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【全国百强校】重庆市第一中学2017-2018学年高一上学期期末考数学试题

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秘密★启用前

             2018年重庆一中高2020级高一上期期末考试

                           数 学 试 题 卷 2018.1

注意事项:

    1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

    2.答选择题时,必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮                                  擦擦

干净后,再选涂其他答案标号。

    3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。

    4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷及草稿纸上答题无效。


一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目

    要求的.
       5
1. tan(  )  (    ) 
       3
                                             3                  3
    A.  3            B. 3               C.                D. 
                                            3                   3

2.函数  f x 2a x1 1 a  0,且a  1恒过定点(    ) 

    A. 1,1       B. 1,1          C. 0,2a 1        D. 0,1
                                    
3.已知   是第三象限角,且        cos   0 ,则    所在的象限是(    ) 
                           2         2
    A. 第一象限       B. 第二象限        C. 第三象限         D. 第四象限

4.已知  A  x | y  ln x, B  {y | y  x} ,则(    )


    A. A B         B. A B  A      C. (CR A)  B  R     D. A  B  

5. 若方程   x2  ax  a  0 的一根小于  2 ,另一根大于     2 ,则实数    a 的取值范围是(   ) 

    A. (4,+)         B. 0,4         C. (,0)           D. ,0 (4,)  

6.若幂函数    f (x) 的图像过点   (16,8) ,则 f (x)  f (x2 ) 的解集为(    )  

    A. ,0 (1,)    B. (0,1)        C. ,0          D. (1,)
                                                                   [来源:Z,xx,k.Com]
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7.已知函数    f (x)  cos(2x)(  0) ,若 f (x) 的最小正周期为     ,则  f (x) 的一条对称轴是(   

)
                                                              3
    A. x              B. x           C. x               D. x 
          8                  4              2                     4

                                                 
8.(原创)若角(0         2 ) 的终边过点    P(sin  ,1 cos ) ,则   (    )  
                                          5        5
      11              7                   2                   
    A.               B.                  C.                   D. 
      10               10                    5                   10

                        2
9.(原创)若不等式       loga (ax  2x 1)  0 (a  0,且a  1) 在 x [1,2]上恒成立,则  a 的取值范围

是(    )

                                                                  1 
    A. (1,2)           B. (2,)             C. 0,1 2,      D. 0,   
                                                                  2 

10.(原创)函数      f (x)  x2 2|x|  2x2 1的零点个数为(  )  

    A.1             B.  2                C. 3                   D. 4

11.(原创)    (2 3 cos200  tan 700 )cos100  (    ) 

       1                 3
    A.              B.                  C. 1                   D.  3
       2                2

12.(原创)函数      f (x)  2x  3 x2  6x 8 的值域是(    ) 

    A.            B.                  C.                  D. 
       3  5,5      1,5               [2,3  5]           [3   5,3  5]


二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
                 x 1
13.关于  x 的不等式         2 的解集是        . 
                  x
                 3                      
14.已知  sin(  )   , (  , ) ,则 tan(   )          . 
              6   5      2               12
15.若函数   f (x) 满足:对任意实数      x ,有  f (2  x)  f (x)  0 且 f (x  2)  f (x)  0 ,

当 x [0,1] 时, f (x)  (x 1)2 ,则 x [2017,2018]时, f (x)          . 

16. (原创)已知函数        f (x)  3sin 2x | cos2x | ,现有如下几个命题: 

①该函数为     偶函数; 
                     中国现代教育网 www.30edu.com  全国最大教师交流平台

      
②[   ,  ] 是该函数的一个单调递增区间;
    4  6
③该函数的最小正周期为           ;

                    7
④该函数的图像关于点         (   ,0) 对称;
                    12

⑤该函数的值域为[1,2].

其中正确命题的编号为 ______ .

三、解答题:共70分.解答应写出文            字说明、证明过程或演算步骤.
                      
17. (10分) 已知   tan(  )  2 .
                      4
(1)求   tan 的值;
              3
(2)求   cos(    )[sin( )  2cos  ]的值.
               2


                    log3 2                 log5 2
18. (12分)(1)计算    9     (log3 5)(log100 3)     ;
                                           log5 10

            2             a  a1
  (2)已知     3        ,求          的值.
           a  2   3      1    1
                               
                          a 3  a 3


19. (12分)(原创)已知       f (x)  2x1  a 2x (a  R) .

