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2018秋新版高中数学北师大版必修5习题:第三章不等式 3.2.2.2

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高中数学审核员

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   第   2  课时 一元二次不等式根的分布及实际应用问题
                                         课时过关·能力提升
         4
1.不等式𝑥  - 2≤x-2 的解集是(  )
A.(-∞,0]∪(2,4]
B.[0,2)∪[4,+∞)
C.[2,4)
D.(-∞,2]∪(4,+∞)
                    4
解析:原不等式等价于𝑥        - 2-(x-2)≤0,
      𝑥2 - 4𝑥
                  𝑥(𝑥 - 4)(𝑥 - 2) ≥ 0,
    即  𝑥 - 2 ≥0,即{   𝑥 - 2 ≠ 0, 
    解得  0≤x<2  或 x≥4,故选   B.
答案:B
2.要使关于    x 的方程  x2+(a2-1)x+a-2=0 的一个根比   1 大且另一个根比       1 小,则 a 的取值范围是(  )
A.-11
C.-21
解析:令   f(x)=x2+(a2-1)x+a-2.由题意知,f(1)=1+a2-1+a-2=a2+a-2=(a-1)(a+2)<0,则-2 0, 解得 a≤-8.
答案:A
4.若关于   x 的方程  x2-(m+3)x+m2=0 有两个不相等的正根,则         m 的取值范围是        . 

解析:设   x1,x2 是方程的两根,则由题意知        x1≠x2,且 x1>0,x2>0,
           Δ > 0,
        𝑥1 + 𝑥2 > 0,
        { 𝑥 𝑥 > 0, 
    所以    1 2
      (𝑚 + 3)2 - 4𝑚2 > 0,
          𝑚 + 3 > 0,
             2
    即{     𝑚 > 0,    
    解得-10,即 n2-20n+49>0,解得  10- 510},B={x|(x-k)·(x-k-1)≤0},若 A∩B≠⌀,求 k 的取值范围.
分析:求出    A,B,即解出一元二次不等式后,根据           A∩B≠⌀来研究集合端点值的关系,列不等式组求得
k 的取值范围.
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解法一由    x2+3x-18>0,得 x>3 或 x<-6,
    故 A={x|x>3 或 x<-6}.
    由(x-k)(x-k-1)≤0,得 k≤x≤k+1,
    故 B={x|k≤x≤k+1}.
    ∵A∩B≠⌀,作出图形,如图所示,

    ∴k+1>3  或 k<-6,
    即 k 的取值范围是{k|k<-6     或 k>2}.
解法二先求     A∩B=⌀时   k 的取值范围.
    由解法一,得    A={x|x<-6 或 x>3},B={x|k≤x≤k+1}.
               𝑘 + 1 ≤ 3,
    ∵A∩B=⌀,则{   𝑘 ≥ - 6, 即 -6≤k≤2,
    ∴A∩B≠⌀的   k 的取值范围是{k|k<-6     或 k>2}.
★7.如图所示,将一个矩形花坛           ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛            AMPN,要求点    B 在 AM 上,点
D 在 AN 上,且对角线     MN 过点   C,已知  AB=3,AD=2,要使矩形     AMPN 的面积大于      32,则 DN 的长度应
在什么范围内?


解:设  DN=x(x>0),则 AN=x+2,
      𝐷𝑁 𝐷𝐶      3(𝑥 + 2)
         =
    由𝐴𝑁  𝐴𝑀,得 AM=    𝑥  ,
                       3(𝑥 + 2)2

    故 S 矩形 AMPN=AN·AM=    𝑥   (x>0),
                    3(𝑥 + 2)2                                  2

                                         2
    由 S 矩形 AMPN>32,得   𝑥   >32(x>0),即 3x -20x+12>0(x>0),解得 06,
                           2
                          0,
    即 DN 长度的取值范围是(         3)∪(6,+∞).
★8.两位同学合作学习,对问题“已知由不等式                xy≤ax2+2y2 中的数对(x,y)组成的点在区域
Ω={(x,y)|1≤x≤2,2≤y≤3}中,求    a 的取值范围”提出了各自的解题思路.甲说:“寻找                x 与 y 的关系,再
作分析.”乙说:“把字母       a 单独放在一边,再作分析.”参考上述思路,或用自己的其他解法,求出实数                         a 的
取值范围.

                                𝑦     𝑦 2   𝑦
解法一由甲的思路,原不等式可变形为𝑥≤a+2(𝑥)               ,记 t=𝑥,得 2t2-t+a≥0,
    当 Ω={(x,y)|1≤x≤2,2≤y≤3}时,1≤t≤3.
                                1
    令 f(t)=2t2-t+a,其对称轴为直线    t=4,
         𝑓(1) = 2 - 1 + 𝑎 ≥ 0,
    故由{𝑓(3) = 18 - 3 + 𝑎 ≥ 0,得 a∈[-1,+∞).
                                   𝑥𝑦 - 2𝑦2
                                              𝑦 2 𝑦   𝑦 1 2  1
                                       2          +       -   +
解法二由乙的思路,原不等式可变形为               a≥    𝑥   =-2(𝑥) 𝑥=-2(𝑥 4)  8,
                                                       2
                                   𝑦    𝑦     𝑥𝑦 - 2𝑦
                                                    2    𝑚𝑎𝑥
    当 Ω={(x,y)|1≤x≤2,2≤y≤3}时,1≤𝑥≤3,当𝑥=1    时,(   𝑥   )  =-1,所以  a∈[-1,+∞).
★9.某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为              40 元/个,出厂价为     60 元/个,日销售量为     1 000 个,为适应市场需
求,计划提高蛋糕档次,适度增加成本.若每个蛋糕成本增加的百分率为                          x(0 (60 - 40) × 1 000,
    (2)要保证日利润有所增加,则{             0 < 𝑥 < 1,  
                           3
       - 4𝑥2 + 3𝑥 > 0,
    即{   0 < 𝑥 < 1, 解得 0
	
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