网校教育资源平台

2018年高中数学复习课三不等式学案新人教A版必修5

评价文档:
文档评论: 0

相关文档推荐

2018年高中数学第三章不等式3.1不等关系与不等式学案新人教A版必修5
免费
2018年高中数学第三章不等式3.4基本不等式学案新人教A版必修5
免费
2018年高中数学复习课三不等式学案新人教A版必修5
免费
2018年高中数学第三章不等式3.3二元一次不等式组与简单的线性规划问题学案新人教A版必修5
免费
2018年高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式及其解法学案新人教A版必修5
免费
2018年高中数学课时跟踪检测十七二元一次不等式组与平面区域新人教A版必修5
免费
2018年高中数学课时跟踪检测十六一元二次不等式及其解法习题课新人教A版必修5
免费
2018年高中数学课时跟踪检测十九基本不等式新人教A版必修5
免费
2018年高中数学课时跟踪检测十四不等关系与不等式新人教A版必修5
免费
2018年高中数学课时跟踪检测十五一元二次不等式及其解法新人教A版必修5
免费
全国通用版2019版高考数学一轮复习鸭部分不等式选讲学案文
免费
全国通用版2019版高考数学一轮复习第九单元不等式学案文
免费
2018届广东省广州市高考数学一轮复习专项检测试题18几何证明选讲不等式选讲
免费
2018届广东省广州市高考数学一轮复习专项检测试题10不等式2
免费
2018届广东省广州市高考数学一轮复习专项检测试题09不等式1
免费
安徽省长丰县高中数学第三章不等式3.2.2一元二次不等式及其解法的应用1教案新人教A版必修5
免费
安徽省长丰县高中数学第三章不等式3.2.1一元二次不等式及其解法教案新人教A版必修5
免费
安徽省长丰县高中数学第三章不等式3.4.2基本不等式的应用1教案新人教A版必修5
免费
安徽省长丰县高中数学第三章不等式3.4.3基本不等式的应用2教案新人教A版必修5
免费
安徽省长丰县高中数学第三章不等式3.2.3一元二次不等式及其解法的应用2教案新人教A版必修5
免费

高中数学审核员

中国现代教育网
分享到:
0积分 下载
                  中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台

                           复习课(三) 不等式

                                            一元二次不等式


    一元二次不等式和一元二次方程、一元二次函数三者构成一个统一的整体.贯穿于高中
数学的始终,更是高考的重点内容,在考题中有时单独对某类不等式的解法进行考查,一般
以小题形式出现,难度不大,但有时在解答题中与其它知识联系在一起,难度较大.

                                    [考点精要]
    解一元二次不等式需熟悉一元二次方程、二次函数和一元二次不等式三者之间的关系,
其中二次函数的零点是联系这三个“二次”的枢纽.
    (1)确定  ax2+bx+c>0(a>0)或   ax2+bx+c<0(a>0)在判别式     Δ>0 时解集的结构是关
键.在未确定      a 的取值情况下,应先分         a=0  和 a≠0 两种情况进行讨论.
    (2)若给出了一元二次不等式的解集,则可知二次项系数                      a 的符号和方程     ax2+bx+c=
0 的两个根,再由根与系数的关系就可知                a,b,c  之间的关系.
    (3)解含有参数的一元二次不等式,要注意对参数的取值进行讨论:①对二次项系数与
0 的大小进行讨论;②在转化为标准形式的一元二次不等式后,对判别式与                              0 的大小进行讨
论;③当判别式大于         0,但两根的大小不确定时,对两根的大小进行讨论.
    [典例] (1)已知不等式        ax2+bx+2>0 的解集为{x|-1
    A.{        2}                   B.{            2}
    C.{x|-21}
    (2)解关于   x 的不等式    ax2-2ax+a+3>0.
    [解析] (1)由题意知       x=-1,x=2    是方程   ax2+bx+2=0   的根.由根与系数的关系得

Error!⇒Error!
    ∴不等式    2x2+bx+a<0,即    2x2+x-1<0.
             1
    解得-14  的解集为{x|x<1    或 x>b}.
    (1)求 a,b 的值;
    (2)解不等式    ax2-(ac+b)x+bc<0.

