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3.1.1倾斜角与斜率

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高中数学审核员

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我们怎么确定这些直线的位置?
3.1.1 倾斜角与斜率
              教学目标

     知识与能力
正确理解直线的倾斜角和斜率的概念。
理解直线的倾斜角的唯一性。
理解直线的斜率的存在性。
斜率公式的推导过程,掌握过两点的直线的斜率公
式。
     过程与方法
通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜
角与斜率关系的揭示,培养学生观察,探索能力,运
用数学语言表达能力,数学交流与评价能力。

     情感态度与价值观
通过斜率概念的建立和斜率公式的推导,帮助学
生进一步理解数形结合思想,培养学生树立辩证
统一的观点,培养学生形成严谨的科学态度和求
简的数学精神。
           教学重难点

     重点
 直线的倾斜角,斜率的概念和公式。

     难点
直线的倾斜角,斜率的概念和公式。
        思考
   对于平面直角坐标系内的一条直线,它
的位置由哪些条件确定呢?


             y



                      l
                           x


             o
   我们知道,两点确定一条直线.一点能确定一
条直线的位置吗?已知直线l         经过点P,直线l 的位
置能够确定吗?


               y




                       l
                             x


               o


 过一点有无数条直线,故一点不能确定直线。
    过一点P可以作无数条直线l 1,l 2 ,l 3 ,…它
们都经过点P(组成一个直线束),这些直线区别
在哪里呢?


              y



                  l      l
                           x
                    P
              o

    容易看出,它们的倾斜程度不同.如何表示倾
 斜程度呢?
            直线的倾斜角
    当直线    l 与x 轴相交时,我们取x       轴作为基准,
x 轴正向与直线     l 向上方向之间所成的角α         叫做直
线 l 的倾斜角(angle of inclination) 。


              y


                     l




                    a
                            x


              o

                   注意:   (1)直线向上方向;
                         (2)轴的正方向。
下列四图中,表示直线的倾斜角的是(   A    )




      y            y
                           x




         a
             x

      o             o
                        a
      A             B


      y             y




         a


              x             x

       o         a    o
       C            D
     直线的倾斜角的范围


1.当直线与x轴平行或重合时,          0
                         0


2.当直线与x轴垂直时,          0
                     90
 倾斜角的取值范围是:
3.                 00
                  0    180


            y


            o
                        x
按倾斜角去分类,直线可分几类?


  y                y




                        a


          x
                          x

   o               o

 零度角              锐角


  y                y




                       a


          x               x

   o               o

  直角               钝角
视频:直线的倾斜角和斜率
          思考
   直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系?

             y
                  l  l
           l

            O            x

    平面直角坐标系中每一条直线都有确定的
倾斜角,倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角,
倾斜程度相同的直线其倾斜角相同。
   已知直线上的一个点不能确定一条直线的位置,
那已知直线的倾斜角α,能不能确定一条直线的位
置?
             y


             O             x

    只知道直线的倾斜角α,不能确定一条直线
的位置。
    确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要
素是:直线上的一个定点以及它的倾斜角,                二者
缺一不可。
             y

                        l

                    P
              O            x
        思考

   日常生活中,还有没有表示倾斜程度的量?

                   C  升
                      高
                      量

         A           B 
             前进量
   我们经常用“升高量与前进量的比”表示
倾斜面的“坡度”(倾斜程度),即


      升高量
坡度
      前进量
   “进2升3”与“进2升2”比较,前者更陡一些,

因为坡度(比)3      3
              .
            2 2         D 


                      C  升
                         高
                         量


                  
            A          B 
                前进量


                   升高量
             坡度
                   前进量
           直线的斜率
   如果使用“倾斜角”这个概念,那么这里的
“坡度(比)”实际就是“倾斜角α的正切”.
   一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线
的斜率(slope)。通常用小写字母k表示,即


           k  tanα




             y         l
                        x


            o
           直线斜率的范围


     y       l

         l
l                 倾斜角α为锐角,斜率k>0.
                   倾斜角α为钝角,斜率k<0.
                   倾斜角α为0°,斜率k=0.
   O            x  倾斜角α为90°,无斜率。


                   l


                         
           k  tanα   (α  90 )
                斜率的计算
         思考

   已知直线上两点的坐标,如何计算直线的斜率?


