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2018年高中数学第二章数列2.1数列的概念与简单表示法学案新人教A版必修5

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高中数学审核员

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                         2.1 数列的概念与简单表示法

                         第一课时 数列的概念与简单表示法


     
   预习课本     P28~29,思考并完成以下问题 

    (1)什么是数列?什么叫数列的通项公式?

    (2)数列的项与项数一样吗?

    (3)数列与函数有什么关系,数列通项公式与函数解析式有什么联系?


                                            

                                    [新知初探]
    1.数列的概念
    (1)定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列.

    (2)项:数列中的每一个数叫做这个数列的项.a1                  称为数列{an}的第      1 项(或称为首项)

,a2 称为第   2 项,…,an    称为第   n 项.

    (3)数列的表示:数列的一般形式可以写成                 a1,a2,a3,…,an,…,简记为{an}.
    [点睛] (1)数列中的数是按一定顺序排列的.因此,如果组成两个数列的数相同而排
列顺序不同,那么它们就是不同的数列.例如,数列                      4,5,6,7,8,9,10 与数列
10,9,8,7,6,5,4 是不同的数列.
    (2)在数列的定义中,并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以
重复出现.例如:1,-1,1,-1,1,…;2,2,2,….
    2.数列的分类


    分类标准           名称                             含义
                 有穷数列                        项数有限的数列
   按项的个数
                 无穷数列                        项数无限的数列
                 中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台

                 递增数列            从第  2 项起,每一项都大于它的前一项的数列
                 递减数列            从第  2 项起,每一项都小于它的前一项的数列
   按项的变化
                  常数列                        各项相等的数列
      趋势
                             从第  2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它
                 摆动数列
                             的前一项的数列

    3.数列的通项公式

    如果数列{an}的第      n 项与序号   n 之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫
做这个数列的通项公式.
    [点睛] (1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集                    N*或它的有限子集
{1,2,3,…,n}为定义域的函数解析式.
    (2)同所有的函数关系不一定都有解析式一样,并不是所有的数列都有通项公式.

                                    [小试身手]
    1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
    (1)数列  1,1,1,…是无穷数列(  )
    (2)数列  1,2,3,4 和数列   1,2,4,3 是同一个数列(  )
    (3)有些数列没有通项公式(  )
    解析:(1)正确.每项都为          1 的常数列,有无穷多项.
    (2)错误,虽然都是由        1,2,3,4 四个数构成的数列,但是两个数列中后两个数顺序不同,
不是同一个数列.

    (3)正确,某些数列的第         n 项 an 和 n 之间可以建立一个函数关系式,这个数列就有通
项公式,否则,不能建立一个函数关系式,这个数列就没有通项公式.
    答案:(1)√ (2)× (3)√
                    1 1      n-2
    2.在数列-1,0,9,8,…,          n2 ,…中,0.08    是它的(  )
    A.第  100 项                         B.第   12 项
    C.第  10 项                          D.第   8 项
                     n-2    n-2                        5

    解析:选    C ∵an=    n2 ,令  n2 =0.08,解得    n=10  或 n=2(舍去).

    3.数列的通项公式为         an=Error!则 a2·a3 等于(  )
    A.70                                B.28
    C.20                                D.8

    解析:选    C 由   an=Error!得 a2=2,a3=10,所以    a2·a3=20.
    4.在数列    1,1,2,3,5,8,x,21,34,55,…中,x=________.
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    解析:通过观察数列各项的大小关系,发现从第三项起,每项的值都等于前两项值之
和,因此    x=5+8=13.
    答案:13


                                          数列的概念及分类


    [典例] 下列数列中,既是无穷数列又是递增数列的是(  )
          1  1   1
    A.1,3,32,33,…
           π       2π     3π      4π
    B.sin 13,sin 13,sin 13,sin 13,…
              1    1   1
    C.-1,-2,-3,-4,…
    D.1,2,3,4,…,30
                   1  1   1
    [解析] 数列     1,3,32,33,…是无穷数列,但它不是递增数列,而是递减数列;数
       π       2π      3π     4π
列  sin 13,sin  13,sin  13,sin 13,…是无穷数列,但它既不是递增数列,又不是递减
                 1    1   1
数列;数列-1,-2,-3,-4,…是无穷数列,也是递增数列;数列                            1,2,3,4,…,
30 是递增数列,但不是无穷数列.
    [答案] C


    1.有穷数列与无穷数列的判断
    判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列,只需考察数列是有限项还是无限项.若数
列含有限项,则是有穷数列,否则为无穷数列.
    2.数列单调性的判断
    判断数列的单调性,则需要从第              2 项起,观察每一项与它的前一项的大小关系,若满

足  anan+1,则是递减数列;若满足          an=an+1,则是常数

列;若   an 与 an+1 的大小不确定时,则是摆动数列.