                       2
    解:(1)因为不等式       ax -3x+6>4 的解集为{x|x<1     或 x>b},所以   x1=1 与  x2=b 是方程

ax2-3x+2=0   的两个实数根,b>1       且 a>0.由根与系数的关系,得Error!解得Error!
    (2)不等式   ax2-(ac+b)x+bc<0,
    即 x2-(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0.
    当 c>2 时,不等式(x-2)(x-c)<0      的解集为{x|22 时,不等式    ax2-(ac+b)x+bc<0   的解集为{x|20,b>0),当且仅当      a=b 时,等号成立;
                       a+b
    (2)a2+b2≥2ab,ab≤(   2  )2(a,b∈R),当且仅当      a=b 时,等号成立;
                  中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台

       b a
    (3)a+b≥2(a,b   同号且均不为零),当且仅当           a=b  时,等号成立;
         1                                       1
    (4)a+a≥2(a>0),当且仅当      a=1  时,等号成立;a+a≤-2(a<0),当且仅当              a=-
1 时,等号成立.
    [典例] (1)若正数      x,y 满足  x+3y=5xy,则    3x+4y  的最小值是(  )
      24   28
    A. 5   B. 5
    C.5                              D.6
    (2)若正数   x,y 满足   4x2+9y2+3xy=30,则    xy 的最大值是(  )
      4                              5
    A.3                            B.3
                                     5
    C.2                            D.4
                               1   3
    [解析] (1)由    x+3y=5xy  可得5y+5x=1,
                      1   3   9  4  3x 12y  13  12           3x  12y
                        +
    ∴3x+4y=(3x+4y)(5y    5x)=5+5+5y+    5x ≥ 5 + 5 =5 当且仅当5y=    5x ,即  x=
      1
1,y=2时,等号成立,
    ∴3x+4y  的最小值是     5.
    (2)由 x>0,y>0,得   4x2+9y2+3xy≥2×(2x)×(3y)+3xy(当且仅当         2x=3y 时等号成
立),∴12xy+3xy≤30,即       xy≤2,∴xy   的最大值为     2.
    [答案] (1)C (2)C
    [类题通法]
    条件最值的求解通常有两种方法:一是消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,
然后代入代数式转化为函数的最值求解;二是将条件灵活变形,利用常数代换的方法构造和
或积为常数的式子,然后利用基本不等式求解最值.

                                    [题组训练]
                     1  1        1     4
    1.若正数    a,b 满足a+b=1,则a-1+b-1的最小值为(  )

    A.3                              B.4
    C.5                              D.6
                          1  1
    解析:选    B 依题意,因为a+b=1,
    ∴(a-1)(b-1)=1,
                  中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台

         1    4            4
    因此a-1+b-1≥2      a-1b-1 =4,
             1    4
    当且仅当a-1=b-1,
         3
    即 a=2,b=3   时“=”成立.
                                  1  1
                              x2+     +4y2
    2.设  x,y∈R,且    xy≠0,则(      y2)(x2    )的最小值为________.

              1  1            1                1                         1
          x2+      +4y2                          ·4x2y2
    解析:(      y2)(x2   )=5+x2y2+4x2y2≥5+2     x2y2    =9,当且仅当       x2y2=2时
“=”成立.
    答案:9

                                             绝对值不等式


    绝对值不等式主要考查解法及简单的应用,题目难度中档偏下,着重考查学生的分类讨
论思想及应用能力.

                                    [考点精要]
    1.公式法

    |f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或  f(x)<-g(x);

    |f(x)||g(x)|⇔[f(x)]2>[g(x)]2.
    3.零点分段法
    含有两个以上绝对值符号的不等式,可先求出使每个含绝对值符号的代数式值等于零的
未知数的值,将这些值依次在数轴上标注出来,它们把数轴分成若干个区间,讨论每一个绝
对值符号内的代数式在每一个区间上的符号,转化为不含绝对值的不等式去解.
    4.对于不等式恒成立求参数范围问题,常用分离参数法、更换主元法、数形结合法解
决.
    [典例] 已知     f(x)=|ax+1|(a∈R),不等式       f(x)≤3 的解集为{x|-2≤x≤1}.
    (1)求 a 的值;
                 x
         fx-2f
    (2)若|        (2)|≤k 恒成立,求    k 的取值范围.
    [解] (1)由|ax+1|≤3     得-4≤ax≤2.
    又 f(x)≤3 的解集为{x|-2≤x≤1},所以当           a≤0 时,不合题意.
                  中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台