    给定两点P1 (   x1 ,y1), P2 ( x2 ,y2), 并且
x1 ≠x2,如何计算直线P1 P2的斜率k.
    设直线P1 P2的倾斜角为α(      α ≠90° ),当直线
P1 P2的方向(即从P1指向P2的方向)向上时,过点P1
作  x 轴的平行线,过点P2作        y 轴的平行线,两线相
交于点    Q,于是点Q的坐标为(        x2,y1 )。


            y


            y2
                      P2 (x2, y2 )


                  


            y1        Q(x2, y1)


                P1(x1, y1)


            


            o        x2
                x1     x
                           y


                            y2
                                                 P2 (x2, y2 )


                                         


                           y1                    Q(x2, y1)


                                     P1(x1, y1)


                            


                           o                   x2
                                    x1              x

        当α      为锐角时,
                                   α            QP1P2                      ,x1                x2      ,y1                y2      .
在直角                        中
             P1P2Q


                                                                                                         |   QP2                 |             y2                 y1
            tanα                          tanQP1P2                                                                                 
                                                                                                         |   P1Q                |              x2                 x1
        y


             P2 (x2, y2 )


        y2


             

                 P1(x1, y1)
        y1


            Q(x2, y1)
                   


        o  x   x2
           1       x


当α为钝角时,          
            α  180 ,


tanα       tan(180      θ)      tanθ


在直角   P1P2Q中,
                                 |   QP                 |             y                  y                            y                 y
 tan                                            2                       2                  1                          2                   1
                                 |    P1Q              |              x1                x2                           x2                 x1


        y  y
 tanα   2   1  0.
        x2  x1
                          思考


当              p1p2                      的位置对调时,k值又如何呢?

                      y

                                                                         P1(x1,         y1)

                                                                                                                                            P    (x     ,  y    )
                                                                                                                          y                    1      1       1


                                               
                                                                      Q(x2        ,  y1)


                                                                                                                                                      
                                   P2    (x2,       y2    )                                                                                                               P2    (x2      ,  y2     )


                                                                                                                                                                                        
                      
                                                                                                                                       Q(x2,         y1)
                      o                                                                x                                o                                                                               x


  同样,当p1p2                                                                     的方向向上时,也有


                                                                                                yy
                                                       tan                                         21。
                                                                                               xx21
     当直线   p1p2 与 x轴平行或重合时,上述式子
 还成立吗?为什么?


              y


          P1(x1, y1) P2 (x2, y2 )


            x1       x
               o     2
                           x

    y  y
k   2  1         成立,因为分子为0,分
    x  x
     2  1      母不为0,K=0。
                                                     直线的斜率公式

               经过两点                                                                                                                                  的直线的
                                                 P1(x1                               ,y1                   ),P2                        (x2                   ,y2                    )(x1                                       x2               )
斜率公式为:                                                                                                                                  y                                         y
                                                            tan                                                                                 2                                          1          .
                                                                                                                                       x2                                        x1


                                                                                       
             思考
   ( )已知直线上两点            、      ,运用上述
    1              A(a1,a2B(b) 1,b2 )
公式计算直线AB的斜率时,与A、B的顺序有关吗?


                   b2    a2                       a2   b2
       k  AB                        k  BA    
                    b1   a1                       a1   b1

       与A、B两点的顺序无关。
    (2)当直线与y轴平行或重合时,上述式子还成
立吗?为什么?


            y


            y2
                      P2 (x2, y2 )


            y1       P1(x1, y1)


            o
                          x


       y  y    不成立,因为分母为0。
    k  2  1
       x2  x1
    例一
    在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率

分别为1,-1,2及-3的直线       l1 ,l2 ,l及3 l4 .


