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2018年上海卷数学高考卷

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高中数学审核员

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            2018 年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)

                                     数   学

注意事项:

    1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条
形码粘贴在答题卡上的指定位置。
    2.选择题的作答:每小题选出答案后,用                     2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号
涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
    3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
    4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。

    一、填空题(本大题共有           12 题,满分    54 分第 1-6 题每题   4 分,第   7-12 题每题  5 分)
            4  1
    1.行列式        的值为          。
            2  5

            x2
    2.双曲线      y2 1的渐近线方程为               。
            4
    3.在(1+x)7  的二项展开式中,x²项的系数为                    。(结果用数值表示)

    4.设常数   a  R ,函数  f(x)=log2(x+a),若 f(x)的反函数的图像经过点(3,1),则        a=        
。

    5.已知复数    z 满足(1) i z 1 7i (i 是虚数单位),则∣z∣=                。

    6.记等差数列an 的前几项和为          Sn,若  a3=0,a8+a7=14,则   S7=        。

                      1  1
    7.已知  α∈{-2,-1,-    , ,1,2,3},若幂函数    f (x)  xn 为奇函数,且在(0,+∞)上递减,则
                      2  2
α=_____
    8.在平面直角坐标系中,已知点            A(-1,0),B(2,0),E,F          是 y 轴上的两个动点,且

| EF |=2,则 AE  BF 的最小值为______
    9.有编号互不相同的五个砝码,其中              5 克、3  克、1  克砝码各一个,2       克砝码两个,从中随
机选取三个,则这三个砝码的总质量为                 9 克的概率是______(结果用最简分数表示)

                                    ⁿ+1                             Sn    1
    10.设等比数列{an}的通项公式为          an=q (n∈N*),前      n 项和为   Sn。若 lim       ,则
                                                                 n
                                                                    an1  2
q=____________
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                                 22                    6        1 
      已知常数        ,函数                  的图像经过点          ,   、     ,    ,若
    11.        a>0      f (x)   2                 p p     Q q   
                               (2  ax)                5        5 

 2 pq  36 pq ,则 a=__________
                                                                     1
    12.已知实数    x₁、x₂、y₁、y₂满足:    x₁²₁  y ² 1, x₂²₂  y ² 1, x₁x₂₁  y y  ,则
                                                                  2  2
∣x₁₁∣ y 1 ∣x₂₂∣ y 1
           +          的最大值为__________
     2           2
    二、选择题(本大题共有           4 题,满分    20 分,每题   5 分)每题有且只有一个正确选项.考生
应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.

                x ² y ²
   13.设 P 是椭圆     +    =1 上的动点,则      P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为(                )
                5    3

    (A)2    2

   (B)2    3
    (C)2    5

    (D)4    2
                            1
    14.已知  a  R ,则“ a﹥1”是“   ﹤1”的(    )
                            a
      (A)充分非必要条件
      (B)必要非充分条件
      (C)充要条件
      (D)既非充分又非必要条件
    15.《九章算术》中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设                              AA₁是正六
棱柱的一条侧棱,如图,若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点,以                           AA₁为底面矩形的一边,则这
样的阳马的个数是(           )

    (A)4
    (B)8
    (C)12
    (D)16
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    16.设 D 是含数   1 的有限实数集,       (f x)是定义在   D 上的函数,若       (f x)的图像绕原点逆时
       π
针旋转     后与原图像重合,则在以下各项中,                (f 1)的可能取值只能是(         )
       6
                      3         3
    (A)    3   (B)       (C)        (D)0
                     2         3
    三、解答题(本大题共有           5 题,满分    76 分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出
必要的步骤.
    17.(本题满分     14 分,第  1 小题满分    6 分,第   2 小题满分    8 分)
    已知圆锥的顶点为        P,底面圆心为      O,半径为     2
    (1)设圆锥的母线长为          4,求圆锥的体积;
    (2)设   PO=4,OA,OB     是底面半径,且∠AOB=90°,M          为线段
AB 的中点,如图,求异面直线            PM 与  OB 所成的角的大小.
    18.(本题满分     14 分,第  1 小题满分    6 分,第   2 小题满分    8 分)
    设常数   a  R ,函数   (f x) asin2x  2cos²x

    (1)若   (f x)为偶函数,求      a 的值;
              
    (2)若   〔f 〕    3 1,求方程     (f )x 1 2 在区间[,]      上的解。
              4
    19.(本题满分     14 分,第  1 小题满分    6 分,第   2 小题满分    8 分)
      某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均勇士,某地
上班族   S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤,分析显示:当                     S 中 x%0   x 100的成员自驾
时,自驾群体的人均通勤时间为
               30,                           0  x  30,
               
        (f x)      1800                  (单位:分钟),
                 2x       90,30  x 100
                     x
    而公交群体的人均通勤时间不受              x 影响,恒为    40 分钟,试根据上述分析结果回答下列问
题:

(1)当   x 在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?

(2)求该地上班族        S 的人均通勤时间       g(x)的表达式;讨论       g(x)的单调性,并说明其实际意

义。

    20.(本题满分     16 分,第  1 小题满分    4 分,第   2 小题满分    6 分,第  2 小题满分    6 分,第
3 小题满分    6 分)
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    设常数   t>2,在平面直角坐标系         xOy 中,已知点     F(2,0),直线      l:x=t,曲线    :
 y²  8x(0≦≦x ,t ≧y)0 ,l 与 x 轴交于点    A,与   交于点   B,P、Q   分别是曲线      与线段

AB 上的动点。
    (1)用   t 为表示点    B 到点  F 的距离;

    (2)设   t=3,∣F∣Q   2 ,线段   OQ 的中点在直线      FP 上,求△AQP     的面积;

    (3)设   t=8,是否存在以      FP、FQ   为邻边的矩形      FPEQ,使得点     E 在 上?若存在,求点
    P 的坐标;若不存在,说明理由。

    21.(本题满分   18 分,第   1 小题满分    4 分,第   2 小题满分   6 分,第   3 小题满分    8 分)

     给定无穷数列{an},若无穷数列{bn}满足:对任意                n  N * ,都有|  bn  an |1,则称

{bn}与{an} “接近”。
                                1
    (1)设{an}是首项为       1,公比为     的等比数列,      b   a  1,  n N * ,判断数列
                                2             n    n1

{bn}是否与{an}接近,并说明理由;
                                                𝑎
    (2)设数列{an}的前四项为:a₁=1,a ₂=2,a ₃=4,             4=8,{bn}是一个与{an}接近的数列,

记集合   M={x|x=bi,i=1,2,3,4},求 M 中元素的个数     m;

    (3)已知{an}是公差为        d 的等差数列,若存在数列{bn}满足:{bn}与{an}接近,且在                 b₂-

b₁,b₃-b₂,…b201-b200 中至少有   100 个为正数,求      d 的取值范围。
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