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辽宁省实验中学分校2017届高三数学12月月考试题 理

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高中数学审核员

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          辽宁省实验中学分校               2017  届高三数学        12  月月考试题 理

一、 选择题:本大题共          12 小题。每小题     5 分,在每个小题       给出的四个选项中,只有一项是符合要

求的。

1.已知集合    A={1,2},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x﹣y∈A},则            B 的子集共有    (  )

  A.2 个          B.4 个           C.6 个           D.8  个

2.若复数   z=cosθ﹣    +(    ﹣sinθ)i(i    是虚数单位)是纯虚数,则            tanθ  的值为(  )

  A.﹣             B.            C.﹣              D.±


3.已知函数    f(x)=,则    f(                       f(2))等于                   (  ) 

A.0               B.4            C.﹣             D.

4..已知{an}为等差数列,3a4+a      8=36,则{an}的前    9 项和  S9=                      (  )

  A.9             B .17           C.36           D.81

5.(x3﹣    )4 的展开式中的常数项为                                        (  )
  A.32            B.64            C.﹣32          D.﹣64

6.已知向量      ,  满足   •(   + )=2,且   | |=1,|   |=2,则   与  的夹角为       (  )

  A.          B.              C.              D.
7 已知 α,β    是两个不同的平面,m,n          是两条不同的直线,给出了下列命题:

①若  m⊥α,m⊂β,则       α⊥β;②若      m⊥n,m⊥α,则      n∥α;③若     m∥α,α⊥β,则        m⊥β,

④若  α∩β=m,n∥m,且       n⊄α,n⊄β,则      n∥α,n∥β                 (  )

  A.②④            B.①②④           C.①④            D.①③

8.已知  sinφ=  ,且   φ∈(     ,π)    ,函数   f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象的相邻两条

对称轴之间的距离等于            ,则  f(    )的值为                              (  )

  A.               B.﹣             C.             D.﹣
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9.如图所示,已知|         |=1,|   |=   ,        =0,点  C 在线段   AB 上,且∠AOC=30°,设        =m

  +n   (m,n∈R),则      m﹣n 等于                                      (  )


                   第 1 页           共 4 页


  A.               B.               C.﹣           D.﹣
10.某校选定甲、乙、丙、         丁、戊共     5 名教师到   3 个边远地区支教,每地至少            1 人,其中甲和乙一

定不去同一地区,甲和丙必须去同一地区,则不同的选派方案共有        (  )

   A.27 种          B.30 种           C.33 种            D.36 种

11.某几何体的三视图如图所示,            则该几何体的体积为                                   (  )


   A.                     B. 2           C.            D.3
12.若存在两个正实数        x,y,使得    x+a(y﹣2ex)(lny﹣lnx)=0      成立,其中     e 为自然  对数的底数,

则实数   a 的取值范围是                                             (  )

   A.(﹣∞,0)∪[        ,+∞)      B.(0,    ]   C.[   ,+∞)     D.(﹣∞,0)
二、填空题(每小题        5 分,共  30 分)


13.已知函数    f(x)=                 为奇函数,且      g(﹣e)=0,则      a=    .


14.若实数   x,y 满足条件:                   ,  则       的最大值为       

15.在边长为    2 的正方形    ABCD 中,动点   M 和 N 分别在边    BC 和 CD 上,且    =     ,     

=        ,则     •  的最小值为     .
16.给出  下列  四个结论:
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                                              2
①若命题    p:∃x0∈R,x     +x0+1≤0,则¬p:∀x∈R,x       +x+1>0;

②命题“若     m>0,则方程     x2+x﹣m=0 有实数根”的否命题为:“若             m≤0,则方程     x2+x﹣m=0 没有实

数根”;

③命题   p:a=1 是  x>0,x+   ≥2  恒成立的充要条件.
④设随机变量      X 服从正态分布     N(3,4),则      P(X<1﹣3a)=P(X>a2+7)成立的一个必要不充分

条件是   a=±1 或  2

其中正确的是        

3、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

                    第 2 页           共 4 页

17、(本小题满分      12 分)设锐角三角形      ABC  的内角   A,B,   C 的对边分别为      a,b,  c ,

a  2bsin A  (Ⅰ)求    B 的大小    ;(Ⅱ)求       cos A  sin C 的取值范围.