                4     2
    当 a>0 时,-a≤x≤a,得       a=2.
                             x
    (2)法一:记    h(x)=f(x)-2f(2),
    则 h(x)=Error!所以|h(x)|≤1,
    因此  k 的取值范围是[1,+∞).
                  x
          fx-2f
    法二:|          (2)|=||2x+1|-2|x+1||
          1
       x+  -|x+1|
    =2||  2|      |≤1,
              x
      fx-2f
    由|        (2)|≤k 恒成立,
    可知  k≥1,
    所以  k 的取值范围是[1,+∞).
    [类题通法]
    解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号,化成不含绝对值的不等式,其一是依据绝对
值的意义;其二是先令每一个绝对值等于零,找到分界点,通过讨论每一区间内的代数式的
符号去掉绝对值.

                                    [题组训练]
    1.不等式|2x+1|-2|x-1|>0       的解集为________.
                                                                1
    解析:原不等式即|2x+1|>2|x-1|,两端平方后解得                  12x>3,即   x>4.
    答案:Error!
    2.设关于    x 的不等式    lg(|x+3|+|x-7|)>a.
    (1)当 a=1 时,解此不等式;
    (2)当 a 为何值时,此不等式的解集是            R.
    解:(1)当   a=1 时,lg(|x+3|+|x-7|)>1,

    ⇔|x+3|+|x-7|>10,
    ⇔Error!或Error!或Error!

    ⇔x>7  或 x<-3.
    所以不等式的解集为{x|x<-3          或  x>7}.
    (2)设 f(x)=|x+3|+|x-7|,则有       f(x)≥|(x+3)-(x-7)|=10,当且仅当(x+
3)(x-7)≤0,
    即-3≤x≤7    时,f(x)取得最小值       10.
    ∴lg(|x+3|+|x-7|)≥1.
    要使  lg(|x+3|+|x-7|)>a    的解集为    R,只要   a<1.
                  中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台


        1  1
    1.若a<b<0,则下列不等式不正确的是(  )
                                       b  a
    A.a+b<ab                        B.a+b>0
    C.ab<b2                          D.a2>b2
                 1  1
    解析:选    D 由a<b<0,可得       b<a<0,故选     D.
    2.已知不等式      x2-2x-3<0   的解集为    A,不等式    x2+x-6<0   的解集为    B,不等式
x2+ax+b<0   的解集是    A∩B,那么    a+b 等于(  )
    A.-3                             B.1
    C.-1                             D.3
    解析:选    A 由题意:A={x|-1<x<3},B={x|-3<x<2}.A∩B={x|-1<x<
2},由根与系数的关系可知:
    a=-1,b=-2,∴a+b=-3.
              x2+2
    3.函数   y= x-1 (x>1)的最小值是(  )
    A.2  3+2                         B.2  3-2
    C.2  3                           D.2
    解析:选    A ∵x>1,
    ∴x-1>0.
        x2+2   x2-2x+2x+2
    ∴y=  x-1 =     x-1
      x2-2x+1+2x-1+3
    =         x-1
      x-12+2x-1+3
    =         x-1
             3
    =x-1+x-1+2
                             3
    ≥2  3+2(当且仅当      x-1=x-1,即     x= 3+1  时等号成立).
    4.不等式|x-2|-|x-1|>0       的解集为(  )
           3                                3
      -∞,                            -∞,-
    A.(    2)                      B.(      2)
      3                                3
       ,+∞                           -  ,+∞
    C.(2    )                      D.( 2    )
                  中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台

    解析:选    A 不等式|x-2|-|x-1|>0        即|x-2|>|x-1|,平方化简可得            2x<3,解
     3
得 x<2,故选    A.
    5.已知圆    C:(x-a)2+(y-b)2=1,平面区域         Ω:Error!若圆心    C∈Ω,且圆     C 与
x 轴相切,则    a2+b2 的最大值为(  )
    A.5                              B.29
    C.37                             D.49
    解析:选    C 由已知得平面区域         Ω 为△MNP   内部及边界.∵圆
C 与 x 轴相切,∴b=1.显然当圆心          C 位于直线    y=1 与 x+y-7=0    的

