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【全国百强校word】重庆市巴蜀中学2017-2018学年高二上学期期末考试理数试题

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                    重庆市巴蜀中学              2019   级高二上期末考试
                                  数学(理科)试题

一、选择题:本大题共             12 个小题,每小题        5 分,共   60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的.

                 1
           f (x)  x3  bx2 1
1.已知函数           3           在 x  2 处取得极值,则      b  (   )

                             5             5
                                         
A.  1         B.1       C.  4        D.   4

2.某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(   )


A.15           B. 20        C. 30        D. 60

                           x
3.命题“    x (,0) ,均有   e  x 1”的否定形式是(   )

                      x
A.  x (,0) ,均有   e   x 1          

                      x
B.  x (,0) ,使得   e  x 1        

                      x
C.  x [,0) ,均有   e  x 1        

                      x
D.  x [,0) ,使得   e  x 1 

                 1
      2            1
4.“  x  x ”是“   x   ”的(   )

A.充分不必要条件         B.必要不充分条件       

C.充要条件                D.既不充分也不必要条件

5.我国南宋时期的数学家秦九韶是普州(现四川省安岳县)人,秦九韶在其所著的《数书九章》中提出的

多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多
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项式值的一例,则输出的           S 的值为(   )


 A.  4          B. 5        C.14          D. 23

                             2
6.函数   f (x) 的导函数   f '(x)  ax  bx  c 的图像如图所示,则     f (x) 的图像可能是(   )


   A.        B.       C.        D.

7.设   m 、 n 是两条不同的直线,         、   是两个不同的平面,下列命题中错误的(   )

A.若  m   , m//n , n// ,则             B.若    , m   ,  m   ,则  m//        

C.若  m   , m   ,则                    D.若     , m   , n   ,则  m  n

8.已知函数     f (x)  ax  ln x 在区间 (1,) 上单调递增,则    a 的取值范围是(   )

A.  a 1         B. a 1       C. a 1         D. a 1

9.如图所示程序框图输出的结果是              S  720 ,则判断狂内应填的条件是(   )
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A.  i  7          B. i  7        C. i  9          D. i  9

                  x2  y2
                        1
10.已知点    P 为椭圆   4    3    上第一象限上的任意一点,点             A , B 分别为椭圆的右顶点和上顶点,直线

                                             AN   BM
 PA 与 y 交于点   M  ,直线   PB 与  x 轴交于点   N ,则            的值为(   )

                               4            4  3
A.  4          B. 4 3        C. 3          D. 3

11.已知点    P 在正方体    ABCD   A1B1C1D1 的线段  BD1 上,则   cosAPC  最小值为(   )

     1               1         1              1
                                          
A.   3          B.   2        C. 9          D. 9

12.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,左、右焦点分别为                           F1 , F2 ,且两条曲线在第一象限的交

点为   P ,若  PF1F2 是以  PF1 为底边的等腰三角形.椭圆与双曲线的离心率分别为                    e1 , e2 ,则 e1·e2 的取值

范围是(   )

     1                1           1                 1 1
   (0, )           (0, )         ( ,)            (  , )
A.   3           B.   2        C. 3              D. 3  2

二、填空题(每题           5 分,满分     20 分,将答案填在答题纸上)

             2
            x     2
             2  y 1(m  0)
13.若双曲线     m               的离心率为     2 ,则  m            .

               2
14.已知抛物线      y 16x ,焦点为     F , A(8,2) 为平面上的一定点,        P 为抛物线上的一动点,则

 PA   PF
          的最小值为          .

15.三棱锥    P  ABC 中,  PA 垂直平面     ABC ,  AC  BC  , AC   BC 1,  PA   3 ,则该三棱锥外接
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球的表面积为          .

                    2                    x
16.已知函数     f (x)  ax  (2a 1)x , g(x)  e  x 1,若对于任意的    x1 (0,) , x2  R ,不等式

 f (x1)  g(x2 ) 恒成立,则实数   a 的取值范围为          .
三、解答题 (本大题共             6 小题,第一个大题          10 分,其他题每题         12 分,共    70 分.解答应写出
文字说明、证明过程或演算步骤,并写在答题卷相应的位置上.) 

17.如图,四棱锥      P  ABCD  的底面是正方形,        PD   底面  ABCD  ,点  E 在棱  PB  上. 