(1)若   f (x) 是奇函数,求    a 的值,并判断      f (x) 的单调性(不用证明);

(2)若函数     y  f (x)  5 在区间(0,1)上有两个不同的零点,求           a 的取值范围.
                     中国现代教育网 www.30edu.com  全国最大教师交流平台

20. (12分)(原创)已知       f (x)  4cos4 x  4sin2 x  3sin 2xcos2x

(1)求   f (x) 的最小正周期;

(2)将   f (x) 的图像上的各点的横坐标伸长为原来的               2 倍,纵坐标不变,再将所得图像向右平移
                                                
  个单位,得到函数        y  g(x) 的图像,求    g(x) 在 x [0,  ] 上的单调区间和最值.
3                                                2


21. (12分) (  原创)定义域为       R 的函数   f (x) 满足:对任意实数      x、y  均有

f (x  y)=f (x)  f (y)  2 ,且 f (2)  2 ,又当 x 1时 , f (x)  0 .

(1)求   f (0) 、 f (1) 的值,并证明:当     x 1时,   f (x)  0 ;

(2)若不等式      f ((a2  a  2)x2  (2a 1)2 x  2)  4  0 对任意 x[1,3] 恒成立,求实数 a 的取值

范围.


22. (12分) (原创)已知       f (x)  log2 x ,
                            x
(1)求函数     g(x)  f 2 (x)+2 f ( ) 的单调区间;
                           16


(2)求证:     x [ ,2 ] 时,[来源:Z_xx_k.Com]

(1 sin x) f 2 (x)  (1 sin x  cos x) f (x)  4     
                                        2 sin xsin(x  )  2 成立.
                 f (x)                                4
                     中国现代教育网 www.30edu.com  全国最大教师交流平台


[来源:Z_xx_k.Com]


                                                          命题人 王中苏

                                                          审题人 李长鸿  梁波
             2018年重庆一中高2020级高一上期期末考试

                             数 学 答 案 2018.1

一.选择题1—12     ABDCADCDBBAA      

二.填空题

13.  ,1 0,,       14. 7 ,        15. (x  2017)2 ,     16. ②③
               
17.(1)  tan(   )  2  tan  3 ,
               4
           3
(2) cos(    )[sin( )  2cos  ]
            2
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  sin[sin  2cos]  sin2   2sin cos
  sin2   2sin cos tan2   2tan 3
                               
     sin2   cos2    tan2  1   10


         log3 2               log5 2     lg5   lg3
18. (1) 9     (log3 5)(log100 3)   4          lg 2
                               log5 10   lg3  lg100
              1           9
           4  (lg5  lg 2)  .
              2           2
          1
    (2)设 a 3  t, 则 t 2  2  3 ,

                3  1
           1   t  3
       a  a           2  1              1
    且              t                              .
        1    1       t  2 1  2  3     1  3
                  1      t            2  3
       a 3  a 3 t 
                   t


19.(1)因为   f (x) 是奇函数,[来源:学&科&网]

        所以 f (x)  f (x)  2x1  a 2x  2x1  a 2x  (a  2))(2x  2x )  0 ,

        所以 a  2 ;

     f (x)  2(2x  2x ) 在 (,) 上是单调递增函数.

(2) y  f (x)  5 在区间(0,1)上有两个不同的零点,

  方程  2x1  a 2x  5  0 在区间(0,1)上有两个不同的根,

  方程  a  222x  52x 在区间(0,1)上有两个不同的根,

  方程  a  2t 2  5t 在区间 t (1,2) 上有两个不同的根,
         25
  a (3,  ) .
         8
20. (1)   f (x)  4cos4 x  4sin2 x  3sin 2xcos2x