                        2   2           2  2
交点(6,1)处时,amax=6.∴a      +b  的最大值为     6 +1 =37.故选   C.
                                                 xy
    6.设正实数     x,y,z  满足  x2-3xy+4y2-z=0,则当       z 取得最大
      2 1  2
值时,x+y-z的最大值为(  )
    A.0                              B.1
      9
    C.4                              D.3
    解析:选    B 由  x2-3xy+4y2-z=0,得     z=x2-3xy+4y2,
                          1
      xy      xy      x  4y
                       +   -3
    ∴ z =x2-3xy+4y2=y     x   .
                         x  4y       xy
    又 x,y,z  为正实数,∴y+       x ≥4,即   z ≤1,
    当且仅当    x=2y 时取等号,此时       z=2y2.
      2 1  2   2  1   2
    ∴x+y-z=2y+y-2y2
        1   2     1
                   -1
    =-(y)2+y=-(y     )2+1,
      1
    当y=1,即    y=1 时,上式有最大值        1.
                                y
    7.若  x,y 满足约束条件Error!则x的最大值为________.
    解析:画出可行域如图阴影部分所示,
      y
    ∵x表示过点(x,y)与原点(0,0)的直线的斜率,
                       y
    ∴点(x,y)在点     A 处时x最大.
                  中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台

    由Error!得Error!
    ∴A(1,3).
      y
    ∴x的最大值为      3.
    答案:3
                                           1                t+1
                   2
    8.设正数    a,使  a +a-2>0  成立,若    t>0,则2logat________loga  2 (填
“>”“≥”“≤”或“<”).
    解析:因为     a2+a-2>0,所以     a<-2 或 a>1,
    又 a>0,所以   a>1,
                 t+1
    因为  t>0,所以    2 ≥   t,
            t+1         1

    所以  loga 2 ≥loga t=2logat.
    答案:≤

    9.若实数    x,y 满足约束条件Error!已知点(x,y)所表示的平面区域为三角形,则实数
k 的取值范围为________,又       z=x+2y  有最大值     8,则实数    k=________.
    解析:作出一元二次不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分
所示.要想点(x,y)所表示的平面区域为三角形,则                    B(2,2)必须在直
线 2x-y=k  的右下方,即       2×2-2>k,则    k<2,则实数    k 的取值范围
为(-∞,2).
    观察图象可知,当直线          z=x+2y  过点  A 时,z  有最大值,联立
                  4+k  8-k                      4+k     8-k
                      ,
Error!解得Error!即  A( 3   3  ),代入   z=x+2y  中,即    3  +2×   3 =8,解得    k=-4.
    答案:(-∞,2) -4
    10.已知函数     f(x)=|x-2|.
    (1)解不等式:f(x+1)+f(x+2)<4;
    (2)已知  a>2,求证:对任意        x∈R,f(ax)+af(x)>2    恒成立.
    解:(1)f(x+1)+f(x+2)<4,即|x-1|+|x|<4,
                                           3
    ①当  x≤0 时,不等式为       1-x-x<4,即     x>-2,
        3
    ∴-2<x≤0    是不等式的解;
    ②当  0<x≤1  时,不等式为      1-x+x<4,即      1<4 恒成立,∴0<x≤1       是不等式的解;
                                          5
    ③当  x>1 时,不等式为       x-1+x<4,即     x<2,
                  中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台

           5
    ∴1<x<2是不等式的解.
                             3  5
                            - ,
    综上所述,不等式的解集为(            2  2). 
    (2)证明:∵a>2,
    ∴f(ax)+af(x)=|ax-2|+a|x-2|
    =|ax-2|+|ax-2a|=|ax-2|+|2a-ax|≥|ax-2+2a-ax|=|2a-2|>2,
    ∴对任意    x∈R,f(ax)+af(x)>2    恒成立.
    11.某外商到一开发区投资          72 万美元建起一座蔬菜加工厂,第一年各种经费                   12 万美元,
以后每年增加      4 万美元,每年销售蔬菜收入           50 万美元.设     f(n)表示前   n 年的纯利润总和.
    (注:f(n)=前    n 年的总收入-前      n 年的总支出-投资额)
    (1)从第几年开始获利?
    (2)若干年后,外商为开发新项目,有两种处理方案:
    ①年平均利润最大时以          48 万美元出售该厂;
    ②纯利润总和最大时,以          16 万美元出售该厂;
    问哪种方案最合算?为什么?
    解:由题意知,每年的经费是以             12 为首项,4    为公差的等差数列,∴f(n)=-2n2+
40n-72.
    (1)获利就是要求      f(n)>0,所以-2n2+40n-72>0,解得        2
	
0积分下载