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2018版高中数学第2讲参数方程讲末检测新人教A版选修4_4

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                             第二讲 参数方程

一、选择题
                         2
                 x=-1-    t
                         2
                        2
                { y=2+   t )
1.下列点不在直线               2  (t 为参数)上的是(  )
  A.(-1,2)                                B.(2,-1)

  C.(3,-2)                                D.(-3,2)

  解析 直线     l 的普通方程为      x+y-1=0,因此点(-3,2)的坐标不适合方程                x+y-1=

  0.

  答案 D

2.以平面直角坐标系的原点为极点,x               轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中

                                        x=t+1,
  取相同的长度单位.已知直线           l 的参数方程是{      y=t-3  )(t 为参数),圆    C 的极坐标方程
  是 ρ=4cos θ,则直线       l 被圆  C 截得的弦长为(  )

  A. 14                                   B.2 14  

  C. 2                                    D.2 2

  解析 由题意得,直线          l 的普通方程为      x-y-4=0,圆     C 的直角坐标方程为(x-2)2+
                               |2-0-4|
  y2=4,则圆心到直线        l 的距离   d=    2   =  2,直线   l 被圆  C 截得的弦长为     2
   22-(  2)2=2 2.

  答案 D

3.极坐标方程(ρ-1)(θ-π)=0(ρ≥0)表示的图形是(  )

  A.两个圆                                   B.两条直线

  C.一个圆和一条射线                              D.一条直线和一条射线

  解析 ∵(ρ-1)(θ-π)=0(ρ≥0),∴ρ=1               或  θ=π(ρ≥0).ρ=1       表示圆心在原

  点,半径为     1 的圆,θ=π(ρ≥0)表示          x 轴的负半轴,是一条射线,故选             C.

  答案 C
                          π
                        2,
4.在极坐标系中,已知点          P(  6),则过点    P 且平行于极轴的直线的方程是(  )
  A.ρsin θ=1                              B.ρsin θ=    3

  C.ρcos θ=1                              D.ρcos θ=    3
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                π                      π                        π
              2,
  解析 因点     P(  6),得  x=ρcos θ=2cos 6=     3,y=ρsin θ=2sin 6=1,
  即(  3,1),过点(     3,1)且平行于     x 轴的直线为    y=1,

  再化为极坐标为       ρsin θ=1,选     A.

  答案 A

                        π            x=3cos θ,
5.已知  O 为原点,当     θ=-6时,参数方程{         y=9sin θ )(θ 为参数)上的点为      A,则直线
  OA 的倾斜角为(  )
    π                                       π
  A.6                                     B.3
    2π                                      5π
  C. 3                                    D. 6
                π       3 3       9
  解析 当    θ=-6时,x=       2 ,y=-2,
                y

  ∴kOA=tan α=x=-      3,且  0≤α<π,
          2
  因些  α=3π.
  答案 C

                      x=1+3t,
6.若直线   l 的参数方程为{      y=2-4t  )(t 为参数),则直线      l 的倾斜角的余弦值为(  )
      4                                       3
  A.-5                                    B.-5  
    3                                       4
  C.5                                     D.5
  解析 由题意知,直线          l 的普通方程为      4x+3y-10=0.设    l 的倾斜角为    θ,则
            4    1                       9   π                    3
  tan θ=-3.由cos2θ=1+tan2θ      知 cos2θ=25.∵2<θ<π,∴cos θ=-5,故选            B.
  答案 B

       x=3cos θ,
7.椭圆{   y=4sin θ )(θ 为参数)的离心率是(  )
     7                                       7
  A. 4                                    B. 3
     7                                       7
  C. 2                                    D. 5
             x=3cos θ,            x2  y2          7
  解析 椭圆{     y=4sin θ )的标准方程为     9 +16=1,∴e=     4 .故选 A.
  答案 A

                      x=2+cos θ,
8.若直线   y=x-b   与曲线{     y=sin θ )θ∈[0,2π)有两个不同的公共点,则实数                b 的
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  取值范围是(  )

  A.(2-  2,1)                             B.[2-  2,2+   2]

  C.(-∞,2-     2)∪(2+   2,+∞)             D.(2-  2,2+   2)


           x=2+cos θ,
  解析 由{      y=sin θ )消去  θ,得(x-2)2+y2=1.
  将  y=x-b  代入(*),化简得      2x2-(4+2b)x+b2+3=0,

  依题意,Δ=[-(4+2b)]2-4×2(b2+3)>0.