(Ⅰ)求证:平面         AEC   平面  PDB  ;

(Ⅱ)当     PD   2AB  且 E 为 PB  的中点时,求      AE 与平面   PDB  所成角的大小.

                             2                             MF   2
18.已知焦点为      F 的抛物线    C : x  2 py( p  0) 过点 M (2,m) ,且        .

(1)求    p,m ;(2)过点     M  作抛物线    C 的切线   l ,交 y 轴于点   N ,求  MFN   的面积. 

                   1
             f (x)  ax2  2ax  3ln x  b
19. 已知函数           2                   在 x 1处切线为     4x  y  2  0 .

(1)求    a,b ;(2)求   f (x) 在 x [1,7]上的值域。

20.在多面体     ABCDEF   中,四边形     ABCD  是正方形,     EF //AB , DE   EF 1,  DC   BF  2 ,

           
 EAD   30 .


(Ⅰ) 求证:       AE  平面  CDEF  ;

                                                                  
(Ⅱ)在线段       BD 上确定一点     G ,使得平面     EAD  与平面   FAG  所成的角为     30 .
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                x2   y2
                 2   2 1(a  b  0)
21.已知椭圆    C :  a   b              的左、右两个焦点分别为           F1 , F2 ,过点  F1 与 x 轴垂直的直线交

                                                            3
椭圆   C 于 M ,  N 两点,   MNF2  的面积为      3 ,椭圆  C 的离心率为      2  .

(1)求椭圆     C 的标准方程;

(2)已知    O 为坐标原点,直线        l : x  ky  m 与 x 轴交于点  P ,与椭圆    C 交于  A , B 两个不同的点,若
   
 AP  3PB ,求  m 的取值范围. 

                   x1
22.已知函数     f (x)  e  ax  2a (其中 e 是自然对数的底数.)

(1)讨论函数       f (x) 的单调性; 

(2)当函数      f (x) 有两个零点   x1 , x2 时,证明:    x1  x2  2 .


                                   数学(理科)试题答案
                      中国现代教育网    www.30edu.com  全国最大教师交流平台

一、选择题

1-5:ACBAC       6-10:DDBAB      11、12:BC

二、填空题

   1                                            1  
                                                ,0
13. 3           14.12            15. 5            16.  2 
三、解答题

17.解:以   D 为原点建立空间直角坐标系         D  xyz ,

设  AB  a , PD  h ,则 A(a,0,0) , B  (a,a,0) , C  (0,a,0) , D  (0,0,0) , P(0,0,h) ,
                         
(Ⅰ)   AC  (a,a,0) , DP  (0,0,h) , DB  (a,a,0) ,
       
  AC·DP  0 , AC·DB  0 ,

  AC  DP , AC  DB ,  AC  平面 PDB  ,

平面    AEC 平面  PDB  .

                                                  1 1    2  
                                               E  a,  a,  a 
                                   P 0,0, 2a      2 2   2   
(2)当   PD   2AB 且 E 为 PB 的中点时,            ,               ,

设  AC  BD  0 ,连接 OE ,

由(Ⅰ)知     AC  平面 PDB  于 O ,

AEO   为 AE 与平面   PDB 所成的角,

    1   1     2           2  
 EA   a,  a,   a   EO  0,0,  a 
        2   2    2               2   
                      ,              
               
              EA EO    2
cosAEO      
             EA  EO   2
                          ,

                                        
AOE    45 ,即  AE 与平面所成的角的大小为        45 . 

             4  2 pm
             
                    p
             2  m 
18.解:(1)由           2 得 p  2 m 1,;

          x2       x
       y      y ' 
(2)由       4 得     2 所以斜率为1

直线方程为     y  x 1得 N(0,1) ,所以 MFN 的面积是1.
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                     3                                                  1
       f '(x)  ax  2a                                            b  
19.解:                x ,直线斜率为    4 ,由  f '(1)  4 得 a 1;由 f (1)  2 得 2

                 3   (x  3)(x 1)
      f '(x)  x  2  
(2)              x       x     得 f (x) 在[1,3] 递减,在 (3,7] 递增,又 f (1)  2 ,

 f (7) 10  3ln 7  2 , f (3)  2  3ln 3 ,所以值域是[2  3ln 3,10  3ln 7]

20.(Ⅰ)四边形      ABCD 是正方形,     AD  DC  2 .

               AD        DE           2        1
                                                
在  ADE 中,  sin AED  sin EAD ,即  sin AED  sin 30 得 sin AED 1

            
AED    90 ,即  AE  DE ,在梯形   ABFE 中,过   E 点作 EP//BF ,交  AB 于点  P .