18、(本小题满分      12 分)已知数列          的前  n 项和  S =3n2+8n,    是等差数列,且                     
                            an             n        bn              an  bn  bn1.

(Ⅰ)求数列         的通项公式;
           bn 

                           (a 1)n1
               (Ⅱ)令         n        求数列       的前  n 项和  T .
                      cn         n .      cn           n
                           (bn  2)

19、(本小题满分      12 分)在 2 017 年高校自主招生期间,某校把学生的平时成绩按“百分制”折算,

排出前   n 名学生,并对这      n 名学生按成绩分组,第一组[75,80)           ,第二组[80,85)    ,第三组[85,90)    ,

第四组[90,95)   ,第五组[95,100],如图为频率分布直方图的一部分,其中第五组、第一组、第四

组、第二组、第三组的人数依次成等差数列,且第四组的人数

为 60
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(I)请在图中补全频率分布直方图;

(II)若   Q 大学决定在成绩高的第         3 , 4 , 5 组中用分层抽样的方法抽取           6 名学生进行面试.

     ①  若 Q 大学本次面试中有        B 、 C 、 D 三位考官,规定获得两位考官的认可即面试

     成功  ,且面试结果相互独立,已知甲同学已经被抽中,并且通过这三位考官面试的概率依次
       1    1   1
     为   、   ,   ,求甲同学面试成功的概率;
       2    3   5
     ②若  Q 大学决定在这      6 名学生中随机抽取       3 名学生接受考官      B 的面试,第     3 组中有   名学生

     被考官   B 面试,求    的分布列和数学期望.

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20、(本小题满分      12 分)在如图所示的几何体中,面            CDEF  为正方形,面      ABCD  为等腰梯形,

AB // CD ,  AB  2BC , ABC    60 , AC  FB .

    (Ⅰ)求证:      AC  平面  FBC  ;(Ⅱ)求     BC  与平面   EAC 所  成角的正弦值;

    (Ⅲ)线段     ED 上是否存在点      Q ,使平面    EAC   平面  QBC  ?证明你的结论


                                        a
21、(本小题满分      12 分)已知函数     f (x)  ln x  (a  0) .
                                        x

    (Ⅰ)求  f (x) 的单调区间;
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    (Ⅱ)如果   P(x0 , y0 ) 是曲线 y  f (x) 上的任意一点,若以     P(x0 , y0 ) 为切点的切线的斜率
       1
    k   恒成立,求实数      a 的最小值;
       2

                              x3  2(bx  a) 1
    (Ⅲ)讨论关于     x 的方程   f (x)               的实根情况. 
                                   2x       2

    请考生在第     22~23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.

22、(本小题满分       10 分)选修   4-4:坐标系与参数方程

                                                   x  1 cos,
已知在平面直角坐标系          xOy 内,点   P(x, y)    在曲线    C:             ( 为参数,     R 上运
                                                   y  sin
                                                            
    动.以   Ox 为极轴建立极坐标系,直线           l 的极坐标方程为       cos(   )  0 .
                                                            4
(Ⅰ)写出曲线       C 的标准方程和直线       l 的直角坐标方程;

(Ⅱ)若直线      l 与曲线  C 相交于   A、B 两点,点    M 在曲线   C 上移动,试求      ABM  面积最大值.


23、(本小题满分       10 分)选修   4-5:不等式选讲

关于  x 的不等式   lg(| x  3|  | x  7 |)  m.

   (Ⅰ) 当    m 1时,解不等式;

   (Ⅱ)设函数      f (x)  lg(| x  3 |  | x  7 |) ,当 m 为何值时, f (x)  m 恒成立?


                   第 4 页            共 4 页
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                  辽宁省实验中学分校         2016-2017 学年度上学期阶段测试

               高三年级理科数学答案


AA CDC  BCBBB  CA

13. ﹣1﹣e    14.         15.  -1   16. ①②④
                                                                    1
17、(Ⅰ)由     a  2bsin A,根据正弦定理得       sin A  2sin Bsin A ,所以 sin B  ,
                                                                     2
                           π
由△ABC    为锐角三角形得       B   .
                           6
                                    
(Ⅱ)   cos A  sin C  cos A  sin     A
                                    

                
 cos A  sin   A
            6    

         1        3
 cos A  cos A    sin A
         2        2

            
  3 sin  A   .
           3 

由△ABC    为锐角三角形知,
                         
   A    B ,    B        .
2      2       2      2   6   3
2         
    A      ,
 3       3  6
    1            3
所以    sin  A     .
    2       3    2