                    l
             y      3


                      l1

                 A3
                 A1
             O            x
                 A2


                   l
                 A4 2


                 l4
              l
       y      3


                l1
                  解:取   l 上某一点为    A 的坐标
           A            1          1
            3     是 (x , y ,根据斜率公式有)    :
           A          1  1
            1                     y    0
                            1     1      ,
       O            x             x    0
           A2                      1


             l            即
           A 2
            4                 x1  y1 .


          l4
    设      ,则  y  1 ,于是A  的坐标是        .过
      x1  1    1         1        (1,1)

原点及A1(1,1)的直线即为      l1 。


    l2 是过原点及A2    (x2 ,的直线,y2 ) l3 是过原点及

A3 (x3 , y3 )              A4 (x4 , y4 )
        的直线,   l4 是过原点及           的直线。
    例二
    求经过点A(-2,0),B(-5,3)两点的直
线的倾斜角和斜率。
解:直线AB的斜率


             3  0
    k                1,
      AB    5  (2)


    tan   1,


    00    α   1800 ,


    α  1350。
因此,这条直线的斜率是-1,倾斜角是135°。
         课堂小结

1、直线的倾斜角定义及其范围:
                    0   180
2、直线的斜率定义:
              k  tan a (a  90 )
3、斜率k与倾斜角   之间的关系:              
 α      0α      k    tan0        0
 
 0      α    90       k    tanα       0
             
 α      90        tanαanα(不                  k不不存
                       
 90        α    180         k    tanα       0


4、斜率公式:       y   y         y  y
          k   2    1 (或k    1   2 )
              x2  x1        x1  x2
              随堂练习

 1.若k≥0,则α的范围是______________0 ° < α < 90 °。
  若k<0,则α的范围是________________90 ° < α < 180 °。

  2.判断正误:
(1)直线的倾斜角为α,则直线的斜率为tan α。               ×
(2)直线的斜率为tan β,则直线的倾斜角为β。×
(3)所有的直线都有倾斜角,故所有的直线都有斜率。×
3.求过下列两点的直线的斜率k及倾斜角α

① P1(-2,3),P2(-2,8);
② P1(5,-2),P2(-2,-2);
③ P1(-1,2),P2(3,-4);

①k不存在,α=900;
②k=0, α=0°; 
③k=-3/2, α=π-arctan3/2。
  4.已知直线的倾斜角α满足cosα=a/5,
  (|a|<5),求该直线的斜率。
(1)a=0,cosα=0,α=90°,k不存在。
(2)当a≠0时,∵|a|<5,α>=0且α>=π,


                          a2           25     a2
  sinα            1                             ,
                          25              5


                            sinα              25      a2
 k          tanα                                        。
                            cosα                  a
  所以,当a=0时所求直线的斜率不存在;


  当a≠0时所求直线的斜率为            2
                        25 a
                            。
                         a
5.关于直线的倾斜角和斜率,下列那些说法是正确
 的(   D,E )
  A. 任一条直线都有倾斜角,也都有斜率
  B. 直线的倾斜角越大,他的斜率越大
  C. 平行于轴的直线的倾斜角是0或π
  D. 两条直线的倾斜角相等,他们的斜率也相等
  E. 直线斜率的范围是(-∞,+∞)
          习题答案


1.解(1)k=tan 30°=   3    ; 
   (2)k=tan 45°=1;3
   ( )         °       °
     3 k=tan 120 =-tan 60 =-3 ;
   (4)k=tan 135°=-tan 45°=-1.


2.(1)   6  ,因为k>0,所以直线CD的倾斜
     k 
角是锐角。CD 7
 (2)        ,因为k<0,所以直线PQ的倾
     k PQ  3
斜角是钝角。
3.(1)因为k=0,所以直线AB的倾斜角是0°;
 (2)因为过C,D两点的直线垂直x轴,所以直线
CD的倾斜角是90°。
 (3)因为k=1,所以直线PQ的倾斜角是45°。
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