2x+1|-2|x+1||
          1
       x+  -|x+1|
    =2||  2|      |≤1,
              x
      fx-2f
    由|        (2)|≤k 恒成立,
    可知  k≥1,
    所以  k 的取值范围是[1,+∞).
    [类题通法]
    解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号,化成不含绝对值的不等式,其一是依据绝对
值的意义;其二是先令每一个绝对值等于零,找到分界点,通过讨论每一区间内的代数式的
符号去掉绝对值.

                                    [题组训练]
    1.不等式|2x+1|-2|x-1|>0       的解集为________.
                                                                1
    解析:原不等式即|2x+1|>2|x-1|,两端平方后解得                  12x>3,即   x>4.
    答案:Error!
    2.设关于    x 的不等式    lg(|x+3|+|x-7|)>a.
    (1)当 a=1 时,解此不等式;
    (2)当 a 为何值时,此不等式的解集是            R.
    解:(1)当   a=1 时,lg(|x+3|+|x-7|)>1,

    ⇔|x+3|+|x-7|>10,
    ⇔Error!或Error!或Error!

    ⇔x>7  或 x<-3.
    所以不等式的解集为{x|x<-3          或  x>7}.
    (2)设 f(x)=|x+3|+|x-7|,则有       f(x)≥|(x+3)-(x-7)|=10,当且仅当(x+
3)(x-7)≤0,
    即-3≤x≤7    时,f(x)取得最小值       10.
    ∴lg(|x+3|+|x-7|)≥1.
    要使  lg(|x+3|+|x-7|)>a    的解集为    R,只要   a<1.
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        1  1
    1.若a<b<0,则下列不等式不正确的是(  )
                                       b  a
    A.a+b<ab                        B.a+b>0
    C.ab<b2                          D.a2>b2
                 1  1
    解析:选    D 由a<b<0,可得       b<a<0,故选     D.
    2.已知不等式      x2-2x-3<0   的解集为    A,不等式    x2+x-6<0   的解集为    B,不等式
x2+ax+b<0   的解集是    A∩B,那么    a+b 等于(  )
    A.-3                             B.1
    C.-1                             D.3
    解析:选    A 由题意:A={x|-1<x<3},B={x|-3<x<2}.A∩B={x|-1<x<
2},由根与系数的关系可知:
    a=-1,b=-2,∴a+b=-3.
              x2+2
    3.函数   y= x-1 (x>1)的最小值是(  )
    A.2  3+2                         B.2  3-2
    C.2  3                           D.2
    解析:选    A ∵x>1,
    ∴x-1>0.
        x2+2   x2-2x+2x+2
    ∴y=  x-1 =     x-1
      x2-2x+1+2x-1+3
    =         x-1
      x-12+2x-1+3
    =         x-1
             3
    =x-1+x-1+2
                             3
    ≥2  3+2(当且仅当      x-1=x-1,即     x= 3+1  时等号成立).
    4.不等式|x-2|-|x-1|>0       的解集为(  )
           3                                3
      -∞,                            -∞,-
    A.(    2)                      B.(      2)
      3                                3
       ,+∞                           -  ,+∞
    C.(2    )                      D.( 2    )
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    解析:选    A 不等式|x-2|-|x-1|>0        即|x-2|>|x-1|,平方化简可得            2x<3,解
     3
得 x<2,故选    A.
    5.已知圆    C:(x-a)2+(y-b)2=1,平面区域         Ω:Error!若圆心    C∈Ω,且圆     C 与
x 轴相切,则    a2+b2 的最大值为(  )
    A.5                              B.29
    C.37                             D.49
    解析:选    C 由已知得平面区域         Ω 为△MNP   内部及边界.∵圆
C 与 x 轴相切,∴b=1.显然当圆心          C 位于直线    y=1 与 x+y-7=0    的