     
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    [活学活用]
    给出以下数列:
    ①1,-1,1,-1,…;
    ②2,4,6,8,…,1 000;
    ③8,8,8,8,…;
    ④0.8,0.82,0.83,0.84,…,0.810.
    其中,有穷数列为________;无穷数列为________;递增数列为________;递减数列
为________;摆动数列为________;常数列为________.(填序号)
    解析:有穷数列为②④;无穷数列为①③;递增数列为②;递减数列为④;摆动数列
为①;常数列为③.
    答案:②④ ①③ ② ④ ① ③

                                           由数列的前几项求通项公式


                   3  1  5  3
    [典例] (1)数列5,2,11,7,…的一个通项公式是________.
    (2)根据以下数列的前        4 项写出数列的一个通项公式.
       1     1     1     1
    ①2 × 4,3 × 5,4 × 6,5 × 7,…;
    ②-3,7,-15,31,…;
    ③2,6,2,6,….
                          3  4   5  6
    [解析] (1)数列可写为:5,8,11,14,…,分子满足:3=1+2,4=2+2,5=3+
2,6=4+2,…,
    分母满足:5=3×1+2,8=3×2+2,11=3×3+2,14=3×4+2,…,
                    n+2

    故通项公式为      an=3n+2.
                n+2

    [答案] an=3n+2
    (2)解:①均是分式且分子均为            1,分母均是两因数的积,第一个因数是项数加上                    1,
第二个因数比第一个因数大            2,
                1

    ∴an=n+1n+3.
    ②正负相间,且负号在奇数项,故可用(-1)n                 来表示符号,各项的绝对值恰是              2 的整
数次幂减    1,

              n  n+1
    ∴an=(-1)   (2   -1).
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                                   2+6
    ③为摆动数列,一般求两数的平均数                 2 =4,而   2=4-2,6=4+2,中间符号用(-
1)n 来表示.

               n
    an=4+(-1)   ·2 或  an=Error!


                        由数列的前几项求通项公式的解题策略
    (1)分式形式的数列,分子、分母分别求通项,较复杂的还要考虑分子、分母的关系.
    (2)若 n 和 n+1  项正负交错,那么符号用(-1)n           或(-1)n+1  或(-1)n-1 来调控.
    (3)熟悉一些常见数列的通项公式.
    (4)对于复杂数列的通项公式,其项与序号之间的关系不容易发现,要将数列各项的结
构形式加以变形,将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”
后再进行归纳.


          
    [活学活用]
    写出下列数列的一个通项公式:
    (1)0,3,8,15,24,…;
    (2)1,-3,5,-7,9,…;
        1   2   3  4
    (3)12,23,34,45,…;
    (4)1,11,111,1 111,….
    解:(1)观察数列中的数,可以看到              0=1-1,3=4-1,8=9-1,15=16-1,24=25-

                                 2
1,…,所以它的一个通项公式是              an=n -1.
    (2)数列各项的绝对值为         1,3,5,7,9,…,是连续的正奇数,并且数列的奇数项为正,

                                          n+1
偶数项为负,所以它的一个通项公式为                 an=(-1)    (2n-1).
                                                                        n
    (3)此数列的整数部分        1,2,3,4,…恰好是序号       n,分数部分与序号        n 的关系为n+1,
                                    n   n2+2n

故所求的数列的一个通项公式为              an=n+n+1=    n+1  .
                        1     1      1       1
    (4)原数列的各项可变为9×9,9×99,9×999,9×9                999,…,易知数列       9,99,999,9 
                                                              1
                             n                                    n
999,…的一个通项公式为          an=10 -1.所以原数列的一个通项公式为              an=9(10 -1).

                                         判定数列中项的问题
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    [典例] 已知数列{an}的每一项是它的序号的算术平方根加上序号的                          2 倍.
    (1)求这个数列的第       4 项与第   25 项;
    (2)253 和 153 是不是这个数列中的项?如果是,是第几项?

