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《基本不等式的证明》第2课时

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高中数学审核员

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第三章——


                 多  巴 中   学
                 授课人:袁龙
       第2课时      基本不等式的应用

[学习目标]

1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.
2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
课前练习


  (2)
典例讲解
 例1(1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园,问这个
 矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短.最短的篱笆
 是多少?
 分析:设矩形菜园的长为x m,宽为y m,
 面积确定,则xy=100,篱笆的长为2(x+y)m.
 即求(x+y)的最小值.
(2)一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园,问这
个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大.
最大面积是多少?

分析:设矩形菜园的长为x m,宽为y m,
周长确定,则2(x+y)=36,篱笆的面积为xy m2.
即求xy的最大值.
例2                                              4                                                         4
                ∴x+                                         =x-2+                                                     +2 
   ∵     ∴                               x-2                               4                       x-2
 解≥x>2,   x-22>0,                     x-2·                                           +2=6, 
                                                                    x-2

                                                                                        4
当且仅当                                           x-2=                                                  ,即                       x=4                     时,等号成立. 
                                                                                x-2
                                   4
 ∴x+                                             的最小值为                                                     6. 
                           x-2
跟踪演练2


                                                                                                                      2
      已知                       x                  3,求f                        (x)                                                              2x的最小值。
                                                                                                              x               3
 课堂小结

1.用基本不等式求最值
(1)利用基本不等式求最值要把握下列三个条件:
①“一正”——各项为正数;②“二定”——“和”或“积”
为定值;③“三相等”——等号一定能取到.这三个条件缺
一不可.
例3
                                                                                                                                1                 9
 解  法一                                                     ∵x>0,y>0,                                                                  +                 =1, 
 解                                                                                                                             x                y
                                              1                  9                                                y                9x
 ∴x+y=                                                +                (x+y)=                                          +                      +10 
                                              x                   y                                               x                   y
 ≥6+10=16,                                     y                9x                                1                9
                                                                                                                                    1                 
 当且仅当x=                                                            y      ,又x+y=                                                          ,
 即x=4,y=12时,上式取等号.

 故当x=4,y=12时,(x+y)min=16.
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