  解之得   2-  2<b<2+    2.

  答案 D
           x=  1+sin θ
                  π θ
           y=cos2  -
9.参数方程{          (4 2))(θ 为参数,0≤θ<2π)所表示的曲线是(  )
  A.椭圆的一部分

  B.双曲线的一部分
                              1
                          -1,
  C.抛物线的一部分,且过点(              2)
                            1
                          1,
  D.抛物线的一部分,且过点(            2)
                              π
                        1+cos  -θ
                 π  θ        (2  )  1+sin θ
                  -
  解析 由    y=cos2(4  2)=     2     =    2  ,
  可得  sin θ=2y-1,由     x=  1+sin θ得 x2-1=sin θ,

  ∴参数方程可化为普通方程            x2=2y.

  又  x= 1+sin θ∈[0,   2],故选   D.

  答案 D

               x=  3t,
                                                2
10.已知直线    l:{y=2-t)(t   为参数),抛物线       C 的方程   y =2x,l 与  C 交于  P1,P2,则点

  A(0,2)到  P1,P2 两点距离之和是(  )

  A.4+  3                                 B.2(2+  3)

  C.4(2+  3)                              D.8+  3
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                                  3
                            x=-    t′
                                 2
                                  1
                            y=2+   t′
                           {        )                 2           2        3
  解析 将直线      l 参数方程化为            2 (t′为参数),代入       y =2x,得   t′  +4(2+    )

  t′+16=0,设其两根为         t1′,t2′,则    t1′+t2′=-4(2+      3),t1′t2′=16>0.

  由此知在    l 上两点   P1,P2 都在  A(0,2)的下方,则|AP1|+|AP2|=|t1′|+|t2′|=

  |t1′+t2′|=4(2+     3).

  答案 C

二、填空题

          x=tan φ,
11.双曲线{   y=sec φ )(φ 是参数)的渐近线方程为________.
  解析 化参数方程为普通方程,得              y2-x2=1.故其渐近线为        y=±x,即    x±y=0.

  答案 x±y=0
                                          π
12.在极坐标系中,直线过点(1,0)且与直线                θ=3(ρ∈R)垂直,则直线极坐标方程为
  ________.
                                         π
  解析 由题意可知在直角坐标系中,直线                 θ=3的斜率是       3,所求直线是过点(1,0),且
          1                      1
  斜率是-     3,所以直线方程为       y=-   3(x-1),化为极坐标方程
              1                            π
                                         θ+
  ρsin θ=-    3(ρcos θ-1)化简得      2ρsin(   6)=1.
                 π             π
              θ+      或2ρcos θ-  =1、
  答案 2ρsin(      6)=1(      (  3)    )(ρcos θ+ 3ρsin θ=1)
                         x=2+t,
13.已知直线    l 的参数方程为{      y=3+t  )(t 为参数),以坐标原点为极点,x           轴的正半轴为
  极轴建立极坐标系,曲线          C 的极坐标方程为       ρsin2θ-4cos      θ=0(ρ≥0,0≤θ<

  2π),则直线     l 与曲线  C 的公共点的极径       ρ=________.

  解析 直线     l 的普通方程为      y=x+1,曲线     C 的直角坐标方程为       y2=4x,

                y=x+1,
  联立两方程,得{       y2=4x, )
      x=1,
  解得{  y=2. )
  所以公共点为(1,2).

  所以公共点的极径为         ρ=   22+1=  5.

  答案     5

14.已知  P 为椭圆   4x2+y2=4  上的点,O    为原点,则|OP|的取值范围是________.
                 中国现代教育网      www.30edu.com  全国最大教师交流平台

                           y2
  解析 由    4x2+y2=4,得   x2+ 4 =1.
     x=cos φ,
  令{ y=2sin φ )(φ 为参数),
  则|OP|2=x2+y2=cos2φ+4sin2φ=1+3sin2φ.