       3                 3
由此有        3 sin  A       3 ,
       2             3   2

                               3  3 
所以,              的取值   范围为        ,   .
      cos A  sin C                
                               2  2 

                                    2
18、(Ⅰ)  因为数列an的前      n 项和  Sn  3n  8n ,


  所以  a1 11 ,当 n  2 时,

                  2            2
  an  Sn  Sn1  3n  8n  3(n 1)  8(n 1)  6n  5 ,
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  又 an  6n  5 对 n 1也成立,所以 an  6n  5 .


  又因为bn是等差数列,设公差为       d ,则 an  bn  bn1  2bn  d .


  当 n 1时, 2b1 11 d ;当 n  2 时, 2b2 17  d ,

                                  a  d
  解得 d  3 ,所以数列b 的通项公式为    b   n    3n 1.
                   n           n   2

         (a 1)n1 (6n  6)n1
(Ⅱ)由      n                        n1 ,
     cn       n       n  (3n  3)  2
         (bn  2)  (3n  3)

             2    3     4            n1
   于是Tn   6 2  9 2 12 2  (3n  3)  2 ,

两边同乘以2,得

              3    4         n1        n2
       2Tn  6 2  9 2  (3n)  2  (3n  3)  2 ,

两式相减,得

           2    3    4       n1        n2
    Tn  6 2  3 2  3 2  3 2  (3n  3)  2

             3 22 (1 2n )
        3 22        (3n  3)  2n2
                1 2

                 2    n         n2     n2
       Tn  12  3 2 (1 2 )  (3n  3)  2  3n  2 .

19、

.解:(Ⅰ)因为第四组的人       数为  60 ,所以总人数为:    5 60  300 ,由直方图可知,第五组人数
                      60  30
为: 0.02 5 300  30 人,又     15 为公差,所以第一组人数为:45      人,第二组人数为:
                        2
75 人,第三组人数为:90     人


                             频率
                             组距

                         0.08
                         0.07
                         0.06
                         0.05
                         0.04
                         0.03
                         0.02
                         0.01

                           O      75 80  85 90 95 100      成绩
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                                                              -------------------4 分


20、(本小题满分      12 分)

    【答案】(Ⅰ)证明:因为           AB   2BC , ABC    60 ,

    在△  ABC  中,由余弦定理可得          AC   3BC  ,

    所以   AC  BC  .               又因为     AC  FB , 

    所以  AC  平面   FBC .         (Ⅱ)解:因为        AC   平面  FBC  ,所以   AC   FC .

    因为  CD  FC  ,所以   FC  平面   ABCD  .                         
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所以  CA,CF,CB 两两互相垂直,如图建立的空间直角坐标系               C  xyz . 


在等腰梯形    ABCD  中,可得    CB  CD . 

                                         3   1       3   1
设 BC 1,所以   C(0,0,0), A( 3,0,0), B(0,1,0), D( , ,0), E( , ,1) .
                                         2   2       2   2

           3   1
所以  CE   (  , ,1) , CA  ( 3,0,0) , CB  (0,1,0) .
           2   2
                                     
                                 nCE  0,
设平面  EAC  的法向量为    n = (x, y,z) ,则有  
                                 nCA  0.

      3   1
        x  y  z  0,
所以   2    2           取 z 1,得 n  (0,2,1) .              
    
      3x  0.
                                                
                                           | CB n | 2 5
设 BC 与平面   EAC 所成的角为    ,则   sin | cosCB,n |     ,
                                               | CB || n | 5

                                2 5
所以   BC 与平面  EAC 所 成角的正弦值为          .                    
                                 5

(Ⅲ)解:线段     ED 上不存在点    Q ,使平面    EAC  平面 QBC  .证明如下:  

                           3   1                        3  1
假设线段   ED 上存在点   Q ,设   Q(   , ,t)  (0  t  1) ,所以 CQ  ( , ,t) .                              
                           2   2                       2    2
                                      
                                  m CB  0,
设平面  QBC  的法向量为    m  (a,b,c) ,则有      
                                  m CQ  0.
    b  0,
                                       2
所以    3   1           取 c  1,得 m  (   t,0,1) .        
       a   b  tc  0.                3
     2    2
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    要使平面    EAC   平面  QBC  ,只需   m n  0 ,                    

         2
    即     t 0  0 2 11  0 , 此方程无解.
          3

    所以线段    ED 上不存在点     Q ,使平面    EAC   平面  QBC  .           