                        2   2           2  2
交点(6,1)处时,amax=6.∴a      +b  的最大值为     6 +1 =37.故选   C.
                                                 xy
    6.设正实数     x,y,z  满足  x2-3xy+4y2-z=0,则当       z 取得最大
      2 1  2
值时,x+y-z的最大值为(  )
    A.0                              B.1
      9
    C.4                              D.3
    解析:选    B 由  x2-3xy+4y2-z=0,得     z=x2-3xy+4y2,
                          1
      xy      xy      x  4y
                       +   -3
    ∴ z =x2-3xy+4y2=y     x   .
                         x  4y       xy
    又 x,y,z  为正实数,∴y+       x ≥4,即   z ≤1,
    当且仅当    x=2y 时取等号,此时       z=2y2.
      2 1  2   2  1   2
    ∴x+y-z=2y+y-2y2
        1   2     1
                   -1
    =-(y)2+y=-(y     )2+1,
      1
    当y=1,即    y=1 时,上式有最大值        1.
                                y
    7.若  x,y 满足约束条件Error!则x的最大值为________.
    解析:画出可行域如图阴影部分所示,
      y
    ∵x表示过点(x,y)与原点(0,0)的直线的斜率,
                       y
    ∴点(x,y)在点     A 处时x最大.
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    由Error!得Error!
    ∴A(1,3).
      y
    ∴x的最大值为      3.
    答案:3
                                           1                t+1
                   2
    8.设正数    a,使  a +a-2>0  成立,若    t>0,则2logat________loga  2 (填
“>”“≥”“≤”或“<”).
    解析:因为     a2+a-2>0,所以     a<-2 或 a>1,
    又 a>0,所以   a>1,
                 t+1
    因为  t>0,所以    2 ≥   t,
            t+1         1

    所以  loga 2 ≥loga t=2logat.
    答案:≤

    9.若实数    x,y 满足约束条件Error!已知点(x,y)所表示的平面区域为三角形,则实数
k 的取值范围为________,又       z=x+2y  有最大值     8,则实数    k=________.
    解析:作出一元二次不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分
所示.要想点(x,y)所表示的平面区域为三角形,则                    B(2,2)必须在直
线 2x-y=k  的右下方,即       2×2-2>k,则    k<2,则实数    k 的取值范围
为(-∞,2).
    观察图象可知,当直线          z=x+2y  过点  A 时,z  有最大值,联立
                  4+k  8-k                      4+k     8-k
                      ,
Error!解得Error!即  A( 3   3  ),代入   z=x+2y  中,即    3  +2×   3 =8,解得    k=-4.
    答案:(-∞,2) -4
    10.已知函数     f(x)=|x-2|.
    (1)解不等式:f(x+1)+f(x+2)<4;
    (2)已知  a>2,求证:对任意        x∈R,f(ax)+af(x)>2    恒成立.
    解:(1)f(x+1)+f(x+2)<4,即|x-1|+|x|<4,
                                           3
    ①当  x≤0 时,不等式为       1-x-x<4,即     x>-2,
        3
    ∴-2<x≤0    是不等式的解;
    ②当  0<x≤1  时,不等式为      1-x+x<4,即      1<4 恒成立,∴0<x≤1       是不等式的解;
                                          5
    ③当  x>1 时,不等式为       x-1+x<4,即     x<2,
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           5
    ∴1<x<2是不等式的解.
                             3  5
                            - ,
    综上所述,不等式的解集为(            2  2). 
    (2)证明:∵a>2,
    ∴f(ax)+af(x)=|ax-2|+a|x-2|
    =|ax-2|+|ax-2a|=|ax-2|+|2a-ax|≥|ax-2+2a-ax|=|2a-2|>2,
    ∴对任意    x∈R,f(ax)+af(x)>2    恒成立.
    11.某外商到一开发区投资          72 万美元建起一座蔬菜加工厂,第一年各种经费                   12 万美元,
以后每年增加      4 万美元,每年销售蔬菜收入           50 万美元.设     f(n)表示前   n 年的纯利润总和.
    (注:f(n)=前    n 年的总收入-前      n 年的总支出-投资额)
    (1)从第几年开始获利?
    (2)若干年后,外商为开发新项目,有两种处理方案:
    ①年平均利润最大时以          48 万美元出售该厂;
    ②纯利润总和最大时,以          16 万美元出售该厂;
    问哪种方案最合算?为什么?
    解:由题意知,每年的经费是以             12 为首项,4    为公差的等差数列,∴f(n)=-2n2+
40n-72.
    (1)获利就是要求      f(n)>0,所以-2n2+40n-72>0,解得        2
	
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