  ∵0≤sin2φ≤1,

  ∴1≤1+3sin2φ≤4,

  ∴1≤|OP|≤2.

  答案 [1,2]

三、解答题

                     x=3cos θ,                                 x=2-3t
15.已知椭圆的参数方程{         y=2sin θ )(θ 为参数),求椭圆上一点         P 到直线{y=2+2t)(t   为
  参数)的最短距离.

  解 由题意,得       P(3cos θ,2sin θ),直线:2x+3y-10=0.
                               π
                      6 2sin θ+ -10
     |6cos θ+6sin θ-10| |  (   4)   |
  d=        13      =        13     ,
             π
           θ+
  而 6 2sin(  4)-10∈[-6    2-10,6  2-10].
            π
    6 2sin θ+ -10
    |    (  4)    |  10-6 2 10+6  2
                           ,
  ∴       13      ∈[   13      13  ].
         10-6 2

  ∴dmin=   13  .
                               10-6  2
  即椭圆上的点到直线的最短距离为                 13 .
                       x=2cos θ
16.已知圆   O 的参数方程为{y=2sin θ)(θ      为参数,0≤θ<2π).
  (1)求圆心和半径;
                               5π
  (2)若圆  O 上点  M 对应的参数     θ=  3 ,求点   M 的坐标.
            x=2cos θ
  解 (1)由{y=2sin θ)(0≤θ<2π),
  平方得   x2+y2=4,

  ∴圆心   O(0,0),半径     r=2.
           5
  (2)当 θ=3π    时,x=2cos θ=1,y=2sin θ=-          3.
  ∴点  M 的坐标为(1,-       3).
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                            x=2cos t,
17.已知动点    P、Q  都在曲线    C:{  y=2sin t )(t 为参数)上,对应参数分别为         t=α  与  t=
  2α(0<α<2π),M      为 PQ 的中点.

  (1)求 M 的轨迹的参数方程;

  (2)将 M 到坐标原点的距离        d 表示为   α 的函数,并判断       M 的轨迹是否过坐标原点.

  解 (1)依题意有      P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),

  因此  M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α).

                      x=cos α+cos 2α,
  M 的轨迹的参数方程为{         y=sin α+sin 2α )(α 为参数,0<α<2π).
  (2)M 点到坐标原点的距离

  d=  x2+y2=2+2cos α(0<α<2π).

  当  α=π   时,d=0,故     M 的轨迹过坐标原点.

18.在直角坐标系      xOy 中,l  是过定点    P(4,2)且倾斜角为      α  的直线;在极坐标系(以坐

  标原点   O 为极点,以     x 轴非负半轴为极轴,取相同单位长度)中,曲线                  C 的极坐标方程

  为 ρ=4cos θ.

  (1)写出直线    l 的参数方程;并将曲线          C 的方程化为直角坐标方程;

  (2)若曲线   C 与直线相交于不同的两点           M,N,求|PM|+|PN|的取值范围.

                           x=4+tcos α
  解 (1)直线    l 的参数方程为{y=2+tsin α)(t     为参数).
  ∵ρ=4cos θ,∴ρ2=4ρcos θ,

  所以  C:x2+y2=4x.

                       x=4+tcos α
  (2)直线  l 的参数方程为{y=2+tsin α)(t     为参数),代入       C:x2+y2=4x,得    t2+4(sin 
                          Δ=16(sin α+cos α)2-16>0
                            t1+t2=-4(sin α+cos α)
  α+cos α)t+4=0,则有{                t1·t2=4        )

  ∴sin α·cos α>0,又       α∈[0,π),
             π
          (0, )
  所以  α∈     2 ,t1<0,t2<0.
  而|PM|+|PN|=

   (4+t1cos α-4)2+(2+t1sin α-2)2

  +  (4+t2cos α-4)2+(2+t2sin α-2)2
                                                    π
                                                 α+
                                             2  (    )
  =|t1|+|t2|=-t1-t2=4(sin α+cos α)=4          sin   4 .
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         π
       0,
∵α∈(     2),
      π  π  3π
          ,
∴α+4∈(4     4 ),
   2        π
         α+
∴  2 <sin(  4)≤1,
所以|PM|+|PN|的取值范围是为(4,4           2).
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