21、(本小题满分      12 分)
                                        a
    【答案】(共     14 分)解:(Ⅰ)    f (x)  ln x  ,定义域为  (0,) ,      
                                        x
             1   a   x  a
    则 f | (x)          .          
             x  x2    x2
    因为  a  0 ,由 f (x)  0, 得 x (a,) , 由 f (x)  0, 得 x (0,a) ,   


    所以  f (x) 的单调递增区间为      (a,)  ,单调递减区间为      (0,a) .   

                                                            x  a  1
    (Ⅱ)由题意,以             为切点的切线的斜率          满足              0                ,  
                 P(x0 , y0 )               k    k  f (x0 )  2       (x0  0)
                                                             x0    2

             1  2                                    1  2      1
    所以  a   x   x 对 x   0 恒成立. 又当    x  0 时,    x   x    ,  
             2 0    0   0                 0          2 0    0  2
                   1
    所以  a 的最小值为      .                  
                   2
                         x3  2(bx  a) 1
    (Ⅲ)由题意,方程      f (x)               化简得  
                              2x       2
            1     1
    b  ln x  x2 +  x (0,)         
            2     2
                 1        1           1     (1 x)(1 x)
    令 h(x)  ln x  x2  b  ,则 h(x)   x            .   
                 2        2           x          x
    当 x (0,1) 时, h(x)  0 ,当 x (1,) 时, h(x)  0 ,  

    所以  h(x) 在区间  (0,1) 上单调递增,在区间      (1,) 上单调递减.   
                                                          1         1
    所以  h(x) 在 x 1处取得极大值即最大值,最大值为             h(1)  ln1 12  b   b .      
                                                          2         2
    所以  当   b  0 , 即 b  0 时, y  h(x)  的图象与 x 轴恰有两个交点,  

               x3  2(bx  a) 1
    方程  f (x)               有两个实根,   
                   2x        2

    当 b  0 时, y  h(x)  的图象与  x 轴恰有一个交点,  
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               x3  2(bx  a) 1
    方程  f (x)               有一个实根,    
                   2x        2

    当 b  0 时, y  h(x)  的图象与   x 轴无交点,  

               x3  2(bx  a) 1
    方程  f (x)               无实根   
                   2x        2

22、(本小题满分       10 分)选修   4-4:坐标系与参数方程


解:(1)消去参数        ,得曲线    C 的标准方程:      (x 1) 2  y 2 1.
               
    由  cos(  )  0 得:  cos   sin  0 ,
               4
    即直线   l 的直角坐标方程为:        x  y  0.

                                     1       2
   (2)圆心    (1, 0) 到直线 l 的距离为   d            ,
                                     11    2

    则圆上的点     M 到直线的最大距离

              2
    为 d  r    1(其中    r 为曲线   C 的半径),
              2

                   2
    | AB | 2 12  ( ) 2  2 .设  M 点的坐标为    (x, y) ,
                   2

    则过  M 且与直线   l 垂直的直线    l方程为:    x  y 1  0 ,

              (x 1) 2  y 2 1
    则联立方程                   ,
              x  y 1  0

             2               2
        x     1     x      1
            2               2
    解得            ,或             ,
                2            2
        y           y 
             2           2

                 2
          x     1
                2
    经检验              舍去.
                2
          y 
             2
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               2       2
    故当点  M 为 (   1,    ) 时, ABM 面积的最大值为
              2        2

               1        2        2 1
    (S    )      2  (  1)       .
      ABM max 2        2        2

23、(本小题满分      10 分)选修  4-5:不等式选讲

解:(1)当    m 1时,原不等式可变为        0 | x  3|  | x  7 |10 ,

    可得其解集为{x     | 2  x  7}.

   (2)设  t | x  3|  | x  7 | ,

    则由对数定义及绝对值的几何意义知            0  t  10 ,

    因 y  lg x 在 (0,  ) 上为增函数, 

    则 lgt  1,当 t  10, x  7 时, lgt  1,

    故只需  m  1即可,

    即 m 1时,  f (x)  m 恒成立.
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