                                        3
               (1 cos2x)2  2(1 cos2x)  sin 4x
                                       2
                        3
               cos2 2x  sin 4x  3
                        2
               1 cos4x   3
                          sin 4x  3
                   2      2
                          7
               cos(4x  ) 
                       3   2
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                     
所以  f (x) 的最小正周期为      ;
                     2
                   7                         
(2) g(x)  cos(2x  )  的 增区间为[0,  ],减区间为[     , ] ,
                3   2             6           6 2
                            9           
 g(x) 在 x [0, ] 上最大值为  g( )  ,最小值为    g(  )  3.
            2             6   2            2


21. (1)令  x  y  0 ,得 f (0)  2 ,

       令 x  y 1, 得 f (1)  0 ,

       令 x 1, y  1,得 f (1)  4 ,

       设 x 1,则  2  x 1, f (2  x)  0 ,

       因为  f (2)  f (2  x  x)  f (2  x)  f (x)  2  2

       所以  f (x)   f (2  x)  0 .


(2)设 x1  x2 , f (x2 )  f (x1)  f (x2  x1  x1)  f (x1)=(f (x2  x1)  f (x1)  2)  f (x1)


                         f (x2  x1 11)  2

                            f (x2  x1 1)  f (1)  4

                         f (x2  x1 1)


因为  x2  x1 1 1, 所以 f (x2  x1 1)  0 ,所以 f (x) 为增函数.

 f ((a2  a  2)x2  (2a 1)2 x  2)  4  0  f ((a2  a  2)x2  (2a 1)2 x  2)  4  f (1)

  (a2  a  2)x2  (2a 1)2 x  2  1

法一:上式等价于      (a2  a)(x2  4x)  2x2  x  3对任意 x[1,3] 恒成立,

因为  x[1,3] ,所以 x2  4x  0

                2x2  x  3  3(3x 1)
上式等价于    a2  a          2        对任意  x[1,3] 恒成立,
                  x2  4x     x2  4x
                    3(3x 1)       27t           27
设 3x 1  t [2,8] , 2     2           2          0 ( t  2 时取等),
                      2          2              11
                     x  4x     t 10t 11    t   10
                                                 t

所以  a2  a  0 , a  0 或 a 1.
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法二:上式等价于     g(x)  (a2  a  2)x2  (2a 1)2 x  3  0 对任意 x[1,3] 恒成立,

   2            1                       2
设 a  a  m ( m   ),上式等价于  g(x)  (m  2)x  (4m 1)x  3  0 对任意 x[1,3] 恒成
                4
立,

① m  2 时,易得上式  恒成立;

② m  2 时,上式等价于    g(1)  0 且 g(3)  0 即 m  0且m  6 ,所以 m  2 ;

                   4m 1
③ m  2 时,对称轴  x         0 ,上式等价于  g(1)  0 即 m  0 ,所以 0  m  2 ;
               0  2(m  2)

综上  m  0 即 a2  a  0 , a  0 或 a 1.

                      x
22. (1) g(x)  f 2 (x)+2 f ( )  log2 x  2log x 8
                     16     2      2
                                                1
 g(x)  log2 x  2log x 8  (log x 1)2  9 ,令 log x  1得 x  ,
        2      2        2            2          2
                               1          1
由复合函数的单调性得       g(x) 的增区间为 (0, ) ,减区间为  ( ,) ;
                               2          2

                           2              4
(2)  x [ ,2 ] 时, sin x  0 , sin x  0 , log2 x   4 ( x  4 ),
                                        log2 x

 (1 sin x) f 2 (x)  (1 sin x  cos x) f (x)  4 
                                 2 sin xsin(x  )
              f (x)                         4

               4              
  (1 sin x) f (x)   2 sin xsin(x  )  cos x  sin x 1
              f (x)            4

                  4
          log x     sin2 x  sin xcos x  cos x  sin x 1
             2
                 log2 x
          4  sin xcos x  cos x  sin x 1
                                                [来源:Z*xx*k.Com]

                                               t 2 1
设 t  cos x  sin x ,由 x [ ,2 ] 得 t [ 2,1],且 sin xcos x 
                                                2

                         t 2 1    1
从而  3 sin xcos x  cos x  sin x   t  3  (t 1)2  2  2
                          2        2

由于上述各不等式不能同时取等号,所以原不等式成立.
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