    [解] (1)由题设条件,知         an= n+2n.

    ∴a4=   4+2×4=10,a25=    25+2×25=55.
    (2)假设  253 是这个数列中的项,则          253=  n+2n,解得    n=121.∴253  是这个数列的
第  121 项.
                                                      1
    假设  153 是这个数列中的项,则          153=  n+2n,解得    n=724,这与    n 是正整数矛盾,
∴153  不是这个数列中的项.


    已知数列{an}的通项公式,判断某一个数是否是数列{an}的项,即令通项公式等于该

数,解关于     n 的方程,若解得       n 为正整数    k,则该数为数列{an}的第        k 项,若关于     n 的方

程无解或有解且为非正整数解则该数不是数列{an}中的项.

    [活学活用]
           1  2  1  2  3  1  2 3  4        8
    数列  1,2,1,3,2,1,4,3,2,1,…,则9是该数列的(  )
    A.第  127 项                         B.第  128 项
    C.第  129 项                         D.第  130 项
                                     1                             1
    解析:选    B 把该数列的第一项         1 写成1,再将该数列分组,第一组一项:1;第二组
      1  2             1  2  3              1  2 3  4
两项:2,1;第三组三项:3,2,1;第四组四项:4,3,2,1;…容易发现:每组中每个
                                                                      8
分数的分子、分母之和均为该组序号加                 1,且每组的分子从        1 开始逐一增加,因此9应位于
                                           8
第十六组中第八位.由          1+2+…+15+8=128,得9是该数列的第              128 项.


                               层级一 学业水平达标
    1.有下面四个结论:
    ①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集)上的函数;
    ②数列的项数一定是无限的;
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    ③数列的通项公式的形式是唯一的;
    ④数列   1,3,2,6,3,9,4,12,5,15,…不存在通项公式.
    其中正确的是(  )
    A.①    B.①②   C.③④   D.②④
    解析:选    A 结合数列的定义与函数的概念可知,①正确;有穷数列的项数就是有限
的,因此②错误;数列的通项公式的形式不一定唯一,③错误;数列
1,3,2,6,3,9,4,12,5,15,…存在通项公式,④错误.故选              A.
    2.下列说法正确的是(  )
    A.数列   1,3,5,7 与数集{1,3,5,7}是一样的
    B.数列   1,2,3 与数列   3,2,1 是相同的
               1
            1+
    C.数列{      n}是递增数列
               -1n
            1+
    D.数列{        n   }是摆动数列
    解析:选    D 数列是有序的,而数集是无序的,所以                  A,B 不正确;选项      C 中的数列是
递减数列;选项       D 中的数列是摆动数列.

                       n-1
    3.数列{an}中,an=3       ,则   a2 等于(  )
    A.2                                B.3
    C.9                                D.32

                        n-1           2-1
    解析:选    B 因为    an=3   ,所以   a2=3   =3.
               3   2   15   6
    4.数列   0,  3 , 2 , 5 , 3 ,…的一个通项公式是(  )
             n-2                                n-1
              n                                  n
    A.an=                               B.an= 
             n-1                                n-2
             n+1                                n+2
    C.an=                               D.an= 
                                   1   2  3   4              n-1
                                   3   4  5   6              n+1
    解析:选    C 已知数列可化为:0,            ,   ,  ,   ,…,故     an=      .
               1  2 3        n
    5.已知数列2,3,4,…,n+1,则            0.96 是该数列的(  )
    A.第  20 项                           B.第  22 项
    C.第  24 项                           D.第  26 项
                   n
    解析:选    C 由n+1=0.96,解得       n=24.
    6.已知数列      2,  5,2  2, 11,…,则     2 5是该数列的第________项.

    解析:∵a1=     2,a2=   5,a3=  8,a4=   11,
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            -
    ∴an=   3n 1.
    由  3n-1=2   5⇒3n-1=20⇒n=7,

    ∴2  5是该数列的第      7 项.
    答案:7
    7.数列   a,b,a,b,…的一个通项公式是________.
             a+b  a-b      a+b  a-b         a+b           a-b
                                                      n+1(   )
    解析:a=     2 +   2 ,b=   2 -   2 ,故  an=  2 +(-1)       2  .
          a+b           a-b
    答案:    2 +(-1)n+1(   2 )

    8.已知数列{an}的通项公式          an=19-2n,则使    an>0 成立的最大正整数       n 的值为
________.
                              19

