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高三数学磨题磨错课之条件最值

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高中数学审核员

中国现代教育网
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问渠哪得清如许,
    唯有源头活水
来。
 

---高中数学磨题磨错课之条件最值
                    新晃一中   康海民
题海无边!!!

            
时间与精力有限!!!
如何用有限的时间与精力
去应对无限的“题海” 
?
那就是不断的反思与总结
!
而对经典例题进行研磨就
是其中较好的一种方法。
教学目的:


1、通过有限的题目来体会无限的数学思想;

2、依靠磨题来探究数学思维过程,拓展解题
的思路;

3、培养学生的数学核心素养,提高学习数学
的兴趣。
教学重点、难点:


重点:给定条件,求范围

难点:问题角度的切入,解题方法的提炼
 抛砖引玉

 
 

解法三   :(对称换元思想)由于           x+y=1 ,x、y≥0,则可设      

      1        1               1   1
    x=  +t,  y=  -t,其中    t∈[-   ,   ] 
      2         2              2   2

              1        1        1             1
于是,   x2+y2= (  +t)2+(   -t)2=    +2t 2   t2∈[0,  ] 
              2        2        2             4

                            1        1
所以,当    t2=0 时, x2+y2 取最小值    ;当   t2=  时, x2+y2 取最大值   1。 
                            2        4

评注:对称换元将减元结果进行简化了,从而更容易求最值。                           
 点评:

这三种方法,在本质上都一样,都是通过函数观
点来求最值,只是换元方式的不同而已,也就导
致了化简运算量大小不同,但切入的角度不同,
所以思维的过程也有差异。
解法四:(运用基本不等式)由于             x、y≥0  且 x+y=1 

             (x+y)2   1            1
则         xy≤        =  ,从而   0≤xy≤   
                4     4            4

于是,x2+y2=(x+y)2-2xy=1-2xy 

                                    1                1
所以,当    xy=0 时,x2+y2 取最大值   1;当  xy=  时,x2+y2 取最小值     。 
                                    4                2

评注:运用基本不等式可以解决一些含有两个未知量的最值问题, 

但要注意等号成立的条件是否同时满足。 


评注:用几何的观点研究代数问题,可以加强我们
数形结合思想的养成,使我们在数和形的理解把握
好一个联系的尺度,能够由数想到形的意义,由形
想到数的结构,从而达到快速解决这类问题的目
的。事实上,有许多解析几何最值问题和代数中许
多最值问题都可以用类似的方法解决。
 多维磨题

 下面,我们对本题进行研磨、变式与推广

角度一:

 

 

 
角度二:


 


 
   反思与小结:

反思:上述诸多解法与变式中,哪些种解题方法是通法?


小结:
1、由“一元”到“二元”问题,我们可以消元降次,用函数思想解之;
  
2、由“二元”到“一元”问题,我们可以用三角换元思想解之
课后作业:


  


  
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