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2018秋新版高中数学北师大版必修5习题:第三章不等式 3.3.1

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                         3.1 基本不等式
                                     课时过关·能力提升
1.若 a>b>0,则下列不等式中成立的是(  )
      𝑎 + 𝑏      𝑎 + 𝑏
          >  𝑎𝑏      >  𝑎𝑏
A.a>b>  2      B.a>  2      >b
    𝑎 + 𝑏             𝑎 + 𝑏
                    𝑎𝑏 >
C.a> 2 >b>  𝑎𝑏 D.a>     2 >b
                 𝑎 + 𝑎 𝑎 + 𝑏
                     >
解析:∵a>b>0,∴a=     2     2 .
      𝑎 + 𝑏
          > 𝑎𝑏
    ∵  2      ,且  𝑎𝑏 > 𝑏𝑏=b,
        𝑎 + 𝑏
            >  𝑎𝑏
    ∴a>  2       >b.
答案:B
2.下列不等式中,对任意实数          x 都成立的是(  )
A.lg(x2+1)≥lg 2x B.x2+1>2x
   1               1
C.𝑥2 + 1≤1    D.x+𝑥≥2
解析:A,D  中,当  x<0 时都不成立,B     中,当  x=1 时不成立,故选      C.
答案:C
3.若 x>0,y>0,则 A=( 𝜋)x+y 与 B=𝜋 𝑥𝑦的大小关系是                           (  )
A.A>B          B.A≥B        C.A0,y>0,∴    2      .又 A=(  𝜋)x+y=𝜋 2 ,且指数函数  y=πx 是增函数,∴A≥B.
答案:B
4.若 0b>0,集合  M={  |      2  } ,N={x| 𝑎𝑏b>0,∴b<          2 0,y>0,且 x+y=4,则下列不等式中恒成立的是                                     (  )
   1             1  1
                  +
A.𝑥 + 𝑦>4    B.𝑥 𝑦≥1
                 1
C. 𝑥𝑦≥2      D.𝑥𝑦≥1
解析:∵x>0,y>0,且   x+y=4,
       1   1
          =
    ∴𝑥 + 𝑦 4,故 A 错误.
        𝑥 + 𝑦
    𝑥𝑦 ≤
         2  =2,故 C 错误.
          𝑥 + 𝑦 2
    ∵xy≤(  2  ) =4,
      1  1
        ≥
    ∴𝑥𝑦 4,故 D 错误.
   1  1  𝑥 + 𝑦 𝑥 + 𝑦 1 𝑦 𝑥 1
    +  =     +     = +   +   +
   𝑥 𝑦  4𝑥  4𝑦  4  4𝑥 4𝑦 4≥
   1    𝑦 𝑥 1 1
         ·  =  +
   2+2 4𝑥 4𝑦 2 2=1,当且仅当    x=y=2 时,等号成立,故选      B.
答案:B
                         𝑎 - 𝑐
               (𝑎 - 𝑏)(𝑏 - 𝑐)与
7.已知  a>b>c,则             2 的大小关系是        . 
                𝑎 - 𝑐
     (𝑎 - 𝑏)(𝑏 - 𝑐) ≤
答案:              2

8.已知  log2x+log2y=1,则 x+2y 的最小值为     . 

解析:∵log2x+log2y=1,∴log2xy=1,∴xy=2,x·2y=4.
    又 x>0,y>0,∴x+2y≥2   𝑥·2𝑦=4,当且仅当 x=2y=2 时,等号成立.
答案:4
9.设 a>0,b>0,给出下列不等式:
     1     1
   𝑎 + 𝑏 +
(1)( 𝑎)(  𝑏)≥4;
       1  1
         +
(2)(a+b)(𝑎 𝑏)≥4;
(3)a2+9>6a;
         1
(4)a2+1+𝑎2 + 1>2.
其中恒成立的是        . 
         1     1     1      1
              𝑎·         𝑏·
解析:∵a+𝑎≥2     𝑎=2,b+𝑏≥2  𝑏=2,
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         1    1
      𝑎 + 𝑏 +
    ∴(   𝑎)( 𝑏)≥4,当且仅当    a=1,b=1 时,等号成立.故(1)正确;
         1  1      𝑏 𝑎      𝑏 𝑎
          +          +         ·
    (a+b)(𝑎 𝑏)=1+1+𝑎 𝑏≥2+2· 𝑎 𝑏=4,当且仅当 a=b 时,等号成立.故(2)正确;
             2
    a2+9≥2  𝑎 ·9=6a,当且仅当  a=3 时,等号成立,故当      a=3 时,a2+9=6a.故(3)不正确;
             1             1
                   (𝑎2 + 1)·
                           2
    ∵a2+1+𝑎2 + 1≥2       𝑎 + 1=2,
                   1
    当且仅当    a2+1=𝑎2 + 1,即 a=0 时,等号成立.
    ∵a>0,∴等号不成立.故(4)正确.
答案:(1)(2)(4)
                           𝑙𝑔𝑎 + 𝑙𝑔𝑏 𝑎 + 𝑏
★10.已知   a>b>1,P= 𝑙𝑔𝑎·𝑙𝑔𝑏,Q= 2 ,R=lg( 2 ),试比较 P,Q,R 的大小.
分析:由   a>b>1,根据对数函数的单调性有           lg a>lg b>0,可以用基本不等式比较三个式子
的大小.
解:∵a>b>1,∴lg a>lg b>0,
              𝑙𝑔𝑎 + 𝑙𝑔𝑏
       𝑙𝑔𝑎·𝑙𝑔𝑏 <
    ∴            2   ,即 P0,b>0,a+b=1,求证:     2      2≤2.
                           1
                     1 + 𝑎 +
        1        1         2  3  𝑎          1
     𝑎 + = 1· 𝑎 + ≤       =  +
证明:     2     (  2)     2     4  2,当且仅当    a=2时,等号成立.
           1  3  𝑏           1
         𝑏 + ≤ +
    同理     2  4  2,当且仅当    b=2时,等号成立.
          1     1  3  𝑎 3  𝑏 3  1      3  1
       𝑎 + + 𝑏 + ≤ + +  +  =  +         +
    ∴     2     2  4  2  4  2  2  2(a+b)=2  2=2,
                 1
    当且仅当    a=b=2时,等号成立.
          1     1
       𝑎 + + 𝑏 +
    ∴     2     2≤2.