    解析:由    an=19-2n>0,得    n< 2 .
    ∵n∈N*,∴n≤9.
    答案:9
    9.观察下面数列的特点,用适当的数填空,并写出每个数列的一个通项公式:
       3  2  7             5  1
    (1)4,3,12,________,12,3,…;
        5             17  26   37
    (2) 3 ,________, 15 , 24 , 35 ,…;
                      1
    (3)2,1,________,2,…;
       3  9           65
    (4)2,4,________,16,….
    解:(1)根据观察:分母的最小公倍数为                12,把各项都改写成以         12 为分母的分数,则
序号

     1 2  3   4     5  6
    ↓ ↓ ↓   ↓    ↓ ↓
     9  8   7             5  4
    12 12 12 ________ 12 12
            6
    于是应填12,而分子恰为          10 减序号,
          1                10-n

    故应填2,通项公式为         an=  12 .
        5   4+1
    (2) 3 = 4-1 ,
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     17   16+1
    15 = 16-1 ,
     26   25+1
     24 = 25-1 ,
     37   36+1
     35 = 36-1 .
    只要按上面形式把原数改写,便可发现各项与序号的对应关系:分子为序号加                                 1 的平
                                                            10
方与   1 的和的算术平方根,分母为序号加              1 的平方与   1 的差.故应填      8 ,
                   n+12+1

    通项公式为     an= n+12-1   .
              2     2  1  2                   2                      2

    (3)因为  2=1,1=2,2=4,所以数列缺少部分为3,数列的通项公式为                       an=n.
                        1   1             1               1
    (4)先将原数列变形为        12,24,________,416,…,所以应填         38,数列的通项公式为
       1

an=n+2n.
                                2an

    10.数列{an}中,a1=a,an+1=1+an,写出这个数列的前                4 项,并根据前     4 项观察规
律,写出该数列的一个通项公式.
                       2an

    解:∵a1=a,an+1=1+an,
                             2a
                         2 ×
                            1+a
          2a        2a2      2a    4a              8a
                         1+
    ∴a2=1+a,a3=1+a2=        1+a=1+3a,同理:a4=1+7a,观察规律:an=
    2n-1·a
1+2n-1-1a.
                               层级二 应试能力达标
                                 n

    1.已知数列{an}的通项公式          an=n+1,则   an·an+1·an+2 等于(  )
       n                                  n
    A.n+2                              B.n+3
      n+1                               n+1
    C.n+2                              D.n+3
                               n   n+1   n+2    n

    解析:选    B an·an+1·an+2=n+1·n+2·n+3=n+3.故选           B.
                5   7    9
    2.数列   1,-8,15,-24,…的一个通项公式是(  )
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                  2n+1
               n+1         *
    A.an=(-1)     n2+n(n∈N  )
                  2n-1
               n-1          *
    B.an=(-1)     n2+3n(n∈N  )
                  2n-1
               n+1          *
    C.an=(-1)     n2+2n(n∈N  )
                  2n+1
               n-1          *
    D.an=(-1)     n2+2n(n∈N  )
                         3           1           1

    解析:选    D A  项中  a1=2,B  项中  a1=4,C  项中   a1=3,D  项中  a1=1,因此首先排除
A、B、C,故选     D.
    3.图中由火柴棒拼成的一列图形中,第                 n 个图形由   n 个正方形组成:


    通过观察可以发现:第          n 个图形中,火柴棒的根数为(  )
    A.3n-1                             B.3n
    C.3n+1                             D.3(n+1)
    解析:选    C 通过观察,第       1 个图形中,火柴棒有         4 根;第   2 个图形中,火柴棒有        4+
3 根;第   3 个图形中,火柴棒有        4+3+3=4+3×2     根;第    4 个图形中,火柴棒有        4+3+
3+3=4+3×3    根;第    5 个图形中,火柴棒有        4+3+3+3+3=4+3×4       根,…,可以发现,

从第二项起,每一项与前一项的差都等于                  3,即  a2-a1=3,a3-a2=3,a4-a3=3,a5-

a4=3,…,an-an-1=3(n≥2),把上面的式子累加,则可得第                   n 个图形中,an=4+3(n-
1)=3n+1(根).
                                  n-1

    4.已知数列{an}的通项公式是          an=n+1,那么这个数列是(  )
    A.递增数列                              B.递减数列
    C.常数列                               D.摆动数列
                   n-1       2                2

    解析:选    A an=n+1=1-n+1,∴当        n 越大,n+1越小,则        an 越大,故该数列是递
增数列.
    5.数列   1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1,…其通项公式为
________.
    解析:1=12,
    1+2+1=4=22,
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    1+2+3+2+1=9=32,
    1+2+3+4+3+2+1=16=42,

    …

                             2
     观察归纳出通项公式为          an=n .