 EF //AB ,EP   BF  2 , PB  EF 1,
  AP  AB  PB 1

                              2    2        2
在  RtADE 中,可求    AE  3 , AE   AP  4 , EP  4

  AE 2  AP2  EP2

  AE  AB , AE  EF .

又  EF  DE  E ,

  AE  平面 CDEF  ,


(Ⅱ)由(Ⅰ)可得,,         AE  DC , AD   DC

DC    平面 AED  ,又  DC  平面  ABCD ,

平面   ABCD   平面  AED

如图,过    D 点作平面   ABCD  的垂线  DH  ,

以点  D 为坐标原点,     DA , DC ,  DH 所在直线分别为      x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系,

                                  1    3               3    3
                                F( ,1,  )            AF  ( ,1,  ) 
则  D(0,0,0) , B(2,2,0) , C(0,2,0) , 2 2  , A(2,0,0) ,      2    2  DB  (2,2,0) ,.
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                           
设  DG  DB  (2,2,0) ,  [0,1],则 AG  (2  2,2,0) . 
                                      
设平面   FAG 的一个法向量     n1  (x, y, z) ,则 n1  AF , n1  AG

         3        3
  n ·AF  0    x  y  z  0,
   1         
        2       2
   n ·AG  0  (2  2)x  2 y  0,
   1     即                  令 x   3 ,得
 
 n1  ( 3, 3( 1),2  5) .
                       
易知平面    EAD 的一个法向量     n2  (0,1,0) .
                  
                n1·n2           3( 1)
        cos30                              3
                n · n       2       2        2 
由已知得             1  2    3   3(1 )  (2  5) 2 , 

                          1
        2             
化简得   9  6 1  0 ,    3 .

             1 
            DG   DB                                     
当点   G 满足       3   时,平面    EAD 与平面   FAG 所成角的大小为     30 .


                                                  2b2
                                            MN  
21.解:(Ⅰ)根据已知设椭圆的焦距            2c ,当 x  c 时,       a ,

                        1              2b2c
                          MN   F1F2       3
由题意得,     MNF2  的面积为   2               a      ,

    c    3
               2      2
又   a   2  ,解得  a  4 , b 1

                 x2
                    y2 1
椭圆  C 的标准方程为     4
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(Ⅱ)当    m  0 时,则 P(0,0) ,不合题意,
               
当  m  0 时,由 AP  3PB

设  A(x1, y1) , B(x2 , y2 )

   x  ky  m
    2   2            2    2          2
由  x  4y  4  0 ,得 (k  4)y  2mky  m  4  0 ,

              2 2    2     2            2   2
由已知得      4m k  4(k  4)(m  4)  0 ,即 k  m  4  0

          2km         m2  4
   y1  y2  2   y1 y2  2
且         k  4 ,      k  4 .

                                      2     2
由  AP  3PB 得 y1  3y2 可得 y1  y2  2y2 即 3(y1  y 2 ) 12y2  4y1 y2

                       12k 2m2  4(m2  4)
                                      =0
         2               2   2    2           2 2   2   2
 3(y1  y 2 )  4y1 y2  0 , (k  4) k  4  m k  m  k  4  0 ,

                           2
                   2  4  m
      2         k     2
显然  m  1不成立,          m 1

                       2                  2  2
                  4  m    2         (4  m )m
   2    2          2    m  4  0      2      0
k    m  4  0 , m 1           ,即    m 1      .

解得  2  m  1或1 m  2 .

综上所述,     m 的取值范围为    (2,1)  (1,2)

                      x1
22.(1)解:因为     f '(x)  e  a ,

当  a  0 时,令 f '(x)  0 得 x  ln a 1 ,所以当 x (,ln a 1) 时, f '(x)  0 ,

当  x (ln a 1,) 时, f '(x)  0 ,所以函数 f (x) 在区间 (,ln a 1) 上单调递减,

在区间   (ln a 1,) 上单调递增;

                  x1
当  a  0 时, f '(x)  e  a  0 恒成立,故此时函数  f (x) 在 R 上单调递增.

(2)证明:当     a  0 时,由(1)知函数     f (x) 单调递增,不存在两个零点,所以         a  0 ,

设函数   f (x) 的两个零点为   x1 , x2 ,且 x1  x2 .
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