              2
    答案:an=n
    6.如图(1)是第七届国际数学教育大会(简称                ICME­7)的会徽图案,会徽的主体图案是

由如图(2)的一连串直角三角形演化而成的,其中                   OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,如果把

图  2 中的直角三角形继续作下去,记             OA1,OA2,…,OAn,…的长度构成数列{an},则此数

列的通项公式为       an=________.


    解析:因为     OA1=1,OA2=   2,OA3=   3,…,OAn=    n,…,所以     a1=1,a2=   2,a3=

 3,…,an=     n.
    答案:    n
                                                         1        3
                                   n
    7.已知数列{an}的通项公式为          an=p  +q(p,q∈R),且     a1=-2,a2=-4.

    (1)求{an}的通项公式;
         255

    (2)-256是{an}中的第几项?
    (3)该数列是递增数列还是递减数列?
                               1       3
                 n
    解:(1)∵an=p    +q,又   a1=-2,a2=-4,

    ∴Error!解得Error!
                            1
                           ( )n
    因此{an}的通项公式是        an= 2 -1.
               255    1        255
                      ( )n
    (2)令 an=-256,即    2 -1=-256,
         1    1                255
        ( )n
    所以   2 =256,解得    n=8.故-256是{an}中的第      8 项.
                1        1
               ( )n      ( )n
    (3)由于  an=  2 -1,且   2  随 n 的增大而减小,因此         an 的值随  n 的增大而减小,故

{an}是递减数列.
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               9n2-9n+2
   8.已知数列{      9n2-1   }.
   (1)求这个数列的第       10 项;
      98
   (2)101是不是该数列中的项,为什么?
   (3)求证:数列中的各项都在区间(0,1)内;
            1  2
             ,
   (4)在区间(3    3)内有无数列中的项?若有,是第几项?若没有,说明理由.
                      9n2-9n+2

   解:(1)设   an=f(n)=    9n2-1
     3n-13n-2     3n-2
   =3n-13n+1=3n+1.
                                 28

   令 n=10,得第     10 项 a10=f(10)=31.
        3n-2   98
   (2)令3n+1=101,得     9n=300.
                         98
   此方程无正整数解,所以101不是该数列中的项.
                 3n-2        3

   (3)证明:∵an=3n+1=1-3n+1,
                     3
   又 n∈N*,∴0<1-3n+1<1,

   ∴00,即    an+1>an;

    当 n=9  时,an+1-an=0,即     an+1=an;

    当 n>9 时,an+1-an<0,即    an+1a11>a12>…,
                                                        10
                                                        ( )9
    故数列{an}有最大项,为第          9 项和第  10 项,且   a9=a10=10×  11 .
    法二:根据题意,令Error!(n>1)

    即Error!(n>1)
    解得  9≤n≤10.

          *
    又 n∈N  ,则  n=9  或 n=10.故数列{an}有最大项,为第           9 项和第  10 项,且   a9=a10=
     10
10×(11)9.


    (1)由于数列是特殊的函数,所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质,
如单调性、最大值、最小值等,此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集
{1,2,…,n}这一条件.

    (2)可以利用不等式组Error!(n>1)找到数列的最大项;利用不等式组Error!(n>1)找到数
列的最小项.


    [活学活用]
                                                     Fn,2
                    x                                            *
    定义:F(x,y)=y     (x>0,y>0),已知数列{an}满足:an=F2,n(n∈N           ),若对任意
                 中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台

                        *
正整数   n,都有    an≥ak(k∈N )成立,则     ak 的值为(  )
      1
    A.2                                B.2
      8                                 9
    C.9                                D.8
                         Fn,2   2n
                                                               x
    解析:选    C 由题得     an=F2,n=n2且   ak=(an)min,由指数函数      y=2 与二次函数
                       2n               2n                           8
    2
y=x  图象的对比可得       an=n2先减后增,故       an=n2有最小值,而      a1=2>a2=1>a3=9
	
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